Một số mở rộng của lớp môđun giả nội xạ và vành liên quan

Tổng quan chung về các nội dung được các tác giả trên nghiên cứu đối với môđun giả nội xạ bao gồm: Nghiên cứu các tính chất của môđun giả nội xạ mà tương tự các tính chất của môđun tựa n

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHAN THẾ HẢI

MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA LỚP MÔĐUN GIẢ NỘI XẠ

VÀ VÀNH LIÊN QUAN

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 62460104

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học 1: GS.TS LÊ VĂN THUYẾT Người hướng dẫn khoa học 2: TS BÀNH ĐỨC DŨNG

HUẾ - NĂM 2016

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi được viết riêng hoặc viết chung với các đồng tác giả Các kết quả nghiên cứu nêu trong luận án là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình nào khác

PHAN THẾ HẢI

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến hai người Thầy hướng dẫn là GS.TS Lê Văn Thuyết, Đại học Huế và TS Bành Đức Dũng, Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP Hồ Chí Minh, những người Thầy rất nghiêm khắc nhưng mẫu mực, những người luôn tận tình dạy bảo, hướng dẫn, cổ vũ và động viên tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu của mình

Tôi xin trân trọng cảm ơn Khoa Toán và Phòng Sau đại học của Trường Đại học Sư phạm-Đại học Huế; Ban Đào tạo Đại học Huế; Trường Cao đẳng

Sư phạm Bà Rịa-Vũng Tàu đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi được học tập, nghiên cứu và hoàn thành chương trình nghiên cứu sinh của mình

Tôi xin cảm ơn Khoa Toán, Trường Đại học công nghệ Gebze, Thổ Nhĩ

Kỳ và Khoa Đại số-Logic Toán thuộc Viện Toán-Cơ Lobachevsky, Trường Đại học Kazan, Liên bang Nga đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi được sang thực tập, nghiên cứu trong thời gian từ 20/4/2015 đến 20/6/2015 (tại Thổ Nhĩ Kỳ) và từ 01/5/2016 đến 06/7/2016 (tại Liên bang Nga)

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới TS Trương Công Quỳnh, Trường Đại học Sư phạm-Đại học Đà Nẵng đã có sự nhiệt tình giúp đỡ và trao đổi chuyên môn trong quá trình học tập, nghiên cứu cũng như quá trình viết

và chỉnh sửa luận án

Tôi xin chân thành cảm ơn tất cả bạn bè và các anh chị em nghiên cứu sinh đã luôn động viên và cổ vũ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu

Cuối cùng, tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn vô hạn đến đại gia đình của tôi

đã đồng cảm và chia sẻ những khó khăn trong suốt thời gian tôi làm nghiên cứu sinh và hoàn thành luận án Cảm ơn sự hy sinh của vợ và hai con, chính

họ là chỗ dựa tinh thần vững chắc giúp tôi vượt qua mọi khó khăn để hoàn thành luận án này

PHAN THẾ HẢI

MỤC LỤC

1.1 Một số kí hiệu và khái niệm cơ bản 16

1.2 Môđun nội xạ, xạ ảnh và một số mở rộng của môđun nội xạ 19

1.3 Vành Artin, Noether và một số lớp vành quan trọng khác 23

1.4 Môđun nửa đơn và vành Artin nửa đơn 26

2.1 Định nghĩa và ví dụ 30

2.2 Các kết quả liên quan đến môđun giả nội xạ cốt yếu 32

3.1 Định nghĩa và ví dụ 48

3.2 Các kết quả liên quan đến môđun ADS tổng quát 50

4.1 Môđun thỏa mãn điều kiện (C) 64

4.2 Đặc trưng của một số lớp vành thông qua môđun thỏa mãn điều kiện (C) 82

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

KÝ HIỆU NGHĨA CỦA KÝ HIỆU

[1] Tài liệu số 1 ở mục "Tài liệu tham khảo"

N Tập hợp các số tự nhiên

Z Vành các số nguyên

Q, R Trường các số hữu tỷ, số thực (tương ứng)

|X| Bản số của tập hợp X E(M ) Bao nội xạ của môđun M EndR(M ) Vành các tự đồng cấu của R-môđun M Im(f ), Ker(f ) Ảnh, hạt nhân của đồng cấu f (tương ứng)

Mn(R) Vành ma trận vuông cấp n lấy các hệ tử trên vành R

MR (RM ) M là một R-môđun phải, trái (tương ứng)

i∈I

M (tổng trực tiếp của |I| bản sao của môđun M)

i∈I

M (tích trực tiếp của |I| bản sao của môđun M)

N ≤ M N là môđun con của môđun M

N < M N là môđun con thực sự của môđun M

N ≤e M N là môđun con cốt yếu (hay lớn) của môđun M

N  M N là môđun con đối cốt yếu (hay bé) của môđun M

N ≤⊕ M N là hạng tử trực tiếp của môđun M

N ' M N đẳng cấu với môđun M

N ⊕ M Tổng trực tiếp của môđun N và môđun M

rR(X), lR(X) Linh hóa tử phải và trái của tập hợp X trong R R[x] Vành đa thức trên vành R

Rad(M ), J (R) Căn của môđun M, căn của vành R (tương ứng)

Soc(M ) Đế của môđun M

Sr, Sl Soc(RR), Soc(RR)

DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ

bao nội xạ injective hull

bất biến đầy đủ fully invariant

bất biến đẳng cấu automorphism-invariant

điều kiện dây chuyền giảm Descending Chain Condition

điều kiện dây chuyền tăng Ascending Chain Condition

đối nửa đơn co-semisimple

giả nội xạ pseudo-injective

giả nội xạ cốt yếu essentially pseudo-injective

giả nội xạ cốt yếu mạnh strongly essentially pseudo-injective hạng tử trực tiếp direct summand

không phân tích được indecomposable

linh hóa tử annihilator

M được sinh con bởi N M is subgenerated by N

M là một vật sinh con của N M is a subgenerator for N

THUẬT NGỮ TIẾNG ANH

M sinh ra N M generates N

M-sinh M-generated môđun cốt yếu (lớn) (large) essential module môđun đối cốt yếu (bé) (small) superfluous module môđun mở rộng extending module

môđun trung thành faithful module môđun tự do free module môđun tự nội xạ self-injective module môđun tựa nội xạ quasi-injective module môđun tự sinh self-generator module

mở rộng cốt yếu essential extension

N-giả nội xạ pseudo-N-injective

N-giả nội xạ cốt yếu essentially pseudo N-injective

N-nội xạ N-injective

N-nửa xạ ảnh semi-N-projective nội xạ tương hỗ (relative) mutually injective nửa Artin semi Artinian

nửa đơn semisimple nửa xạ ảnh semi projective phần bù giao complement suy biến singular thể (vành chia) skew field (division ring) tựa liên tục quasi-continuous

trực giao orthogonal vành Artin nửa đơn semisimple Artinian ring vành nửa di truyền semihereditary ring vành QF quasi Frobenius ring vành tự nội xạ self-injective ring

MỞ ĐẦU

Lý thuyết vành nói chung và lý thuyết vành kết hợp nói riêng đã xuất hiện khoảng 120 năm nay và đang được các nhà toán học tiếp tục quan tâm nghiên cứu Để nghiên cứu cấu trúc vành, chúng ta có thể đi theo hai hướng chính Hướng thứ nhất là nghiên cứu cấu trúc của vành thông qua các điều kiện bên trong (tức là nghiên cứu các iđêan một phía) và hướng thứ hai là đặc trưng vành bằng các điều kiện bên ngoài (tức là nghiên cứu các môđun trên chúng) Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu cấu trúc vành theo hướng thứ hai

Trong lý thuyết môđun, khái niệm môđun nội xạ được Baer đề xuất vào năm 1940 Theo đó, một môđun M được gọi là N-nội xạ nếu với mỗi môđun con A của N thì mọi đồng cấu f : A → M đều mở rộng được đến đồng cấu g : N → M Môđun M được gọi là nội xạ nếu M là N-nội xạ với mọi môđun N Không chỉ đưa ra khái niệm môđun nội xạ, Baer còn đưa

ra một tiêu chuẩn quan trọng để kiểm tra khi nào thì một R-môđun M là nội xạ Tiêu chuẩn đó mang tên "Tiêu chuẩn Baer" và được phát biểu như sau: Môđun MR là nội xạ nếu với mọi iđêan phải I của R, mọi đồng cấu

f : IR → MR đều mở rộng được đến đồng cấu g : RR → MR

Từ khi có tiêu chuẩn Baer ra đời, hai hướng nghiên cứu chính về sự mở rộng của môđun nội xạ đã được đề cập Đó là nghiên cứu sự mở rộng môđun nội xạ từ định nghĩa gốc và từ Tiêu chuẩn Baer Vì mục đích của luận án này, chúng tôi chỉ đề cập đến một sự mở rộng của môđun nội xạ từ định nghĩa gốc mà Johnson và Wong đã đề xuất vào năm 1961 trong [26], đó là môđun tựa nội xạ Môđun M được gọi là tựa nội xạ nếu M là M-nội xạ Môđun tựa nội xạ là một mở rộng thực sự của môđun nội xạ

Vào năm 1967, Singh và Jain đã nghiên cứu một trường hợp tổng quát của môđun tựa nội xạ, đó là môđun giả nội xạ (xem [38]) Theo đó, môđun

M được gọi là N-giả nội xạ nếu với mọi môđun con A của N thì mỗi đơn

cấu từ A vào M đều mở rộng được đến đồng cấu từ N vào M Môđun M

được gọi là giả nội xạ nếu M là M-giả nội xạ Có thể nói môđun giả nội xạ

là một khái niệm đã và đang nhận được nhiều sự quan tâm đặc biệt của các nhà nghiên cứu Các công trình tiêu biểu liên quan đến môđun giả nội xạ

có thể kể đến là Singh và Jain (1967, [38]), Hallett (1971, [21]), Teply (1975, [41]), Jain và Singh (1975, [25]), Dung-Huynh-Smith và Wisbauer (1996, [14]), Dinh (2005, [13]), Alahmadi, Er và Jain (2005, [6]) Tổng quan chung

về các nội dung được các tác giả trên nghiên cứu đối với môđun giả nội xạ bao gồm: Nghiên cứu các tính chất của môđun giả nội xạ mà tương tự các tính chất của môđun tựa nội xạ; xét xem khi nào thì một môđun giả nội xạ

sẽ là môđun tựa nội xạ; đưa ra các ví dụ để chứng tỏ tồn tại môđun giả nội

xạ mà không tựa nội xạ; nghiên cứu thêm các tính chất riêng của môđun giả nội xạ để từ đó đặc trưng một số vành quan trọng như vành Artin nửa đơn, vành QF, vành PF, vành Artin và vành Noether, vv

Cũng cần nói thêm rằng, mặc dù môđun giả nội xạ là một mở rộng của môđun tựa nội xạ nhưng nó có phải là một mở rộng thực sự hay không thì chưa ai trả lời được từ năm 1967 cho đến khi xuất hiện công trình của Hallett vào năm 1971 (xem [21]) Trong luận án tiến sĩ của mình, Hallett

đã đưa ra ví dụ về môđun giả nội xạ mà không tựa nội xạ Sau đó, vì nhiều mục đích khác nhau, Teply ([41]) cũng như Jain và Singh ([25]) đã bổ sung nhiều ví dụ khác để chứng tỏ tồn tại một môđun giả nội xạ mà không tựa nội xạ

Như một sự tất yếu của quá trình phát triển toán học, môđun giả nội xạ

ra đời với nhiều tính chất có ý nghĩa trong việc nghiên cứu lý thuyết vành

đã tạo nên động lực lớn thúc đẩy các nhà nghiên cứu tiếp tục quan tâm đến

sự mở rộng của môđun này Một số mở rộng đáng kể của lớp môđun giả nội

xạ là lớp môđun giả nội xạ cốt yếu (xem [6]), môđun nội xạ cốt yếu (xem [14]), môđun C2 (xem [14] và [32]), vv

Sự nghiên cứu của chúng tôi trong luận án này là tiếp tục nghiên cứu một số mở rộng của lớp môđun giả nội xạ để từ đó đặc trưng các vành

quen thuộc Vì vậy, chúng tôi chọn tên đề tài để nghiên cứu trong luận án

là "Một số mở rộng của lớp môđun giả nội xạ và vành liên quan"

Cấu trúc của luận án được chia thành 4 chương

Chương 1 dành để trình bày các khái niệm cơ bản và một số kết quả đã biết nhằm sử dụng cho các chương sau

Trong Chương 2, chúng tôi nghiên cứu các tính chất của môđun giả nội

xạ cốt yếu

Vào năm 2005, các tác giả Alahmadi, Er và Jain đã nghiên cứu một trường hợp tổng quát của môđun giả nội xạ, đó là môđun giả nội xạ cốt yếu (xem [6]) Theo đó, môđun M được gọi là N-giả nội xạ cốt yếu nếu với mỗi môđun con A cốt yếu của N thì mọi đơn cấu f : A → M đều mở rộng được đến đồng cấu g : N → M Môđun M được gọi là môđun giả nội xạ cốt yếu nếuM là M-giả nội xạ cốt yếu Trong [6], các tác giả đã nghiên cứu một số tính chất của môđun giả nội xạ cốt yếu và các ứng dụng của nó để đặc trưng vành Artin nửa đơn, vành QF và vành SI Mặt khác, các tác giả cũng đã chứng minh được rằng: Một môđun có chiều Goldie hữu hạn là giả nội xạ khi và chỉ khi nó là giả nội xạ cốt yếu Những kết quả đầu tiên mà chúng tôi thu được trong chương này là các đặc trưng của môđun N-giả nội

xạ cốt yếu (Mệnh đề 2.2.1, Định lý 2.2.2, Mệnh đề 2.2.6 và Định lý 2.2.7) Trong [13], tác giả đã chứng minh được rằng, mọi môđun giả nội xạ đều thỏa mãn điều kiện C2 Đối với môđun giả nội xạ cốt yếu, chúng tôi chứng minh được rằng, mọi môđun giả nội xạ cốt yếu đều thỏa mãn điều kiện C3 (Định lý 2.2.11)

Khi nghiên cứu về mối quan hệ giữa môđun giả nội xạ và tựa nội xạ,

H Q Dinh đã đặt ra câu hỏi trong [13] là: Một môđun không suy biến, giả nội xạ và CS có phải là môđun tựa nội xạ hay không? Bằng việc nghiên cứu tính chất của môđun giả nội xạ cốt yếu, chúng tôi đã chứng minh được rằng, một môđun M là tựa nội xạ nếu và chỉ nếu M là môđun giả nội xạ cốt yếu và CS (Định lý 2.2.12) Từ kết quả này, chúng tôi thu được câu trả

lời cho câu hỏi nêu trên là: Một môđun M là tựa nội xạ nếu và chỉ nếu M

là môđun giả nội xạ và CS Ngoài các tính chất của môđun giả nội xạ cốt yếu đã được đưa ra ở trên, việc nghiên cứu mối quan hệ giữa môđun giả nội xạ cốt yếu và vành các tự đồng cấu của nó cũng được chúng tôi đề cập trong Định lý 2.2.14, đó là: Khi M là môđun tự sinh thì M là giả nội xạ cốt yếu nếu vành EndR(M ) là giả nội xạ cốt yếu phải

Cho R là một vành và Ω là lớp các R-môđun nào đó, Ω được gọi là đế mịn nếu với bất kỳ M, N ∈ Ω, chúng ta có Soc(M ) ' Soc(N ) khi và chỉ khi M ' N (xem [24]) Một môđun M được gọi là giả nội xạ cốt yếu mạnh nếu M là N-giả nội xạ cốt yếu với mọi R-môđun phải N Chúng tôi ký hiệuSE là lớp các R-môđun phải giả nội xạ cốt yếu mạnh và PR là lớp các

R-môđun phải xạ ảnh Khi đó chúng tôi chứng minh được rằng, R là vành

QF khi và chỉ khi lớp PR ∪ SE là đế mịn (Định lý 2.2.15) Trong trường hợp R là vành Artin nửa đơn thì chúng tôi thu được kết quả: R là Artin nửa đơn khi và chỉ khi lớp tất cả các R-môđun giả nội xạ cốt yếu là đế mịn khi và chỉ khi lớp SE là đế mịn (Định lý 2.2.16) Ngoài các tính chất liên quan đến vành Artin nửa đơn nói trên, việc nghiên cứu các tính chất của môđun giả nội xạ cốt yếu liên quan đến vành Noether, vành đối nửa đơn và

mở rộng vành cũng được chúng tôi đề cập trong Định lý 2.2.17 và Định lý 2.2.18

Trong Chương 3, chúng tôi nghiên cứu một trường hợp mở rộng của môđun ADS, đó là: Môđun ADS tổng quát

Vào năm 2012, Alahmadi, Jain và Leroy đã quan tâm nghiên cứu môđun ADS Theo đó, một R-môđun phải M được gọi là ADS nếu với mỗi sự phân tích M = S ⊕ T và với mỗi phần bù giao T0 của S thì M = S ⊕ T0 (xem [7]) Trong công trình của mình, các tác giả trên đã chỉ ra được rằng, khái niệm môđun ADS là một mở rộng thực sự của môđun tựa liên tục Nhiều kết quả thú vị liên quan đến môđun này đã được nghiên cứu trong [7] và [35] Có một tính chất của môđun giả nội xạ cốt yếu liên quan mật thiết đến định nghĩa của môđun ADS mà chúng tôi quan tâm, đó là: Nếu M và N là

các môđun và X = N ⊕ M thì N là M-giả nội xạ cốt yếu nếu và chỉ nếu với bất kỳ phần bù giao K của N trong X mà K ∩ M = 0 thì X = N ⊕ K

(xem [6]) Từ mối liên quan này, chúng tôi đề xuất một mở rộng của môđun ADS, đó là môđun ADS tổng quát Một môđun M được gọi là ADS tổng quát nếu với mỗi sự phân tích M = S ⊕ T của M và mỗi phần bù giao T0

của S mà T0∩ T = 0 thì M = S ⊕ T0 Lớp môđun ADS tổng quát là một

mở rộng thực sự của lớp các môđun ADS (Ví dụ 3.1.2) Trong [7], các tác giả đã chứng minh được rằng, nếu M là môđun ADS thì với bất kỳ sự phân tích M = A ⊕ B, ta luôn có A và B là nội xạ tương hỗ Đối với môđun ADS tổng quát, chúng tôi chỉ ra được rằng, môđun M là ADS tổng quát thì với bất kỳ sự phân tích M = A ⊕ B, ta luôn có A và B là giả nội xạ cốt yếu tương hỗ (Định lý 3.2.1) Nhiều kết quả chúng tôi thu được đối với môđun ADS tổng quát là tương tự với các kết quả của môđun ADS trong [35] Tuy nhiên, cũng có một số kết quả trong môđun ADS không còn đúng nữa đối với môđun ADS tổng quát Chẳng hạn, để hạng tử trực tiếp của môđun ADS tổng quát là ADS tổng quát thì chúng tôi cần thêm một số điều kiện như môđun M phải là môđun phân phối hoặc hạng tử trực tiếp của môđun M phải thỏa mãn điều kiện CS (Mệnh đề 3.2.6)

Trong [35], các tác giả đã chứng minh được rằng, M là nửa đơn nếu và chỉ nếu mỗi môđun trongσ[M ] là ADS nếu và chỉ nếu mỗi môđun hữu hạn sinh trong σ[M ] là ADS nếu và chỉ nếu mỗi môđun 2-sinh trong σ[M ] là ADS Đối với môđun ADS tổng quát chúng tôi chứng minh được rằng, M

là nửa đơn nếu và chỉ nếu mỗi môđun trong σ[M ] là ADS tổng quát nếu và chỉ nếu mỗi môđun hữu hạn sinh trong σ[M ] là ADS tổng quát nếu và chỉ nếu mỗi môđun 3-sinh trong σ[M ] là ADS tổng quát (Định lý 3.2.10) Do

đó, một vành R là Artin nửa đơn khi và chỉ khi mỗi R-môđun phải là ADS tổng quát khi và chỉ khi mỗi R-môđun phải hữu hạn sinh là ADS tổng quát khi và chỉ khi mỗi R-môđun phải 3-sinh là ADS tổng quát (Hệ quả 3.2.11) Đối với trường hợp môđun 2-sinh trong σ[M ], chúng tôi đã chỉ ra rằng, một môđun xiclic M là nửa đơn khi và chỉ khi mỗi môđun 2-sinh trong σ[M ] là