Một số mở rộng của lớp môđun giả nội xạ và vành liên quan

Tổng quan chung về các nội dung được các tác giả trên nghiên cứu đối với môđun giả nội xạbao gồm: Nghiên cứu các tính chất của môđun giả nội xạ mà tương tự cáctính chất của môđun tựa nội

ĐẠI HỌC HUẾTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHAN THẾ HẢI

MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA LỚP MÔĐUN GIẢ NỘI XẠ

VÀ VÀNH LIÊN QUAN

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học 1: GS.TS LÊ VĂN THUYẾTNgười hướng dẫn khoa học 2: TS BÀNH ĐỨC DŨNG

HUẾ - NĂM 2016

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi được viết riênghoặc viết chung với các đồng tác giả Các kết quả nghiên cứu nêu trongluận án là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từngđược công bố trong bất kỳ công trình nào khác

PHAN THẾ HẢI

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến hai người Thầyhướng dẫn là GS.TS Lê Văn Thuyết, Đại học Huế và TS Bành Đức Dũng,Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP Hồ Chí Minh, những người Thầy rấtnghiêm khắc nhưng mẫu mực, những người luôn tận tình dạy bảo, hướngdẫn, cổ vũ và động viên tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu củamình

Tôi xin trân trọng cảm ơn Khoa Toán và Phòng Sau đại học của TrườngĐại học Sư phạm-Đại học Huế; Ban Đào tạo Đại học Huế; Trường Cao đẳng

Sư phạm Bà Rịa-Vũng Tàu đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi được họctập, nghiên cứu và hoàn thành chương trình nghiên cứu sinh của mình.Tôi xin cảm ơn Khoa Toán, Trường Đại học công nghệ Gebze, Thổ Nhĩ

Kỳ và Khoa Đại số-Logic Toán thuộc Viện Toán-Cơ Lobachevsky, TrườngĐại học Kazan, Liên bang Nga đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi được sangthực tập, nghiên cứu trong thời gian từ 20/4/2015 đến 20/6/2015 (tại ThổNhĩ Kỳ) và từ 01/5/2016 đến 06/7/2016 (tại Liên bang Nga)

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới TS Trương Công Quỳnh, TrườngĐại học Sư phạm-Đại học Đà Nẵng đã có sự nhiệt tình giúp đỡ và trao đổichuyên môn trong quá trình học tập, nghiên cứu cũng như quá trình viết

và chỉnh sửa luận án

Tôi xin chân thành cảm ơn tất cả bạn bè và các anh chị em nghiên cứusinh đã luôn động viên và cổ vũ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu.Cuối cùng, tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn vô hạn đến đại gia đình của tôi

đã đồng cảm và chia sẻ những khó khăn trong suốt thời gian tôi làm nghiêncứu sinh và hoàn thành luận án Cảm ơn sự hy sinh của vợ và hai con, chính

họ là chỗ dựa tinh thần vững chắc giúp tôi vượt qua mọi khó khăn để hoànthành luận án này

PHAN THẾ HẢI

MỤC LỤC

1.1 Một số kí hiệu và khái niệm cơ bản 161.2 Môđun nội xạ, xạ ảnh và một số mở rộng của môđun nội xạ 191.3 Vành Artin, Noether và một số lớp vành quan trọng khác 231.4 Môđun nửa đơn và vành Artin nửa đơn 26

2.1 Định nghĩa và ví dụ 302.2 Các kết quả liên quan đến môđun giả nội xạ cốt yếu 32

3.1 Định nghĩa và ví dụ 483.2 Các kết quả liên quan đến môđun ADS tổng quát 50

4.1 Môđun thỏa mãn điều kiện (C) 644.2 Đặc trưng của một số lớp vành thông qua môđun thỏa mãn

điều kiện (C) 82

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

[1] Tài liệu số 1 ở mục "Tài liệu tham khảo"

N Tập hợp các số tự nhiên

Q, R Trường các số hữu tỷ, số thực (tương ứng)

|X| Bản số của tập hợp X

E(M ) Bao nội xạ của môđun M

EndR(M ) Vành các tự đồng cấu của R-môđun M

Im(f ), Ker(f ) Ảnh, hạt nhân của đồng cấu f (tương ứng)

Mn(R) Vành ma trận vuông cấp n lấy các hệ tử trên vành R

MR (RM ) M là một R-môđun phải, trái (tương ứng)

M (tích trực tiếp của |I| bản sao của môđun M)

N ≤ M N là môđun con của môđun M

N < M N là môđun con thực sự của môđun M

N ≤e M N là môđun con cốt yếu (hay lớn) của môđun M

N  M N là môđun con đối cốt yếu (hay bé) của môđun M

N ≤⊕ M N là hạng tử trực tiếp của môđun M

N ' M N đẳng cấu với môđun M

N ⊕ M Tổng trực tiếp của môđun N và môđun M

rR(X), lR(X) Linh hóa tử phải và trái của tập hợp X trong RR[x] Vành đa thức trên vành R

Rad(M ), J (R) Căn của môđun M, căn của vành R (tương ứng)

Soc(M ) Đế của môđun M

Sr, Sl Soc(RR), Soc(RR)

DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ

bất biến đầy đủ fully invariant

bất biến đẳng cấu automorphism-invariant

điều kiện dây chuyền giảm Descending Chain Condition

điều kiện dây chuyền tăng Ascending Chain Condition

giả nội xạ cốt yếu essentially pseudo-injective

giả nội xạ cốt yếu mạnh strongly essentially pseudo-injectivehạng tử trực tiếp direct summand

M được sinh con bởi N M is subgenerated by N

M là một vật sinh con của N M is a subgenerator for N

THUẬT NGỮ TIẾNG ANH

M sinh ra N M generates N

môđun cốt yếu (lớn) (large) essential module

môđun đối cốt yếu (bé) (small) superfluous modulemôđun mở rộng extending module

môđun trung thành faithful module

môđun tự do free module

môđun tự nội xạ self-injective module

môđun tựa nội xạ quasi-injective module

môđun tự sinh self-generator module

mở rộng cốt yếu essential extension

N-giả nội xạ pseudo-N-injective

N-giả nội xạ cốt yếu essentially pseudo N-injective

N-nửa xạ ảnh semi-N-projective

nội xạ tương hỗ (relative) mutually injective

nửa xạ ảnh semi projective

phần bù giao complement

thể (vành chia) skew field (division ring)tựa liên tục quasi-continuous

vành Artin nửa đơn semisimple Artinian ringvành nửa di truyền semihereditary ring

vành QF quasi Frobenius ring

vành tự nội xạ self-injective ring

MỞ ĐẦU

Lý thuyết vành nói chung và lý thuyết vành kết hợp nói riêng đã xuấthiện khoảng 120 năm nay và đang được các nhà toán học tiếp tục quan tâmnghiên cứu Để nghiên cứu cấu trúc vành, chúng ta có thể đi theo hai hướngchính Hướng thứ nhất là nghiên cứu cấu trúc của vành thông qua các điềukiện bên trong (tức là nghiên cứu các iđêan một phía) và hướng thứ hai làđặc trưng vành bằng các điều kiện bên ngoài (tức là nghiên cứu các môđuntrên chúng) Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu cấu trúc vành theohướng thứ hai

Trong lý thuyết môđun, khái niệm môđun nội xạ được Baer đề xuấtvào năm 1940 Theo đó, một môđun M được gọi là N-nội xạ nếu với mỗimôđun con A của N thì mọi đồng cấu f : A → M đều mở rộng được đếnđồng cấu g : N → M Môđun M được gọi là nội xạ nếu M là N-nội xạ vớimọi môđun N Không chỉ đưa ra khái niệm môđun nội xạ, Baer còn đưa

ra một tiêu chuẩn quan trọng để kiểm tra khi nào thì một R-môđun M lànội xạ Tiêu chuẩn đó mang tên "Tiêu chuẩn Baer" và được phát biểu nhưsau: Môđun MR là nội xạ nếu với mọi iđêan phải I của R, mọi đồng cấu

f : IR → MR đều mở rộng được đến đồng cấu g : RR → MR

Từ khi có tiêu chuẩn Baer ra đời, hai hướng nghiên cứu chính về sự mởrộng của môđun nội xạ đã được đề cập Đó là nghiên cứu sự mở rộng môđunnội xạ từ định nghĩa gốc và từ Tiêu chuẩn Baer Vì mục đích của luận ánnày, chúng tôi chỉ đề cập đến một sự mở rộng của môđun nội xạ từ địnhnghĩa gốc mà Johnson và Wong đã đề xuất vào năm 1961 trong [26], đó làmôđun tựa nội xạ Môđun M được gọi là tựa nội xạ nếu M là M-nội xạ.Môđun tựa nội xạ là một mở rộng thực sự của môđun nội xạ

Vào năm 1967, Singh và Jain đã nghiên cứu một trường hợp tổng quátcủa môđun tựa nội xạ, đó là môđun giả nội xạ (xem [38]) Theo đó, môđun

M được gọi là N-giả nội xạ nếu với mọi môđun con A của N thì mỗi đơn

cấu từ A vào M đều mở rộng được đến đồng cấu từ N vào M Môđun M

được gọi là giả nội xạ nếu M là M-giả nội xạ Có thể nói môđun giả nội xạ

là một khái niệm đã và đang nhận được nhiều sự quan tâm đặc biệt của cácnhà nghiên cứu Các công trình tiêu biểu liên quan đến môđun giả nội xạ

có thể kể đến là Singh và Jain (1967, [38]), Hallett (1971, [21]), Teply (1975,[41]), Jain và Singh (1975, [25]), Dung-Huynh-Smith và Wisbauer (1996,[14]), Dinh (2005, [13]), Alahmadi, Er và Jain (2005, [6]) Tổng quan chung

về các nội dung được các tác giả trên nghiên cứu đối với môđun giả nội xạbao gồm: Nghiên cứu các tính chất của môđun giả nội xạ mà tương tự cáctính chất của môđun tựa nội xạ; xét xem khi nào thì một môđun giả nội xạ

sẽ là môđun tựa nội xạ; đưa ra các ví dụ để chứng tỏ tồn tại môđun giả nội

xạ mà không tựa nội xạ; nghiên cứu thêm các tính chất riêng của môđungiả nội xạ để từ đó đặc trưng một số vành quan trọng như vành Artin nửađơn, vành QF, vành PF, vành Artin và vành Noether, vv

Cũng cần nói thêm rằng, mặc dù môđun giả nội xạ là một mở rộng củamôđun tựa nội xạ nhưng nó có phải là một mở rộng thực sự hay khôngthì chưa ai trả lời được từ năm 1967 cho đến khi xuất hiện công trình củaHallett vào năm 1971 (xem [21]) Trong luận án tiến sĩ của mình, Hallett

đã đưa ra ví dụ về môđun giả nội xạ mà không tựa nội xạ Sau đó, vì nhiềumục đích khác nhau, Teply ([41]) cũng như Jain và Singh ([25]) đã bổ sungnhiều ví dụ khác để chứng tỏ tồn tại một môđun giả nội xạ mà không tựanội xạ

Như một sự tất yếu của quá trình phát triển toán học, môđun giả nội xạ

ra đời với nhiều tính chất có ý nghĩa trong việc nghiên cứu lý thuyết vành

đã tạo nên động lực lớn thúc đẩy các nhà nghiên cứu tiếp tục quan tâm đến

sự mở rộng của môđun này Một số mở rộng đáng kể của lớp môđun giả nội

xạ là lớp môđun giả nội xạ cốt yếu (xem [6]), môđun nội xạ cốt yếu (xem[14]), môđun C2 (xem [14] và [32]), vv

Sự nghiên cứu của chúng tôi trong luận án này là tiếp tục nghiên cứumột số mở rộng của lớp môđun giả nội xạ để từ đó đặc trưng các vành

quen thuộc Vì vậy, chúng tôi chọn tên đề tài để nghiên cứu trong luận án

là "Một số mở rộng của lớp môđun giả nội xạ và vành liên quan".Cấu trúc của luận án được chia thành 4 chương

Chương 1 dành để trình bày các khái niệm cơ bản và một số kết quả đãbiết nhằm sử dụng cho các chương sau

Trong Chương 2, chúng tôi nghiên cứu các tính chất của môđun giả nội

xạ cốt yếu

Vào năm 2005, các tác giả Alahmadi, Er và Jain đã nghiên cứu mộttrường hợp tổng quát của môđun giả nội xạ, đó là môđun giả nội xạ cốtyếu (xem [6]) Theo đó, môđun M được gọi là N-giả nội xạ cốt yếu nếu vớimỗi môđun con A cốt yếu của N thì mọi đơn cấu f : A → M đều mở rộngđược đến đồng cấu g : N → M Môđun M được gọi là môđun giả nội xạcốt yếu nếuM là M-giả nội xạ cốt yếu Trong [6], các tác giả đã nghiên cứumột số tính chất của môđun giả nội xạ cốt yếu và các ứng dụng của nó đểđặc trưng vành Artin nửa đơn, vành QF và vành SI Mặt khác, các tác giảcũng đã chứng minh được rằng: Một môđun có chiều Goldie hữu hạn là giảnội xạ khi và chỉ khi nó là giả nội xạ cốt yếu Những kết quả đầu tiên màchúng tôi thu được trong chương này là các đặc trưng của môđun N-giả nội

xạ cốt yếu (Mệnh đề 2.2.1, Định lý 2.2.2, Mệnh đề 2.2.6 và Định lý 2.2.7).Trong [13], tác giả đã chứng minh được rằng, mọi môđun giả nội xạ đềuthỏa mãn điều kiện C2 Đối với môđun giả nội xạ cốt yếu, chúng tôi chứngminh được rằng, mọi môđun giả nội xạ cốt yếu đều thỏa mãn điều kiện C3(Định lý 2.2.11)

Khi nghiên cứu về mối quan hệ giữa môđun giả nội xạ và tựa nội xạ,

H Q Dinh đã đặt ra câu hỏi trong [13] là: Một môđun không suy biến, giảnội xạ và CS có phải là môđun tựa nội xạ hay không? Bằng việc nghiêncứu tính chất của môđun giả nội xạ cốt yếu, chúng tôi đã chứng minh đượcrằng, một môđun M là tựa nội xạ nếu và chỉ nếu M là môđun giả nội xạcốt yếu và CS (Định lý 2.2.12) Từ kết quả này, chúng tôi thu được câu trả

lời cho câu hỏi nêu trên là: Một môđun M là tựa nội xạ nếu và chỉ nếu M

là môđun giả nội xạ và CS Ngoài các tính chất của môđun giả nội xạ cốtyếu đã được đưa ra ở trên, việc nghiên cứu mối quan hệ giữa môđun giảnội xạ cốt yếu và vành các tự đồng cấu của nó cũng được chúng tôi đề cậptrong Định lý 2.2.14, đó là: Khi M là môđun tự sinh thì M là giả nội xạcốt yếu nếu vành EndR(M ) là giả nội xạ cốt yếu phải

Cho R là một vành và Ω là lớp các R-môđun nào đó, Ω được gọi là đếmịn nếu với bất kỳ M, N ∈ Ω, chúng ta có Soc(M ) ' Soc(N ) khi và chỉkhi M ' N (xem [24]) Một môđun M được gọi là giả nội xạ cốt yếu mạnhnếu M là N-giả nội xạ cốt yếu với mọi R-môđun phải N Chúng tôi kýhiệuSE là lớp các R-môđun phải giả nội xạ cốt yếu mạnh và PR là lớp các

R-môđun phải xạ ảnh Khi đó chúng tôi chứng minh được rằng, R là vành

QF khi và chỉ khi lớp PR ∪ SE là đế mịn (Định lý 2.2.15) Trong trườnghợp R là vành Artin nửa đơn thì chúng tôi thu được kết quả: R là Artinnửa đơn khi và chỉ khi lớp tất cả các R-môđun giả nội xạ cốt yếu là đế mịnkhi và chỉ khi lớp SE là đế mịn (Định lý 2.2.16) Ngoài các tính chất liênquan đến vành Artin nửa đơn nói trên, việc nghiên cứu các tính chất củamôđun giả nội xạ cốt yếu liên quan đến vành Noether, vành đối nửa đơn và

mở rộng vành cũng được chúng tôi đề cập trong Định lý 2.2.17 và Định lý2.2.18

Trong Chương 3, chúng tôi nghiên cứu một trường hợp mở rộng củamôđun ADS, đó là: Môđun ADS tổng quát

Vào năm 2012, Alahmadi, Jain và Leroy đã quan tâm nghiên cứu môđunADS Theo đó, một R-môđun phải M được gọi là ADS nếu với mỗi sự phântích M = S ⊕ T và với mỗi phần bù giao T0 của S thì M = S ⊕ T0 (xem[7]) Trong công trình của mình, các tác giả trên đã chỉ ra được rằng, kháiniệm môđun ADS là một mở rộng thực sự của môđun tựa liên tục Nhiềukết quả thú vị liên quan đến môđun này đã được nghiên cứu trong [7] và[35] Có một tính chất của môđun giả nội xạ cốt yếu liên quan mật thiết đếnđịnh nghĩa của môđun ADS mà chúng tôi quan tâm, đó là: Nếu M và N là

các môđun và X = N ⊕ M thì N là M-giả nội xạ cốt yếu nếu và chỉ nếuvới bất kỳ phần bù giao K của N trong X mà K ∩ M = 0 thì X = N ⊕ K

(xem [6]) Từ mối liên quan này, chúng tôi đề xuất một mở rộng của môđunADS, đó là môđun ADS tổng quát Một môđun M được gọi là ADS tổngquát nếu với mỗi sự phân tích M = S ⊕ T của M và mỗi phần bù giao T0

của S mà T0∩ T = 0 thì M = S ⊕ T0 Lớp môđun ADS tổng quát là một

mở rộng thực sự của lớp các môđun ADS (Ví dụ 3.1.2) Trong [7], các tácgiả đã chứng minh được rằng, nếu M là môđun ADS thì với bất kỳ sự phântích M = A ⊕ B, ta luôn có A và B là nội xạ tương hỗ Đối với môđunADS tổng quát, chúng tôi chỉ ra được rằng, môđun M là ADS tổng quátthì với bất kỳ sự phân tích M = A ⊕ B, ta luôn có A và B là giả nội xạcốt yếu tương hỗ (Định lý 3.2.1) Nhiều kết quả chúng tôi thu được đối vớimôđun ADS tổng quát là tương tự với các kết quả của môđun ADS trong[35] Tuy nhiên, cũng có một số kết quả trong môđun ADS không còn đúngnữa đối với môđun ADS tổng quát Chẳng hạn, để hạng tử trực tiếp củamôđun ADS tổng quát là ADS tổng quát thì chúng tôi cần thêm một sốđiều kiện như môđun M phải là môđun phân phối hoặc hạng tử trực tiếpcủa môđun M phải thỏa mãn điều kiện CS (Mệnh đề 3.2.6)

Trong [35], các tác giả đã chứng minh được rằng, M là nửa đơn nếu vàchỉ nếu mỗi môđun trongσ[M ] là ADS nếu và chỉ nếu mỗi môđun hữu hạnsinh trong σ[M ] là ADS nếu và chỉ nếu mỗi môđun 2-sinh trong σ[M ] làADS Đối với môđun ADS tổng quát chúng tôi chứng minh được rằng, M

là nửa đơn nếu và chỉ nếu mỗi môđun trong σ[M ] là ADS tổng quát nếu vàchỉ nếu mỗi môđun hữu hạn sinh trong σ[M ] là ADS tổng quát nếu và chỉnếu mỗi môđun 3-sinh trong σ[M ] là ADS tổng quát (Định lý 3.2.10) Do

đó, một vành R là Artin nửa đơn khi và chỉ khi mỗi R-môđun phải là ADStổng quát khi và chỉ khi mỗi R-môđun phải hữu hạn sinh là ADS tổng quátkhi và chỉ khi mỗi R-môđun phải 3-sinh là ADS tổng quát (Hệ quả 3.2.11).Đối với trường hợp môđun 2-sinh trong σ[M ], chúng tôi đã chỉ ra rằng, mộtmôđun xiclic M là nửa đơn khi và chỉ khi mỗi môđun 2-sinh trong σ[M ] là

ADS tổng quát (Mệnh đề 3.2.12) Từ kết quả này, chúng tôi thu lại được kếtquả trong [35], đó là: R là vành Artin nửa đơn khi và chỉ khi mỗi R-môđunphải 2-sinh là ADS Mối quan hệ giữa môđun ADS tổng quát với môđuntựa nội xạ được chúng tôi quan tâm trong Định lý 3.2.14 Trong phần cuốicủa chương này, cũng giống như môđun giả nội xạ cốt yếu, một kết quả liênquan đến mở rộng vành ADS tổng quát được chúng tôi nghiên cứu trongĐịnh lý 3.2.15.

Trong Chương 4, chúng tôi nghiên cứu một trường hợp mở rộng củamôđun C2, đó là: Môđun thỏa mãn điều kiện (C) Việc nghiên cứu lớpmôđun thỏa mãn điều kiện (C) cho chúng tôi thu được một số kết quả để

từ đó đặc trưng một số lớp vành quen thuộc

Như chúng ta đều biết, vành QF (hay còn gọi là tựa Frobenius) đượcNakayama giới thiệu vào năm 1939, đó là vành Artin hai phía và tự nội xạhai phía Một trong những kết quả đẹp đẽ về mối quan hệ giữa môđun xạảnh và môđun nội xạ liên quan đến vành QF là định lý Faith-Walker Định

lý được phát biểu rằng: Vành R là QF khi và chỉ khi mọi R-môđun phải(trái) nội xạ là xạ ảnh, khi và chỉ khi mọi R-môđun phải (trái) xạ ảnh lànội xạ Nhiều đặc trưng khác cho một vành là QF đã được nhiều nhà toánhọc quan tâm nghiên cứu Cuốn sách chuyên khảo [33] được xem là cuốnsách chứa đầy đủ thông tin nhất về vành QF Vào năm 1967, Faith-Walker

đã chứng minh được rằng, vành R là QF khi và chỉ khi mọi R-môđun phải(trái) nhúng được vào một môđun tự do Như vậy, nếu mỗi R-môđun phảinhúng được vào một môđun tự do thì R là vành QF Một câu hỏi đượcđưa ra ở đây là: Nếu mỗi R-môđun phải hữu hạn sinh nhúng được vào mộtmôđun tự do thì R có phải là vành QF hay không? Vành R mà mỗi R-môđun phải hữu hạn sinh nhúng được vào một môđun tự do thì được gọi

là vành FGF Do đó, câu hỏi mà chúng ta vừa đề cập có thể viết ngắn gọnlại là: Vành FGF có phải là vành QF hay không? Câu hỏi này chính là giảthuyết FGF nổi tiếng mà đến nay vẫn chưa có câu trả lời Trong [33], cáctác giả đã chứng minh được rằng, nếu R là vành FGF và C2 thì R là vành

QF Như vậy, việc nghiên cứu môđun C2 và các mở rộng của nó được hyvọng là sẽ góp phần làm sáng tỏ giả thuyết FGF nói trên.

Theo [33] thì các khái niệm về vành thỏa mãn các điều kiện C1, C2 vàC3 được đề xuất bởi Utumi vào năm 1961 Sau đó việc mở rộng tới cácmôđun lần lượt thuộc về Jeremy đối với môđun C1 (năm 1971), Takeuchiđối với môđun C2 (năm 1972), Mohammed và Bouhy đối với môđun C3(năm 1976)

Cho M là một môđun và S = EndR(M ) Trong Bổ đề 4.1.1, chúng tôichứng minh được rằng, môđun M là môđun C2 nếu và chỉ nếu với bất kỳ

s ∈ S, mà Ker(s) là hạng tử trực tiếp của M thì Im(s) là hạng tử trực tiếpcủa M Từ kết quả này, chúng tôi đề xuất một mở rộng của môđun C2,

đó là môđun thỏa mãn điều kiện (C) Một môđun M được gọi là thỏa mãnđiều kiện (C) nếu với mỗi s ∈ S và s 6= 0, tồn tại n ∈ N sao cho sn 6= 0 vànếu Ker(sn) là hạng tử trực tiếp của M thì Im(sn) là hạng tử trực tiếp của

M Một vành R được gọi là thỏa mãn điều kiện (C) phải nếu RR là môđunthỏa mãn điều kiện (C) Một số mệnh đề tương đương với một môđun thỏamãn điều kiện (C) đã được chúng tôi đưa ra trong Định lý 4.1.10 và điềukiện đủ cho một môđun thỏa mãn điều kiện (C) cũng đã được chúng tôi đềcập trong Mệnh đề 4.1.11 Từ định nghĩa của môđun thỏa mãn điều kiện

(C), chúng ta có mọi môđun C2 đều thỏa mãn điều kiện(C) Khi môđun M

có vành các tự đồng cấu S = EndR(M ) là vành địa phương thì chúng tôichứng minh được 2 lớp môđun này là trùng nhau (Mệnh đề 4.1.7) Đối vớimôđun C2 thì hạng tử trực tiếp của môđun C2 cũng là môđun C2 TrongĐịnh lý 4.1.12, chúng tôi cũng chứng minh được rằng, hạng tử trực tiếp củamôđun thỏa mãn điều kiện (C) cũng là môđun thỏa mãn điều kiện (C).Khi M là một môđun thỏa mãn điều kiện (C) mà có sự phân tích

M = A1⊕A2 thì trong Mệnh đề 4.1.13, chúng tôi chứng minh được rằng, nếu

f : A1 → A2 là một R-đồng cấu thỏa mãn Ker(f ) ≤⊕ A1 thì Im(f ) ≤⊕ A2

Từ mệnh đề này, chúng tôi thu được một hệ quả về mối liên hệ giữa môđunthỏa mãn điều kiện (C) và môđun C2 là: Nếu M ⊕ M là một môđun thỏa

mãn điều kiện (C) thì M là môđun C2 (Hệ quả 4.1.15).

Về mối quan hệ giữa môđun thỏa mãn điều kiện (C) và vành các tựđồng cấu S = EndR(M ) của nó, chúng tôi chứng minh được rằng, nếu M

là môđun tự sinh thì M thỏa mãn điều kiện (C) khi và chỉ khi S là vànhthỏa mãn điều kiện (C) phải (Định lý 4.1.17)

Trong [30] và [31], các tác giả Lee, Rizvi và Roman đã đưa ra các kháiniệm môđun Rickart và d-Rickart như sau: Một môđun M được gọi làRickart nếu ∀s ∈ S thì Ker(s) = e(M ) với e2 = e ∈ S và M được gọi làd-Rickart nếu ∀s ∈ S thì Im(s) = e(M ) với e2 = e ∈ S Mối liên hệ giữamôđun M với tính chính quy của vành các tự đồng cấuS = EndR(M ) cũng

đã được các tác giả trên đưa ra trong [30] và [31] Theo đó, S là vành chínhquy khi và chỉ khi M là môđun Rickart và thỏa mãn điều kiện C2 khi vàchỉ khi M là môđun d-Rickart và thỏa mãn điều kiện D2 Đối với môđunthỏa mãn điều kiện (C), chúng tôi cũng chứng minh được rằng, S là vànhchính quy khi và chỉ khi M là môđun Rickart và thỏa mãn điều kiện (C) khi

và chỉ khi M là môđun d-Rickart và s(M ) là M-nửa xạ ảnh với mọi s ∈ S

(Định lý 4.1.21)

Việc nghiên cứu môđun thỏa mãn điều kiện (C) để đặc trưng vành đượcchúng tôi quan tâm trong phần cuối của luận án này Khi R là vành chínhquy (theo nghĩa von Neumann), một số tính chất của R-môđun thỏa mãnđiều kiện (C) được chúng tôi đưa ra trong Định lý 4.2.2 Khi R là vành ditruyền, một kết quả quan trọng đã biết là, vành R là di truyền nếu và chỉnếu mỗi môđun thương của mộtR-môđun phải nội xạ là nội xạ Trong Định

lý 4.2.4, chúng tôi chứng minh được rằng R là vành di truyền phải nếu vàchỉ nếu mỗi môđun thương của một R-môđun phải nội xạ là môđun thỏamãn điều kiện (C) Chúng tôi cũng thu được một số kết quả về việc đặctrưng vành Noether đối với môđun thỏa mãn điều kiện (C) trong Định lý4.2.5 Cuối cùng, các đặc trưng liên quan đến vành nửa Artin được chúngtôi nghiên cứu trong Định lý 4.2.6

CHƯƠNG 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong luận án này, nếu không nói gì thêm, vành R đã cho luôn được giảthiết là vành kết hợp, có đơn vị 1 6= 0 và mọi R-môđun được xét là môđununita phải hoặc trái

1.1 Một số kí hiệu và khái niệm cơ bản

Trước hết, chúng tôi giới thiệu những ký hiệu, khái niệm và các tínhchất cơ bản sẽ được sử dụng trong luận án Những khái niệm và kết quả

cơ bản liên quan đến luận án mà không được giới thiệu ở đây chúng ta cóthể tham khảo trong các tài liệu của Anderson-Fuller ([10]), Dung-Huynh-Smith-Wisbauer ([14]), Kasch ([28]), Lam ([29]), Nicholson-Yousif ([33]) vàWisbauer ([42])

Với vành R đã cho, ta viết MR (RM ) để chỉ M là một R-môđun phải(t.ư., trái) Trong một ngữ cảnh cụ thể của luận án, khi không sợ nhầm lẫn

về phía của môđun, để đơn giản ta viết môđun M thay vì MR Chúng tôidùng các ký hiệu A ≤ M (A < M ) để chỉ A là môđun con (t.ư., thực sự)của môđun M Nếu A là một hạng tử trực tiếp của môđun M thì ta viết

A ≤⊕ M Ký hiệu Mn(R) là để chỉ vành các ma trận vuông cấpnlấy các hệ

tử trên vành R Nếu I là một tập với card(I) = α và M là một môđun, ta

sẽ kí hiệu tổng trực tiếpα bản sao củaM bởiM(I) hoặcM(α), tích trực tiếp

α bản sao của M bởi MI hoặc Mα Ta ký hiệu Mod-R (R-Mod) là phạm

trù các R-môđun phải (t.ư., trái) Cho M và N là các R-môđun phải, đồngcấu từ M đến N được hiểu là đồng cấu từ R-môđun phải M đến R-môđunphải N.

Cho M là một R-môđun phải và tập ∅ 6= X ⊂ M Linh hóa tử phải của

X trong R được ký hiệu là rR(X) và được xác định như sau:

rR(X) = {r ∈ R | xr = 0 ∀x ∈ X}

Khi không sợ nhầm lẫn về vành cơ sở R chúng ta có thể viết gọn là r(X)

thay vì rR(X) Khi X = {x1, x2, , xn} thì chúng ta viết r(x1, x2, , xn)

thay vìr({x1, x2, , xn}) Ta córR(X)là một iđêan phải của vành R Hơnnữa, nếu X là môđun con của M thì rR(X)là một iđêan (phải và trái) của

R Linh hóa tử trái của X trong R được ký hiệu là lR(X) và được địnhnghĩa tương tự

Môđun MR được gọi là trung thành nếu rR(M ) = 0 Điều này tươngđương với việc tồn tại một đơn cấu ι : RR → M(X) với X là một tập chỉ sốnào đó

Cho N là một môđun con của M, khi đó môđun con K của M đượcgọi là phần bù giao của N trong M nếu K là môđun con cực đại thỏa mãnđiều kiện K ∩ N = 0 Theo [10, Proposition 5.21] thì mọi môđun con trong

M luôn tồn tại phần bù giao trong M

Môđun con A của môđun M được gọi là cốt yếu hoặc lớn trong M nếuvới mỗi môđun con khác không B của M ta đều có A ∩ B 6= 0 Khi đó,chúng ta cũng gọi M là một mở rộng cốt yếu của A và được ký hiệu là

A ≤e M Một đơn cấuf : M → N được gọi là đơn cấu cốt yếu (hoặc nhúngcốt yếu) nếu Im(f ) ≤e N Đối ngẫu với khái niệm cốt yếu, môđun con A

của môđunM được gọi là đối cốt yếu hoặc bé trongM, ký hiệu là A  M,nếu với mỗi môđun con B 6= M của M chúng ta đều có A + B 6= M Mộttoàn cấu g : M → N được gọi là toàn cấu đối cốt yếu (hoặc toàn cấu bé )nếu Ker(g)  M

Phần tử x của vành R được gọi là phần tử lũy đẳng nếu x2 = x Các

cặp phần tử lũy đẳng e1, e2 của vành R được gọi là trực giao nếu e1.e2 =

e2.e1 = 0

Một kết quả về phần tử lũy đẳng liên quan đến luận án là bổ đề sauđây:

Bổ đề 1.1.1 ([5, Lemma 5]) Cho R là một vành thỏa mãn R = ReR với

e2 = e ∈ R và M là một R-môđun phải Đặt S = eRe và giả sử L là mộtmôđun con của M Khi đó:

(1) L là cốt yếu trong M nếu và chỉ nếu Le là cốt yếu trong (M e)S

(2) L là phần bù giao của K trong M nếu và chỉ nếu Le là phần bù giaocủa Ke trong (M e)S

(3) MR = L ⊕ K nếu và chỉ nếu (M e)S = Le ⊕ Ke

ChoM vàN là cácR-môđun, theo [42, Definitions, trang 118] thì môđun

N được gọi là được sinh bởi M (M-sinh) hay M sinh ra N nếu tồn tại toàncấu f : M(Λ) → N, với tập chỉ số Λ nào đó Môđun M được gọi là tự sinhnếu nó sinh ra mọi môđun con của nó, có nghĩa là với mọi môđun con N

của M thì luôn tồn tại toàn cấu f : M(Λ) → N với tập chỉ số Λ nào đó Tanói một R-môđun phải N là được sinh con bởi M hoặc M là một vật sinhcon của N nếu N đẳng cấu với một môđun con của một môđun M-sinh

Ta ký hiệu σ[M ] là phạm trù con của phạm trù Mod-R mà các vật là các

R-môđun phải được sinh con bởi M và các cấu xạ là các đồng cấu môđun

Rõ ràng, σ[M ] là phạm trù con đầy đủ của phạm trù Mod-R

Đế phải của môđunMR được kí hiệu là Soc(MR), nó là tổng các môđuncon đơn của MR, là giao của tất cả các môđun con cốt yếu của MR Nếu

MR không chứa một môđun con đơn nào thì Soc(MR) = 0 Căn của môđun

MR được kí hiệu là Rad(MR), nó là giao của tất cả các môđun con tối đạicủa MR, là tổng tất cả các môđun con bé của MR Nếu MR không chứamôđun con tối đại nào thì ta định nghĩa Rad(MR) = MR Đặc biệt, chúng

ta đã biếtRad(RR) = Rad(RR) = J (R) Do đó không sợ nhầm lẫn, ta luôn

kí hiệu J (R) để chỉ căn Jacobson của vành R và cũng là căn của RR.Cho R-môđun M và L là lớp các môđun con nào đó của M Ta nói

L thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng, viết là ACC, nếu mọi dãy tăng

A1 ≤ A2 ≤ ≤ An ≤ các môđun thuộc L đều dừng, tức là tồn tại

n ∈ N sao cho An = An+i với mọi i ∈ N Ta nói L thỏa mãn điều kiện dây

chuyền giảm, viết là DCC, nếu mọi dãy giảm D1 ≥ D2 ≥ ≥ Dn ≥

các môđun thuộc L đều dừng, tức là tồn tại n ∈ N sao cho Dn = Dn+i vớimọi i ∈ N Một R-môđun phải M được gọi là Noether nếu tập tất cả cácmôđun con của M thỏa mãn ACC và M được gọi là môđun Artin nếu tậptất cả các môđun con của M thỏa mãn DCC

1.2 Môđun nội xạ, xạ ảnh và một số mở rộng của

môđun nội xạ

Cho M, N là các môđun, A là một môđun con của M và các đồng cấu

f : A → N, f : M → N¯ Khi đó người ta gọi f¯là một mở rộng của đồng

cấu f hoặc f mở rộng được đến đồng cấu f¯(hoặc f mở rộng được đến M)

nếu f (x) = f (x)¯ với mọi x ∈ A.

Sau đây, chúng tôi giới thiệu lớp các môđun quan trọng và có nhiều ứngdụng trong lý thuyết vành kết hợp, đó là môđun nội xạ và môđun xạ ảnh.Một môđun M được gọi là N-nội xạ nếu với mỗi môđun con A của N

thì mọi đồng cấu f : A → M đều mở rộng được đến đồng cấu g : N → M.Nếu môđun M là M-nội xạ thì M được gọi là tựa nội xạ hoặc tự nội xạ.Nếu M là N-nội xạ với mọi N ∈ Mod-R thì M được gọi là nội xạ Cácmôđun M1, , Mn được gọi là nội xạ tương hỗ nếu Mi là Mj-nội xạ vớimọi i 6= j, 1 ≤ i, j ≤ n Một kết quả về môđun nội xạ liên quan đến luận

Khi đó:

(1) M là A-nội xạ khi và chỉ khi Mi là A-nội xạ với mọi i = 1, 2, , n

(2) M là tựa nội xạ khi và chỉ khiMi là Mj-nội xạ với mọi i, j = 1, 2, , n

Mn là tựa nội xạ khi và chỉ khi M là tựa nội xạ với mọi 1 ≤ n ∈ N.

Bao nội xạ của môđun M là một môđun nội xạ N cùng với một đơncấu cốt yếu ι : M → N Lúc này, người ta vẫn thường gọi N là bao nội xạcủa M và ký hiệu là N = E(M ) Hơn nữa, mọi môđun được nhúng cốt yếuvào một môđun nội xạ nên mọi môđun luôn có bao nội xạ

Đối ngẫu với môđun nội xạ, ta có môđun P được gọi là N-xạ ảnh nếuvới mọi toàn cấu g : N → M và mỗi đồng cấu f : P → M đều tồn tại mộtđồng cấu h : P → N sao cho f = gh Môđun P được gọi là xạ ảnh nếu P

là N-xạ ảnh với mọi môđun N thuộc Mod-R

Phủ xạ ảnh của một môđun M là một môđun xạ ảnh P cùng với mộttoàn cấu đối cốt yếup : P → M Khi đó, ta vẫn thường gọi P là phủ xạ ảnhcủa M Mặc dù mọi môđun là ảnh toàn cấu của một môđun xạ ảnh nhưngmột môđun không nhất thiết có phủ xạ ảnh Vành R mà mọi R-môđun cóphủ xạ ảnh chính là vành hoàn chỉnh

Sau đây là một kết quả về bao nội xạ liên quan đến sự phân tích thànhtổng trực tiếp của các môđun:

Tiêu chuẩn Baer: Một R-môđun M là nội xạ nếu với mọi iđêan phải

I của R, mọi đồng cấu f : IR → MR đều mở rộng được đến đồng cấu

¯

f : RR → MR

Có hai hướng mở rộng chính về môđun nội xạ, đó là: Mở rộng từ địnhnghĩa gốc và mở rộng từ tiêu chuẩn Baer Các mở rộng của môđun nội xạtheo hướng từ định nghĩa gốc là môđun C-nội xạ, đế nội xạ mạnh, giả nội

xạ, FP-nội xạ, vv Các mở rộng của môđun nội xạ theo tiêu chuẩn Baer làmôđun F-nội xạ, P-nội xạ, GP-nội xạ, nội xạ cực tiểu, nội xạ bé, vv

Vì mục đích riêng của luận án, chúng tôi chỉ quan tâm đến một mở rộngcủa môđun nội xạ, đó là môđun giả nội xạ

Cho R là một vành và M, N là các R-môđun phải Khi đó, theo [25],một môđun M được gọi là N-giả nội xạ nếu với mỗi môđun con A của N

thì mọi đơn cấu f : A → M đều mở rộng được đến đồng cấu g : N → M.Môđun M được gọi là giả nội xạ nếu M là M-giả nội xạ Hai môđun M và

N được gọi là giả nội xạ tương hỗ nếu M là N-giả nội xạ và N là M-giảnội xạ Một vành R được gọi là giả nội xạ phải nếu RR là một môđun giảnội xạ

Mặt khác, theo [6], một môđun M được gọi là N-giả nội xạ cốt yếu nếuvới mỗi môđun con cốt yếu A của N thì mọi đơn cấu f : A → M đều mởrộng được đến đồng cấu g : N → M Môđun M được gọi là giả nội xạ cốtyếu nếu M là M-giả nội xạ cốt yếu Hai môđun M và N được gọi là giảnội xạ cốt yếu tương hỗ nếu M là N-giả nội xạ cốt yếu và N là M-giả nội

xạ cốt yếu Một vành R được gọi là giả nội xạ cốt yếu phải nếu RR là mộtmôđun giả nội xạ cốt yếu

Nhiều kết quả liên quan đến môđun giả nội xạ cốt yếu đã được các tácgiả Alahmadi, Er và Jain đưa ra trong [6] Tuy nhiên, vì mục đích riêng củaluận án, chúng tôi chỉ đưa ra một số kết quả sau đây:

Bổ đề 1.2.3 ([6, Proposition 2.2]) Cho M và N là các môđun và X =

N ⊕ M Khi đó, các điều kiện sau đây là tương đương:

(1) N là M-giả nội xạ cốt yếu.

(2) Với bất kỳ phần bù giao K của N trong X mà K ∩ M = 0 thì X =

L -giả nội xạ cốt yếu với mọi môđun con L của M.

Bổ đề 1.2.6 ([6, Theorem 2.7]) Nếu M ⊕ N là M-giả nội xạ cốt yếu thì

N là M-nội xạ

Vào năm 1961, trong công trình của mình, Utumi đã định nghĩa về cácvành thỏa mãn các điều kiện C1, C2 và C3 Sau đó, việc mở rộng từ các vànhC1, C2 và C3 sang môđun lần lượt thuộc về Jeremy, Takeuchi, Mohammed

và Bouhy Để giới thiệu các khái niệm về môđun C1, C2, C3 và các mởrộng của nó, trước tiên, chúng tôi nhắc lại một số điều kiện sau đây đối vớimôđun:

Điều kiện C1 (hoặc điều kiện CS): Với mọi môđun con A của M, tồntại một hạng tử trực tiếp B của M thỏa mãn A ≤e B

Điều kiện C2 : Nếu môđun con Acủa M đẳng cấu với một hạng tử trựctiếp của M thì A cũng là một hạng tử trực tiếp của M

Điều kiện C3 : Nếu A và B là hai hạng tử trực tiếp của M thỏa mãn

A ∩ B = 0 thì A ⊕ B cũng là một hạng tử trực tiếp của M

Định nghĩa 1.2.7 Cho M là một môđun Khi đó:

(1) Môđun M được gọi là C1 nếu M thỏa mãn điều kiện C1 Môđun C1còn được gọi là môđun CS hoặc môđun mở rộng

(2) Môđun M được gọi là C2 nếu M thỏa mãn điều kiện C2 Môđun C2còn được gọi là môđun nội xạ trực tiếp.

(3) Môđun M được gọi là C3 nếu M thỏa mãn điều kiện C3

(4) Môđun M được gọi là liên tục nếu M thỏa mãn các điều kiện C1 vàC2

(5) Môđun M được gọi là tựa liên tục nếu M thỏa mãn các điều kiện C1

và C3 Môđun tựa liên tục còn được gọi là môđun π-nội xạ

Cuối cùng, một khái niệm liên quan đến luận án mà đã được Alahmadi,Jain và Leroy đề xuất vào năm 2012, đó là môđun ADS Theo đó, một R-môđun phải M được gọi là ADS nếu với mỗi sự phân tích M = S ⊕ T vàvới mỗi phần bù giao T0 của S, chúng ta có M = S ⊕ T0 (xem [7]) Nhiềukết quả về môđun ADS đã được các tác giả nghiên cứu trong [7] và [35]

1.3 Vành Artin, Noether và một số lớp vành quan

trọng khác

Định nghĩa 1.3.1 Vành R được gọi là Artin phải, Noether phải nếu RR

là môđun Artin, Noether (tương ứng)

Định lý 1.3.2 ([28, Theorem 6.5.1]) Các điều kiện sau đây là tương đươngđối với vành R:

(1) R là vành Noether phải

(2) Mỗi tổng trực tiếp của các R-môđun phải nội xạ là nội xạ

(3) Mỗi tổng trực tiếp đếm được các bao nội xạ của các R-môđun phải đơn

là nội xạ

Định nghĩa 1.3.3 Một vành R được gọi là địa phương nếu R có duy nhấtmột iđêan phải (hoặc trái) cực đại

Một kết quả của vành địa phương liên quan đến sự phân tích của mộtmôđun thành tổng trực tiếp của các môđun con mà được sử dụng trongluận án là bổ đề sau đây:

Bổ đề 1.3.4 ([10, Lemma 26.4]) Cho M là một môđun có sự phân tích

M = K ⊕ L Giả sử N là một hạng tử trực tiếp của M thỏa mãn N =

N1 ⊕ · · · ⊕ Nn trong đó mỗi End(Ni) là một vành địa phương Khi đó, tồntại các hạng tử trực tiếp K0 của K và L0 của L sao cho M = N ⊕ K0⊕ L0.Định nghĩa 1.3.5 Vành R được gọi là vành chính quy (theo nghĩa vonNeumann) nếu với mỗi a ∈ R thì luôn tồn tại b ∈ R sao cho a = aba

Thể, vành nửa đơn và vành ma trận Mn(K) với K là một trường lànhững vành chính quy Sau đây, chúng tôi nhắc lại một tính chất quantrọng liên quan đến vành chính quy

Bổ đề 1.3.6 (McCoy’s Lemma, [37, Lemma 2.1]) ChoR là vành vàa, b ∈ R

mà c = a − aba là một phần tử chính quy thì a là phần tử chính quy

Các vành chính quy có các đặc trưng quan trọng sau đây:

Định lý 1.3.7 ([18, Theorem 1.1]) Các điều kiện sau đây là tương đươngđối với vành R:

(1) R là một vành chính quy

(2) Mọi iđêan phải (trái) xiclic là hạng tử trực tiếp của RR (RR)

(3) Mọi iđêan phải (trái) hữu hạn sinh là hạng tử trực tiếp của RR (RR)

Bổ đề 1.3.8 ([27, Lemma 4]) Cho R là một vành chính quy Nếu R-môđun

M là xạ ảnh thì mọi môđun con hữu hạn sinh của M là hạng tử trực tiếpcủa M

Định nghĩa 1.3.9 Vành R được gọi là di truyền phải (nửa di truyền phải )nếu mỗi iđêan phải (hữu hạn sinh) là xạ ảnh

Các khái niệm về vành di truyền (nửa di truyền) trái hoặc hai phía đượcđịnh nghĩa hoàn toàn tương tự.

Rõ ràng, các vành chính quy là nửa di truyền (phải và trái) Các vànhArtin nửa đơn, vành ma trận tam giác trên trên một thể là di truyền phải

và trái (xem [29, 2.36])

Các vành di truyền (một phía) có đặc trưng tiêu biểu sau đây:

Định lý 1.3.10 ([29, Corollary 2.26 và Theorem 3.22]) Các điều kiện sauđây là tương đương đối với vành R:

(1) R là vành di truyền phải

(2) Mọi môđun thương của một R-môđun phải nội xạ là nội xạ

(3) Mọi môđun con của một R-môđun phải xạ ảnh là xạ ảnh

Lý thuyết vành tựa Frobenius (hay gọi là vành QF) có nguồn gốc từ

lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn và được Nakayama giới thiệu vào năm

1939 Cho đến nay, đã có rất nhiều đặc trưng của lớp vành này được chỉ

ra Lớp vành tựa Frobenius có vai trò quan trọng trong lý thuyết vành kếthợp không giao hoán, đã và đang được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu.Vành QF được định nghĩa như sau:

Định nghĩa 1.3.11 Vành R được gọi là tựa Frobenius (hay gọi là vànhQF) nếu nó là vành Artin (phải và trái), tự nội xạ (phải và trái)

Sau đây, chúng tôi giới thiệu một số đặc trưng của lớp vành này bằngcách giảm nhẹ tính tự nội xạ (xem [33])

Định lý 1.3.12 Các điều kiện sau đây là tương đương đối với vành R:

(1) R là vành tựa Frobenius

(2) R là vành Artin phải hoặc trái, tự nội xạ phải hoặc trái

(3) R là vành Noether phải hoặc trái, tự nội xạ phải hoặc trái

Một đặc trưng đẹp đẽ của vành QF thông qua các lớp môđun nội xạ,

xạ ảnh là định lý Faith-Walker sau đây:

Định lý 1.3.13 ([33, Theorem 7.56]) Các điều kiện sau đây là tương đươngđối với vành R:

(1) R là vành tựa Frobenius

(2) Mọi R-môđun phải (trái) nội xạ là xạ ảnh

(3) Mọi R-môđun phải (trái) xạ ảnh là nội xạ

Trong phần cuối của mục này, chúng tôi giới thiệu về vành nửa Artin.Định nghĩa 1.3.14 Một môđun M được gọi là nửa Artin nếu mọi môđunthương khác không có đế khác không Một vành R được gọi là vành nửaArtin phải nếu RR là môđun nửa Artin

Sau đây là một số đặc trưng của vành nửa Artin

Định lý 1.3.15 ([33, Lemma B.31]) Các điều kiện sau đây là tương đươngđối với vành R:

(1) R là vành nửa Artin phải

(2) Mọi R-môđun phải khác không có đế cốt yếu

(3) Mọi R-môđun phải khác không có môđun con đơn

(4) Mọi R-môđun phải là nửa Artin

1.4 Môđun nửa đơn và vành Artin nửa đơn

Định nghĩa 1.4.1 Một môđun M được gọi là đơn nếu M chỉ có đúng haimôđun con là 0 và M

Định nghĩa 1.4.2 Một môđun M được gọi là nửa đơn nếu M phân tíchđược thành tổng trực tiếp của các môđun con đơn Một vành R được gọi lànửa đơn phải (trái) nếu RR (RR) là môđun nửa đơn.

Đối với môđun nửa đơn, chúng tôi giới thiệu một đặc trưng quan trọngsau đây:

Bổ đề 1.4.3 ([14, 7.14], [42, 20.2]) Cho M là một R-môđun phải Khi đó,các điều kiện sau đây là tương đương:

(1) M là môđun nửa đơn

(2) Mọi R-môđun N là M-nội xạ

(3) Mỗi môđun con của M là hạng tử trực tiếp của M

(4) Mỗi môđun trong σ[M ] là M-nội xạ

(5) Mỗi môđun xiclic trong σ[M ] là M-nội xạ

Khi nghiên cứu vành nửa đơn, chúng ta không cần đề cập đến phía của

nó nhờ định lý sau đây:

Định lý 1.4.4 ([23, Theorem 2.2.5]) Các điều kiện sau đây là tương đươngđối với vành R:

(1) R là nửa đơn phải

(2) R là nửa đơn trái

(3) Mọi R-môđun phải M là nửa đơn

(4) Mọi R-môđun trái M là nửa đơn

Tiếp theo, chúng tôi nhắc lại ở đây một số đặc trưng quan trọng củavành nửa đơn liên quan đến phạm trù Mod-R, sự phân tích thành tổng trựctiếp vành, vành chính quy và vành Artin

Định lý 1.4.5 (Osofsky) Vành R là nửa đơn khi và chỉ khi mỗi R-môđunphải (trái) xiclic là nội xạ.

Định lý 1.4.6 (Wedderburn-Artin) Vành R là nửa đơn khi và chỉ khi nó

là tổng trực tiếp vành của một số hữu hạn các vành ma trận trên một thể

Định lý 1.4.7 Vành R là nửa đơn khi và chỉ khi R là vành chính quy vàkhông chứa tập vô hạn các phần tử lũy đẳng trực giao

Định lý 1.4.8 Vành R là nửa đơn khi và chỉ khi R là Artin phải hay trái

và J (R) = 0

Trong quá trình nghiên cứu các vấn đề liên quan đến căn của vành, đã

có lúc Jacobson định nghĩa một vành R là nửa đơn khi J (R) = 0 và chođến nay vẫn còn một số nhà toán học sử dụng định nghĩa này Chính vì thế,

để khỏi nhầm lẫn, từ Định lý 1.4.8, một số nhà toán học đã gọi vành nửađơn trong Định nghĩa 1.4.2 là vành Artin nửa đơn Trong luận án này, kể từđây về sau, chúng tôi gọi vành nửa đơn như trong Định nghĩa 1.4.2 là vànhArtin nửa đơn

Trong phần cuối của chương này, chúng tôi tổng hợp các mối quan hệgiữa các môđun và các vành đã được đề cập ở trên bởi các sơ đồ sau đây:

1 Sơ đồ về mối quan hệ giữa các môđun

2 Sơ đồ về mối quan hệ giữa các vành

Nửa Artin (trái)

CHƯƠNG 2

Môđun giả nội xạ cốt yếu

Trong chương này, chúng tôi chủ yếu nghiên cứu các tính chất của môđungiả nội xạ cốt yếu ngoài những tính chất mà đã được Alahmadi, Er và Jainnghiên cứu trong [6] Một số áp dụng để nghiên cứu các vành Artin nửa đơn,vành QF, vành Noether và vành đối nửa đơn cũng được đưa ra Các kết quảchính của chương này là Định lý 2.2.11, Định lý 2.2.12, Định lý 2.2.15, Định

lý 2.2.16 và Định lý 2.2.17 Chương này được viết trong [2] và [34]

2.1 Định nghĩa và ví dụ

Trước hết, chúng tôi nhắc lại định nghĩa về môđun giả nội xạ cốt yếu

đã được Alahmadi, Er và Jain đưa ra trong [6] như sau:

Định nghĩa 2.1.1 Cho M và N là các R-môđun phải Khi đó:

(1) M được gọi là N-giả nội xạ cốt yếu nếu với mỗi môđun con cốt yếu A

của N thì mọi đơn cấu f : A → M đều mở rộng được đến đồng cấu

g : N → M

(2) M được gọi là giả nội xạ cốt yếu nếu M là M-giả nội xạ cốt yếu

(3) Hai môđun M và N được gọi là giả nội xạ cốt yếu tương hỗ nếu M là

N-giả nội xạ cốt yếu và N là M-giả nội xạ cốt yếu

(4) Một vành R được gọi là giả nội xạ cốt yếu phải nếu RR là một môđungiả nội xạ cốt yếu

Từ Định nghĩa 2.1.1 ta có, nếu M là N-giả nội xạ thì M là N-giả nội

xạ cốt yếu Sau đây là ví dụ về môđun giả nội xạ cốt yếu

Ví dụ 2.1.2 Xét các Z-môđun Zp 2, Zp 3 và Zn trong đó p là một số nguyên

tố và 2 ≤ n ∈ N Khi đó:

(1) Zn là môđun giả nội xạ cốt yếu

(2) Zp3 là Zp 2-giả nội xạ cốt yếu

(3) Zp2 không là Zp 3-giả nội xạ cốt yếu

Chứng minh (1) Theo [33, trang 9] thì Z-môđun Zn là tựa nội xạ, do đó

nó là môđun giả nội xạ cốt yếu

(2) Vì môđun Zp 2 chỉ có 3 môđun con là p2Z

f : pZ

p2

Z

→Zp3 Giả sử f (p) = b ∈ Zp3, khi đó ta cóf (p.p) = f (0) = 0 = pb.Vậy, b = 0 hoặc b = p2 Vì f là đơn cấu nên b = p2 và như vậy chỉ có mộtđơn cấu duy nhất f : pZ

p2

Z

→Zp3 là đơn cấu được xác định bởi: f (0) = 0 và

f (p) = p2 Bây giờ ta chọn ánh xạ g : Zp2 → Zp3 được xác định g(a) = pa

với mọi a ∈ Zp2 Khi đó, g là một Z-đồng cấu Hơn nữa, với x ∈ pZ

p2

Zthì

x = mp với m = 0, 1, , p − 1 Khi đó g(x) = mp2 = f (x) Từ đó suy ra,

g là một mở rộng của đồng cấu f Vì vậy, Zp 3 là Zp 2-giả nội xạ cốt yếu.(3) Ta lấy một môđun con cốt yếu của Zp 3 là pZ

p3

Z Xét đơn cấu f :

g : Zp3 → Zp2 là một mở rộng của đơn cấu f Khi đó, giả sử g(1) = b ∈ Zp2

thì pb = pg(1) = g(p.1) = g(p) = f (p) = 1 Vậy pb = 1 với b ∈ Zp2 Tuynhiên, trong Zp 2 thì phương trình pb = 1 không có nghiệm nên không tồntại đồng cấu g là một mở rộng của f Vậy, Zp 2 không là Zp 3-giả nội xạ cốtyếu

2.2 Các kết quả liên quan đến môđun giả nội xạ cốt

(1) M là N-giả nội xạ cốt yếu

(2) Với mỗi R-môđun phải A, với mỗi đơn cấu cốt yếu bất kỳ g : A → N

và đơn cấu f : A → M thì luôn tồn tại đồng cấu h : N → M sao cho

f = gh

Chứng minh (1) ⇒ (2) Cho A là R-môđun phải, g : A → N là một đơncấu cốt yếu và f : A → M là một đơn cấu Từ g : A → N là một đơn cấucốt yếu, chúng ta có g(A) ≤e N Chúng ta chọn đồng cấu f0 : g(A) → M

sao cho f0(g(a)) = f (a) với mọi a ∈ A Rõ ràng f0 là đơn cấu Do M là

N-giả nội xạ cốt yếu nên tồn tại đồng cấu h : N → M sao cho h|g(A) = f0

Vì vậy, với mọi a ∈ A chúng ta có (hg)(a) = h(g(a)) = f0(g(a)) = f (a).Suy ra f = gh

(2) ⇒ (1) Khi A ≤e N, lúc đó với mọi đơn cấu f : A → M thì ta chọnđơn cấu cốt yếu g : A → N là đơn cấu chính tắc Theo giả thiết, luôn tồntại đồng cấu h : N → M là mở rộng của đơn cấu f Do vậy, M là N-giảnội xạ cốt yếu

Theo [33, trang 8], một môđun con N của M được gọi là bất biến đầy

đủ trong M nếu f (N ) ≤ N với mọi f ∈ EndR(M )

Trong [6, Corollary 2.12], các tác giả đã chứng minh được rằng, mộtmôđun M là giả nội xạ cốt yếu nếu và chỉ nếu nó bất biến đầy đủ qua cácđơn cấu trong EndR(E(M )) Trong định lý dưới đây, chúng tôi sẽ chỉ ra

rằng, một môđun M là N-giả nội xạ cốt yếu nếu và chỉ nếu α(N ) ≤ M vớimọi đơn cấu α : E(N ) → E(M ).

Định lý 2.2.2 Các điều kiện sau đây là tương đương đối với các môđun

M và N:

(1) M là N-giả nội xạ cốt yếu

(2) α(N ) ≤ M với mọi đơn cấu α : E(N ) → E(M )

Chứng minh (1) ⇒ (2) Cho α : E(N ) → E(M ) là một đơn cấu Đặt

A = N ∩ α−1(M ) thì A ≤e N và α(A) ≤ M Thật vậy, lấy 0 6= x ∈ N, do

α là đơn cấu nên 0 6= α(x) ∈ E(M ) Vì M ≤e E(M ) nên tồn tại r ∈ R

để 0 6= α(x)r = α(xr) ∈ M Do đó 0 6= α−1(α(xr)) = xr ∈ α−1(M ).Mặt khác, vì x ∈ N nên xr ∈ N Do vậy xr ∈ A hay A ≤e N Như vậy,

A ≤e N và α là đơn cấu từ A → M Theo (1) thì tồn tại R-đồng cấu

g : N → M sao cho g(a) = α(a) với mọi a ∈ A Bây giờ chúng ta sẽ chứngminh g(n) = α(n) với mọi n ∈ N

Thật vậy, giả sử tồn tại n0 ∈ N sao cho g(n0) 6= α(n0) Đặt x =g(n0) − α(n0) ∈ E(M ) thì x 6= 0 Do M ≤e E(M ) nên tồn tại r ∈ R saocho 0 6= xr = g(n0r) − α(n0r) ∈ M Điều này chứng tỏ α(n0r) ∈ M hay

n0r ∈ α−1(M ) Vì n0r ∈ N nên n0r ∈ N ∩ α−1(M ) hay n0r ∈ A Do đó,

α(n0r) = g(n0r) hay g(n0r) − α(n0r) = xr = 0, kết quả này mâu thuẫnvới xr 6= 0 Do vậy, α(N ) ≤ M với mọi đơn cấu α : E(N ) → E(M )

(2) ⇒ (1) Cho A ≤e N và f : A → M là một đơn cấu Vì A ≤e N nên

E(A) = E(N ), do đó tồn tại đơn cấu g : E(N ) → E(M ) sao cho g|A = f.Theo (2) thì g(N ) ≤ M và g là mở rộng cần tìm của f, có nghĩa M là

N-giả nội xạ cốt yếu

Ví dụ 2.2.3 Xét các Z-môđun Zp 2 và Z⊕Zp3 Khi đó, Zp 2 là Z⊕Zp3-giảnội xạ cốt yếu

Chứng minh Ta có E(Zp2) = E(Zp3) = Zp∞ và E(Z) = Q nên theo Bổ đề

1.2.2, ta có E(Z⊕ Zp3) = E(Z) ⊕ E(Zp3) = Q ⊕Zp∞ Xét đơn cấu khác

không f :Q⊕Zp∞ →Zp∞ Giả sử f không toàn cấu thì f (Q⊕Zp∞) là mộtmôđun con thực sự của Zp ∞ Nhưng theo [42, (2), 17.13 ] thì f (Q⊕Zp∞) làhữu hạn Vì f đơn cấu nên f (Q⊕Zp∞) ' Q⊕Zp∞ Do Q⊕Zp∞ là tập vôhạn nên sự đẳng cấu trên là vô lý Vậy f là một đẳng cấu.

Nếu f (Q) 6= Zp∞ thì lại theo [42, (2), 17.13 ], ta có f (Q) hữu hạn nhưng

f (Q) ' Q trong đó Q là tập vô hạn nên vô lý Vậy f (Q) = Zp∞ Tuy nhiên,

f (Q ⊕Zp∞) = Zp ∞ nên f (Q) = f (Q ⊕Zp∞) Từ đó suy ra Q = Q ⊕Zp∞.Điều này là vô lý Do đó, không có đơn cấu nào từ Q⊕Zp∞ → Zp∞ và tachỉ có đồng cấu không Vì vậy, theo Định lý 2.2.2, ta có Zp 2 là Z⊕Zp3-giảnội xạ cốt yếu

Nhận xét 2.2.4 Từ Ví dụ 2.1.2, ta có Zp 2 không là Zp 3-giả nội xạ cốtyếu, do đó Zp 2 không là Zp 3-giả nội xạ Vì vậy, theo [13, Proposition 2.1] thì

Zp 2 không là Z⊕Zp3-giả nội xạ Tuy nhiên, từ Ví dụ 2.2.3 ta lại có Zp 2 là

Z⊕Zp3-giả nội xạ cốt yếu Do vậy, khái niệm "M là N-giả nội xạ cốt yếu"

là một mở rộng thực sự của khái niệm "M là N-giả nội xạ"

Từ Định lý 2.2.2, khi cho M = N, chúng tôi thu được hệ quả dưới đây

là nội dung của [6, Corollary 2.12]

Hệ quả 2.2.5 ([6, Corollary 2.12]) Các điều kiện sau đây là tương đươngđối với môđun M:

(1) M là giả nội xạ cốt yếu

(2) α(M ) ≤ M với mỗi tự đơn cấu α của E(M )

Tiếp theo là một số kết quả về môđun giả nội xạ cốt yếu tương tự nhưcác kết quả trong [13, Proposition 2.1] về môđun giả nội xạ

Mệnh đề 2.2.6 Cho M và N là các môđun Khi đó:

(1) M là N-giả nội xạ cốt yếu nếu và chỉ nếu M là K-giả nội xạ cốt yếuvới mọi K là môđun con cốt yếu của N

(2) Nếu M là N-giả nội xạ cốt yếu và K ' N, thì M là K-giả nội xạ cốtyếu.

(3) Nếu M là N-giả nội xạ cốt yếu và K ' M thì K là N-giả nội xạ cốtyếu

(4) Giả sử M và N là các môđun giả nội xạ cốt yếu tương hỗ Nếu tồn tạimột đẳng cấu giữa các môđun conA và B trong đó A ≤e N và B ≤e M

thì M ' N

(5) Giả sử A và B là các môđun giả nội xạ cốt yếu tương hỗ Nếu E(A) 'E(B) thì mỗi đẳng cấu từ E(A) → E(B) thu hẹp được thành đẳng cấu

từ A → B Hơn nữa, A và B là giả nội xạ cốt yếu

Chứng minh (1) (⇒) Cho L ≤e K ≤e N và f : L → M là một đơn cấu

Vì E(L) = E(K) = E(N ) nên tồn tại đơn cấu g : E(N ) → E(M ) sao cho

g|L = f Do M là N-giả nội xạ cốt yếu nên theo Định lý 2.2.2, chúng ta có

g(N ) ≤ M Từ đó suy ra g(K) ≤ M và vì vậy M là K-giả nội xạ cốt yếu

(⇐) Khi M là K-giả nội xạ cốt yếu với mọi môđun con cốt yếu K của

N thì hiển nhiên M là N-giả nội xạ cốt yếu

(2) Cho M là N-giả nội xạ cốt yếu và g : K → N là một đẳng cấu, tacần chứng minh M là K-giả nội xạ cốt yếu Đặt L ≤e K thì g(L) ≤e N.Xét đơn cấu f : L → M, khi đó tồn tại một đơn cấu f g0 : g(L) → M,trong đó g0 : g(L) → L là một đơn cấu Vì M là N-giả nội xạ cốt yếu nênđơn cấu f g0 có thể mở rộng được đến đồng cấu h : N → M Khi đó đồngcấu hg : K → M thỏa mãn hg(l) = f g0(g(l)) = f (l) với mọi l ∈ L nên

hg : K → M là một mở rộng của f Vậy M là K-giả nội xạ cốt yếu

(3) Giả sử M là N-giả nội xạ cốt yếu và K ' M, ta cần chứng minh

K là N-giả nội xạ cốt yếu Gọi A là môđun con cốt yếu trong N, xét đơncấu f : A → K và g : K → M là một đẳng cấu Đặt h = gf : A → M.Hiển nhiên h là đơn cấu Vì M là N-giả nội xạ cốt yếu nên tồn tại đồng cấu

t : N → M sao cho t(a) = h(a) với mọi a ∈ A Ta đặt u = g−1t : N → K

thì u là một đồng cấu Với mọi a ∈ A ta có u(a) = g−1t(a) = g−1h(a) =

g−1gf (a) = f (a), vậy u là đồng cấu mở rộng của đơn cấuf nên K là N-giảnội xạ cốt yếu

(4) Cho f : A → B là một đẳng cấu Vì A ≤e N và B ≤e M nên tồntại một đẳng cấu g : E(N ) → E(M ) sao cho g|A = f Như vậy, ta có 2 đơncấu là g : E(N ) → E(M ) và g−1 : E(M ) → E(N ) Theo Định lý 2.2.2,chúng ta có g(N ) ≤ M và g−1(M ) ≤ N Vậy g|N : N → M là một đẳngcấu

(5) Chog : E(A) → E(B)là một đẳng cấu VìB làA-giả nội xạ cốt yếunên theo Định lý 2.2.2, ta có g(A) ≤ B Tương tự ta cũng có g−1(B) ≤ A

Do đó B = (gg−1)(B) = g(g−1(B)) ≤ g(A) ≤ B Vậy g(A) = B và ta có

g|A : A → B là một đẳng cấu Hơn nữa, từ A là B-giả nội xạ cốt yếu và

B ' A nên theo (2) chúng ta suy ra A là A-giả nội xạ cốt yếu hay A làgiả nội xạ cốt yếu Chứng minh tương tự, ta cũng có B là giả nội xạ cốtyếu

Trong Bổ đề 1.4.3 ta có, N là môđun nửa đơn khi và chỉ khiM là N-nội

xạ với mọi môđunM Đối với môđun giả nội xạ cốt yếu, chúng tôi thu đượcmột kết quả mở rộng sau đây:

Định lý 2.2.7 Cho M và N là các môđun Khi đó:

(1) N là môđun nửa đơn khi và chỉ khi M là N-giả nội xạ cốt yếu với mọimôđun M

(2) Giả sử N = A ⊕ B và M = C ⊕ D sao cho B được nhúng trong D.Nếu M là N-giả nội xạ cốt yếu thì C là A-giả nội xạ cốt yếu

Chứng minh (1) (⇒) Khi N là môđun nửa đơn thì theo Bổ đề 1.4.3, mọi

R-môđun M là N-nội xạ Do đó, với mọi R-môđun M thì M là N-giả nội

xạ cốt yếu

(⇐) Cho A ≤ N, khi đó tồn tại C ≤ N sao cho A ⊕ C ≤e N Giả sử

rằng ι : A ⊕ C → N là một đồng cấu bao hàm Vì M là N-giả nội xạ cốtyếu với mọi môđun M nên A ⊕ C là N-giả nội xạ cốt yếu, do đó tồn tại

f : N → A ⊕ C sao cho f ι = 1A⊕C Theo [3, Mệnh đề 3.15, trang 30] thì ι

chẻ ra hay ι(A ⊕ C) = A ⊕ C ≤⊕ N Giả sử N = (A ⊕ C) ⊕ N0 với N0 ≤ N

thì do A ⊕ C ≤e N nên N0 = 0 Vậy ta có N = A ⊕ C Điều này chứng tỏ

A ≤⊕ N Theo Bổ đề 1.4.3 thì ta có N là môđun nửa đơn

(2) Vì B được nhúng trong D nên tồn tại đơn cấu α : B → D Giả sử

H ≤e Avàf : H → C là một đơn cấu Thế thì,f ⊕α : H ⊕B → M = C⊕D

là một đơn cấu Hơn nữa, theo [10, Proposition 5.20] thìH ⊕B ≤e A⊕B hay

H ⊕B ≤e N VìM là N-giả nội xạ cốt yếu nên tồn tại đồng cấug : N → M

sao cho g là mở rộng của f ⊕ α Đặt f = πgι : A → C với π : M → C làphép chiếu và ι : A → N là đồng cấu bao hàm Khi đó, với mọi h ∈ H thì

f (h) = πgi(h) = πg(h + b) = π(f ⊕ α)(h + b) = π(f (h) + α(b)) = f (h)

Vì vậy, f |H = f Do đó C là A-giả nội xạ cốt yếu

Hệ quả 2.2.8 Mỗi hạng tử trực tiếp của một môđun giả nội xạ cốt yếu làgiả nội xạ cốt yếu

Chứng minh Hệ quả được suy ra một cách trực tiếp từ Định lý 2.2.7 khi tacho M = N, A = C và B = D

Tiếp theo là các tính chất khác của môđun giả nội xạ cốt yếu

Định lý 2.2.9 Các điều kiện sau đây là tương đương đối với môđun M:

(1) Mỗi môđun con của M là giả nội xạ cốt yếu

(2) M là giả nội xạ cốt yếu và mỗi môđun con cốt yếu của M là bất biếnđầy đủ dưới các đơn cấu của EndR(M )

(3) Mỗi môđun con cốt yếu của M là giả nội xạ cốt yếu

Chứng minh (1) ⇒ (2) Chof ∈ EndR(M ) là một đơn cấu và H là môđuncon cốt yếu của M Khi đó tồn tại một đơn cấu g của E(M ) sao cho g

là mở rộng của f Do E(H) = E(M ) nên g cũng chính là đơn cấu từ

E(H) → E(H) Theo giả thiết, mỗi môđun con của M là giả nội xạ cốtyếu nên H là giả nội xạ cốt yếu Vì vậy, theo Hệ quả 2.2.5 ta có g(H) ≤ H

Do g là mở rộng của f nên f (H) ≤ H Vậy H là bất biến đầy đủ dưới đơncấu của EndR(M )

(2) ⇒ (3) Cho H là một môđun con cốt yếu của M Giả sử A ≤e H

và f : A → H là một đơn cấu Khi đó, tồn tại một đơn cấu g của E(M )

là một mở rộng của f Vì E(M ) = E(H) nên g là một đơn cấu của E(H).Theo Hệ quả 2.2.5 ta có g(H) ≤ H và vì vậy g là mở rộng của f hay H làmôđun giả nội xạ cốt yếu

(3) ⇒ (1) Giả sử rằng H là một môđun con của M Khi đó, tồn tạimột môđun K của M sao cho H ⊕ K ≤e M Theo (3) thì H ⊕ K là giảnội xạ cốt yếu và do đó theo Hệ quả 2.2.8, H cũng là môđun giả nội xạ cốtyếu

Theo Hệ quả 2.2.8 thì mỗi hạng tử trực tiếp của một môđun giả nội xạcốt yếu là giả nội xạ cốt yếu Tuy nhiên, để tổng trực tiếp của hai môđungiả nội xạ cốt yếu là môđun giả nội xạ cốt yếu thì chúng tôi cần thêm một

số điều kiện

Định lý 2.2.10 Cho M = M1 ⊕ M2 và E(M1), E(M2) là các môđun conbất biến đầy đủ dưới các tự đơn cấu của E(M ) Khi đó M là giả nội xạ cốtyếu khi và chỉ khi M1, M2 là giả nội xạ cốt yếu

Chứng minh (⇒) Điều này được suy ra từ Hệ quả 2.2.8

(⇐) Vì M = M1 ⊕ M2 nên theo Bổ đề 1.2.2, ta có E(M ) = E(M1) ⊕E(M2) Lấy α : E(M ) → E(M ) là một đơn cấu Khi đó, doE(M1), E(M2)

là các môđun con bất biến đầy đủ dưới các đơn cấu của E(M ) nênα|E(Mi) :E(Mi) → E(Mi) là đơn cấu với i = 1; 2 Từ M1, M2 là giả nội xạ cốt yếu

nên theo Hệ quả 2.2.5, ta có:

α(M ) = α(M1 + M2)

= α(M1) + α(M2)

= α|E(M1)(M1) + α|E(M2)(M2)

≤ M1 + M2 = M

Lại theo Hệ quả 2.2.5, ta có M là giả nội xạ cốt yếu

Trong [13, Theorem 2.6], tác giả đã chứng minh được rằng, mọi môđungiả nội xạ đều thỏa mãn điều kiện C2 Đối với môđun giả nội xạ cốt yếu,chúng tôi chứng minh được:

Định lý 2.2.11 Mọi môđun giả nội xạ cốt yếu đều thỏa mãn điều kiện C3.Chứng minh Cho M là một môđun giả nội xạ cốt yếu, giả sử A và B là

2 hạng trực tiếp của M thỏa mãn A ∩ B = 0 Chúng ta cần chứng minh

A ⊕ B cũng là hạng tử trực tiếp của M

Vì A ≤⊕ M nên ta có M = A ⊕ A0 Đặt π : M → A0 là phép chiếuchính tắc Vì A ⊕ B ≤ M nên tồn tại C là môđun con của M sao cho

(A ⊕ B) ∩ C = 0 và A ⊕ B ⊕ C ≤e M Đặt D = B ⊕ C, khi đó A ⊕ D =

A ⊕ π(D) Thật vậy, với x ∈ A ⊕ π(D) thì x = a + π(d) trong đó a ∈ A và

d ∈ D Giả sử d = a1 + a01 với a1 ∈ A; a01 ∈ A0 thì x = a + π(a1 + a01) =

a + a01 = a + d − a1 = (a − a1) + d ∈ A ⊕ D Mặt khác, với mọi x ∈ A ⊕ D

thì x = a + d trong đó a ∈ A và d ∈ D Giả sử d = a1 + a01 với a1 ∈ A;

a01 ∈ A0 thì x = a + d = a + (a1 + a01) = (a + a1) + a01 ∈ A ⊕ π(D) Vậy

A ⊕ π(D) = A ⊕ D Hơn nữa, π|D : D → π(D) là một đẳng cấu Do vậy,

1A ⊕ π|D : A ⊕ D → A ⊕ π(D) là một đẳng cấu Do M là môđun giả nội

xạ cốt yếu và A ⊕ D là cốt yếu trong M nên 1A⊕ π|D mở rộng được tới tựđẳng cấu g của M Vì B ≤⊕ M và π(B) = g(B) ≤⊕ M nên π(B) ≤⊕ A0.Giả sử A0 = π(B) ⊕ A00, khi đó ta có M = A ⊕ A0 = A ⊕ π(B) ⊕ A00 Vìvậy, A ⊕ π(B) ≤⊕ M Mặt khác, bằng việc chứng minh tương tự như chứngminh A ⊕ π(D) = A ⊕ D, ta cũng có A ⊕ B = A ⊕ π(B), do đó ta được

A ⊕ B ≤⊕ M

Khi nghiên cứu về mối quan hệ giữa môđun giả nội xạ và tựa nội xạ,trong [13, Question 3.5], H Q Dinh đã đặt ra câu hỏi: Một môđun khôngsuy biến, giả nội xạ và CS có phải là môđun tựa nội xạ hay không? Trongđịnh lý dưới đây, chúng tôi chứng minh được rằng, một môđun M là tựanội xạ nếu và chỉ nếu M là môđun giả nội xạ cốt yếu và CS Từ đó chúngtôi đưa ra câu trả lời khẳng định cho câu hỏi của H Q Dinh.

Định lý 2.2.12 Môđun M là tựa nội xạ khi và chỉ khi M là giả nội xạ cốtyếu và CS

Chứng minh (⇒) Khi M là môđun tựa nội xạ thì hiển nhiên M là giả nội

xạ cốt yếu và CS

(⇐) Vì M là giả nội xạ cốt yếu nên theo Định lý 2.2.11 ta có M

thỏa mãn điều kiện C3, do đó M là tựa liên tục Mặt khác, với mọi f ∈EndR(E(M )) thì do E(M ) là môđun liên tục nên theo [11, Theorem 3.9],

ta có f = e + g trong đó e2 = e ∈ EndR(E(M )) và g ∈ Aut(E(M )) Vìmôđun E(M ) là tựa nội xạ nên theo [33, Lemma 1.15] ta có g(M ) ≤ M.Hơn nữa, vìM là tựa liên tục nên theo [32, Theorem 2.8], ta có e(M ) ≤ M

Do đó,f (M ) = e(M ) + g(M ) ≤ M Lại theo [33, Lemma 1.15], ta có M làtựa nội xạ

Hệ quả 2.2.13 Môđun M là tựa nội xạ khi và chỉ khi M là giả nội xạ vàCS

Kết quả sau đây nói về mối quan hệ giữa một môđun giả nội xạ cốt yếu

và vành các tự đồng cấu của nó

Định lý 2.2.14 Cho M là một môđun tự sinh Nếu EndR(M ) là giả nội

xạ cốt yếu phải thì M là giả nội xạ cốt yếu

Chứng minh ĐặtS = EndR(M ), giả sử A ≤e M vàf : A → M là một đơncấu Đặt I = {g ∈ S| g(M ) ≤ A} Chúng ta sẽ chứng minh rằng I là mộtiđêan phải cốt yếu của S Thật vậy, với mọi m ∈ M, g ∈ I và s ∈ S thì ta