Báo cáo nghiên cứu khoa học: " Về các môđun fg - nội xạ và fg – xạ ảnh" pot

Môđun MR được gọi là p-nội xạ nếu mọi đồng cấu R-môđun từ bất kỳ iđêan phải chính nào vào M cũng mở rộng được thành một đồng cấu từ R vào M.. Vành R gọi là n-nội xạ phải nếu mọi đồng cấu

TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC HUẾ, Số 50-2009

VỀ CÁC MÔĐUN f g -NỘI XẠ VÀ f g -XẠ ẢNH

Trần Nguyễn Đình Nam, Trường ĐHSP, Đại Học Huế

Tóm tắt Trong bài báo này chúng tôi xét các lớp môđun f g-nội xạ và f g-xạ ảnh Đây là các lớp môđun mở rộng của lớp môđun nội xạ và xạ ảnh tương ứng Lớp vành nửa đơn được đặc trưng qua các lớp môđun f g-nội xạ và f g-xạ ảnh Một số tính chất của vành Noether, vành QF , V -vành, vành suy biến, hoàn toàn không suy biến cũng được khảo sát qua các lớp môđun f g-nội xạ và f g-xạ ảnh

1 MỞ ĐẦU Trong suốt bài báo này, vành R luôn được giả thiết là một vành kết hợp có đơn

vị 1 6= 0 Các môđun trên một vành luôn được hiểu là môđun phải đơn nguyên (unitary) Một phần tử a ∈ R được gọi là chính quy von Neumann (hay ngắn gọn

là chính quy ) nếu tồn tại b ∈ R sao cho a = aba Vành R gọi là chính quy nếu mọi phần tử của nó là chính quy Cho M là một R-môđun, một phần tử m ∈ M gọi là phần tử suy biến (singular element ) nếu iđêan phải r(m) là cốt yếu trong RR Tập tất cả các phần tử suy biến của M tạo thành môđun con của M và gọi là môđun con suy biến của M , ký hiệu là Z(M ) Môđun M gọi là môđun suy biến (singular module) nếu Z(M ) = M , trong trường hợp Z(M ) = 0 thì M được gọi là môđun hoàn toàn không suy biến (nonsingular ) Vành R gọi là suy biến phải (t.ư hoàn toàn không suy biến phải ) nếu Z(RR) = R (t.ư Z(RR) = 0) Môđun MR gọi là nửa đơn nếu MR là tổng tất cả các môđun con đơn của nó Vành R gọi là nửa đơn nếu RR

là môđun nửa đơn

Như chúng ta đã biết, các lớp môđun nội xạ và xạ ảnh là rất quan trọng để đặc trưng nhiều lớp vành khác nhau Chính vì thế việc mở rộng nội xạ đã và đang được nhiều nhà toán học nghiên cứu, một trong các hướng đó là mở rộng nội xạ thông qua tiêu chuẩn Baer Một trong các lớp mở rộng quan trọng theo hướng này là lớp các môđun p-nội xạ Môđun MR được gọi là p-nội xạ nếu mọi đồng cấu R-môđun

từ bất kỳ iđêan phải chính nào vào M cũng mở rộng được thành một đồng cấu từ

R vào M Điều này tương đương với lMrR(a) = M a với mọi a ∈ R, ở đây l và r tương ứng là các linh hóa tử trái và phải của a Trong [6], R.Y.C.Ming đã đưa ra khái niệm môđun C-nội xạ và C-xạ ảnh Ông đã chứng minh rằng đó là lớp mở rộng thực sự của lớp các môđun nội xạ và xạ ảnh, đồng thời lớp môđun p-nội xạ là

mở rộng thực sự của lớp môđun C-nội xạ Chúng tôi tiếp tục sử dụng ý tưởng của R.Y.C.Ming để đưa ra lớp môđun f g-nội xạ và f g-xạ ảnh, đồng thời khảo sát một

số tính chất của nó

Chúng ta dùng các ký hiệu N ≤ M , N ≤e M , , M od-R và J tương ứng để chỉ N

là môđun con của M , N là môđun con cốt yếu của M , phạm trù các R-môđun phải

và căn Jacobson của R Các khái niệm và kết quả không nhắc đến trong bài báo có thể tham khảo trong Anderson, Fuller [1], Faith [2], Lam [3], Nicholson, Yousif [7]

và Wisbauer [9]

2 MÔĐUN f g-NỘI XẠ VÀ f g-XẠ ẢNH Định nghĩa 2.1 (1) Môđun MR được gọi là f g-nội xạ nếu với mọi R-môđun N

và P là môđun con hữu hạn sinh của N , mọi R-đồng cấu từ P vào M đều mở rộng được thành một đồng cấu từ N vào M

(2) Môđun MR được gọi là môđun f g-xạ ảnh nếu với mọi môđun hữu hạn sinh

NR, với mỗi toàn cấu g : N −→ P và đồng cấu f : M −→ P , tồn tại đồng cấu

h : M −→ N sao cho f = gh

Mệnh đề 2.2 Cho (Mα)α∈B là một họ các R-môđun phải Khi đóL

BMαlà f g-nội

xạ khi và chỉ khi Mα là f g-nội xạ, với mỗi α ∈ B

Chứng minh Giả sử rằng L

BMα là f g-nội xạ Với mỗi α ∈ B, với mọi R-môđun

N và P là một môđun con hữu hạn sinh của N , cho g : P −→ N là đơn cấu bao hàm và f : P −→ Mα là đồng cấu bất kỳ, xét phép nhúng i : Mα −→L

BMα Do L

BMα là f g-nội xạ nên tồn tại h : N −→L

BMα sao cho hg = if Đặt hα = παh, khi đó với mọi p ∈ P ta có hαg(p) = παhg(p) = παif (p) = f (p) nên hαg = f Vậy

Mα là f g-nội xạ

Ngược lại, giả sử rằng mỗi Mα là f g-nội xạ Với N là R-môđun bất kỳ, lấy

P = a1R + + akR là môđun con hữu hạn sinh của N và đơn cấu g : P −→ N Với mọi đồng cấu h : P −→ L

BMα, khi đó với mỗi i ∈ {1, , k}, ta có h(ai) = (miα)α∈B ∈ L

BMα Nếu gọi B0 là tập con của B sao cho tồn tại i ∈ {1, , k} để

mi

α 6= 0 thì B0 là tập hữu hạn Xét phép chiếu pB0 : L

B 0Mα −→ Mα Với mỗi

α ∈ B0 thì Mα là f g-nội xạ nên tồn tại fα : N −→ Mα sao cho fαg = pαpB0h Đặt:

f0 : N −→L

B 0Mα xác định bởi f0(n) = (fα(n))α∈B 0, ∀n ∈ N thì f0là đồng cấu Đặt

f = ιB0f0 với ιB0 : L

B 0Mα −→ L

BMα là phép nhúng Với mỗi i0 ∈ {1, , k} thì

f0g(ai0) = (fαg(ai0))α∈B0 = (pαpB0h(ai0))α∈B0 = pB0h(ai0) Vì h(ai0) = (mi0

α)α∈B và các α sao cho mi0

α 6= 0 đều nằm trong B0 nên f g(ai 0) = ιB 0f0g(ai 0) = ιB 0pB 0h(ai 0) = h(ai0) Suy ra f g = h nên L

Định lý 2.3 Cho R là vành tùy ý Nếu mọi R-môđun f g-nội xạ đều nội xạ thì R

là vành Noether phải

Chứng minh Giả sử M =L

IMi là tổng trực tiếp của một họ bất kỳ các môđun nội xạ Mi Do mỗi Mi là nội xạ nên là f g-nội xạ Theo mệnh đề 2.2 thì M là f g-nội

xạ Theo giả thiết thì M là nội xạ R là vành có tổng trực tiếp của một họ bất kỳ các môđun nội xạ là nội xạ nên R là vành Noether phải 

Từ định lý trên ta có thể thấy lớp môđun f g-nội xạ là lớp mở rộng thực sự của lớp môđun nội xạ

Chúng ta biết rằng môđun MR gọi là f -nội xạ (t.ư nội xạ tối tiểu) nếu mọi R-đồng cấu từ bất kỳ iđêan phải hữu hạn sinh (t.ư iđêan phải đơn) nào vào M

cũng mở rộng được thành một đồng cấu từ R vào M Vành R gọi là f -nội xạ phải (t.ư nội xạ tối tiểu phải ) nếu RR là f -nội xạ (t.ư nội xạ tối tiểu) Vành R gọi là tựa Frobenius nếu R là Artin phải (hoặc trái) và tự nội xạ phải (hoặc trái) Lớp môđun f -nội xạ là mở rộng thực sự của nội xạ Ví dụ của Camillo [7] được dùng để phục vụ cho mục đích này

Ví dụ 2.4 Đặt R = Z2[x1, x2, ] với các xi giao hoán với nhau và các điều kiện:

x3

i = 0 với mọi i, xixj = 0 với mọi i 6= j và m = x2

i = x2

j với mọi i và j Khi đó ta

có các tính chất sau:

(1) R là vành giao hoán, địa phương, có đặc số bằng 2 với Z2-cơ sở {1, m, x1, x2, },

J = Rad(R) = spanZ2{m, x1, x2, }, R/J ∼= Z2 và J3 = 0;

(2) Z2m ⊆ A với mọi iđêan A 6= 0 của R, Soc(R) = J2 = Z2m là đơn, cốt yếu trong

R và R là vành nội xạ tối tiểu, không Noether

Bây giờ nếu xét môđun RR thì RR là f -nội xạ Thật vậy, gọi η : K −→ R là đồng cấu R-môđun, ở đây K là iđêan hữu hạn sinh của R, K = Pk

j=1bjR Các phần tử {bj, η(bj)} được chứa trong vành con S = spanZ2{1, m, x1, , xl} của R với l ∈ N nào đó Rõ ràng S là vành Artin và nội xạ tối tiểu, suy ra S là vành tựa Frobenius

Từ đó S là tự nội xạ nên K0 =Pk

j=1bjS mở rộng được Xét hạn chế của η lên K0,

η : K0 −→ S mở rộng được thành η : S −→ S, tức là tồn tại c = η(1) ∈ S sao cho η(a) = ca với mọi a ∈ K0 Xét bη : R −→ R xác định bởi bη(b) = cb, b ∈ R thì bη là

mở rộng của η Vậy R là f -nội xạ

Ta sẽ chỉ ra rằng RR không nội xạ Thật vậy, xét iđêan J = spanZ2{m, x1, x2, }

và ánh xạ γ : J −→ R xác định bởi a 7−→ a2 Do char(R) = 2 nên γ(a + b) = (a + b)2 = a2 + b2 = γ(a) + γ(b) từ đó γ là đồng cấu nhóm aben Vì R/J ∼= Z2

nên với mọi r ∈ R thì (r + J )2 = r + J hay r2 − r ∈ J Nhưng do J3 = 0 nên

a2(r2− r) = 0 suy ra a2r2 = a2r Do đó γ(ar) = a2r2 = a2r = γ(a)r nên γ là đồng cấu R-môđun và γ(J ) = Z2m Nếu RR là nội xạ thì γ = c· với c ∈ R, tức là với mọi a ∈ J ta có γ(a) = ca = a2, suy ra (c − a)a = 0 với mọi a ∈ J Nếu c /∈ J thì

c − a /∈ J suy ra c − a ∈ Z2 Khi đó với mọi a ∈ J , a = (c − a)−1(c − a)a = 0 nên

J = 0 vô lý, vậy nên c ∈ J Giả sử c = λm +Pn

i=1λixi với λ, λi ∈ Z2, khi đó do

mxn+1 = 0 = xixj với mọi i 6= j nên m = x2n+1 = γ(xn+1) = cxn+1 = 0 Điều này mâu thuẫn, vậy RR là không nội xạ

Trong [6] R.Y.C.Ming đã định nghĩa môđun MR gọi là C-nội xạ nếu với mọi môđun NR, và C là một môđun con xyclic bất kỳ của nó, mọi R-đồng cấu từ C vào

N đều có thể mở rộng thành đồng cấu từ N vào M Ông đã chứng minh lớp môđun p-nội xạ là mở rộng thực sự của lớp môđun C-nội xạ Vành R gọi là n-nội xạ phải nếu mọi đồng cấu từ một iđêan phải n sinh vào R đều mở rộng được thành một

tự đồng cấu của R Theo [7, example 5.22] ta thấy rằng tồn tại vành R là p-nội xạ phải, nhưng không 2-nội xạ phải Từ đây ta thấy lớp môđun C-nội xạ là mở rộng thực sự của f g-nội xạ Cũng như R.Y.C.Ming đã làm, chúng ta sẽ chứng minh lớp môđun f -nội xạ là mở rộng thực sự của lớp môđun f g-nội xạ

Mệnh đề 2.5 Cho M là fg-nội xạ Khi đó mọi môđun con hữu hạn sinh của M đều có bao nội xạ trong M Đặc biệt, mọi môđun hữu hạn sinh và fg-nội xạ thì nội xạ

Chứng minh Giả sử P là môđun con hữu hạn sinh của M , E là bao nội xạ của P Nếu g : P −→ M và j : P −→ E là các đồng cấu bao hàm thì do M

là fg-nội xạ nên tồn tại h : E −→ M sao cho hj = g Với mọi u ∈ Kerh ∩ P ,

u = g(u) = hj(u) = h(u) = 0, từ đó Kerh ∩ P = 0 Do P ≤e E nên kerh= 0, vậy h

là đơn cấu Suy ra H(E) ∼= E là nội xạ và là bao nội xạ của P Đặc biệt nếu P = M

Vành R gọi là V -vành phải nếu mọi R-môđun phải đơn đều nội xạ Từ mệnh đề 2.5 ta có các hệ quả sau

Hệ quả 2.6 R là V -vành phải khi và chỉ khi mọi R-môđun phải đơn là f g-nội xạ

Hệ quả 2.7.(Đặc trưng vành nửa đơn) Các điều kiện sau là tương đương:

(1) R là vành nửa đơn

(2) Mọi R-môđun là f g-nội xạ

(3) Mọi R-môđun xyclic là f g-nội xạ

Mệnh đề 2.8 R là vành chính quy khi và chỉ khi mọi R-môđun phải đều là f -nội xạ

Chứng minh Nếu R là vành chính quy thì mọi iđêan phải hữu hạn sinh I của R đều là hạng tử trực tiếp Do đó với mọi R-môđun M , mọi R-đồng cấu từ I vào M đều mở rộng được thành đồng cấu từ R vào M hay M là f -nội xạ

Ngược lại, giả sử rằng mọi R-môđun M đều là f -nội xạ Với mọi iđêan phải hữu hạn sinh I của R, theo giả thiết I là f -nội xạ nên ánh xạ đồng nhất id : I −→ I được mở rộng thành t : R −→ I Với ánh xạ bao hàm h : I −→ R thì với mọi a ∈ I

ta có th(a) = t(a) = a, suy ra th = 1I nên h là đơn cấu chẻ ra, từ đó I là hạng tử

Mệnh đề 2.9 Nếu R là vành chính quy sao cho mọi R-môđun f -nội xạ đều f g-nội

xạ thì R là V -vành

Chứng minh Với M là R-môđun xyclic, theo mệnh đề 2.8 thì MR là f -nội xạ nên

MR là f g-nội xạ, lại theo mệnh đề 2.5 thì MR là nội xạ  Theo [7, example 3.74A] chúng ta thấy rằng có những vành chính quy nhưng không là V -vành phải Mệnh đề trên cho thấy lớp các môđun f -nội xạ là lớp mở rộng thực sự của lớp các môđun f g-nội xạ

3 MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ MÔĐUN f g-NỘI XẠ VÀ f g-XẠ ẢNH

Mệnh đề 3.1 Nếu R là vành sao cho mọi môđun hữu hạn sinh đều xạ ảnh thì mọi môđun thương của môđun f g-nội xạ là f g-nội xạ

Chứng minh Cho A là R-môđun f g-nội xạ và có toàn cấu g : A −→ B Với mọi

R-môđun M và N là môđun con hữu hạn sinh của nó, gọi i : N −→ M là đơn cấu bao hàm Với mọi đồng cấu h : N −→ B, do N là xạ ảnh nên tồn tại k : N −→ A sao cho h = gk Lại do A là f g-nội xạ nên tồn tại l : M −→ A sao cho li = k Đặt

u = gl thì u : M −→ B và thỏa mãn ui = gli = gk = h, do đó B là f g-nội xạ  Trong [6] R.Y.C.Ming đã đưa ra một số kết quả về môđun C-nội xạ và C-xạ ảnh Đối với lớp môđun f g-nội xạ và f g-xạ ảnh ta cũng có một số kết quả tương tự Định lý 3.2 Các khẳng định sau là tương đương:

(1) R là vành các iđêan phải chính

(2) Mọi iđêan phải hữu hạn sinh của R là chính và mọi R-môđun f -nội xạ là nội xạ

(3) Mọi iđêan phải hữu hạn sinh của R là chính và mọi R-môđun f g-nội xạ là nội xạ

Chứng minh (1) ⇒ (2) ⇒ (3) là rõ ràng Giả sử có (3), do mọi R-môđun f g-nội

xạ là nội xạ nên R là vành Noether phải, từ đó mọi iđêan phải đều hữu hạn sinh nên là iđêan chính phải, suy ra R là vành các iđêan phải chính  Mệnh đề 3.3.Với R là vành tùy ý, các khẳng định sau là tương đương:

(1) R là vành các iđêan phải chính và R là tựa Frobenius

(2) R là vành các iđêan trái chính và R là tựa Frobenius

(3) Mọi iđêan một phía hữu hạn sinh của R là linh hóa tử của một phần tử của R

và mọi R-môđun f -nội xạ là nội xạ

(4) Mọi iđêan một phía hữu hạn sinh của R là linh hóa tử của một phần tử của R

và mọi R-môđun f g-nội xạ là nội xạ

Chứng minh (1)⇔ (2) do [2, proposition 25.4.6B] Do (1)⇔ (2) nên ta chỉ cần chứng minh cho iđêan phải Giả sử có (1), khi đó mọi R-môđun f -nội xạ là nội xạ Gọi T là iđêan phải của R thì T = aR với a ∈ R Do R là vành tựa Frobenius nên T = rl(T ) = rl(aR) = rl(a) = r(Rb) = r(b) với b ∈ R (3) suy ra (4) là rõ ràng Bây giờ giả sử có (4), ta chứng minh R là vành các iđêan phải chính Giả

sử F là iđêan phải hữu hạn sinh của R, theo giả thiết thì F = r(b) = r(Rb) với

b ∈ R, nhưng Rb là iđêan trái hữu hạn sinh của R nên Rb = l(c) = l(cR) với

c ∈ R Vì cR lại là iđêan phải hữu hạn sinh của R nên cR là linh hóa tử, do đó:

cR = rl(cR) = r(Rb) = r(b) = F , suy ra F là chính Như vậy, mọi iđêan phải hữu hạn sinh của R là chính và mọi R-môđun f g-nội xạ là nội xạ nên theo định lý 3.2 ta

có R là vành các iđêan phải chính Do đó để chứng minh R là tự nội xạ, ta chứng minh R là p-nội xạ Với mọi a ∈ R, do Ra là linh hóa tử nên Ra = lr(Ra) = lr(a)

RR là vành Noether là rõ ràng theo định lý 2.3, từ đó R là vành tựa Frobenius  Mệnh đề 3.4.Cho R là vành hoàn toàn không suy biến và thoả mãn: bất kỳ tổng trực tiếp nào của các bao nội xạ của các môđun hữu hạn sinh suy biến đều nội xạ Khi đó với mọi M là môđun f g-nội xạ thì Z(M ) là nội xạ

Chứng minh Rõ ràng R-môđun 0 là nội xạ, nên ta có thể giả sử Z(M ) 6= 0 Lấy

0 6= u1, , un ∈ Z(M ) khi đó u1R+ +unR có bao nội xạ V chứa trong M theo mệnh

đề 2.5 Do R là vành hoàn toàn không suy biến nên theo [4, theorem 4] thì từ tính nội

xạ của V suy ra Z(V ) nội xạ Do u1, , un ∈ Z(M ) nên u1R+ +unR ≤ Z(M ) nghĩa

là với mọi x thuộc vào u1R + + unR ta có r(x) ≤e RR nên từ u1R + + unR ≤ V suy ra u1R + + unR ≤ Z(V ), do Z(V ) nội xạ nên V ≤ Z(V ), nhưng hiển nhiên Z(V ) ≤ V Vậy V = Z(V ) ≤ Z(M )

Gọi S là tập tất cả các bao nội xạ của các môđun hữu hạn sinh suy biến được chứa trong Z(M ) Khi đó S 6= ∅ vì theo chứng minh trên, nếu ta lấy môđun

u1R + + unR thì nó có bao nội xạ V ≤ Z(M ) và vì u1R + + unR ≤ Z(M ) nên

u1R + + unR = Z(u1R + + unR) Lấy E là tập tất cả các họ độc lập {Ej} gồm các phần tử của S Khi đó E là tập sắp thứ tự tuyến tính Theo bổ đề Zorn, E có phần tử cực đại {Ei}i∈I0 Đặt N =L

i∈I 0Ei ≤ Z(M ) thì N là nội xạ theo giả thiết

Do đó Z(M ) = NL Q Nếu q ∈ Q và q 6= 0 thì qR có bao nội xạ W ≤ Z(M ) Nếu W ∩ N 6= 0 thì có phần tử khác không x thuộc cả W và N Vì qR ≤e W nên

N ≥ xR ∩ qR 6= 0 từ đó N ∩ Q 6= 0 mâu thuẫn Do đó W ∩ N = 0 Như thế có một phần tử của E thực sự chứa {Ei}i∈I0 mâu thuẫn tính cực đại Suy ra Q = 0 nên

Định lý 3.5 Trên vành R tùy ý, mọi môđun hữu hạn sinh và f g-xạ ảnh đều xạ ảnh

Chứng minh Giả sử rằng MRlà f g-xạ ảnh và hữu hạn sinh, M = m1R+ +mkR Với N là R-môđun, lấy f : P −→ N là toàn cấu và g : M −→ N là đồng cấu bất

kỳ Đặt ni = g(mi), i = 1, k và S = n1R + + nkR thì do g là đồng cấu nên tương ứng g0 : M −→ S xác định bởi P

imiri 7−→ P

iniri là đồng cấu và jg0 = g với

j : S −→ N là đồng cấu bao hàm Do f là toàn cấu nên tồn tại pi, i = 1, k sao cho

f (pi) = ni Đặt Q = p1R + + pkR, xét f0 là thu hẹp của f lên Q thì f0 : Q −→ S

và jf0 = f i với i : Q −→ P là phép nhúng Do f0 là toàn cấu và M là f g-xạ ảnh nên tồn tại đồng cấu h0 : M −→ Q sao cho f0h0 = g0 Đặt h = ih0 thì h : M −→ P

và f h = f ih0 = jf0h0 = jg0 = g Vậy M là xạ ảnh 

Hệ quả 3.6 Các điều kiện sau tương đương:

(1) R là vành nửa đơn

(2) Mọi R-môđun là f g-xạ ảnh

(3) Mọi R-môđun suy biến là f g-xạ ảnh

(4) Mọi R-môđun đơn là f g-xạ ảnh

Chứng minh (1) ⇒ (2) ⇒ (3) là rõ ràng Giả sử có (3) và M là môđun đơn khi đó

M hoặc là suy biến hoặc là hoàn toàn không suy biến Nếu M là suy biến thì theo giả thiết nó là f g-xạ ảnh Nếu M là hoàn toàn không suy biến, M = aR với a 6= 0, xét đồng cấu h : RR −→ aR xác định bởi h(r) = ar, khi đó M ∼= R/r(a) Do M là hoàn toàn không suy biến nên tồn tại iđêan phải I 6= 0 của R sao cho r(a) ∩ I = 0,

do tính cực đại của r(a) suy ra R = r(a) ⊕ I Như thế M ∼= R/r(a) ∼= I là hạng

tử trực tiếp của môđun tự do RR nên là xạ ảnh Suy ra M là f g-xạ ảnh Giả sử có (4), với mỗi iđêan phải cực đại m của R thì R/m là môđun đơn, từ đó R/m là xạ ảnh vì R/m hữu hạn sinh Do đó m =kerp là hạng tử trực tiếp thực sự của R, với

p : R −→ R/m là phép chiếu, suy ra m không cốt yếu trong RR Với mọi R-môđun phải M và với mọi 0 6= a ∈ M xét iđêan phải r(a) thì nó được chứa trong iđêan

phải cực đại m nào đó, do đó r(a) không cốt yếu trong RR, suy ra M là hoàn toàn

Tài liệu tham khảo

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] F W.Anderson, K R.Fuller, Rings and Categories of Modules, Springer-Verlag, New York, 1992

[2] C Faith, Algebra II: Ring Theory, Springer-Verlag, 1980

[3] T.Y.Lam, Lectures on Modules and Rings, Graduate Texts in Mathematics, Vol.189, Springer-Verlag, Berlin, 1998

[4] R.Y.C.Ming, A note on singular ideals , Tôhoku Math J.21 (1969), 337-342 [5] R.Y.C.Ming, A remark on decomposable modules , Publ Inst Math (Beograd), 25(39) (1979), 101-104

[6] R.Y.C.Ming, C-injectivity and C-projectivity, Hiroshima Math.J 37(2007), 385-395

[7] W K Nicholson, M F Yousif, Quasi-Frobenius Rings, Cambridge University Press, 2003

[8] S S Page, Y Q Zhou, Generalizations of Principally Injective Ring, J Algebra 206(1998),706-721

[9] R.Wisbauer, Foundations of Module and Ring Theory, Gordon and Breach Sci Pub, 1991

ON f g-INJECTIVE AND f g-PROJECTIVE MODULES

Tran Nguyen Dinh Nam, College of Pedagogy, Hue University SUMMARY

In this paper we consider the classes of f g-injective and f g-projective modules That are the extensions of the classes of injective and projective modules respec-tively Some characterizations of a semisimple ring via f g-injective and f g-projective modules are obtained We also obtain some properties of Noetherian, QF, singular, nonsingular rings via f g-injective and f g-projective modules