Hiệu ứng âm điện trong siêu mạng

Khi sóng âm được hấp thụ bởi vật dẫn, sự truyền động lượng và năng lượng từ sóng âm đến các điện tử trong vật dẫn có thể làm xuất hiện một hiệu ứng gọi là hiệu ứng âm điện.. Chúng tôi tí

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA VẬT LÝ

- -

KIỀU ĐỖ NGỌC TRINH

Hiệu ứng âm điện trong siêu mạng

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

SƯ PHẠM VẬT LÝ

A – MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Khoa học bán dẫn và các hiệu ứng động trong hệ bán dẫn thấp chiều được phát triển mạnh mẽ trong các thập niên gần đây Các thành tựu của ngành khoa học này đã được áp dụng rộng rãi trong kỹ thuật và đời sống hằng ngày, có tác động mạnh mẽ đến các lĩnh vực khoa học, công nghệ, kĩ thuật cũng như đời sống kinh tế

xã hội Chính việc nghiên cứu khoa học bán dẫn đã cho ra đời nhiều công nghệ hiện đại có tính cách mạng trong lĩnh vực khoa học và kĩ thuật

Khi kích thước của vật rắn giảm xuống một cách đáng kể theo 1 chiều, 2 chiều hoặc cả 3 chiều thì các tính chất vật lí : tính chất cơ, nhiệt, điện từ, quang có thể thay đổi một cách đột ngột Chính điều đó đã làm cho khoa học bán dẫn và các hiệu ứng động của bán dẫn hấp dẫn các nhà khoa học

Khi sóng âm được hấp thụ bởi vật dẫn, sự truyền động lượng và năng lượng

từ sóng âm đến các điện tử trong vật dẫn có thể làm xuất hiện một hiệu ứng gọi là hiệu ứng âm điện Hiệu ứng âm điện tạo ra dòng âm điện jac nếu mạch kín và tạo ra một trường âm điện không đổi ac

E nếu mạch hở Việc nghiên cứu hiệu ứng này là rất quan trọng vì nó đóng một vai trò quan trọng để hiểu các tính chất điện trong siêu mạng Việc nghiên cứu Hiệu ứng âm điện (Acoustoelectric effects) trong bán dẫn khối đã nhận được nhiều sự chú ý [1 – 5]

Ta biết rằng trong hệ thấp chiều (QW, siêu mạng, dây lượng tử….), sự chuyển động của electron bị giới hạn trong 1 chiều hoặc 2 chiều, vì vậy chúng có thể chuyển động tự do trong 2 chiều hoặc 1 chiều Sự giam giữ electron trong hệ thấp chiều làm thay đổi các tính chất của electron một cách rõ ràng Kết quả này gây ra một số hiện tượng mới liên quan đến sự giảm số chiều của mẫu chất Ví dụ như tương tác giữa electron và phonon [6,7], tính chất điện [8,9], tính chất quang cũng được nghiên cứu [10 – 15] trong hệ thấp chiều Chúng tôi nghĩ rằng sự giam giữ electron trong siêu mạng cũng ảnh hưởng đến hiệu ứng âm điện

Hiệu ứng âm điện AE được nghiên cứu bởi lí thuyết trong ống một chiều [16], trong siêu mạng [20 – 25] khi không có sóng điện từ Gần đây, dòng âm điện được đo bởi thí nghiệm trong hệ hai chiều [26,27] (hố lượng tử, siêu mạng ) trong dây lượng tử [28] và ống nano cacbon [29] Tuy nhiên trong siêu mạng, hiệu ứng

âm điện phi tuyến và ảnh hưởng của sóng điện từ lên hiệu ứng trong trường hợp khí suy biến vẫn đang được mở ra một hướng nghiên cứu Để đi đến kết luận tổng quát

hơn về hiệu ứng âm điện trong siêu mạng bán dẫn, chúng tôi đã chọn đề tài : “Hiệu ứng âm điện trong siêu mạng”

Trong khóa luận này, chúng tôi tập trung nghiên cứu về hiệu ứng âm điện phi tuyến và ảnh hưởng của sóng điện từ lên hiệu ứng âm điện trong siêu mạng Chúng tôi tính toán hiệu ứng này trong siêu mạng cho trường hợp thời gian phục hồi xung lượng của electron không phụ thuộc vào năng lượng và xét đối với khí điện tử suy biến Chúng tôi sẽ chỉ ra sự tuần hoàn năng lượng của điện tử trong siêu mạng là nguyên nhân của sự phụ thuộc phi tuyến của mật độ dòng âm điện ac

j vào số sóng

âm q Trong điều kiện này chúng tôi chú ý rằng dòng âm điện là âm hay dương phụ thuộc vào hướng của điện trường ngoài đặt vào Tiến hành thiết lập phương trình động học Boltzman, biểu thức giải tích của mật độ dòng âm điện khi có mặt điện trường ngoài, và cuối cùng là đánh giá kết quả định tính

Để hoàn thành bài khóa luận này, tôi đã tham khảo sách, bài báo khoa học, tạp chí, các website và được sự giúp đỡ của giáo viên hướng dẫn và giáo viên khác

2 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu : Hiệu ứng âm điện trong siêu mạng

- Phạm vi nghiên cứu : Các đặc điểm về cấu trúc, phổ năng lượng, mật độ trạng thái của siêu mạng, mật độ dòng âm điện trong siêu mạng với khí suy biến và trường âm điện trong siêu mạng

3 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của đề tài là nghiên cứu các đặc điểm về cấu trúc phổ năng lượng, mật độ trạng thái của bán dẫn siêu mạng, nghiên cứu về hiệu ứng âm điện trong siêu mạng và ảnh hưởng của điện trường ngoài không đổi và sóng điện từ lên hiệu ứng âm điện trong siêu mạng với khí điện tử suy biến Từ đó, xây dựng một tài liệu tổng quan nhất về hiệu ứng âm điện trong siêu mạng

4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu bao gồm : nghiên cứu tổng quan về lí thuyết, xây dựng công thức tính, tính toán số và biện luận kết quả; thiết lập biểu thức của trường âm điện trong siêu mạng bằng phương trình động Boltzman

5 Cấu trúc và nội dung của đề tài

A – Mở đầu

B – Nội dung

Chương 1 : Tổng quan về siêu mạng

Chương 2 : Biểu thức giải tích của trường âm điện trong siêu mạng

Chương 3 : Tính toán số liệu, biện luận kết quả

C- Kết luận

D – Các tài liệu tham khảo

B NỘI DUNG CHƯƠNG 1 : TỔNG QUAN VỀ SIÊU MẠNG

1 Cấu trúc của siêu mạng

Siêu mạng là 1 cấu trúc hố lượng tử đa lớp trong đó bề rộng của các hàng rào

đủ nhỏ để cho electron trong một giếng có thể xuyên qua chúng để qua các giếng thế khác

Siêu mạng có cấu trúc tương đương với hố lượng tử đa lớp, chỉ khác nhau ở chỗ, trong hố lượng tử đa lớp khoảng cách giữa các hố lượng tử đủ lớn để cản không cho các điện tử xuyên hầm từ hố này sang hố khác Còn trong siêu mạng, độ rộng rào thế L đủ nhỏ để các điện tử có thể xuyên hầm từ hố này sang hố kia Lúc này điện tử ngoài chịu tác dụng của thế tuần hoàn tinh thể còn chịu thế tuần hoàn do siêu mạng tạo ra với chu kì lớn hơn hằng số mạng rất nhiều Thế phụ tuần hoàn này được hình thành bởi sự khác biệt giữa các cực tiểu vùng dẫn của hai bán dẫn tạo nên siêu mạng Điều này tạo nên các mini vùng năng lượng (mini band) và các mini vùng cấm (minigap)

Hình 1.1 – Cấu trúc của siêu mạng

2 Các loại siêu mạng

Từ sự tương quan giữa vị trí của đáy và đỉnh vùng cấm (hay đáy của vùng dẫn và đỉnh của vùng hóa trị) của các bán dẫn tạo thành siêu mạng, chúng ta có thể phân biệt siêu mạng bán dẫn thành 2 loại chính, đó là siêu mạng thành phần và siêu mạng pha tạp

2.1 Siêu mạng thành phần

Khi các hàng rào thế trong hố lượng tử đa lớp trở thành trong suốt đối với hiệu ứng đường hầm, các hố thế đa lớp sẽ trở thành siêu mạng thành phần Chính vì thế siêu mạng thành phần cũng có các loại như sau :

2.1.1 Siêu mạng thành phần loại I

Siêu mạng này được tạo thành từ các bán dẫn có độ rộng vùng cấm hoàn toàn bao nhau Hay nói cách khác, trong siêu mạng loại I cả điện tử và lỗ trống đều

bị giam nhốt trong cùng một lớp A

Hình 2.1 – Siêu mạng bán dẫn thành phần loại I

Trong siêu mạng loại này, các tương tác giữa các hạt tải từ các lớp riêng biệt chỉ xảy ra giữa các vùng năng lượng cùng loại, tức là các điện tử của các loại bán dẫn tương tác với nhau và tương tự như vậy đối với các lỗ trống trong các vùng hóa trị của hai bán dẫn Trong siêu mạng thành phần loại I, khoảng cách về năng lượng các đáy vùng dẫn và khoảng cách các đỉnh vùng hóa trị của hai bán dẫn thành phần ngược dấu

2.1.2 Siêu mạng thành phần loại II

Siêu mạng loại này được tạo ra từ các bán dẫn có độ rộng vùng cấm nằm gần nhau nhưng không bao nhau Trong siêu mạng loại này có thể xảy ra tương tác của các hạt tải nằm trong các vùng khác nhau thuộc các bán dẫn khác nhau, tức là các điện tử của bán dẫn này tương tác với lỗ trống của bán dẫn kia hoặc ngược lại

Hình 2.2 – Siêu mạng bán dẫn thành phần loại II

Trong siêu mạng thành phần loại II, khoảng cách (về năng lượng) các đáy vùng dẫn và khoảng cách các đỉnh vùng hóa trị của hai bán dẫn thành phần cùng dấu nhau

Trong siêu mạng thành phần loại II, được chia làm hai loại :

* Loại IIA : Còn được gọi là bán dẫn khe vùng không gian gián tiếp, trong

loại này lỗ trống bị giam trong lớp A, còn điện tử bị giam trong lớp B

* Loại IIB : Giống các bán dẫn với khe năng lượng không hay khe năng

lượng nhỏ vì không có hay có khe năng lượng rất nhỏ giữa các điện tử ở trong lớp B

và lỗ trống ở trong lớp A

2.1.3 Siêu mạng thành phần loại III

Siêu mạng loại này có cấu trúc được hình thành từ ba bán dẫn khác nhau Người ta cũng có thể tạo ra siêu mạng loại này từ một bán dẫn thông thường và một bán dẫn khác với khe năng lượng bằng không (zero – gap) Nói chung, tương tác của các hạt tải trong siêu mạng loại này có đặc trưng rất đa dạng và phức tạp

2.2 Siêu mạng pha tạp

Bằng phương pháp Epitaxy, người ta còn tạo ra siêu mạng pha tạp hay còn gọi là siêu mạng “nipi” Siêu mạng loại này được tạo ra trên tinh thể bán dẫn trong đó trường điện thế phụ được xác định bằng sự phân bố không gian của các tạp chất Aceptor và Donor trong tinh thể bị ion hóa Trong siêu mạng pha tạp, sự phân bố không gian của các điện tích tạo ra sự biến điệu của các đáy và đỉnh vùng năng lượng và làm biến dạng độ rộng của vùng cấm trong không gian thực của các vật liệu Kết quả quan trọng nhất của sự biến dạng này là tạo ra khoảng cách giữa các

trạng thái của điện tử và lỗ trống Về mặt tinh thể học, siêu mạng này có một số ưu điểm so với các siêu mạng thành phần Số nguyên tử pha tạp luôn ít hơn số nguyên

tử pha tạp trong bán dẫn chính Việc đưa các pha tạp vào không xảy ra vấn đề gì đối với các mặt tiếp xúc giữa các lớp Không có các giới hạn đối với việc chọn bán dẫn chính Tuy nhiên, ngay khi pha tạp rất mạnh, khoảng cách trung bình giữa các tạp chất này cũng chỉ cùng cỡ của chu kì thế năng phụ

Ngoài ra các siêu mạng trên dựa trên sự thay đổi hằng số mạng tinh thể bằng phương pháp cơ học, một loại siêu mạng khác có thể được tạo ra gọi là siêu mạng biến dạng Ưu điểm của phương pháp tạo ra siêu mạng loại này là siêu mạng được tạo ra từ một tinh thể bất kì mà không phụ thuộc vào tính chất điện Tuy nhiên, nếu dùng các sóng âm có công suất lớn, siêu mạng được tạo ra thường khó thỏa mãn điều kiện đối với một siêu mạng (điều kiện đólà quãng đường tự do trung bình của các hạt tải trong tinh thể phải lớn hơn nhiều so với chu kì của thế phụ tuần hoàn) Ngoài ra, việc tạo ra biến dạng mạng tinh thể có liên quan tới thăng giáng không gian mạnh của thế phụ và các biến dạng này có thể dẫn đến phá vỡ tinh thể về mặt

cơ học

3 Năng lượng và hàm sóng của điện tử trong siêu mạng

3.1 Năng lượng và hàm sóng của điện tử trong siêu mạng khi không có từ trường tác dụng

Một tham số quan trọng liên quan đến việc khảo sát các hiệu ứng lượng tử trong siêu mạng bán dẫn là quãng đường tự do trung bình  của điện tử phải lớn hơn nhiều so với chu kì d của siêu mạng bán dẫn Để điều kiện này thỏa mãn thì khoảng cách giữa hai mức năng lượng liên tiếp phải lớn hơn so với năng lượng chuyển động nhiệt k B T và cũng phải lớn hơn độ rộng va chạm của các mức



 Nếu

điều kiện này không được thỏa mãn, các điện tử không cảm nhận được thế tuần hoàn và không tạo thành mini vùng Với các cấu trúc siêu mạng điển hình được chế tạo đủ tốt, điều kiện này được thực hiện với độ rộng của hố lượng cô lập với cỡ hàng trăm 

A hoặc nhỏ hơn Quãng đường tự do trung bình của điện tử trong siêu mạng bán dẫn phụ thuộc rất nhiều vào chất lượng của bề mặt và khối tinh thể, phụ thuộc vào nhiệt độ và khối lượng hiệu dụng của điện tử Ngoài ra, mật độ điện tử và

lỗ trống trong siêu mạng bán dẫn cũng không phải là một tham số cố định mà được xác định bởi nồng độ pha tạp và dễ biến đổi

Hệ điện tử trong siêu mạng bán dẫn là hệ điện tử chuẩn hai chiều Các tính chất vật

lí của hệ điện tử được xác định bởi phổ năng lượng của chúng, tức là nghiệm của phương trình Schorodinger với thế năng bao gồm thế năng tuần hoàn của mạng tinh thể và thế phụ tuần hoàn do siêu mạng tạo ra Trong thực tế, việc giải phương trình Schorodinger trong trường hợp tổng quát là rất phức tạp Tuy nhiên, bài toán sẽ đơn giản hơn rất nhiều bởi thực tế là chu kì của siêu mạng lớn hơn rất nhiều so với biên

độ của mạng tinh thể Vì vậy, ảnh hưởng của thế tuần hoàn của siêu mạng chỉ ảnh hưởng ở gần các mép của vùng năng lượng Ở gần các mép của vùng năng lượng, qui luật tán sắc của điện tử có thể được coi là có dạng bậc hai Khhi đó, phổ năng lượng của siêu mạng có thể được tìm trong gần đúng hiệu dụng với giả thiết các vùng năng lượng của tinh thể ban đầu không suy biến có dạng :

)(.)()

()(2

2

*

2

r E r r U r m

(r

U 

bao gồm thế năng tuần hoàn của mạng tinh thể và thế phụ tuần hoàn do siêu mạng tạo ra

Tính chất tuần hoàn của U (r )

trong phương trình (3.1) đóng vai trò quyết định số chiều của siêu mạng Vì thế siêu mạng U (z) là tuần hoàn nên hàm sóng của điện tử )

(z

 có dạng Bloch, còn phổ năng lượng có cấu trúc mini vùng được xác định bởi

chỉ số mini vùng s và vector sóng k z, vector sóng k z được xác định trong mini

)(2

)

2 2

z s

m

k k

E    

(1.2) Với E s(k z) là năng lượng của tinh thể

Với một giá trị của k z, đường cong tán sắc của bán dẫn khối E(k z)tách thành các mini vùng Brilouin E s(k z) được ngăn cách nhau bởi các mini vùng cấm (minigap)

.)

s với s0là chỉ số mini vùng cao nhất, E s là các mức năng lượng trong

hố thế cô lập, s là một nửa của độ rộng mini vùng s , các đại lượng E s và s

được cho bởi các biểu thức :

2 0

*

2 2

2m d s

E s   

và

2 0 2 0

*

2 0 2 0

*

)(

2exp

)1(4





U d d m

U d d m d

d

d s s

1 

E thì khi đó phổ năng lượng của điện tử được viết lại dưới dạng như sau :

)cos(

2

)(

)

2 2 2

d k m

k k k

Hàm sóng của điện tử trong mini vùng s là tổ hợp của hàm sóng theo mặt phẳng (x,y) (có dạng sóng phẳng) và theo phương trục siêu mạng (trục oz) có dạng hàm Bloch VÌ vậy, hàm sóng tổng cộng của điện tử trong mini vùng s trong gần đúng liên kết mạnh có dạng :

exp

1)

(

1

N L L

N

z y

x đ

y x k

Hình 3 : Sự tách vùng năng lượng E(k z) của tinh thể với hằng số mạng a thành các

vùng con E s(k z) bởi thế siêu mạng với chu kì d Số mini vùng bằng d/a

3.2 Năng lượng và hàm sóng của điện tử trong siêu mạng khi có từ trường tác

dụng

Khi có mặt từ trường hướng theo trục z (B

// Oz), chuyển động của điện tử trong mặt phẳng (x,y) cũng bị lượng tử hóa Nếu chọn thế vector của trường điện tử

là A AB y,0,0 trong gần đúng liên kết mạnh, phổ năng lượng của điện tử trong mini vùng thấp nhất có dạng :

d k N

E E k

2

1)

N đ x k

L L

r

1 0

c là tấn số cyclotron ( e là điện tích của điện tử, c là vận tốc ánh

sáng, N là hàm sóng của dao động tử điều hòa, N là chỉ số mức phân vùng từ

Landauer (N  0 , 1 , 2 , ),

eB

k c

x   y



0 là vị trí tâm quĩ đạo

4 Mật độ trạng thái trong siêu mạng

Do siêu mạng có cấu trúc giống với hố lượng tử đa lớp nên để xét mật độ trạng thái trong siêu mạng ta có thể xét mật độ trạng thái trong hố lượng tử Do trong hố lượng tử chuyển động của điện tử bị giới hạn một chiều, chuyển động tự do theo hai chiều nên lúc này ta sẽ tìm số trạng thái trong một đơn vị diện tích

Để tìm số trạng thái trong một đơn vị diện tích ta xét hình vành khăn giới hạn bởi hai vòng tròn có bán kính k và kdk

=> Diện tích của hình vành khăn là : 2kdk

Số trạng thái trong hình vành khăn có chiều dày dk là :







2)2(

2)(k dk kdk2 kdk

Mặt khác, năng lượng trong hố lượng tử lại có biểu thức :

2 2 2

2 2 2 2

22

)(

n m k

k m

(1.9) Đạo hàm hai vế của (4.2) ta được :

dE

m dk k m





m E

Vì năng lượng của điện tử ; 1,2,3

2

2 2

E E khi

E E khi E

E

0

1)(

Vậy g2D(E)dE là mật độ trạng thái trong hố lượng tử, đây cũng chính là mật độ trạng thái trong siêu mạng

Hình 4 : Mật độ trạng thái trong giếng lượng tử (

CHƯƠNG 2 : BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CỦA TRƯỜNG ÂM ĐIỆN TRONG

SIÊU MẠNG

1 Cơ sở lí thuyết

Khi sóng âm được hấp thụ bởi vật dẫn, sự truyền động lượng và năng lượng

từ sóng âm đến các điện tử trong vật dẫn có thể làm xuất hiện một hiệu ứng gọi là hiệu ứng âm điện Hiệu ứng âm điện tạo ra dòng âm điện jac nếu mạch kín và tạo ra một trường âm điện không đổi ac

E nếu mạch hở

Sự tương tác giữa sóng âm bề mặt (suface acoustic wave – SAW) với các điện tử chuyển động trong cấu trúc bán dẫn trở thành phương pháp quan trọng để nghiên cứu các tính chất động lực học, tính dẫn điện của các hệ thống thấp chiều

trong hố lượng tử

Cơ chế của hiệu ứng âm điện dựa trên sự truyền năng lượng và xung lượng là

sự tương tác của các phonon âm với điện tử chuyển động trong vật liệu bán dẫn Hiệu ứng này xuất hiện khi có sự tán xạ giữa xung lượng của điện tử với dao động mạng tinh thể khi có sóng âm truyền dọc theo vật liệu

2 Phương trình động học Boltzman

Hiệu ứng động là quá trình không thuận nghịch, nó tuân theo phương trình động học Boltzman Chúng ta khảo sát mật độ hạt tải điện trong trạng thái đặc trưng bởi vector sóng K

d   3   là phần tử thể tích pha của không gian chuẩn xung lượng

Như vậy, trong phần tử thể tích pha có 3



dG

ô cơ sở pha, mà mỗi ô cơ sở pha

có thể có 2 điện tử spin ngược dấu nhau Do đó, trong phần tử thể tích pha chứa

2



dG

trạng thái lượng tử Nếu f(r,K,t)

là xác suất tìm được điện tử ở trạng thái này thì số lượng điện tử trong phần tử thể tích pha ở thời điểm t bằng :

r

K d

d t K r f

dG t K r f

,,(2

)

,,

dọc theo hướng dương của trục x Chúng ta sẽ tính sự thay đổi số điện tử trong thời gian dt ở bên trong phần tử thể tích dr

Trong phần tử thể tích dr, số điện tử đi qua mặt bên trái trong thời gian dt

với vận tốc v x theo [8] bằng :

dt dz dy v

d t z y x K f dz dy dt v

d t z y x K

x

4)

,,,,(

).(4),,,,

,,,,

f v dydzdt d

x

f v

dt dz dy v

d t z y dx x K f t z y x K f

r K y x K

y x

x K

3

4 4

4

),,,,(),,,,(

v fd d dt dt

d d z

f v y

f v x

f

r r

K z

4

.4

dt d

d f F dt

d

d f dt

K d

dt d d K

f t

K K

f t

K K

f t K

r K K

r K K

r K z z y y x x

3

4).(14

4

K

d   

là lực tác dụng lên điện tử ở điểm r

tại thời điểm t

Biểu thức (2.7) là sự thay đổi số lượng điện tử nhờ tác dụng của lực bên ngoài gây

ra từ các từ trường điện từ

Hàm phân bố còn thay đổi theo thời gian do tán xạ của hạt tải lên các hạt tải khác, làm biến đổi trạng thái của điện tử từ trạng thái ( K r, )

sang trạng thái (r,K) Khi

va chạm tọa độ của điện tử không thay đổi đáng kể, nên xác suất chuyển mức trong một đơn vị thời gian không phụ thuộc vào r

và r, W(K,K) là xác suất chuyển mức từ trạng thái K

sang trạng thái K trống hoàn toàn Như vậy, điện tử trong khoảng thời gian dt nhờ va chạm, chuyển từ trạng thái K

sang trạng thái K, dẫn đến giảm bớt một lượng điện tử trong thể tích nguyên tố dG (quá trình này phức tạp

ở đây ta chỉ xét các tán xạ đàn hồi) là :

dt d d d t K r f K K W t K r

44)]

,,(1)[

,(),,

4)

,,

(



K

d t K

,,(1

[



K

d t K r

    là số chỗ trống trong trạng thái K

Trong cùng thời gian ấy cũng có thể xảy ra quá trình ngược, nghĩa là hạt tải

có thể chuyển từ trạng thái K vào trạng thái K

do tán xạ với xác suất W(K,K) Như vậy, số lượng điện tử thực hiện quá trình ngược dẫn đến làm tăng số lượng điện tử trong thể tích dG có giá trị bằng :

dt d d d t K r f K K W t K r

44)]

,,(1)[

,(),,

Do vậy, nhờ va chạm số điện tử trong một thể tích pha nguyên tố trong khoảng thời gian dt được biến đổi một lượng là :

dt d d d K f K K W K f K K W K

(1)[

,()]

(1)[

,()

ở đây, f(K) f(r,K,t); f(K) f(r,K,t)

)(),

(K f K

 là hàm của vector sóng sau khi được rút gọn

Để tính tính toàn bộ số điện tử tán xạ nhờ va chạm cần phải lấy tích phân theo toàn bộ trạng thái cuối K có thể, nghĩa là biểu thức (2.11) cần phải lấy tích phân theo thể tích của vùng Brillouin

3

4)]

(1)[

,()]

(1)[

,()(

K f K K W K f K K W K f dt d d

đến tdt tạo nên giá trị bằng :

dt d d t

f d

d t K r f d

d dt t K r

r K r

3

44

),,(4

),,(

(1)[

,()()]

(1)[

,()(

).(

1)(



K

V

K r

d K f K K W K f K f K K W K f

f F f

v t f

()()[

,()

.(

1)(



K

V K r

d K f K f K K W f

F f

v dt

Hàm phân bố f(r,K,t)

có thể bị biến đổi do 3 hiện tượng : khếch tán, tác

dụng của trường ngoài và tán xạ Sự biến đổi

dt

df

gồm có 3 phần :

tr t

do va chạm giữa các electron với nhau hay do tán xạ của selectron

trên những bất hoàn chỉnh của mạng tinh thể và

t k t

t K r f t

t K r f t

t K r f dt

t K r

(2.18)

4)]

()()[

,()

.(

1)(



K

V K r

d K f K f K K W f

F f

3 Biểu thức giải tích của dòng âm điện trong siêu mạng

Khi một sóng âm truyền dọc theo một vật dẫn, do sự truyền năng lượng và xung lượng từ sóng âm cho các điện tử trong vật dẫn, làm xuất hiện hiệu ứng, gọi

là hiệu ứng âm điện Nếu mạch kín thì tạo ra dòng âm điện ac

j và nếu mạch hở thì tạo ra điện trường không đổi E ac

Để tính dòng âm điện trong siêu mạng, chúng ta sử dụng phương trình động học Boltzman Sóng âm được xem xét như là sóng siêu âm trong miền ql  1 Trong miền ql 1 ( l là quãng đường chuyển động tự do của điện tử, q

là số sóng âm) , sóng âm được coi như những phonon đơn sắc có sự phân bố trong không gian theo công thức N (k)

được trình bày [28] dưới đây :

)(

3)2()

s v q

;

2  1 eE0d eE1d (với  là thời gian phục hồi của điện tử, 2 là

độ rộng của mini vùng và d là chu kì của mạng tinh thể Mật độ dòng âm điện được cho bởi biểu thức :

3)2(

2

p d p i

ac n n U e ac

)()(

2

)(

)()(

22

'

, ,'

, ,'

,

,' ,

,' ,

, ,

',

q p n q p n p

n q

p n p

q

p

q p n q p n p

n q

p n p

q p

ac

n

n

f f

G

f f

G s

v

q

U

n n





f W

f

thiết là toán tử Hermitian Trong gần đúng xấp xỉ theo thời gian phục hồi, có thể xem



1

ˆp 

W hơn nữa  const

Chúng ta tìm lời giải cho phương trình (5) , để giải phương trình (5) ta đặt :

) 2 ( ) 1 ( ) 0

 i i p

i

V W

p H V c

i i

i i

i

V p

H V

Trong trường hợp gần đúng bậc không, tức là khi không có mặt từ trường thì phương trình (7) trở thành :

i i i

i i

V V

p H V c

e

1)

) 0 (

e p

H V c

i i

)(

1)

Dùng phương pháp lặp gần đúng và thay (8) vào (9) thì :

i i

mc

e H

V m c

e

)()

(

2 )

q

p

G

p d q p i q q p n p n q

p n f p n f q p p

G s

v q

,,

,

2

,

3,

,,

,

2,2

2,p q G p q p G p q p

n f q p n f

q

p

G

p d q p i q p n q p n p

n f q p n f q p G s

v q

,,

,

2

,

3,

,,

,

2,2

p n f q p n f q p G s

v q

e ac

,

,,

2,2

i i

i(p) l (p) V

) 0

q q

p

q G

p n f q p n

f s

v q

q e ac j

,

,,

224

2.2

Hàm phân bố khi có mặt điện trường ngoài E

được cho khi biến đổi công thức Boltzman trong thời gian gần đúng  ;( const) với  là thời gian hồi phục Hàm này được cho bởi :

0

t E e p f t

dt p

F t E e p n t

E e p n

khi t

E e p f

0)

()

Với F là mức năng lượng Fermi Mặt khác phổ năng lượng p của điện tử trong

siêu mạng được cho bởi :

))cos(

1(2

p

  p d d

p

z p

Giả thiết rằng electron bị giam giữ trong mini vùng dẫn thấp nhất (nn'1)

Và có thể nói rằng điện trường không gây ra sự chuyển tiếp giữa vùng được lấp đầy

và vùng dẫn còn trống, vì vậy n có thể được viết thành 

Từ các biểu thức (16), (17), (18), (19) thay vào (15) thực hiện biến đổi như sau :

q p q p d

z p d

z q z

p

d

dt t t

E e p f dt t t

E e q p f s

v q

)sin(

)sin(

.exp)

0

(0

exp)

0

(0

2

4

22

p m

p d z

q z

p m

q

p

d z q z q z

p

dt t t

E e p F t

E e q p F

d s

cos1(2

2)

cos(

12

2

2

.2sin)2cos(

2

.exp)(

)(

0

2

exp)

cos(

12

2

)cos(

12

220

q d z q z p dt

t d

eEt z

p m

p

F

d eEt z q z

p m

q p F

d s v