NỘI DUNG
TỔNG QUAN VỀ HỆ THẤP CHIỀU
1.1.1 Cấu trúc hố lượng tử bán dẫn
Hố lượng tử là một phần của hệ cấu trúc bán dẫn hai chiều, với mô hình cấu trúc khác biệt so với hệ 3D Mật độ trạng thái của các hệ bán dẫn thấp chiều có thể được mô tả một cách rõ ràng qua hình ảnh minh họa.
Hình 1.1: Minh họa hình dạng và mật độ trạng thái của bán dẫn khối (3D), hố lượng tử (2D), dây lượng tử (1D) và chấm lượng tử (0D)
Trong hố lượng tử hai chiều (2D), chuyển động của các hạt tải bị giới hạn theo một chiều, cho phép chúng di chuyển tự do trong hai chiều còn lại Hố lượng tử được tạo thành khi một lớp mỏng chất bán dẫn nằm giữa hai lớp chất bán dẫn khác có cấu trúc mạng tương đồng Sự khác biệt giữa các cực tiểu vùng dẫn của hai chất bán dẫn tạo ra một hố thế lượng tử cho điện tử Các hạt tải trong lớp bán dẫn với vùng cấm hẹp không thể xuyên qua mặt phân cách, dẫn đến sự định xứ mạnh và cách ly lẫn nhau Hàm sóng của điện tử bị phản xạ ở thành hố, làm cho phổ năng lượng của nó bị lượng tử hóa, tạo ra các mức năng lượng gián đoạn Tùy theo mục đích sử dụng, có thể điều chỉnh độ rộng và độ sâu của hố thế để tối ưu hóa cho các ứng dụng cụ thể.
TỔNG QUAN VỀ HỆ THẤP CHIỀU
Siêu mạng bán dẫn
1.3 Siêu mạng bán dẫn thành phần loại II 8
2.1 Sơ đồ hiệu ứng âm điện từ 19
1 Lý do chọn đề tài
Sự phát triển của vật liệu bán dẫn từ những năm 50-60, đặc biệt là sự ra đời của dị cấu trúc bán dẫn vào năm 1974, đã mở đường cho việc chế tạo các thiết bị quang điện tử hiện đại Tầm quan trọng của những thiết bị này đã được công nhận qua giải thưởng Nobel vật lý năm 2000, nhấn mạnh vai trò của dị cấu trúc bán dẫn trong công nghệ thông tin và truyền thông cho điện tử tốc độ cao Các dị cấu trúc bán dẫn là nền tảng cho việc phát triển các bán dẫn thấp chiều, bao gồm cấu trúc hai chiều (hố lượng tử), một chiều (dây lượng tử) và không chiều (chấm lượng tử) Những cấu trúc này thu hút sự quan tâm của các nhà vật lý do những đặc tính ưu việt mà chúng mang lại so với cấu trúc ba chiều Khi kích thước vật liệu giảm xuống kích thước lượng tử, các tính chất vật lý của electron thay đổi mạnh mẽ, dẫn đến sự biến đổi đáng kể về cả định tính và định lượng Các hiệu ứng kích thước này, xuất phát từ sự thay đổi của hàm sóng và phổ năng lượng, đã góp phần vào việc phát triển các linh kiện và thiết bị mới, tạo ra những công nghệ hiện đại mang tính cách mạng trong khoa học kỹ thuật.
Khi sóng âm truyền qua vật dẫn có electron, năng lượng từ sóng âm tác động lên electron dẫn đến hiệu ứng âm điện Trong mạch kín, hiệu ứng này tạo ra dòng âm điện, trong khi ở mạch hở, nó tạo ra trường âm điện Nếu có từ trường ngoài vuông góc với chiều truyền sóng âm, hiệu ứng âm điện từ sẽ xuất hiện, tạo ra dòng âm điện từ vuông góc với cả sóng âm và từ trường, và nếu mạch hở, sẽ hình thành trường âm điện từ.
Hiệu ứng âm điện trong bán dẫn khối được nghiên cứu dưới hai quan điểm lý thuyết: cổ điển và lượng tử Quan điểm cổ điển giải quyết bài toán này thông qua phương trình động cổ điển Boltzmann, xem sóng âm như lực tác dụng Trong khi đó, lý thuyết lượng tử sử dụng phương pháp lý thuyết hàm Green và phương trình động lượng tử, coi sóng âm như dòng phonon âm Gần đây, các hiệu ứng âm điện đã được thực nghiệm xác nhận trong các cấu trúc như siêu mạng, hố lượng tử và ống nano cacbon Sự quan tâm nghiên cứu về hiệu ứng âm điện trong bán dẫn khối và hệ hai chiều ngày càng tăng, dẫn đến việc lựa chọn tiêu đề “Hiệu ứng âm điện trong hố lượng tử” cho nghiên cứu này.
2 Mục tiêu nghiên cứu Đề tài nghiên cứu và tính toán:
- Dòng âm điện từ trong hố lượng tử với hố thế cao vô hạn
- Trường âm điện từ trong hố lượng tử với hố thế parabol
- Tính toán trường âm điện từ trong hố lượng tử
Đánh giá định tính sự phụ thuộc của dòng âm điện và trường âm điện vào các tham số bên ngoài như tần số sóng siêu âm, nhiệt độ của hệ, tần số sóng điện từ và tần số cyclotron là rất quan trọng Nghiên cứu này giúp hiểu rõ hơn về mối liên hệ giữa các yếu tố này và ảnh hưởng của chúng đến các hiện tượng vật lý trong hệ thống Việc phân tích các tham số này có thể cung cấp thông tin quý giá cho việc tối ưu hóa các ứng dụng công nghệ liên quan đến âm điện và điện từ.
So với kết quả thu được về hiệu ứng âm điện trong hệ thấp chiều, nghiên cứu trong bán dẫn khối đã chỉ ra sự khác biệt rõ rệt về mặt định tính.
4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng: Dòng âm điện lượng tử và trường âm điện từ trong hố lượng tử có hố thế cao vô hạn và hố thế parabol
- Phạm vi: Quan điểm lý thuyết lượng tử
Theo lý thuyết lượng tử, bài toán hiệu ứng âm điện phi tuyến và âm điện từ có thể giải quyết bằng nhiều phương pháp khác nhau, mỗi phương pháp đều có những ưu nhược điểm riêng Do đó, việc lựa chọn phương pháp phù hợp phụ thuộc vào từng bài toán cụ thể Trong khuôn khổ khóa luận, bài toán tính dòng âm điện lượng tử trong hố lượng tử được nghiên cứu thông qua phương pháp phương trình động lượng tử.
TỔNG QUAN VỀ HỆ THẤP CHIỀU
1.1.1 Cấu trúc hố lượng tử bán dẫn
Hố lượng tử là cấu trúc bán dẫn hai chiều, khác biệt so với hệ ba chiều Mô hình cấu trúc và mật độ trạng thái của các hệ bán dẫn thấp chiều được mô tả trong Hình 1.1.
Hình 1.1: Minh họa hình dạng và mật độ trạng thái của bán dẫn khối (3D), hố lượng tử (2D), dây lượng tử (1D) và chấm lượng tử (0D)
Trong hố lượng tử hai chiều (2D), chuyển động của các hạt tải bị giới hạn theo một chiều, cho phép chúng tự do di chuyển trong hai chiều còn lại Hố lượng tử được tạo ra khi một lớp mỏng chất bán dẫn nằm giữa hai lớp chất bán dẫn khác có cấu trúc mạng tương tự Sự khác biệt giữa các cực tiểu vùng dẫn của hai chất bán dẫn tạo ra một hố thế lượng tử cho điện tử, khiến các hạt tải trong lớp bán dẫn có vùng cấm hẹp không thể xuyên qua mặt phân cách Kết quả là, các hạt tải bị định xứ mạnh và gần như cách ly với nhau, trong khi hàm sóng của điện tử bị phản xạ ở thành hố và phổ năng lượng của nó bị lượng tử hóa Sự lượng tử hóa này dẫn đến các mức năng lượng gián đoạn, và người ta có thể điều chỉnh hoặc tối ưu hóa hố thế bằng cách lựa chọn độ rộng và độ sâu của nó cho các ứng dụng cụ thể.
Hố lượng tử được chế tạo qua nhiều phương pháp như epitaxy (MBE) và kết tủa hóa hữu cơ kim loại (MOCVD), cho phép tạo ra các hố lượng tử với thế giam giữ đa dạng Nghiên cứu lý thuyết về hố lượng tử dựa vào hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử, sử dụng phương trình Schrodinger để phân tích hố thế đặc trưng Trong khóa luận này, tôi tập trung vào hố lượng tử với thế giam giữ cao vô hạn và hố lượng tử có thế giam giữ parabol.
1.1.2 Hàm sóng và phổ năng lượng của electron bị giam cầm trong hố lượng tử thế cao vô hạn a Trường hợp vắng mặt của từ trường
Chúng ta xem xét một electron chuyển động tự do theo hai chiều trong hố lượng tử với thế cao vô hạn và có độ rộng
Hạt bên trong hố được giam giữ bởi một thế cao vô hạn có dạng:
Giải các phương trình Schrodinger thu được hàm sóng và phổ năng lượng của electron bị giam cầm trong hố lượng tử:
Trong hố lượng tử, các mức năng lượng gián đoạn được xác định bởi công thức \(E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2m^*L^2} + V_0\), trong đó \(E_n\) là mức năng lượng, \(L\) là độ rộng hố lượng tử, và \(m^*\) là khối lượng hiệu dụng của electron Hơn nữa, khi có mặt của từ trường, vectơ xung lượng của electron được chiếu lên mặt phẳng, ảnh hưởng đến các đặc tính điện từ của hệ thống.
Bây giờ chúng ta đặt thêm một từ trường không đổi
⃗ ( ) ( ) vuông góc với hố lượng tử, tức là song song với phương
Hàm sóng và phổ năng lượng của electron như sau:
là hàm sóng của dao động tử điều hòa quanh tâm với tần số tần số cyclotron, ( ) là đa thức Hermite, là chỉ số mức Landau từ
Bây giờ chúng ta đặt một từ trường không đổi
⃗ ( ) như hình vẽ ta có phổ năng lượng và hàm sóng:
1.1.3 Hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong hố lượng tử với hố thế Parabol
Giả sử hố thế giam giữ dạng parabol đối xứng trong mặt phẳng :
Tần số riêng của electron trong hố lượng tử với thế parabol được biểu diễn bằng công thức V z 2m z (1.8) Khi một từ trường ⃗ ( ) được đặt vào hố lượng tử, hàm sóng và phổ năng lượng của electron sẽ thay đổi theo điều kiện của thế parabol.
1.2.1 Cấu trúc siêu mạng bán dẫn
Bán dẫn siêu mạng (superlattice) là cấu trúc tuần hoàn nhân tạo, bao gồm các lớp bán dẫn khác nhau với độ dày nanomét Trong cấu trúc này, các điện tử không chỉ chịu tác động của thế tuần hoàn từ tinh thể mà còn bị ảnh hưởng bởi thế phụ tuần hoàn do siêu mạng tạo ra, với chu kỳ lớn hơn hằng số mạng Thế phụ tuần hoàn này xuất hiện do sự khác biệt về mức năng lượng giữa các vùng dẫn của hai loại bán dẫn trong siêu mạng.
Siêu mạng có cấu trúc tương tự như hố lượng tử đa lớp, nhưng khác biệt ở chỗ khoảng cách giữa các hố lượng tử trong siêu mạng đủ hẹp để cho phép điện tử chui theo đường hầm giữa các lớp Điều này cho phép các điện tử coi các lớp mỏng kế tiếp như một thế tuần hoàn, bổ sung vào thế của tinh thể Dựa vào mối tương quan giữa vị trí đáy và đỉnh của vùng cấm trong các bán dẫn, siêu mạng có thể được phân loại thành 4 loại chính.
Siêu mạng thành phần loại I, như mô tả trong Hình 1.2, được hình thành từ các bán dẫn có độ rộng vùng cấm hoàn toàn bao nhau, nơi cả điện tử và lỗ trống đều bị giam nhốt trong cùng một lớp Trong cấu trúc này, các tương tác giữa các hạt tải từ các lớp riêng biệt chỉ diễn ra giữa các vùng năng lượng tương đồng, với các điện tử của các loại bán dẫn tương tác và tương tự đối với các lỗ trống trong các vùng hóa trị của hai bán dẫn Đặc biệt, trong siêu mạng loại I, khoảng cách năng lượng giữa các đáy vùng dẫn và các đỉnh vùng hóa trị của hai bán dẫn thành phần là ngược dấu.
Hình 1.2 Siêu mạng bán dẫn thành phần loại I
Siêu mạng thành phần loại II được hình thành từ các bán dẫn có độ rộng vùng cấm tương tự nhưng không bao nhau, cho phép tương tác giữa các hạt tải trong các vùng khác nhau của các bán dẫn khác nhau Điều này có nghĩa là điện tử từ một bán dẫn có thể tương tác với lỗ trống của bán dẫn khác, và ngược lại Trong siêu mạng này, khoảng cách năng lượng giữa các đáy vùng dẫn và các đỉnh vùng hóa trị của hai bán dẫn thành phần có cùng dấu.
Hình 1.3 Siêu mạng bán dẫn thành phần loại II
HIỆU ỨNG ÂM ĐIỆN TỪ TRONG BÁN DẪN KHỐI
Khái niệm về hiệu ứng âm điện và âm điện từ
Khi sóng âm di chuyển qua vật dẫn, nó truyền năng lượng và xung lượng cho các electron, tạo ra hiệu ứng âm điện Sự hiện diện của từ trường có thể dẫn đến hiệu ứng âm điện từ, trong đó sóng âm tạo ra dòng điện từ trong mạch kín và trường điện từ trong mạch hở.
Hình 2.1 Sơ đồ hiệu ứng âm điện từ
Hiệu ứng âm điện từ xảy ra khi một mẫu bán dẫn hình chữ nhật được đặt trong từ trường và truyền sóng âm dọc theo trục Khi mẫu hoàn toàn cách điện, sẽ xuất hiện hiệu điện thế giữa hai mặt bên, dẫn đến dòng điện nếu mạch được đóng Dòng điện này được gọi là dòng âm điện từ và tương tự như hiệu ứng Hall trong bán dẫn, với dòng âm đóng vai trò của dòng điện Nguyên nhân của hiệu ứng này là do sự tồn tại các dòng riêng của các nhóm hạt tải mang năng lượng khác nhau, trong khi dòng trung bình toàn phần trong mẫu bằng 0.
Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng âm điện từ trong bán dẫn khối
Lý thuyết về hiệu ứng âm điện và âm điện từ trong bán dẫn khối được Parmenter nghiên cứu lần đầu vào năm 1953, mở ra nhiều công trình nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm sau đó Gần đây, nhiều kết quả thực nghiệm đáng chú ý đã được đạt được trong các lĩnh vực như siêu mạng, hố lượng tử và dây lượng tử.
Hệ thống động Boltzmann và sóng âm được xem như một lực tác dụng, nhưng điều này gây ra nhiều hạn chế trong việc giải thích kết quả thực nghiệm và ứng dụng của chúng Nghiên cứu lý thuyết dựa trên phương trình động Boltzmann không giải thích được các kết quả thực nghiệm trong nhiều công trình, với khả năng áp dụng chỉ giới hạn ở miền nhiệt độ cao và từ trường yếu Ngược lại, lý thuyết này không còn chính xác trong miền nhiệt độ thấp và từ trường mạnh.
Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng âm điện từ trong bán dẫn khối đã được A.D Margulis và V.I.A Margulis nghiên cứu và công bố vào năm 1994, trong đó sóng âm được xem như những dòng phonon kết hợp với hàm phân bố Delta.
Bài viết này bắt đầu bằng việc xây dựng Hamiltonian tương tác cho hệ điện tử và sóng âm, trong đó sóng âm được xem như dòng phonon trong bán dẫn khối.
Hằng số thế biến dạng Λ và hằng số tương tác giữa điện tử với phonon âm ⃗ là những yếu tố quan trọng trong việc mô tả hành vi của điện tử trong bán dẫn Toán tử sinh hủy điện tử và toán tử hủy phonon âm được sử dụng để xác định trạng thái của hệ thống, trong khi tần số sóng âm ⃗ và vận tốc sóng âm dọc và ngang trong bán dẫn đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích sự tương tác Mật độ khối lượng của môi trường và diện tích bề mặt cũng ảnh hưởng đến các yếu tố ma trận của toán tử và thừa số tắt dần của thế trong trường dịch chuyển Việc áp dụng tính chất toán tử và hàm sóng thu được cho phép tính toán chính xác các yếu tố ma trận trong bán dẫn khối.
Chiều dài chuẩn hóa được ký hiệu là Kronecker, trong khi hàm bước nhảy Heaviside và đa thức Laguerre liên kết cũng đóng vai trò quan trọng Để thu được biểu thức mật độ dòng âm điện từ hoặc trường âm điện từ, cần thiết lập phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối, bắt đầu từ phương trình động cho toán tử số hạt.
Sử dụng Hamiltonian và hệ thức giao hoán của toán tử, chúng ta có thể thực hiện các phép biến đổi để thu được phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối, đồng thời chú ý đến hàm phân bố dòng phonon.
Vậy chúng ta có phương trình hàm phân bố của điện tử tương tác dòng phonon ngoài khi có mặt từ trường
Nhân cả 2 vế của phương trình (2.4) cho ( ) và lấy tổng theo toàn bộ ta nhận được phương trình cho mật độ dòng riêng ⃗ ( )
Trong gần đúng tuyến tính theo ⃗ và ⃗⃗⃗, chúng ta thay thế hàm bằng hàm phân bố điện tử cân bằng Tiếp theo, ta thực hiện biến đổi tổng theo tích phân trong biểu thức của ⃗ ( ) và ( ), sau đó tiến hành tích phân trong hệ tọa độ cầu.
Tính toán tương tự đối với ( ) kết quả thu được:
(2.9) trong đó ( ) là hàm bậc thang, với {(
Giải phương trình (2.7) với ⃗ ( ) và ( ) biết từ (2.8) và (2.9) ta được:
Chúng ta sẽ tính mật độ dòng âm điện từ toàn phần trong mẫu theo công thức:
Thực hiện một số phép biến đổi tích phân và ten-xơ, ta có công thức: \( \sigma_{ij} = \Phi_{j} + n E_{j} \) (2.11), trong đó \( \sigma_{ij} \) là ten-xơ độ dẫn điện, và \( \Phi_{j} \) là ten-xơ độ dẫn âm.
trong đó là hệ số hấp thụ sóng âm
Giả sử dòng âm và từ trường ngoài được hướng dọc theo các trục, và mẫu hoàn toàn cách điện Từ đó, hệ phương trình được thiết lập và giải ra cho ta biểu thức của trường âm điện từ xuất hiện theo phương của mẫu Các phương trình liên quan đến điện trường và từ trường được thể hiện thông qua các đại lượng như σ và η, cho thấy mối quan hệ giữa điện trường và từ trường trong điều kiện này.
yx xy yy yy E y yx xx yy yx Φ x 0
2 2 Φ , yx xx yy yx x y yx xy xy yy
Biểu thức (2.12) cung cấp công thức tổng quát để tính toán trường âm điện từ trong bán dẫn khi thời gian phục hồi xung lượng phụ thuộc vào năng lượng Qua một số phép biến đổi toán học ten-xơ, chúng ta có thể xác định được biểu thức trường âm điện trong bán dẫn khối.
Trường hợp từ trường yếu:
( ) là tích phân Fermi tổng quát hay tích phân
Trường hợp từ trường mạnh:
Theo công thức (2.13) và (2.14), trong bán dẫn khối, dưới tác động của từ trường yếu, trường âm điện từ có mối quan hệ tỉ lệ thuận với từ trường ngoài Ngược lại, khi từ trường mạnh, trường âm điện từ lại có mối quan hệ tỉ lệ nghịch với từ trường ngoài.
HIỆU ỨNG ÂM ĐIỆN TỪ TRONG HỐ LƯỢNG TỬ
Hiệu ứng âm điện từ trong hố lượng tử với hố thế cao vô hạn
Mô hình hố lượng tử với hố thế cao vô hạn đã trở thành chủ đề nghiên cứu quan trọng trong lý thuyết và thực nghiệm gần đây Sự giam giữ điện tử trong hố lượng tử không chỉ làm tăng độ linh động của điện tử mà còn tạo ra những tính chất khác thường dưới tác động của các yếu tố bên ngoài như sóng siêu âm, sóng điện từ và từ trường Các hiệu ứng trong hố lượng tử khác biệt rõ rệt so với bán dẫn khối Chương này sẽ áp dụng lý thuyết trường lượng tử và phương pháp phương trình động lượng tử để nghiên cứu hiệu ứng âm điện từ sự tương tác giữa điện tử và dòng phonon âm bên ngoài, cũng như hiện tượng tán xạ điện tử-phonon âm trong hố lượng tử.
Trong chương này, chúng tôi thiết lập toán tử Hamiltonian cho hệ điện tử kết hợp với sóng âm bên ngoài và phonon âm bên trong, dựa trên công thức phổ năng lượng và hàm sóng từ chương 1 Tiếp theo, chúng tôi sử dụng toán tử Hamiltonian và phương trình chuyển động Heisenberg để phát triển phương trình động lượng tử cho số hạt điện tử trong hố lượng tử, từ đó tìm ra mật độ dòng âm điện phi tuyến trong hố lượng tử Chúng tôi khảo sát sự phụ thuộc của mật độ dòng âm điện vào các tham số như nhiệt độ, tần số sóng âm bên ngoài và các thông số của hố lượng tử như độ rộng Kết quả được đánh giá và so sánh với các bài toán tương tự trong bán dẫn khối, nhằm chỉ ra ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước trong hố lượng tử.
3.1.1 Toán tử Hamiltonian của hệ điện tử-phonon trong hố lượng tử với hố thê cao vô hạn
Trong chương 1, chúng ta áp dụng công thức phổ năng lượng và hàm sóng của điện tử khi không có từ trường, tập trung vào toán tử Hamiltonian của hệ điện tử – phonon âm trong hố lượng tử.
H H H (3.1) trong đó, là năng lượng của các điện tử và phonon không tương tác
và là Hamiltonian tương tác điện tử phonon
Trong phương trình (3.7), chỉ số các mức năng lượng của điện tử bị lượng tử hóa theo phương vuông góc với thành hố được xác định bởi khối lượng hiệu dụng của điện tử trong hố lượng tử và độ rộng của hố Các toán tử sinh và hủy điện tử tương ứng với xung lượng trong vùng mini, trong khi các toán tử sinh hủy của phonon âm liên quan đến vector sóng Tần số của sóng âm và phonon âm, cùng với hằng số tương tác giữa điện tử và phonon âm bên ngoài, cũng được đề cập trong phương trình này, làm nổi bật mối quan hệ giữa các yếu tố trong hệ thống lượng tử.
⃗ là hằng số tương tác điện tử – phonon âm, thể hiện vận tốc sóng âm dọc và ngang trong bán dẫn Nó cũng liên quan đến mật độ khối lượng của môi trường và thừa số dạng đặc trưng cho sự giam nhốt của điện tử trong hố lượng tử Yếu tố ma trận của toán tử ( ) có dạng như sau:
3.1.2 Phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong hố lượng tử với hố thế cao vô hạn Để tính toán được dòng âm điện trong hố lượng tử với hố thế cao vô hạn, trước hết chúng ta thiết lập phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong hố lượng tử với hố thế cao vô hạn, bắt đầu từ phương trình động cho trung bình thống kê của toán tử số hạt trong hố lượng tử với hố thế cao vô hạn ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) 〈 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉
Sử dụng Hamiltonian (3.1), (3.2), (3.3) và các phép biến đổi đại số toán tử trên cơ sở lý thuyết trường lượng tử cho hệ hạt Fermion và Boson ta thu được:
F t ta xây dựng phương trình động cho
Một cách tương tự, thực hiện thêm một số phép biến đổi ta thu được biểu thức:
Thay (3.12) vào (3.10) ta thu được
Phương trình (3.13) mô tả động lượng tử của điện tử trong hố lượng tử, cho phép áp dụng cho cả cơ chế tán xạ điện tử-phonon âm và điện tử-phonon quang.
3.1.3 Biểu thức dòng âm điện trong hố lượng tử với hố thế cao vô hạn
Sóng âm ngoài được cho là truyền theo phương vuông góc với trục của hố lượng tử và hố thế cao vô hạn Khi đạt được trạng thái cân bằng mới, hàm phân bố của điện tử sẽ tuân theo các điều kiện cụ thể.
là tốc độ thay đổi gây ra bởi sự tương tác điện tử-sóng âm ngoài và tán xạ điện tử -phonon âm bên trong, n p , th f t
Tốc độ thay đổi do tương tác điện tử với phonon nhiệt và tạp chất được mô tả qua phương trình cơ sở của bài toán Bằng cách thay thế phương trình (3.13) vào phương trình (3.14), chúng ta có thể thu được kết quả chính xác cho nghiên cứu này.
(3.15) Chúng ta tuyến tính hóa phương trình (3.15) bằng cách thay hàm f( n p , ) bằng
F n p f f ở đây f F ( n p , ) là hàm phân bố Fermi ở trạng thái cân bằng Chúng ta có
với τ là thời gian phục hồi xung lượng Do đó, kết quả thu được:
(3.16) Dòng âm điện dọc theo chiều truyền sóng âm có dạng sau:
(3.17) ở đây p là vận tốc của điện tử cho bởi công thức p n p , p
Thay phương trình (3.16) vào phương trình (3.17) và thực hiện biến đổi tích phân, chúng tôi xem xét thời gian phục hồi xung lượng xấp xỉ là hằng số Kết quả thu được cho thấy sự ảnh hưởng của các yếu tố này đến quá trình phục hồi.
với là hằng số Bolt mann, μ là thế hóa học, ( ) hàm Bessel bậc hai
Phương trình (3.18) mô tả dòng âm điện trong hố lượng tử với thời gian phục hồi xung lượng gần như hằng số Dòng âm điện này phụ thuộc không tuyến tính vào tần số sóng âm ngoài, nhiệt độ của hệ, độ rộng của hố lượng tử, và các chỉ số năng lượng đặc trưng cho hố lượng tử.
Hiệu ứng âm điện từ lượng tử trong hố lượng tử với hố thể parabol
3.2.1 Toán tử Hamiltonian của hệ điện tử-phonon trong hố lượng tử với hố thế parabol
Trong chương 1, chúng ta áp dụng công thức phổ năng lượng và hàm sóng của điện tử trong môi trường có từ trường Cụ thể, toán tử Hamiltonian của hệ điện tử-phonon âm trong hố lượng tử được mô tả bằng thế parabol.
Trong đó là năng lượng của các điện tử và phonon không tương tác
Và là Hamiltonian tương tác điện tử dòng phonon
(3.25) ở đây , , lần lượt là tần số cyclotron và tần số đặc trưng cho hố thế, , ( ) là yếu tố ma trận của toán tử ( )
2 exp exp exp exp exp x y
2 ! exp exp exp exp exp
(3.26) trong đó ( ) là đa thức Hermite, là chỉ số mức Landau từ
3.2.2 Phương trình động lượng tử cho điện tử trong hố lượng tử với hố thế parabol Để tính toán được trường âm điện từ trong hố lượng tử với hố thế parabol, trước hết thiết lập phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong hố lượng tử với hố thế parabol, và chúng ta bắt đầu từ phương trình động cho trung bình thống kê của toán tử số hạt trong hố lượng tử ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) 〈 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉
Sử dụng Hamiltonian (3.19) và các phép biến đổi toán tử chúng ta thu được
F t a a b t F t Để tìm ( ) ta xây dựng phương trình động lượng tử cho ( ) như sau:
Sử dụng Hamiltonian và các phép biến đổi đại số toán tử ta thu được:
Giải phương trình (3.30) theo phương pháp biến thiên hằng số rồi thế vào (3.28) ta được
(3.31) Thực hiện thêm một số phép biến đổi và chú ý tới hàm phân bố dòng phonon
Kết quả thu được là phương trình động lượng tử cho điện tử tương tác với phonon âm
Vậy chúng ta có phương trình hàm phân bố của điện tử tương tác dòng phonon ngoài khi có mặt từ trường
Phương trình (3.34) là phương trình cơ sở để tính toán trường âm điện từ trong hố lượng tử với hố thế parabol
3.2.3 Biểu thức trường âm điện từ lượng tử trong hố lượng tử với hố thế parabol
Từ phương trình (3.34) bằng cách nhân hai vế với ⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ) và lấy tổng theo và ⃗⃗⃗⃗ ta thu được phương trình mật độ dòng riêng ⃗
Giải phương trình (3.35) ta thu được biểu thức của ⃗ như sau:
Mật độ dòng toàn phần được cho bởi biểu thức sau:
Trong trường hợp xấp xỉ tuyến tính theo và ta có thể thay thế hàm ⃗⃗⃗⃗⃗ bằng hàm ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ) Thực hiên phép chuyển tổng thành tích phân
Bằng các phép biến đổi toán học tương tự như ⃗ ( ) ta cũng có biểu thức ( )
Thực hiện tính toán tương tự cho ( ) ta có:
Cuối cùng ta có dòng toàn phần , trong đó:
{ } là ten-xơ độ dẫn điện
{ } là ten-xơ độ dẫn âm
Khi mẫu cách điện hoàn toàn và yj yj yx yx 0. y j j x yy y yz z x yy y yz z j E E E E
(3.44) và j z zj E j zj j zx E x zy E y zz E z zx x zy y zz z 0 zy E y zz z 0
Nhân hai vế của (3.44) với và hai vế của (3.45) với ta có:
Phương trình (3.46) là biểu thức trường âm điện từ trong hố lượng tử với thế parabol khi có mặt từ trường ngoài
Bây giờ ta xem xét thời gian phục hồi của hạt tải phụ thuộc vào năng lượng của hạt tải theo công thức sau: ( ) ( )
; xz 0 ; zz b 1 ; zy c b 2 Thế vào phương trình (3.46) ta thu được
Thực hiện tính toán tương tự ta thu được
1 0 v ,2 v b AF z ; b 2 0 2 AF 2 ,2 v v z Thay , , , vào (3.47) ta được
Phương trình (3.48) mô tả trường âm điện từ lượng tử trong hố lượng tử với hố thế parabol, trong bối cảnh thời gian phục hồi xung lượng phụ thuộc vào thời gian.
Thế vào phương trình (3.48) ta thu được
Bằng cách áp dụng phương pháp phương trình động lượng tử, chúng tôi đã phát triển biểu thức giải tích cho trường âm điện từ lượng tử trong hố lượng tử với hố thế parabol Kết quả cho thấy rằng, không chỉ phụ thuộc vào các tham số đặc trưng của hố lượng tử, mà trường âm điện còn chịu ảnh hưởng mạnh mẽ từ sự hiện diện của từ trường ngoài, như tần số cyclotron, đặc biệt khi thời gian phục hồi xung lượng liên quan đến năng lượng của hạt tải.
So sánh hiệu ứng âm điện từ trong hố lượng tử với hiệu ứng âm điện từ trong bán dẫn khối
3.3.1 So sánh dòng âm điện từ trong hố lượng tử có hố thế cao vô hạn với dòng âm điện từ trong bán dẫn khối
Dòng âm điện từ trong hố lượng tử với hố thế cao vô hạn có sự phụ thuộc không tuyến tính vào nhiệt độ, năng lượng Fermi và tần số sóng âm Khi nhiệt độ và năng lượng Fermi tăng, dòng âm điện từ sẽ tăng lên đến một giá trị cực đại trước khi giảm xuống Điều này khác biệt so với bán dẫn khối, nơi dòng âm điện tăng tuyến tính với các yếu tố nhiệt độ, năng lượng Fermi và tần số sóng âm Sự khác biệt này xuất phát từ đặc trưng của hệ thấp chiều, do điện tử bị giam nhốt trong hố dẫn đến sự lượng tử hóa phổ năng lượng Thêm vào đó, hiệu ứng này xảy ra ngay cả khi thời gian phục hồi xung lượng không đổi, trong khi ở bán dẫn, thời gian này phải phụ thuộc vào năng lượng để hiệu ứng xuất hiện.
3.3.2 So sánh trường âm điện từ trong hố lượng tử có hố thế parabol với trường âm điện từ trong bán dẫn khối
Trường âm điện từ trong hố lượng tử với hố thế parabol có sự phụ thuộc không tuyến tính vào tần số sóng âm Khi tần số sóng âm tăng, trường âm điện từ sẽ tăng lên cho đến khi đạt giá trị cực đại, sau đó sẽ giảm Kết quả này khác biệt rõ rệt so với bán dẫn khối, nơi mà trường âm điện gần như tuyến tính theo tần số sóng âm.
Trong hố lượng tử, khi từ trường ngoài yếu, trường âm điện từ có hố thế parabol phụ thuộc không tuyến tính vào từ trường ngoài Khi từ trường ngoài tăng, trường âm điện từ cũng tăng đến giá trị cực đại rồi giảm xuống, điều này khác biệt rõ rệt so với bán dẫn khối, nơi trường âm điện từ tăng tuyến tính theo từ trường ngoài Sự khác biệt này xuất phát từ sự giam giữ của điện tử trong hố thế Hơn nữa, trường âm điện từ còn phụ thuộc mạnh vào nhiệt độ.
Trong điều kiện từ trường mạnh và nhiệt độ thấp, trường âm điện đạt giá trị cực đại tại các mức từ trường khác nhau, khác biệt so với bán dẫn khối Ở bán dẫn khối, trường âm điện tỷ lệ với 1/B khi từ trường mạnh, cho thấy sự ảnh hưởng rõ rệt của từ trường Sự khác biệt này xuất phát từ tác động của việc giam giữ điện tử trong hố thế, cho thấy rằng khi từ trường tăng cường, ảnh hưởng của nó cũng trở nên mạnh mẽ hơn.