Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài là phân tích các đặc điểm cấu trúc, phổ năng lượng, mật độ trạng thái và các tính chất liên quan đến hiệu ứng âm điện từ trong hố lượng tử Từ những nghiên cứu này, chúng tôi sẽ xây dựng một tài liệu tổng quan về hiệu ứng âm điện từ trong hố lượng tử.
Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu gồm: nghiên cứu tổng quan về lý thuyết, xây dựng công thức, tính toán và tổng hợp ý kiến của các chuyên gia.
Cấu trúc và nội dung của đề tài
Chương I : Tổng quan về hố lượng tử
Chương II : Thiết lập phương trình động Boltzmann
Chương III trình bày biểu thức giải tích cho trường âm điện từ trong hố lượng tử, trong khi Chương IV tập trung vào việc tính toán số liệu và vẽ đồ thị lý thuyết cho hố lượng tử GaAs/GaAsAl.
Các tài liệu tham khảo
TỔNG QUAN VỀ HỐ LƯỢNG TỬ
Cấu trúc hố lượng tử
1.1.1 Hố lượng tử đơn (Single Quantum Well: SQW)
Hố lượng tử đơn được hình thành thông qua phương pháp epitaxy, trong đó một lớp mỏng chất bán dẫn, bao gồm 2, 3, 4 hoặc 5 thành phần, được phát triển trên một đế thích hợp Ví dụ về các hệ này bao gồm InP/GaAs, AlGaAs/GaAs và Si/Ge.
1.1.2 Hố lượng tử kép (Double quantum well: DQW)
Cấu trúc này bao gồm một lớp bán dẫn với bề rộng vùng cấm nhỏ nằm giữa hai lớp bán dẫn có bề rộng vùng cấm lớn hơn, chẳng hạn như hệ AlGaAs/GaAs/AlGaAs.
AlGaAs/GaAs (SQW) Energy diagram
Hình 1.1: Cấu trúc hố lượng tử đơn
Hình 1.2: Cấu trúc của hố lượng tử kép
1.1.3 Đa hố lượng tử (Multi quantum well: MQW)
Cấu trúc bán dẫn xen kẽ gồm các lớp với bề rộng vùng cấm khác nhau, trong đó các bán dẫn có bề rộng vùng cấm lớn tạo ra hàng rào điện thế, ngăn cản sự chuyển động của điện tử giữa các hố.
Năng lượng và hàm sóng của điện tử trong hố lượng tử cao vô hạn
1.2.1 Năng lượng và hàm sóng của điện tử trong hố lượng tử cao vô hạn khi không có từ trường tác dụng Để tính toán cấu trúc vùng năng lượng trong hố lượng tử, xét một hố lượng tử hình chữ nhật đơn giản dưới dạng
Trong đó L là độ rộng của hố thế, V 0 là độ sâu của hố thế
Phương trình Schrodinger cho các trạng thái ở bên trong và bên ngoài hàng rào thế lần lượt là
Hình1.3: Cấu trúc của đa hố lượng tử
(− ћ 2 2𝑚 𝑏 ∆ + 𝑉 0 ) 𝛹 𝑏 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐸𝛹 𝑏 (𝑥, 𝑦, 𝑧), Với: 𝑚 𝑎 là khối lượng hiệu dụng của điện tử trong hố thế, 𝑚 𝑏 là khối lượng hiệu dụng của điện tử ngoài hố thế, thông thường m a m b
Xét hố thế vô hạn V 0 , hàm sóng b 0
Phương trình Schrodinger trong hố thế:
Vì V(z) chỉ phụ thuộc vào z nên ta có thể tách Ψ a (x, y, z) thành hai thành phần độc lập nhau
Hàm Ф a (x, y) phụ thuộc vào hàm exp[𝑖(𝑘 𝑥 𝑥 + 𝑘 𝑦 𝑦)] (vì chúng là phương trình đối với hạt chuyển động tự do trong mặt phẳng xy)
Do đó phương trình (1.4) thành:
𝑑𝑧 2 + 2 𝜑 𝑎 (𝑧) = 0 , (1.5) Phương trình (1.5) có nghiệm : 𝜑 𝑎 (𝑧) = 𝐴 sin(𝛼𝑧) + 𝐵 cos(𝛼𝑧)
* Xét lớp nghiệm chẵn: 𝜑 𝑎 (𝑧) = 𝐵 cos(𝛼𝑧)
2𝑚 𝑎 𝐿 2 Vậy, năng lượng của điện tử trong hố :
Hàm sóng có dạng: 𝛹 𝑎 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐵𝑒𝑥𝑝[𝑖(𝑘 𝑥 𝑥 + 𝑘 𝑦 𝑦)] cos z
Chuẩn hóa hàm sóng : 1 miên Toàn
Vậy, hàm sóng có dạng:
L : độ rộng của hố lượng tử
* Xét lớp nghiệm lẻ: 𝜑 𝑎 (𝑧) = 𝐴 sin(𝛼𝑧)
2𝑚 𝑎 𝐿 2 Vậy, năng lượng của điện tử trong hố :
Hàm sóng có dạng: 𝛹 𝑎 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐴𝑒𝑥𝑝[𝑖(𝑘 𝑥 𝑥 + 𝑘 𝑦 𝑦)] sin z
Chuẩn hóa hàm sóng : 1 miên Toàn
L : độ rộng của hố lượng tử
Trong hố thế cao vô hạn, sóng không thể xuyên qua hàng rào thế, dẫn đến việc điện tử bị giam nhốt hoàn toàn trong hố lượng tử Tại đây, sóng được hình thành với các nút tại mặt tiếp xúc và các sóng đứng bên trong hố Năng lượng của điện tử bị gián đoạn theo phương z và có dạng nhất định.
Khi các hố lượng tử trở nên hẹp hơn, giá trị L giảm, dẫn đến khoảng cách giữa các mức năng lượng trở nên lớn hơn, từ đó việc quan sát hiện tượng lượng tử hóa trở nên dễ dàng hơn.
: năng lượng bị lượng tử hóa n=1 n=2
Trong hình 1.5, các trạng thái giam nhốt trong hố lượng tử với độ rộng L được thể hiện rõ ràng Các hàm sóng tương ứng với các mức năng lượng n = 1 và n = 2 được minh họa cho hố lượng tử cao vô hạn, giúp người đọc hình dung rõ hơn về cấu trúc và tính chất của hệ thống lượng tử này.
Hình 1.6: Chỉ rõ các mức năng lượng của điện tử trong hố lượng tử với vách ngăn vô hạn
1.2.2 Năng lượng và hàm sóng của điện tử trong hố lượng tử cao vô hạn khi có từ trường tác dụng
1.2.2.1 Từ trường vuông góc với thành hố lượng tử
Chúng ta sẽ khảo sát sự biến đổi của phổ năng lượng và hàm sóng của electron khi áp dụng một từ trường không đổi B = (0,0,B) vuông góc với hố lượng tử, tức là song song với phương oz Để mô tả từ trường này, chúng ta sử dụng thế vector 𝐴 = 𝐴𝑦 = 𝐵𝑥 Trong trường hợp này, hàm Hamilton của electron có dạng đặc trưng.
H m với : e là độ lớn điện tích của điện tử c là vận tốc ánh sáng m là khối lượng hiệu dụng của điện tử trong hố lượng tử
Phương trình Shrodinger đối với điện tử trong hố lượng tử cao vô hạn:
Phương trình (1.10) khác biệt so với phương trình tương ứng không có từ trường, vì tọa độ x được tích hợp trực tiếp trong A (với A = (0, Bx, 0)) Điều này cho phép chúng ta thực hiện phân li biến số, trong đó các thừa số y và z vẫn giữ nguyên như khi không có từ trường Đối với thành phần phụ thuộc vào x, chúng ta thêm vào hàm φ(x) chưa biết, dẫn đến biểu thức Ψ~exp(iky)sin(nπ).
: tần số cyclotron Phương trình (1.12) được viết lại:
c (𝑥 − 𝑥 0 ) 2 𝜑(𝑥) = 𝐸 ′ 𝜑(𝑥) (1.13) Phương trình (1.13) có dạng giống với phương trình dao động tử điều hòa
2) ћ c , Với N = 0,1,2, gọi là các mức Landau từ
Khi từ trường được áp dụng theo phương z, năng lượng của điện tử không chỉ bị lượng tử hóa theo phương z mà còn bị lượng tử hóa theo mức Landau Công thức 𝜑(𝑥) = Ф 𝑁 (𝑥 − 𝑥 0 ) mô tả đa thức Hecmic.
Hàm sóng có dạng: exp sin z x x 0
Chuẩn hóa hàm sóng : 1 miên Toàn
Vậy, hàm sóng của electron:
Trong đó: L y là độ dài chuẩn hóa theo trục y Ф N (x − x 0 ) là hàm sóng của dao động tử điều hòa quanh tâm x 0 với tần số ω c
1.2.2.2 Từ trường song song với thành hố lượng tử
Giả sử từ trường nằm trong mặt phẳng các lớp hai chiều, ví dụ theo phương x,
Trong trường hợp này, nếu thế vectơ được chọn A = A y = −zB, nên phương trình Schrodinger có thể viết dưới dạng sau:
Vì toán tử Hamilton trong phương trình không chứa x và y một cách tường minh, các thành phần động lượng p x và p y cần được bảo toàn Do đó, hàm sóng tổng quát có thể được biểu diễn dưới dạng Ψ (x,y,z) ~ exp[i(k x x + k y y)]φ(z) Khi thế vào phương trình (1.16), ta thu được kết quả mong muốn.
− ћ 2 exp[i(k x x + k y y)]φ ′′ (z) − 2ћe czBk y exp[i(k x x + k y y)]φ(z) +e 2 c 2 z 2 B 2 exp[i(k x x + k y y)]φ(z)] = Eexp[i(k x x + k y y)]φ(z)
Do đó, phương trình (1.17) được viết lại:
Phương trình (1.18) là phương trình của dao động tử điều hòa với năng lượng
2) + p x 2 2m (1.19) Hàm sóng có dạng: Ψ (x,y,z) ~exp[i(k x x + k y y)]φ(z) Đặt z zz 0
Chuẩn hóa hàm sóng : 1 miên Toàn
Vậy, hàm sóng của điện tử trong hố lượng tử khi có từ trường:
Khi từ trường song song hình thành hố, nó không ảnh hưởng đến tính chất định tính của hố năng lượng, cho thấy hố năng lượng vẫn giữ tính gián đoạn Tuy nhiên, về mặt định lượng, có sự thay đổi đáng kể.
Năng lượng và hàm sóng của điện tử trong hố thế parabol
Giả sử từ trường nằm trong mặt phẳng các lớp hai chiều, ví dụ theo phương x,
Trong trường hợp này, nếu thế vectơ được chọn A = A y = −zB, hàm Hamilton đối với điện tử có dạng:
với : e là độ lớn điện tích của điện tử, c là vận tốc ánh sáng,
V ; 0 là tần số đặc trưng của điện tử trong hố lượng tử
Phương trình Schrodinger có thể viết dưới dạng sau:
Vì toán tử Hamilton trong phương trình không chứa x và y một cách tường minh, các thành phần động lượng p x và p y cần được bảo toàn Do đó, hàm sóng tổng quát có thể được biểu diễn dưới dạng 𝛹(𝑥, 𝑦, 𝑧) ~ 𝑒𝑥𝑝[𝑖(𝑘 𝑥 𝑥 + 𝑘 𝑦 𝑦)]𝜑(𝑧) Khi thay thế vào phương trình (1.21), chúng ta nhận được kết quả mong muốn.
, (1.23) Phương trình (1.23) là phương trình của dao động tử điều hòa với năng lượng
2 (1.24) Tương tự như trường hợp từ trường song song với thành hố lượng tử, chuẩn hóa hàm sóng ta được:
Trong mặt phẳng của lớp hai chiều, từ trường làm tăng năng lượng lượng tử hóa bằng cách giảm kích thước và khối lượng hiệu dụng của hạt dẫn khi chuyển động vuông góc với từ trường Sự gia tăng khối lượng này được xác định bởi một thừa số đặc trưng.
Từ trường định hướng song song ảnh hưởng đến phổ năng lượng, trong đó phổ vẫn có tính gián đoạn đối với chuyển động vuông góc với mặt phẳng lớp và liên tục đối với chuyển động trong mặt phẳng Tuy nhiên, các thông số định lượng của phổ năng lượng, đặc biệt là các mức năng lượng gián đoạn, có thể thay đổi đáng kể khi chịu tác động của từ trường.
Mật độ trạng thái trong hố lượng tử
Mật độ trạng thái là số lượng trạng thái khả dĩ trong một đơn vị thể tích tương ứng với một đơn vị năng lượng Trong hố lượng tử, chuyển động của điện tử bị giới hạn theo một chiều, dẫn đến việc tìm kiếm trạng thái trong một đơn vị diện tích.
Để xác định số trạng thái trong một đơn vị diện tích, chúng ta xem xét hình vành khăn giữa hai đường tròn có bán kính k ⏊ và k ⏊ + dk ⏊, tương ứng với các giá trị năng lượng E và E + dE.
2𝑚 g(E)dE = g(k ⏊ )dk ⏊ Tìm số trạng thái trong khoảng k ⏊ → k ⏊ +dk ⏊ dS = π(k ⏊ + dk ⏊ ) 2 − πk ⏊ 2 => dS = 2π k ⏊ dk ⏊
Số trạng thái nằm trong hình vành khăn
Mật độ trạng thái trên một đơn vị diện tích trong một đơn vị thể tích g(k ⏊ )dk ⏊ = 2πk ⏊ dk ⏊
2πћ 2 dE Vậy mật độ trạng thái theo năng lượng :
Vì năng lượng của điện tử
được gọi là hàm bước nhảy và
Mật độ trạng thái trong hố lượng tử được biểu diễn bằng g 2 D E dE, cho thấy rằng trong trường hợp hai chiều, mật độ trạng thái của các điện tử là một hằng số và không phụ thuộc vào năng lượng E.
* Đồ thị mật độ trạng thái theo năng lượng
Hình 1.7: Mật độ trạng thái trong giếng lượng tử ( g 0 = 2
THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG BOLTZMANN
Hiệu ứng động là quá trình không thuận nghịch theo phương trình động Boltzmann, trong đó hàm mật độ hạt tải điện được khảo sát tại điểm 𝑟 với vectơ sóng 𝐾⃗⃗, được biểu thị là f (𝑟 , 𝐾⃗⃗ ) Hàm phân bố này có thể thay đổi theo thời gian, do đó trong trường hợp tổng quát, nó được kí hiệu là f (𝑟 , 𝐾⃗⃗ , 𝑡) Để xác định nồng độ điện tử trong trạng thái không cân bằng, chúng ta tiến hành thiết lập một phương pháp cụ thể.
Trong phân tử thể tích pha của một đơn vị thể tích của tinh thể ta có: dG = 𝑑𝜏 𝑟 𝑑𝜏 𝑝 = ћ 3 𝑑𝜏 𝑟 𝑑𝜏 𝑘 ⃗ , (2.1) Ở đây, 𝑑𝜏 𝑟 = 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 là phần tử thể tích của không gian thường
𝑑𝜏 𝑝 = ћ 3 𝑑𝜏 𝑘 ⃗ là phần tử thể tích pha của không gian chuẩn xung lượng
Như vậy, trong phần tử thể tích pha có 3
dG ô cơ sở pha, mà ở mỗi ô cơ sở pha có thể có hai điện tử spin ngược dấu nhau Do đó, trong phần tử thể tích pha chứa 2 3
Trạng thái lượng tử của hệ thống được mô tả bởi hàm f (𝑟 , 𝐾⃗⃗ , 𝑡), trong đó xác suất tìm thấy điện tử tại trạng thái này liên quan đến số lượng điện tử trong phần tử thể tích pha tại thời điểm t.
Chúng ta sẽ xây dựng phương trình cho hàm phân bố không cân bằng f(𝑟, 𝐾⃗⃗, 𝑡) Đầu tiên, chúng ta phân tích hệ điện tử trong không gian hình học Để đơn giản hóa, chúng ta xem xét trường lực bên ngoài tác động lên hệ điện tử đang chuyển động với vận tốc.
𝑣 dọc theo hướng dương của trục x Chúng ta sẽ tính sự thay đổi số điện tử trong thời gian dt ở bên trong phần tử thể tích 𝑑𝜏 𝑟
Trong phần tử thể tích 𝑑𝜏 𝑟 , số điện tử đi qua mặt bên trái trong thời gian dt với vận tốc 𝑣 𝑥 bằng:
Cũng khoảng thời gian đó, số điện tử đi ra khỏi thể tích này từ mặt bên phải là:
Như vậy, trong thời gian dt số điện tử trong phần thể tích 𝑑𝜏 𝑟 giảm đi một lượng:
Trong trường hợp tổng quát, chuyển động của hạt tải điện với vận tốc 𝑣 (𝑣 𝑥 , 𝑣 𝑦 , 𝑣 𝑧 ) dẫn đến sự biến đổi của số lượng điện tử theo vectơ sóng 𝐾⃗⃗ trong một phần tử thể tích.
𝑑𝜏 𝑟 trong khoảng thời gian dt bằng:
Chúng ta nghiên cứu trạng thái của các điện tử trong không gian vectơ sóng bằng cách tính số lượng điện tử di chuyển vào và ra khỏi các mặt của nguyên tố thể tích 𝑑𝜏 𝑘 ⃗ trong khoảng thời gian dt.
(2.8) là lực tác dụng vào điện tử ở điểm 𝑟 tại thời điểm t
Biểu thức (2.7) là sự thay đổi số lượng điện tử nhờ tác dụng của lực bên ngoài gây ra từ các trường điện từ
Hàm phân bố điện tử thay đổi theo thời gian do sự tán xạ của hạt tải, làm biến đổi trạng thái điện tử từ (𝑟, 𝐾⃗⃗) sang (𝑟 ′, 𝐾⃗⃗ ′) Trong quá trình va chạm, tọa độ điện tử không thay đổi đáng kể, do đó xác suất chuyển mức trong một đơn vị thời gian không phụ thuộc vào 𝑟 và 𝑟 ′ Xác suất chuyển mức từ trạng thái 𝐾⃗⃗ sang trạng thái 𝐾⃗⃗ ′ hoàn toàn được ký hiệu là 𝑊(𝐾⃗⃗, 𝐾⃗⃗ ′) Như vậy, trong khoảng thời gian dt, điện tử chuyển từ trạng thái 𝐾⃗⃗ sang trạng thái 𝐾⃗⃗ ′ nhờ vào va chạm.
22 đến giảm bớt một lượng điện tử trong thể tích nguyên tố dG (quá trình này phức tạp, ở đây ta chỉ xét các tán xạ đàn hồi) là:
là số hạt trong trạng thái 𝐾⃗⃗
là số chỗ trong trạng thái 𝐾⃗⃗ ′
Trong cùng thời gian, có thể xảy ra quá trình ngược, khi hạt tải chuyển từ trạng thái 𝐾⃗⃗ ′ về 𝐾⃗⃗ thông qua tán xạ với xác suất 𝑊(𝐾⃗⃗ ′ , 𝐾⃗⃗⃗⃗ ) Sự gia tăng số lượng điện tử trong thể tích dG là kết quả của quá trình ngược này.
Do vậy, nhờ va chạm, số điện tử trong một thể tích pha nguyên tố trong khoảng thời gian dt được biến đổi một lượng là:
Để tính số điện tử tán xạ từ va chạm, cần sử dụng hàm của vectơ sóng 𝑓(𝐾⃗⃗ ) và 𝑓(𝐾⃗⃗ ′ ) sau khi đã rút gọn Việc này yêu cầu thực hiện tích phân theo toàn bộ trạng thái cuối 𝐾⃗⃗ ′, tức là cần lấy tích phân theo thể tích của vùng Brillouin.
Chuyển động của electron và tác động của ngoại lực lên chúng, cùng với quá trình tán xạ, dẫn đến sự thay đổi số lượng điện tử trong thể tích nguyên tố của không gian pha Sự biến đổi này diễn ra trong khoảng thời gian từ t đến t + dt và tạo ra giá trị tương ứng.
Do đó, biểu thức (2.13) bằng tổng của các biểu thức (2.6), (2.7) và (2.11) Sau khi rút gọn biểu thức 𝑑𝜏 𝑘 ⃗⃗
4𝜋 3 (2.14) Theo nguyên lí thuận nghịch vi mô, xác suất cho qúa trình thuận và nghịch như nhau, nghĩa là:
𝑊(𝐾⃗⃗ , 𝐾⃗⃗ ′ ) = W(𝐾⃗⃗ ′ , 𝐾⃗⃗⃗⃗ ) (2.15) Như vậy biểu thức (14) có dạng đơn giản hơn:
Phương trình động học Boltzmann, được biểu diễn bởi công thức 4𝜋/3 (2.16), là một phương trình vi tích phân, trong đó hàm cần tìm nằm dưới dấu tích phân Tuy nhiên, phương trình này không có nghiệm tổng quát.
Sự biến đổi dt df gồm có 3 phần: t tr f
do va chạm giữa các electron với nhau hay do tán xạ của electron trên những bất hoàn chỉnh của mạng tinh thể và t t k f
Phương trình động học mô tả một quá trình dừng tại điểm 𝑟 trong không gian thực, không nhất thiết phải cân bằng Đối với mỗi giá trị 𝐾⃗⃗, vận tốc toàn phần của hàm f sẽ bằng 0.
4𝜋 3 (2.19) Phương trình (2-19) là phương trình động Boltzmann cho hàm phân bố điện tử tương tác với trường ngoài
BIỂU THỨC GIẢI TÍCH TRƯỜNG ÂM ĐIỆN TỪ TRONG HỐ LƯỢNG TỬ
Hố cao vô hạn
Sóng âm được coi là sóng siêu âm khi miền qℓ lớn hơn 1 Trong điều kiện này, sóng siêu âm được xem như phonon khối đơn sắc, với hàm phân bố trong không gian 𝑘⃗.
𝑁(𝑘⃗ ) = (2𝜋) 3 ћ𝜔 𝑞 𝑣 𝑠 𝛿(𝑘⃗ − 𝑞 ) , (3.1) Trong đó là mật độ dòng âm, 𝑣 𝑠 vận tốc sóng âm, 𝜔 𝑞 là tần số của dòng âm, ћ = h / 2𝜋, h là hằng số Planck
Chúng tôi áp dụng phương pháp phương trình động Boltzmann để tính toán biểu thức mật độ dòng âm điện trong hố lượng tử dưới tác động của từ trường yếu Trong trường hợp này, từ trường được xem xét khi tần số cyclotron nhỏ hơn nhiều so với nhiệt độ của hệ, cụ thể là ћΩ ≪ kBT, với kB là hằng số Boltzmann và T là nhiệt độ.
Hàm phân bố và năng lượng của điện tử được ký hiệu là 𝑓(𝜀 𝑛,𝑝 ⏊ ) và 𝜀 𝑛,𝑝 ⏊, trong đó n là chỉ số năng lượng bị lượng tử hóa Yếu tố ma trận tương tác electron - phonon được biểu diễn bằng 𝐺 𝑝 ⏊ +𝑞,𝑝 ⏊, và i là nghiệm của phương trình động.
⏊{𝛹 𝑖 } = 𝑉 𝑖 , (3.4) với 𝑉 𝑖 là vận tốc của điện tử, c là vận tốc của ánh sáng trong chân không, e là điện tích của điện tử, H là từ trường và Wˆ p { }(f /) 1 Wˆ(f / ), Wˆ p được xem
26 như là toán tử Hermition, trong gần đúng xấp xỉ theo thời gian hồi phục, có thể coi
1, = const ( là thời gian hồi phục) Chúng ta sẽ giải phương trình (3.4) bằng phương pháp lặp như sau
𝛹 𝑖 = 𝛹 𝑖 (0) + 𝛹 𝑖 (1) + ⋯ (3.5) Thay phương trình (3.5) vào phương trình (3.4) và giải bằng phương pháp lặp gần đúng:
* Trong gần đúng bậc không, tức là khi không có mặt của từ trường thì phương trình (3.6) trở thành:
* Trong gần đúng bậc một, thì phương trình (3.6) trở thành:
𝜕𝑝 ⏊ (𝑉 × 𝐻) (3.8) Dùng phương pháp lặp gần đúng, thay (3.7) vào (3.8) ta được:
Thay (3.3) vào phương trình (3.2), dòng âm điện được viết lại như sau:
− ћ𝜔 𝑞 )𝑑 2 𝑝 ⏊ }, (3.10) yếu tố ma trận tương tác electron-phonon được cho bởi q p q p
Trong nghiên cứu này, chúng tôi khảo sát sự truyền sóng âm dọc theo chiều Ox, vuông góc với trục hố lượng tử, với hằng số thế biến dạng được ký hiệu là và mật độ tinh thể là Từ trường 𝐻⃗⃗ được đặt song song với trục Oz, trong khi dòng âm điện từ xuất hiện song song với trục Oy Phương trình (3.10) bao gồm hai số hạng, trong đó số hạng đầu tiên đại diện cho dòng âm điện và số hạng thứ hai cho dòng âm điện từ Bằng cách thay thế (3.11) vào (3.10) và sử dụng mc, chúng tôi tiếp tục phân tích sâu hơn về hiện tượng này.
thì phương trình (3.10) trở thành:
⏊ , (3.12) Xét khí điện tử không suy biến, hàm phân bố điện tử tuân theo phân bố Fermi có dạng
𝑘 𝐵 𝑇 ), (3.13) với n0 là mật độ điện tử trong hố lượng tử, F là năng lượng mức Fermi
Mặt khác phổ năng lượng của điện tử trong hố lượng tử:
Khối lượng hiệu dụng của điện tử trong hố lượng tử được ký hiệu là m và được tính theo công thức (3.15), trong đó 𝑝 ⏊ = (𝑝 𝑥 , 𝑝 𝑦 ) đại diện cho thành phần nằm ngang của chuẩn xung lượng điện tử, còn L là độ rộng của hố lượng tử Bằng cách thay thế các công thức (3.13), (3.14), và (3.15) vào (3.12), ta có thể thu được kết quả mong muốn.
Do đó (3.16) được viết lại:
Phương trình (3.17) mô tả mật độ dòng âm điện từ trong hố lượng tử cao vô hạn, với điều kiện khí điện tử không suy biến và thời gian phục hồi xung lượng gần như là hằng số Sự phụ thuộc của mật độ dòng âm điện vào nhiệt độ T và vectơ sóng âm q cho thấy tính chất không tuyến tính của hệ thống.
Hố parabol
Sóng âm được coi là sóng siêu âm khi miền qℓ lớn hơn 1 Trong điều kiện này, sóng siêu âm được xem như là phonon khối đơn sắc, với hàm phân bố trong không gian k⃗ được xác định rõ ràng.
Trong đó là mật độ dòng âm, s vận tốc sóng âm, 𝜔 𝑞 là tần số của dòng âm, ћ = h / 2𝜋, h là hằng số Planck
Chúng tôi áp dụng phương pháp phương trình động Boltzmann để tính toán biểu thức mật độ dòng âm điện trong hố lượng tử dưới ảnh hưởng của từ trường yếu, với điều kiện ћ ≪ 𝑘 𝐵 𝑇, trong đó là tần số cyclotron, kB là hằng số Boltzmann và T là nhiệt độ của hệ.
Hàm phân bố và năng lượng của điện tử được biểu diễn bởi 𝑓(𝜀 𝑁,𝑝 ⏊ ), trong đó 𝜀 𝑁,𝑝 ⏊ tương ứng với mức Landau từ N Yếu tố ma trận tương tác electron-phonon được ký hiệu là 𝐺 𝑝 ⏊ +𝑞,𝑝 ⏊ , và i là nghiệm của phương trình động.
Trong công thức ⏊{𝛹 𝑖 } = 𝑉 𝑖 , 𝑉 𝑖 đại diện cho vận tốc của điện tử, c là vận tốc ánh sáng trong chân không, e là điện tích của điện tử, và H là từ trường Wˆ p được định nghĩa như một toán tử Hermition, trong đó Wˆ p { }(f /) 1 Wˆ(f / ) và áp dụng gần đúng xấp xỉ theo thời gian hồi phục.
1, = const ( là thời gian hồi phục) Chúng ta sẽ giải phương trình (3.20) bằng phương pháp lặp như sau
Thay phương trình (3.20) vào phương trình (3.21) và giải bằng phương pháp lặp gần đúng:
* Trong gần đúng bậc không, tức là khi không có mặt của từ trường thì phương trình (3.22) trở thành:
* Trong gần đúng bậc một, thì phương trình (3.22) trở thành:
𝜕𝑝 ⏊ (𝑉 × 𝐻) (3.24) Dùng phương pháp lặp gần đúng, thay (3.23) vào (3.24):
Thay (3.19) vào phương trình (3.18), dòng âm điện được viết lại như sau:
− ћ𝜔 𝑞 )𝑑 2 𝑝 ⏊ }, (3.26) yếu tố ma trận tương tác electron-phonon được cho bởi q p q p
Với: là hằng số thế biến dạng, là mật độ tinh thể của hố lượng tử
Trong khảo sát này, sóng âm được phân tích khi truyền dọc theo chiều Ox, vuông góc với trục hố lượng tử, với từ trường 𝐻⃗⃗ song song trục Oz và dòng âm điện từ xuất hiện song song với trục Oy Phương trình (3.26) bao gồm hai số hạng: số hạng đầu tiên đại diện cho dòng âm điện, trong khi số hạng thứ hai thể hiện dòng âm điện từ Do đó, việc thay thế (3.27) vào (3.26) và sử dụng mc eH c là cần thiết để tiếp tục phân tích.
thì phương trình (3.26) trở thành:
𝑛,𝑛 ′ × 𝛿 (𝜀 𝑁 ′ ,𝑝 ⏊ +𝑞 − 𝜀 𝑁,𝑝 ⏊ −ћ𝜔 𝑞 ) 𝑑 2 𝑝 ⏊ (3.28) Xét khí điện tử không suy biến, hàm phân bố điện tử tuân theo phân bố Fermi có dạng
𝑘 𝐵 𝑇 ) (3.29) Với n0 là mật độ điện tử trong hố lượng tử, F là năng lượng mức Fermi,
Mặt khác phổ năng lượng của điện tử trong hố lượng tử: ε N,p ⏊ =ћΩ(N +1
Khối lượng hiệu dụng của điện tử trong hố lượng tử được ký hiệu là m, trong khi p (p x ,p y ) đại diện cho thành phần nằm ngang của chuẩn xung lượng điện tử Độ rộng của hố lượng tử được ký hiệu là L.
Do đó (3.32) được viết lại:
Phương trình (3.33) mô tả mật độ dòng âm điện từ trong hố lượng tử parabol, áp dụng cho trường hợp khí điện tử không suy biến với thời gian phục hồi xung lượng gần như là hằng số.
TÍNH TOÁN SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ LÝ THUYẾT CHO HỐ LƯỢNG TỬ GaAs/GaAsAl
Để làm rõ kết quả tính toán mật độ dòng âm điện từ cho hố cao vô hạn, chúng tôi sử dụng các tham số sau: tốc độ âm thanh s = 5378 ms -1, chiều dài đặc trưng LP (nm), mật độ khối lượng σ = 5.32 g/cm³, khối lượng điện tử tự do m = 0.066 m₀, với m₀ là khối lượng của điện tử tự do, hằng số Boltzmann k_B = 1.3807 × 10⁻²³ J/K, n₀ = 10²³ m⁻³, điện tích e = 1.602196 × 10⁻¹⁹ C, và H = 2.10³.
Kết quả từ phương trình (3.17) có thể được biểu diễn dưới dạng liên quan đến dòng âm điện j y AME = j z ac Ωτ Tỉ số j y AME / j z ac bằng Ωτ, và kết quả này tương đồng với kết quả trong tài liệu [20] được tính toán bằng phương pháp hàm Green, điều này khẳng định tính chính xác của phương trình (3.17).
Sự phụ thuộc của mật độ dòng âm điện từ vào vector sóng q là không tuyến tính, với đỉnh cực đại xuất hiện tại q=3.10^8 (1/m) ở nhiệt độ T=0K Khi thay đổi nhiệt độ, vị trí các đỉnh không thay đổi, chỉ có giá trị mật độ dòng âm điện từ thay đổi, vì vị trí của đỉnh tương ứng với vector sóng âm q phải thỏa mãn điều kiện nhất định.
Biểu thức (n#n’) không phụ thuộc vào nhiệt độ, điều này rất quan trọng vì nó giúp xác định miền sóng âm gây ra hiệu ứng lớn nhất Khi n=n’ (dịch chuyển nội vùng), không có dịch chuyển giữa các mini vùng, dẫn đến mật độ dòng âm điện từ bằng không Chỉ có sự dịch chuyển giữa các mini vùng (ngoại vùng) mới tạo ra dòng âm điện từ Kết quả này khác với những gì đạt được trong siêu mạng, nơi nguyên nhân xuất hiện mật độ.
Dòng âm điện từ xuất hiện do tính tuần hoàn của siêu mạng, ngay cả khi dịch chuyển nội vùng Điều này cho thấy dòng âm điện từ tồn tại với thời gian phục hồi xung lượng gần như hằng số, khác với bán dẫn khối, nơi dòng âm điện từ tuyến tính theo vector sóng q Sự khác biệt này xuất phát từ đặc trưng của hệ thấp chiều, nơi điện tử bị giam giữ làm thay đổi độ linh động Hơn nữa, mật độ dòng âm điện từ phụ thuộc mạnh vào nhiệt độ; khi nhiệt độ tăng, mật độ dòng cũng tăng theo Mật độ dòng âm điện từ trong hố lượng tử thấp hơn so với bán dẫn khối và tương đương với siêu mạng, khiến hiệu ứng này khó phát hiện hơn trong các hệ thấp chiều so với bán dẫn khối.
Khi độ rộng hố lượng tử tăng từ 10 nm đến 80 nm, mật độ dòng âm điện từ cũng tăng không tuyến tính Tuy nhiên, khi độ rộng vượt quá 80 nm, mật độ dòng này gần như không thay đổi Kết quả này cho thấy sự giam giữ điện tử trong hố lượng tử có ảnh hưởng lớn đến hiệu ứng này.
Hình 4.1: Sự phụ thuộc của mật độ dòng âm điện từ lên vector sóng q,
Hình 4.2: Sự phụ thuộc của mật độ dòng âm điện từ lên độ rộng hố lượng tử, T00K, n’=2, n=1