Hiệu ứng âm điện trong hố lượng tử

Hố lượng tử được quan tâm khi nó gắn liền với các công trình nghiên cứu có giá trị, và hiệu ứng âm điện trong hố lượng tử là một trong những công trình đó.. Khi sóng âm được hấp thụ bởi

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA VẬT LÝ -

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

thành nhất đến thầy giáo – Th.S Nguyễn Văn Hiếu – người đã chỉ bảo tận tình cho em trong thời gian làm luận văn

Em xin cảm ơn tất cả các thầy cô giáo trong Khoa Vật Lý – trường Đại học Sư Phạm – Đại học Đà Nẵng đã cung cấp cho chúng em nhiều kiến thức lí thuyết cũng như thực hành trong suốt thời gian học tập tại trường, làm cơ sở để em hoàn thành tốt

1 Lý do chọn đề tài: 1

2 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: 2

3 Mục đích nghiên cứu: 2

4 Phương pháp nghiên cứu: 2

5 Cấu trúc và nội dung của đề tài: 2

B NỘI DUNG NGHIÊN CỨU: 3

CHƯƠNG I: TỔNG QUAN VỀ HỐ LƯỢNG TỬ 3

1.1 Cấu trúc hố lương tử: 3

1.1.1 Hố lượng tử đơn: 3

1.1.2 Hố lượng tử kép: 3

1.1.3 Đa hố lượng tử: 3

1.2 Năng lượng và hàm sóng của điện tử trong hố lượng tử cao vô hạn: 4

1.2.1 Năng lượng và hàm sóng của điện tử trong hố lượng tử cao vô hạn khi không có từ trường tác dụng: 4

1.2.2 Năng lượng và hàm sóng của điện tử trong hố lượng tử cao vô hạn khi có từ trường tác dụng: 9

1.2.2.1 Từ trường vuông góc với thành hố: 9

1.2.2.2 Từ trường song song với thành hố lượng tử: 11

1.2.3 Năng lượng và hàm sóng điện tử trong hố thế parabol: 13

1.3 Mật độ trạng thái trong hố lượng tử: 15

CHƯƠNG II: PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG HỌC BOLTZMAN 17

2.1 Cơ sở lí thuyết: 17

2.2 Phương trình động học Boltzman: 17

CHƯƠNG III: BIỂU THỨC GIẢI TÍCH DÒNG ÂM ĐIỆN TRONG HỐ LƯỢNG TỬ 21

3.1 Hố cao vô hạn: 22

3.2 Hố thế parabol: 26

C KẾT LUẬN: 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO: 33

A MỞ ĐẦU:

1 Lý do chọn đề tài:

Ngày nay, vật liệu bán dẫn đã trở nên phổ biến và mang tính ứng dụng mạnh

mẽ, không chỉ trong nghiên cứu khoa học mà còn trong các lĩnh vực khác nhất là trong lĩnh vực vi xử lí , công nghệ thông tin Với việc nghiên cứu vật liệu bán dẫn đã cho ra đời nhiều thành tựu mang tính cách mạng trong lĩnh vực khoa học và kĩ thuật Tuy nhiên, vật liệu bán dẫn vẫn còn là một vấn đề hết sức thú vị và nhận được sự quan tâm không chỉ của các nhà nghiên cứu khoa học, mà còn của các nhà kinh tế, chính trị

Ta đã biết trong bán dẫn khối các hạt mang điện (điện tử, lỗ trống) chuyển động

tự do theo 3 chiều Ngày nay, với sự phát triển hơn của ngành khoa học kĩ thuật thì người ta nghĩ đến việc giảm kích thước của hệ bán dẫn đến cỡ bước sóng Đơbroi để thu được hệ bán dẫn thấp chiều Việc giảm kích thước của hệ bán dẫn theo 1 chiều, 2 chiều, hoặc cả 3 chiều thì dẫn đến những thay đổi mật độ trạng thái, tính chất điện, tính chất cơ, tính chất từ so với bán dẫn khối do sự giam giữ các hạt mang điện Chính

sự khác biệt những tính chất này hệ bán dẫn thấp chiều là một vật liệu hoàn toàn mới với những tính chất thú vị cho các ngành công nghệ cao

Hố lượng tử là một trong những cấu trúc của hệ hai chiều, trong đó các hạt mang điện sẽ bị giam giữ theo một chiều, và chuyển động tự do theo hai chiều còn lại

Hố lượng tử được tạo bởi các vật liệu bán dẫn có vùng cấm khác nhau được ghép xen

kẽ lại với nhau Hố lượng tử được quan tâm khi nó gắn liền với các công trình nghiên cứu có giá trị, và hiệu ứng âm điện trong hố lượng tử là một trong những công trình

đó

Khi sóng âm được hấp thụ bởi vật dẫn, sự truyền động lượng và năng lượng từ sóng âm đến các điện tử trong vật dẫn có thể làm xuất hiện một hiệu ứng gọi là hiệu ứng âm điện Hiệu ứng âm điện tạo ra dòng âm điện trong jac nếu mạch kín và tạo ra một trường âm điện không đổi Eac nếu mạch hở Biểu thức giải tích của dòng âm điện

jac được tính toán bằng cách sử dụng phương pháp phương trình động Boltzmann cho điện tử tương tác với sóng âm trong trường hợp khí điện tử không suy biến

Như vậy, hiệu ứng âm điện trong hố lượng tử sẽ tạo ra những tính chất đặc biệt trong cấu trúc hố lượng tử, đây là vấn đề mà nhiều người quan tâm Do đó tôi chọn đề

tài: “ HIỆU ỨNG ÂM ĐIỆN TRONG HỐ LƯỢNG TỬ” để nghiên cứu cho khóa luận tốt nghiệp của mình

2 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

- Đối tượng nghiên cứu: Dòng âm điện trong hố lượng tử

- Phạm vi nghiên cứu: các đặc điểm về cấu trúc, phổ năng lượng và hàm sóng, mật độ trạng thái, dòng âm điện trong hố lượng tử

3 Mục đích nghiên cứu:

Mục đích nghiên cứu của đề tài là nghiên cứu các đặc điểm về cấu trúc, phổ năng lượng, mật độ trạng thái, các tính chất về hiệu ứng âm điện trong hố lượng tử Từ

đó xây dựng một tài liệu tổng quan nhất về dòng âm điện trong hố lượng tử

4 Phương pháp nghiên cứu:

Phương pháp nghiên cứu gồm nghiên cứu tổng quan về lý thuyết, xây dựng công thức, tính toán và tổng hợp ý kiến của các chuyên gia

5 Cấu trúc và nội dung của đề tài:

A Mở đầu

B Nội dung

Chương I : Tổng quan về hố lượng tử

Chương II : Thiết lập phương trình động Boltzman

Chương III : Hiệu ứng âm điện trong hố lượng tử

Chương IV: Tính toán số và vẽ đồ thị lý thuyết cho hố lượng tử GaAs/GaAsAl

C Kết luận

Các tài liệu tham khảo

B NỘI DUNG NGHIÊN CỨU:

CHƯƠNG I: TỔNG QUAN VỀ HỐ LƯỢNG TỬ 1.1 Cấu trúc hố lương tử:

Ví dụ như: AlGaAs/ GaAs/ AlGaAs

E

Ea

Eb

Hình 1.3: Cấu trúc của đa hố lượng tử

1.2 Năng lượng và hàm sóng của điện tử trong hố lượng tử cao vô hạn:

1.2.1 Năng lượng và hàm sóng của điện tử trong hố lượng tử cao vô hạn khi không có từ trường tác dụng:

Để tính toán cấu trúc vùng năng lượng trong hố lượng tử, xét một hố lượng tử hình chữ nhật đơn giản dưới dạng:

Ψ(x, y, z) = Cexp(−iKxx − iKyy) cos(nπ

L z) Chuẩn hóa hàm sóng:

∫ |Ψ|2 toàn miền

= 1

⇒ ∫ dx ∫ dy ∫ |Ψ|2

L 2

Vậy năng lượng của điện tử trong hố:

E =ħ2( Kx2+ Ky2 )

n2π2ħ22mL2 = EKxKy + En (n = 2,4,6 … ) (1.9) Hàm sóng có dạng:

Ψ(x, y, z) = D exp(−iKxx − iKyy) sin(nπ

L z) Chuẩn hóa hàm sóng:

∫ |Ψ|2 toàn miềền

= 1

⇒ ∫ dx ∫ dy ∫ |Ψ|2

L 2

- Trong hố lượng tử với rào thế cao vô hạn điện tử bị giam nhốt hoàn toàn theo phương

z, sóng được hình thành là sóng đứng có các nút sóng tại mặt tiếp xúc với rào thế Năng lượng điện tử bị tách mức theo phương z

E =ħ

2( Kx2+ Ky2 )

n2π2ħ22mL2

- Ở trạng thái cơ bản năng lượng đạt giá trị Emin:

Hình 1.5: các mức năng lượng của điện tử trong hố lượng tử với vách ngăn vô hạn

1.2.2 Năng lượng và hàm sóng của điện tử trong hố lượng tử cao vô hạn khi có từ trường tác dụng:

1.2.2.1 Từ trường vuông góc với thành hố:

Bây giờ chúng ta khảo sát xem phổ năng lượng và hàm sóng của điện tử sẽ biến đổi như thế nào khi ta đặt thêm một từ trường không đổi B (0,0,B) vuông góc với hố lượng tử, tức là song song với Oz V(z)

cA)

2

= 12m(p2+ 2e

cpyAy+

e2

c2Ay2) Với e: là độ lớn điện tích của điện tử

c: vận tốc ánh sáng trong chân không m: khối lượng hiệu dụng của điện tử trong hố lượng tử

Ta sử dụng phương trình Schrodinger:

ĤΨ(x, y, z) = EΨ(x,y,z)

⇔ 12m(p2+ 2e

Ψ( x, y, z) ~ exp(−iKyy) sin(nπ

L z) Φ(x) = I Φ(x) (1.12) Với I = exp(−iKyy) sin(nπ

L z) Thay (1.12) vào (1.11) và đạo hàm:

Đặt: x0 =cħKy

eB ; Ωc =

eB

mc: tần số cyclotron Phương trình (1.13) viết lại:

Như vậy, khi đặt thêm một từ trường không đổi B=(0,0,B) vuông góc với thành

hố thì năng lượng của electron bao gồm năng lượng chuyển động tịnh tiến dọc theo từ trường và năng lượng được lượng tử hóa của chuyển động của dao động tử trong mặt phẳng Oxy

Hàm sóng mô tả trạng thái điện tử trong trường hợp này là một đa thức Hermitter

Ψ(x, y, z) = B exp(−iKyy) sin(nπ

L z)ΦN(x − x0) Trong đó: ΦN(x − x0) là hàm sóng của dao động tử điều hòa quanh tâm x0 với tần số

1.2.2.2 Từ trường song song với thành hố lượng tử:

Giả sử từ trường theo phương x: B//Ox

Với: I = exp(−iKxx − iKyy)

Thay (1.18) vào (1.17) và đạo hàm:

eħBKy

mc z +

e2B22mc2 z2) Φ(z) = (E −ħ

2Kx22m ) Φ(z)

Ψ(x, y, z) = B exp(−iKxx − iKyy) ΦN(z − z0) Trong đó: ΦN(z − z0) là hàm sóng của dao động tử điều hòa quanh tâm z0 với tần số

Ωc

Sau khi chuẩn hóa trên toàn miền hàm sóng có dạng:

Ψ(x, y, z) = √ 2

LxLy exp(−iKxx − iKyy) ΦN(z − z0) (1.21)

Nhận xét:

Khi có từ trường song song với thành hố thì về mặt định lượng năng lượng điện

tử có sự thay đổi đáng kể nhưng về mặt định tính năng lượng vẫn có tính gián đoạn

1.2.3 Năng lượng và hàm sóng điện tử trong hố thế parabol:

Giả sử từ trường theo phương Ox: B//Ox

Với : e: độ lớn điện tích của điện tử

c: vận tốc ánh sáng trong chân không

V(z) =1

2mω02z2; ω0 tần số đặc trưng của điện tử trong hố lượng tử

Phương trình Schrodinger có thể viết lại dạng như sau:

[ 12m(p +e

2mω0

2z2] Ψ

= EΨ (1.22) Hàm sóng: Ψ( x, y, z) ~ exp(−iKxx − iKyy) Φ(z) = I Φ(z) (1.23)

ħ22m

d2Φ(z)

dz2 +eħBKy

mc z Φ(z) +

e2B22mc2z2 Φ(z)

+ 1

2mω0

2z2 Φ(z) = E Φ(z)

Đặt ∶ Ω2 = Ωc2+ ω02 ; Ωc = eB

mc: tần số cyclotron ; z0 = −

ħKyΩc

mΩ2Phương trình (1.24) trở thành:

Ω2 (1.26) Hàm sóng sau khi chuẩn hóa:

Trong trường hợp từ trường định hướng song song không thay đổi định tính phổ năng lượng tức là phổ vẫn có tính gián đoạn nhưng về mặt định lượng của phổ năng lượng đặc biệt là các mức năng lượng gián đoạn thì có những thay đổi đáng kể

1.3 Mật độ trạng thái trong hố lượng tử:

Mật độ trạng thái là số trạng thái khả dĩ của điện tử trên đơn vị thể tích trong một đơn vị năng lượng Để tìm mật độ trạng thái trong một đơn vị diện tích ta xét hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn bán kính là K⊥và K⊥+ dK⊥:tương ứng với giá trị năng lượng là E và E+dE

2 K⊥2

n2π2ħ22mL2

Số trạng thái trong khoảng K⊥ → K⊥+ dK⊥:

g(E) dE = g(E⊥) d E⊥ = g(K⊥) dK⊥cũng chính là số trạng thái nằm trong hình vành khăn có diện tích dS:

dS = π (K⊥+dK⊥)2 - πK⊥2 = 2πK⊥dK⊥ (dK⊥<< K⊥)

Một trạng thái → (2π/L)2 = (2π)2

g(K⊥) dK⊥(2π)2 = 2πK⊥dK⊥

⇒ g(K⊥) dK⊥ = ( K⊥dK⊥)/ 2π

Do đó mật độ trạng thái trong hố lượng tử:

CHƯƠNG II: PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG HỌC BOLTZMAN

2.1 Cơ sở lí thuyết:

Khi sóng âm được hấp thụ bởi vật dẫn, sự truyền động lượng và năng lượng từ sóng âm đến các điện tử trong vật dẫn có thể làm xuất hiện một hiệu ứng gọi là hiệu ứng âm điện, hiệu ứng âm điện tạo ra dòng âm điện jac

Sự tương tác giữa sóng âm bề mặt (suface acoustic wave) với các điên tử chuyển động trong cấu trúc bán dẫn trở thành phương pháp quan trọng để nghiên cứu các tính chất động lực học, tính dẫn điện của các hệ thống thấp chiều trong hố lượng tử

Cơ chế của hiệu ứng âm điện dựa trên sự truyền năng lượng và xung lượng là sự tương tác của phonon âm với điện tử chuyển động trong vật liệu bán dẫn Hiệu ứng này xuất hiện khi có sự tán xạ giữa xung lương của điện tử với dao động của mạng tinh thể khi có sóng âm truyền dọc theo vật liệu

2.2 Phương trình động học Boltzman:

Hiệu ứng động là quá trình không thuận nghịch, nó tuân theo phương trình động học Boltzman Chúng ta khảo sát mật độ hạt tải điện trong trạng thái đặc trưng bởi vecto sóng K⃗⃗ tại điểm r và biểu thị hàm đó là f (r , K⃗⃗ ) gọi là hàm phân bố, nó có thể thay đổi theo thời gian, nên trong trường hợp tổng quát nó có thể được kí hiệu là f (r , K⃗⃗ , t)

Để xác định nồng độ điện tử ở trạng thái không cân bằng, chúng ta thiết lập bằng cách sau:

Trong phần tử thể tích pha của một đơn vị thể tích của tinh thể ta có:

dG = dτr⃗ dτp = ħ3dτr⃗ dτK (2.1)

Ở đây, dτr⃗ = dx dy dz là phần tử thể tích của không gian thường

dτp = ħ3 dτK là phần tử thể tích pha của không gian chuẩn xung lượng

Như vậy, trong phần tử thể tích pha có dGħ3 ô cơ sở pha, mà mỗi ô cơ sở pha có thể có hai điện tử spin ngược dấu nhau Do đó, trong phần tử thể tích pha chứa 2 dGħ3 trạng thái lượng tử Nếu f (r , K⃗⃗ , t) là xác suất tìm được điện tử ở trạng thái này thì số lượng điện tử trong phần tử thể tích pha ở thời điểm t bằng:

dn = f(r , K⃗⃗ , t) 2.dG

ħ3 = f(r , K⃗⃗ , t)dτK

4π3 dτr⃗ (2.2) Chúng ta sẽ đưa ra phương trình thỏa mãn hàm phân bố không cân bằng f (r , K⃗⃗ , t)

Đầu tiên chúng ta xét hệ điện tử trong không gian thường Để đơn giản, chúng

ta đặt trường lực bên ngoài tác dụng vào hệ điện tử chuyển động với vận tốc v⃗ dọc

theo hướng dương của trục x Chúng ta sẽ tính sự thay đổi số điện tử trong thời gian dt

−𝑓(K⃗⃗ , x + dx, y, z, t)dτK

4π3 vxdy dz dt (2.4) Như vậy trong thời gian dt số điện tử trong phần tử thể tích dτr⃗ , giảm đi một lượng:

∂x .

dτK4π3dτr⃗ dt (2.5) Trong trường hợp tổng quát, chuyển động của hạt tải điện với vận tốc v

⃗ (vx, vy, vz ), thì sự biến đổi của số lượng điện tử với vecto sóng K⃗⃗ đã cho trong phần

tử thể tích dτr⃗ trong khoảng thời gian dt bằng:

4π3dτr⃗ dt (2.6) Chúng ta khảo sát trạng thái của các điện tử trong không gian vecto sóng bằng cách

tính số điện tử đi vào và đi ra khỏi các mặt tương ứng của nguyên tố thể tích dτK trong

thời gian dt Tương tự như trên chúng ta nhận được:

dt ∇K f)

dτK4π3dτr⃗ dt

= −1

ħ(F⃗ ∇K f)dτK

4π3dτr⃗ dt (2.7)

Ở ở đây: ħdK⃗⃗

dt =

dP⃗⃗

dt = F⃗ (r , t) (2.8)

là lực tác dụng vào điện tử ở điểm r tại thời điểm t

Biểu thức (2.7) là sự thay đổi số lượng điện tử nhờ tác dụng của lực bên ngoài gây ra

mức từ trạng thái K⃗⃗ sang K⃗⃗⃗⃗ trống hoàn toàn Như vậy, điện tử trong khoảng thời gian ′

dt nhờ va chạm, chuyển từ trạng thái K⃗⃗ sang K⃗⃗⃗⃗ , dẫn đến giảm bớt một lượng điện tử ′

trong thể tích nguyên tố dG (quá trình này phức tạp, ở đây ta chỉ xét các tán xạ đàn hồi) là:

−f(r , K⃗⃗ , t)W(K⃗⃗ , K⃗⃗⃗⃗ )[1 − f(r , K′ ⃗⃗⃗⃗ , t)]′ dτK ⃗⃗⃗⃗ ′

4π3

dτK4π3dτr⃗ dt (2.9)

Ở đây, f(r , K⃗⃗ , t)dτK

4π3là số hạt trong trạng thái K⃗⃗

[1 − f (r , K⃗⃗⃗ , t)]′ dτK⃗⃗⃗ ′

4π3 là số chỗ trong trạng thái K⃗⃗⃗ ′Trong cùng thời gian ấy có thể cũng xảy ra quá trình ngược, nghĩa là hạt tải có thể chuyển từ trạng thái K⃗⃗⃗ vào K⃗⃗ do tán xạ với xác suất W(K′ ⃗⃗⃗⃗ , K′ ⃗⃗ ) Như vậy, số lượng điện

tử thực hiện quá trình ngược dẫn đến làm tăng số lượng điện tử trong thể tích dG, có giá trị bằng:

f(r , K⃗⃗⃗⃗⃗ , t)W(K′ ⃗⃗ , K⃗⃗⃗⃗ )[1 − f(r , K′ ⃗⃗ , t)]dτK ⃗⃗⃗⃗ ′

4π3

dτK4π3dτr⃗ dt (2.10)

Do vậy, nhờ va chạm số điện tử trong một thể tích pha nguyên tố trong khoảng thời gian dt được biến đổi một lượng là:

f(K⃗⃗⃗⃗ )W(K′ ⃗⃗ , K⃗⃗⃗⃗ )[1 − f(K′ ⃗⃗ )]W(K⃗⃗ , K⃗⃗⃗⃗ )[1 − f(K′ ⃗⃗⃗⃗ )]′ dτK ⃗⃗⃗⃗ ′

4π3

dτK4π3dτr⃗ dt (2.11)

Ở đây, f(K⃗⃗ ) ≡ f(r , K⃗⃗ , t), f(K⃗⃗⃗⃗ ) ≡ f(r , K′ ⃗⃗⃗⃗⃗ , t) ′

f(K⃗⃗ ), f (K⃗⃗⃗ ) là hàm của vecto sóng sau khi được rút gọn ′

Để tính toàn bộ số điện tử tán xạ nhờ va chạm cần phải lấy tích phân theo toàn bộ trạng thái cuối K⃗⃗⃗ , nghĩa là biểu thức trên cần phải lấy tích phân theo thể tích của vùng ′Brillouin

dτK

4π3dτr⃗ dt ∫{f(K⃗⃗⃗⃗ )W(K′ ⃗⃗ , K⃗⃗⃗⃗ )[1 − f(K′ ⃗⃗ )]W(K⃗⃗ , K⃗⃗⃗⃗ )[1 − f(K′ ⃗⃗⃗⃗ )]}′ dτK⃗⃗⃗⃗ ′

4π3 (2.12) Như vậy, chuyển động của electron và tác dụng trên chúng bằng ngoại lực, cũng như sự tồn tại của quá trình tán xạ dẫn đến sự thay đổi số lượng điện tử trong thể tích nguyên tố của không gian pha Sự biến đổi này trong khoảng thời gian từ t đến t +dt tạo nên giá trị bằng :

Do đó, biểu thức trên bằng tổng của các biểu thức (2.6), (2.7) và (2.11)

Sau khi rút gọn biểu thức dτK

(2.14) Theo nguyên lí thuận nghịch qui mô, xác suất cho quá trình thuận và nghịch như nhau, nghĩa là:

W(K⃗⃗ , K⃗⃗⃗⃗ ) = W(K′ ⃗⃗⃗⃗ , K′ ⃗⃗ ) (2.15) Như vậy, biểu thức (2.14) có dạng đơn giản hơn:

Phương trình (2.14) được gọi là phương trình động học Boltzman Đây là phương trình vi tích phân vì hàm cần tìm nằm dưới dấu tích phân và phương trình này không có nghiệm tổng quát