Dang 5. Phương pháp hàm số, đánh giá(VDT

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình: 4 sin cos có nghiệm... Có bao nhiêu giá trị m nguyên trong khoảng 20;20 để phương trình có nghiệm.. Phương trình  2 có

Câu 1 [2D2-5.5-3] (Chuyên Vinh Lần 2) Cho số thực m và hàm số y f x 

có đồ thị như hình vẽ Phương trình có f 2x2x m

nhiều nhất bao nhiêu nghiệm phân biệt thuộc đoạn 1;2 ?

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Đình Hải ; Fb:Nguyen Dinh Hai

Chọn B

Đặt t t x   2x2x

với x�1; 2

Hàm số t t x  

liên tục trên 1;2 có t x�  2 ln 2 2 ln 2x  x

và t x�  0

2 ln 2 2 ln 2 0  

� x x �2x2x � x0.

Bảng biến thiên:

Nhận xét: Dựa vào bảng biến thiên với mỗi

5 2;

2

� �

�� �� �

t

có 2 giá trị của x thỏa mãn t2x2x

và với mỗi  2 5 17;

2 4

� ��� ��

t

có duy nhất 1 giá trị x thỏa mãn 2x2x

Xét phương trình f t  m

với

17 2;

4

�� �� �

t

Dựa vào đồ thị phương trình f 2x2x m

có số nghiệm nhiều nhất khi và chỉ khi phương trình f t  m

có 2 nghiệm t1, t2 trong đó có: 1

5 2;

2

�� �� �

t

và 2

5 17

;

2 4

��� ��

t

Vậy phương trình f 2x2xm

có nhiều nhất 3 nghiệm phân biệt thuộc đoạn 1;2 .

Câu tương tự:

Câu 2 [2D2-5.5-3] (Chuyên Vinh Lần 2) (Đề minh họa năm 2019) Cho hàm số y f x 

liên tục

trên � và có đồ thị như hình vẽ dưới đây Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để

phương trình f sinx m

có nghiệm thuộc khoảng 0; là

A 1;3 . B 1;1 . C 1;3. D 1;1.

Lời giải Chọn D

Đặt tsinx , do x�0;

nên t�0;1

Khi đó phương trình trở thành: f t  m t, �0;1

Đồ thị f t 

trên 0;1

như hình vẽ

Từ đồ thị ta có: Phương trình f sinx m

có nghiệm thuộc khoảng 0;

�phương trình f t  m

có nghiệm trên nửa khoảng 0;1 � �m 1;1

Câu 3 [2D2-5.5-3] (Chuyên Vinh Lần 2) Cho hàm số y f x 

xác định trên � và có đồ thị như

hình bên Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình:

4 sin cos

có nghiệm

Lời giải Chọn D

Đặt t 4 sin 6 xcos6x 4 1��34sin 22 ��

� x� 4 3sin 22 x � �t  1; 4

Do đó phương trình f ��4 sin 6 xcos6x��m

có nghiệm �phương trình f t  m

có nghiệm trên đoạn  1; 4

Dựa vào đồ thị đã cho ta thấy: phương trình f t  m

có nghiệm t với t� 1;4 ۣ�ۣ 1 m 5. Vậy m�1; 2;3; 4;5

Câu 4 [2D2-5.5-3] (ĐOÀN THƯỢNG-HẢI DƯƠNG LẦN 2 NĂM 2019) Biết x x 1, 2 x1x2 là

hai nghiệm của phương trình

3

log x    3x 2 2 5x  x 2

và 1 2  

1 2 2

x  x  a b

với ,a b là hai số nguyên dương.

Tính a2b?

Lời giải

Tác giả: Phan Khanh ; Fb: PhanKhanh

Chọn B

Điều kiện xác định của phương trình:

3 2 0

1

x

x

�

�

Đặt t x2  với 03x 2 t� Phương trình đã cho trở thành   2 1

3

log t 2 5t   2 0. Xét hàm số     2 1

3

f t  t    .

Ta có:    1 2 1

2 5 ln 5 0

2 ln 3

t

t



Suy ra f t 

luôn đồng biến trên 0;� Mà   3

9

5

Do đó phương trình f t  0 có đúng 1 nghiệm trên khoảng 0;�.

Xét t ta có 1   1 1 2

3

log 1 2 5   2 0 (đúng) Suy ra t  là nghiệm duy nhất.1

1

t �

1 2

1

2

3 2 1

2

x

x

�  

�

�

   �

�  

�

1

2

x  x  

�

Suy ra a9,b Vậy 25 a b  1

Câu 5 [2D2-5.5-3] (Hải Hậu Lần1) Tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình

2x 3 m 4x1 có hai nghiệm thực phân biệt là a b; 

Tính S2a3b

A S 29. B S 28. C S 32. D S 36.

Lời giải

Tác giả: Lê Mai Hương; Fb: Le Mai Huong

Chọn D

Ta có 2x 3 m 4x1

2 3

4 1

x x

m 

�



Xét hàm số   2 3

4 1

x x

f x  

 trên �

1 3.2 2 ln 2

0

x x

�

1 log 3

x

�

Ta có bảng biến thiên

Từ bản biến thiên suy ra m�3; 10

Do đó

3 10

a b



�

� 

� �S2.3 3.10 36  .

Câu 6 [2D2-5.5-3] (KỸ-NĂNG-GIẢI-TOÁN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Phương trình

2

2

2 2

  có nghiệm các nghiệm x x Hãy tính giá trị của biểu thức1; 2

2 2

1 2 3 1 2

A x    x x x

D. 1.

Lời giải

Tácgiả :(Phạm Thị Ngọc Huệ,,Tên FB: Phạm Ngọc Huệ)

Chọn C

Ta có : 3x2    �� nên đk của phương trình là: 5x 8 0 x

3 2 0

1

x

x

 

�

   � � �

2

2

1

2

x  x  x  x  x  x  x  x

�

x  x  x  x  x  x  x  x

�

Xét hàm số

2

1 ( ) log ,( 0)

2

f t  t t t

;

ln 2 2

t

Nên hàm số ( )f t đồng biến trên tập 0;� 

Mà phương trình có dạng : f x 2  3x 2 f 3x2  5x 8

Vậy phương trình đã cho tương đương với phương trình:

3x2  5x 8 x2 3x 2 �2x2  8x 6 0

1 ( / ) 3

x

t m x



�

A x    x x x  x  x  x x  .

Câu 7 [2D2-5.5-3] (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂK LĂK LẦN X NĂM 2019) Cho phương trình

5

5x m log x m Có bao nhiêu giá trị m nguyên trong khoảng 20;20 để phương trình

có nghiệm

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Duy Tân; Fb: Nguyễn Duy Tân

Chọn C

 Đặt 5x m log5x m  t

Ta có hệ phương trình: 5 

�

t t

Trừ hai vế ta được: 5x  5t t x�5x  x 5t t� f x   f t 

 Với f x   5x x� f x�  5 ln 5 1 0x   x��

� Hàm số y f x 

đồng biến trên �

� Phương trình f x   f t 

có nghiệm duy nhất x t

 Với x t ta có 5x m x�5x  x m.

Xét hàm số g x   5x x

Do m là số nguyên và m�20;20

nên m�{ 19; 18; ; 1}   .

Vậy có 19 giá trị m thỏa mãn bài toán.

chtruong19@gmail.com

Câu 8 [2D2-5.5-3] (THPT NINH BÌNH – BẠC LIÊU LẦN 4 NĂM 2019) Tính tích tất cả các

nghiệm thực của phương trình

1 2

2 2

2

x x x

x

�  �

1

2.

Tác giả:Nguyễn Thị Lan ; Fb: Lan Nguyen Thi

Chọn D

Điều kiện x0

Đặt

1 2

t x

x

 

, t� 2

Phương trình trở thành: log2t 2t 5  1

Xét f t  log2t2t với t� 2

Ta có f  2 5 nên x2 là một nghiệm của phương trình  1

ln 2

t

f t

t

2

t

 �

 

f t

� luôn đồng biến trên khoảng  2;�

� Đồ thị hàm số y f t  cắt đường thẳng y nhiều nhất tại 1 điểm.5

Vậy t là nghiệm duy nhất của phương trình 2  1 .

2

x

Phương trình  2 có hai nghiệm phân bệt và tích tất cả các nghiệm thực của phương trình là 1

2

Câu 9 [2D2-5.5-3] (Chuyên Bắc Giang) Tìm m để phương trình log22xlog2x2 3 m có nghiệm

 1;8

x� .

A.6� � m 9 B.2� � m 3 C.2� � m 6 D.3� � m 6

Lời giải

Tác giả:Vũ Thị Thanh Huyền; Fb: Vu Thi Thanh Huyen

Chọn C

log xlog x  3 m�log x2log x 3 m 1

Đặt tlog2x, x� 1;8 � �t  0;3

Phương trình  1

trở thành t2  2t 3 m 2 . Phương trình  1

có nghiệm x� 1;8

khi và chỉ khi phương trình  2

có nghiệm t� 0;3

Xét hàm số f t    t2 2t 3 với t� 0;3

Ta có bảng biến thiên:

Vậy phương trình  1 có nghiệm x� 1;8 ۣ�ۣ f  1 m f  3 ۣ�ۣ 2 m 6.

Câu 10 [2D2-5.5-3] (Ba Đình Lần2) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

9 x x 4.3 x x 2m 1 0 có nghiệm?

Lời giải

Tác giả:Nguyễn Thị Thanh Huyền ; Fb: Huyền Kem Huyền Kem

Chọn B

ĐKXĐ: x� 0;4

Đặt t 4x x 2 với x� 0; 4

thì t� 0;2 Đặt u với 3t t� 0;2

thì u� 1;9

Khi đó, tìm m đề phương trình u24u2m  có nghiệm thuộc đoạn1 0  1;9

2

2m  u 4u1

� , với u� 1;9

Xét hàm số f u    u2 4u1.

f u�    u �u .

Ta có, f 1 4, f  2 5, f  9  44.

Do đó, phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

5

2

Vậy có 25 số nguyên của tham số m

Câu 11 [2D2-5.5-3] (Liên Trường Nghệ An) Cho hàm số y f x  liên tục trên � và có đồ thị như

hình vẽ dưới đây

Số các giá trị nguyên của tham số m không vượt quá 5 để phương trình   2 1

0 8

f

có hai nghiệm phân biệt là

Lời giải

Tác giả: Lê Anh Đông; Fb: Le Anh Đong

Chọn A

Để phương trình   có 1 nghiệm thì x k k 0

Do đó để   2 1

0 8

x m

8

x m

�

có 2 nghiệm thì đường thẳng

2 1 8

m

y 

phải cắt đồ thị y f x  tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 0.

Dựa vào đồ thị ta thấy

2 1

8

m 

7m 9 0 m 9

�<

Mà m5;m��.Vậy m� 2; 1;0;1; 2 .

Có tất cả 5 giá trị

Câu 12 [2D2-5.5-3] (Nguyễn Khuyến)Cho phương trình 5x m log5x m  với m là tham số Có

bao nhiêu giá trị nguyên của m�20;20

để phương trình đã cho có nghiệm?

Lời giải

Chọn D

Ta có 5x m log5x m   *

Đặt t 5x m

Suy ra  * �tlog5x m  � x m 5t � x 5t m

Ta có hệ

5 5

x t

� 

�

�

 

� �t x  5x 5t � x  5x t 5t (1).

Xét hàm số f u   u 5u có f u�   1 5 ln 5 0u 

, u nên hàm số đồng biến trên �.

 1 � x t

Khi đó ta được x 5x m � x 5x m

Đây là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y x 5x và đường thẳng y m song song hoặc trùng trục hoành

1 log

ln 5

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm 5  

1

ln 5

 

ۣ

�

� �

�

�

�

m m

�

nên m�19; 18; ; 1  

Vậy có 19 giá trị nguyên của m thỏa bài toán.

Câu 13 [2D2-5.5-3] (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG – NAM ĐỊNH 2019 – LẦN 1) Cho

0� �x 2020 và log (22 x  2) x 3y8y Có bao nhiêu cặp số ( ; )x y nguyên thỏa mãn các

điều kiện trên ?

Lời giải

Tác giả:Lê Thị Hồng Vân ; Fb: Hồng Vân

Phản biện : Vũ Ngọc Tân , Fb : Vũ Ngọc Tân.

Chọn D

Do 0� �x 2020 nên log (22 x luôn có nghĩa 2)

Ta có log (22 2) 3 8y

x  x y

3 2

log ( 1) 1 3 2 y

x   x y

�

2

2

log (x 1) 2 x 3y2 y

Xét hàm số ( )f t   t 2t

Tập xác định D � và ( ) 1 2 ln 2f t�   t � f t�( ) 0 t ��

Suy ra hàm số f t( ) đồng biến trên � Do đó (1)�log (2 x 1) 3y � x 1 23y

8

log ( 1)

y x

Ta có 0� �x 2020 nên 1�x1 2021� suy ra 0 log (� 8 x1) log 2021� 8 .

Lại có log 2021 3, 668 � nên nếu y�� thì y�0;1; 2;3

Vậy có 4 cặp số ( ; )x y nguyên thỏa yêu cầu bài toán là các cặp (0;0), (7;1) ,(63;2),(511;3)

Câu 14 [2D2-5.5-3] (Hậu Lộc Thanh Hóa) Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình

1

15 5x x 5x 27x là23

A 1 B 0 C 2 D.1.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Văn Điệp ; Fb:Nguyenvandiep1980@gmail.com

Chọn B

Ta thấy

1 3

x không là nghiệm của phương trình, do đó

15 5 5 27 23 5

3 1

x

 Xét hai hàm số f x  5x 1 và g x  273x 123

x





 trên tập

D � �� � �� �� ���

5 ln 5 0,

3

x

f x�     �x

và

 

 2

0,

3

3 1

x



Do vậy hàm số f x( ) là hàm đồng biến và g x( ) là hàm nghịch biến trên từng khoảng xác định

nên phương trình có tối đa 02 nghiệm.(xem thêm phần đồ thị minh hoạ)

Nhận thấy x � là hai nghiệm của phương trình tren.1

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là 0

Câu 15 [2D2-5.5-3] (PHÂN TÍCH BL_PT ĐỀ ĐH VINHL3 -2019 ) Có bao nhiêu số nguyên m để

phương trình x 3 mex có 2 nghiệm phân biệt?

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Bảo Mai; Fb: Bao An

Chọn A

Ta có x 3 mex �mex  x 3 0.

Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đồ thị hàm số y m ex  cắt trụcx 3

Ox tại 2 điểm phân biệt.

Ta có y�mex 1

+) Nếu m�0 thì y�  ��0, x nên đồ thị hàm số y m ex   không thể cắt trục Ox tại 2 x 3 điểm phân biệt

+) Nếu m0 thì y�0� x lnm Ta có bảng biến thiên:

Suy ra lnm 2 0�me2 Vậy 0 m e2 Do đó các giá trị nguyên của m là 1, 2, …,7.

Nhận xét: Những bài toán về số nghiệm của phương trình phụ thuộc vào tham số m ta thường

tìm cách cô lập m rồi khảo sát hàm số, tuy nhiên với bài toán này, nếu làm vậy thì gặp khó khăn

trong việc khảo sát hàm số nhận được Do đó ta xét vị trí tương đối của đồ thị một hàm khác với trục hoành Bài toán này cần đến các kĩ năng khảo sát hàm số, giải phương trình mũ và bất phương trình logarit

TT 40.1. Có bao nhiêu số nguyên m nhỏ hơn 100 để phương trình m10x m ex có hai

nghiệm phân biệt?

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Bảo Mai; Fb: Bao An

Chọn B

m x m �m  x m 

Xét y m ex10x m �y�mex10.

Thấy m�0 không thỏa mãn Với m0 được

10

m

� � 

Mà y 0 0, vậy để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì ln10m �۹0 m 10 Do vậy có 98

số nguyên thỏa yêu cầu bài toán

TT 40.2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trong đoạn 100;100 để phương trình mlnx x m  có hai nghiệm phân biệt?

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Bảo Mai; Fb: Bao An

Chọn D

Điều kiện xác định: x0

m x x m  �m x x m  

Xét y m lnx x m  �y� m x 1

Thấy m�0 không thỏa mãn Với m0 được y�0� x m.

Vậy để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì mln  m 2m0 �ln m 2 � m e2

2

e

m 

� Do vậy có 92 số nguyên thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 16 [2D2-5.5-3] (THPT LƯƠNG THẾ VINH 2019LẦN 3) Phương trình

2

2 1

( 1)

x

 có hai nghiệm là a và b a (với a, b��* và

a

b là phân số tối giản).

Giá trị của b là

Lời giải

Tác giả:Nguyễn Đông ; Fb:Nguyễn Đông

Chọn D

Điều kiện

1

2 1 0

2

1 0

1

x

x

�

Ta có: 3 2 2

2 1

1

x

2 1

1

x

�

2

2 1

x

x

�

log 2x 1 2x 1 log 3 x1 3 x1

Xét hàm số: f t  log3 t t với t 0

.ln 3

f t

t

0

t

  Suy ra hàm số f t 

đồng biến trên 0;�. Phương trình      2

1 � f 2x 1 f 3 x1

2x 1 3 x1 3x 8x 4 0

hay

2 2 3

x x



�

�

� 

Vậy hai nghiệm của phương trình là 2 và

2

3 suy ra b 3

Câu 17 [2D2-5.5-3] (Chuyên Vinh Lần 3) Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình x 3 me x có

2 nghiệm phân biệt?

Lời giải

Chọn A

Ta có: x 3 me x� me x  x 3 0.

Đặt f x  me x x 3� f x�  me x1.

Nếu m� thì0 f x�  0� f x  0 có tối đa một nghiệm.

Ta xét với m , khi đó 0 f x�  0�x lnm.

Bảng biến thiên

Để phương trình x 3 me x có 2 nghiệm phân biệt lnm 2 0�0 m e2.

Từ đó suy ra m�1; 2;3; 4;5;6;7 .

Câu 18 [2D2-5.5-3] (Đặng Thành Nam Đề 9) Có bao nhiêu số nguyên a�200;200

để phương trình e xe x a ln 1  x lnx a 1 có nghiệm thực duy nhất.

Lời giải

Tác giả: Lê Thanh Bình ; Fb: Lê Thanh Bình

Chọn B

Vì e xe x a   nên ln(1 ) ln(10, x  x  x a)�1   x 1 x a�a0

Điều kiện của phương trình là

x

x a

 

�

    

�

�  

� Phương trình tương đương với: e xe x1ln(x 1) ln(x a  1) 0.

Xét hàm số ( )f x  e x e x a ln(x 1) ln(x a 1).

Ta có

Suy ra f x  đồng biến trên   �1 a;  với  a 0

Ta có lim ( ) ; lim( 1) ( )

x f x x a f x





Bảng biến thiên:

( ) 0

f x 

� luôn có một nghiệm thực duy nhất với mọi a0

Vì a�200;200

nên có 199 số a nguyên thỏa mãn.

toduyhienvb@gmail.com

Câu 19 [2D2-5.5-3] (THPT TX QUẢNG TRỊ LẦN 1 NĂM 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của

tham số m�2019; 2019 để phương trình

x x mx m

  Có đúng 3 nghiệm thực phân biệt.

Lời giải

Tác giả: Võ Đức Toàn ; Fb:ductoan1810

Chọn C

TXĐ: D�\1; 2 

Ta có

x

x

x

x

m

�



�

Đặt

x x

f x



  Khi đó

( 1) ( 2)

x

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình (*) có 3 nghiệm thực phân biệt thì

  �  

Mà m�2019; 2019

và m �� nên có 2017 giá trị m thỏa mãn.

Câu 20 [2D2-5.5-3] ( Sở Phú Thọ) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để tồn tại các số

thực x, y thỏa mãn đồng thời e3x 5y 10e x 3y 9  1 2x2y và

log 3x2y 4 m6 log x 5 m  9 0.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Minh Thắng; Fb: https://www.facebook.com/nmt.hnue

Chọn B

3x 5y 10 x 3y 9 1 2 2

e   e     x y

3 5 10x y x 3y 9 3 9 3 5 10

�

e   x y e   x y

Xét hàm số f t   e t t t , ��

Ta có: f t�      �e t 1 0, t �. Suy ra hàm số luôn đồng biến trên �.

Khi đó phương trình f t  0 có nghiệm là duy nhất Tức là:

Thay vào phương trình thứ 2, ta được:

�

Đặt log5x 5 t t ��, x 5

Khi đó phương trình (1) trở thành

 

t  m t m   (2).

Tồn tại x, y thỏa mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm, tức là:

 2  2 

Vậy có 5 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 21 [2D2-5.5-3] (Ba Đình Lần2) Nghiệm dương của phương trình

2 2

1

2

x x

 

� �

� � có dạng a ba b c, , 

c

Giá trị của a b c  bằng:

Lời giải

Chọn C

Điều kiện:

2

0

2

x

x

�

�

�

� �

2 2

1

2

x x

 

� �

� �

2

log 2x 3x 1 2 x  x 2

�

2

log 2x 3x  1 2 2 x  x (*)

�