Dang 5. Phương pháp hàm số, đánh giá(VDC)

Do đó 1 tương đương với... Bài toán tương tự.. Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để bất phương trình... Vậy số giá trị nguyên dương của tham số m thỏa mãn là 4 giá trị .Câu 46 P

Câu 1 [2D2-5.5-4] (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUYÊN-HÀ-TĨNH) Tìm các giá trị m

để phương trình sin 5 cos 5  

5

5 sin 5 cos 10

m

x x

m m

Vậy để phương trình có nghiệm ta phải có 5 6 � �m 5 6

Câu 2 [2D2-5.5-4] (Lý Nhân Tông) Cho hai số thực x y, thỏa mãn

x y P



B.

37 249

.94



C.

69 249

.94



D.

69 249

.94

x y a



Câu 3 [2D2-5.5-4] (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG – NAM ĐỊNH 2019 – LẦN 1) Tìm tham số m

để tổng các nghiệm của phương trình sau đạt giá trị nhỏ nhất:

Tác giả: Nguyễn Yên Phương; Fb: Yenphuong Nguyen

Phản biện: Lê Mai Hương; Fb: Le Mai Huong

Nếu a hoặc 0 b thì phương trình (*) thỏa mãn.0

Nếu a� và 0 b� thì phương trình (*) tương đương 0

a b



�

� �� Tức là phương trình đã cho tương đương

m 

Câu 4 [2D2-5.5-4] (Sở Bắc Ninh)Cho phương trình mln2x   1 x 2 m ln x   1 x 2 0 1  

Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt thoả mãn

0   x 2 4 x là khoảng a; � Khi đó a thuộc khoảng

x x

Do nghiệm

1

1 0e

  

x

nên phương trình  1 có hai nghiệm thoả mãn 0   x1 2 4 x khi 2

và chỉ khi phương trình  2 có hai nghiệm phân biệt sao cho 0   x1 2 4 x 2

Mà f�   2 f�4 0 và f x�  là hàm số liên tục trên  2; 4 suy ra phương trình  3 có duy nhất một nghiệm x0�2;4 Từ đó ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt thoả mãn 0   x1 2 4 x 2

ln 5

a

Câu 5 [2D2-5.5-4] (THPT-Yên-Mô-A-Ninh-Bình-2018-2019-Thi-tháng-4) Tổng tất cả các giá trị

nguyên của tham số m để phương trình 3x  3 3m 3xx39x224x m .3x 3  3x 1 có banghiệm phân biệt bằng

Lời giải

Tác giả: Công Phương; Fb: Nguyễn Công Phương

Chọn D

Phương trình tương đương với

Hàm số y2 logt 2t2 xác định và liên tục trên 0; �.

 Xét phương trình 2m   x2 4x 1 Ta có bảng biến thiên của hàm số g x    x2 4x1

Phương trình 2m   x2 4x 1 có 2 nghiệm phân biệt khi

 Xét phương trình 2m x 2 1 Ta có bảng biến thiên của hàm số h x   x2 1

Phương trình 2m x 2 1 có 2 nghiệm phân biệt khi

m

 Khi

12

 Xét phương trình     x2 4x 1 x2 1�2x2   4x 2 0� x1 suy ra không tồn tại m để

phương trình  1

và  2

có cùng tập nghiệm gồm 2 phần tử Vậy không tồn tại m để  *

có 2nghiệm phân biệt

 Yêu cầu bài toán � *

có 2 nghiệm phân biệt

2

m

m m

2

m

m m

m

m m

Vì m nguyên nên nên ta có 4038 giá trị của m

Câu 7 [2D2-5.5-4] (Chuyên Thái Nguyên) Xét các số thực dương x y, thỏa mãn

B min

4 3 43

C min

4 3 49

D min

4 3 49

33

xy x y y

xy x y y

đồng biến trên 0;�.Phương trình      2

x x

Câu 9 [2D2-5.5-4] (Thanh Chương Nghệ An Lần 2) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của

tham số m thuộc đoạn 10;10 để bất phương trình

3log 3 x  x 1

đồng biến trên khoảng 0; �.

Do đó (1) tương đương với

Tác giả: Lê Thị Nga ; Fb: Nga Lê

Xét hàm số g x  3x Hàm số g x  đồng biến trên �, hàm số h x   1 2x nghịch biến trên

� nên đồ thị hàm số y g x   và y h x   có nhiều nhất một điểm chung Vì g   0 h 0suy ra phương trình 3x 1 2x có một nghiệm duy nhất x0.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x  0.

Câu 11 [2D2-5.5-4] (PHÂN TÍCH BL_PT ĐỀ ĐH VINHL3 -2019 ) Có bao nhiêu số nguyên

a� 

Do  2019;2019 4;2018

a a

Vậy có 2018 4 1 2015   giá trị của a

Bài toán tương tự

Câu 12 [2D2-5.5-4] (THANH CHƯƠNG 1 NGHỆ AN 2019 LẦN 3) Cho hàm số y f x  có đồ thị

như hình vẽ Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để bất phương trình

Tác giả: Phạm Văn Tuấn; Fb: Phạm Tuấn

� � (vô lý) �m 3 không thỏa mãn ycbt.

Vậy S 1 Số tập con của S là 2 đó là  1 và �.

Câu 13 [2D2-5.5-4] (Chuyên Vinh Lần 3) Có bao nhiêu số nguyên a�2019; 2019 để phương

Phương trình ( )f x  có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi a a�5242243

Do  2019; 2019 4;2018

a a

Vậy có 2018 4 1 2015   giá trị của a

Câu 14 [2D2-5.5-4] (Sở Ninh Bình Lần1) Số nghiệm của phương trình 50x2x5 3.7x

 2 5 2  2( ) 50 ln 50x 2x ln 2 3.7 ln 7x

giá trị nguyên thuộc đoạn 10;10 của tham số m để bất phương trình

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm khi f m �4

Vì m nguyên thuộc đoạn 10;10 nên

Giá trị lớn nhất của m để phương trình:      

Giá trị lớn nhất của m để phương trình có nghiệm trên đoạn  0;2

Vậy số giá trị nguyên dương của tham số m thỏa mãn là 4 giá trị

Câu 46 (Phát triển). Tích tất cả các giá trị của m để hệ phương trình



2425



2325



2625



Câu 18 [2D2-5.5-4] (Chuyên Sơn La Lần 3 năm 2018-2019) Tổng tất cả các giá trị của tham số m để

2 4 6 2 1 2 4 5 2

x  x m  � x  x m

Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của parabol y x 24x và đường 5thẳng y m 2

Ta có hình ảnh minh họa sau

Dựa vào đồ thị, phương trình đã cho có đúng 1 nghiệm khi và chỉ khi m2 1� m�1.

Vậy tổng các giá trị của tham số m là 0.

Câu 19 [2D2-5.5-4] (KINH MÔN II LẦN 3 NĂM 2019) (KINH MÔN II LẦN 3 NĂM 2019) Tổng

tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2 2  

 Vẽ đồ thị hai hàm số g x    x2 4x1 và h x   x2 1 trên cùng hệ trục tọa độ Oxy

(Chú ý: Hai đồ thị hàm số yg x( ) và y h x ( ) tiếp xúc với nhau tại điểm A(1; 2))

Để phương trình  *

có đúng ba nghiệm phân biệt thì  2

phải có đúng ba nghiệm phân biệt

� đường thẳng y2m và hai đồ thị trên có đúng ba điểm chung phân biệt.

Vậy tổng tất cả các giá trị của m bằng 3.

Câu 20 [2D2-5.5-4] (THPT PHỤ DỰC – THÁI BÌNH) Tìm số giá trị nguyên của m thuộc 20; 20

Do m nguyên thuộc 20;20 nên số giá trị m là 23.

Câu 21 [2D2-5.5-4] (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG QUẢNG NAM LẦN 2 NĂM 2019) Cho hai số

2log 4x y 2xy2 y  8 2x2 y2 Giá trị nhỏ nhất của

Câu 22 [2D2-5.5-4] (Gang Thép Thái Nguyên) Số các giá trị nguyên của tham số m để phương trình:

m1 16 x2 2 m3 4 x6m 5 0 có hai nghiệm trái dấu là

6 5

4 6

t t m

2 2

Câu 23 [2D2-5.5-4] (Đặng Thành Nam Đề 6) Biết rằng phương trình

log 2x 1 m log 3�� m4x4x 1 ���log 2x 1 m log 3��m(2x1) ��

Nếu 2x01 là nghiệm của phương trình thì 2x01

cũng là nghiệm của phương trình

Vậy để phương trình có nghiệm duy nhất thì 0  0  0

x  thay vào phương trình ta có: log2mlog 33 m t

3 2

log 3 3

t t t

Nhận thấy với x thì phương trình đã cho trở thành 0 10  (vô lí), nên x không là nghiệm0

của phương trình với mọi m

Dựa vào bảng biến thiên thì phương trình m x lnln 3x 1

 có hai nghiệm thực phân biệt khi

 1; 

m� �

Câu 25 [2D2-5.5-4] (CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 3) Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương

của m để phương trình 2cosx  2 3m 3cosx cos3x6sin2 x9cosx m 6 2 cosx 2 2cosx 11

2 x  m x  cos x6cos x9cosx m 2 x 2 x 1

Ta có phương trình : 2a b a3b32a 1  1

.Nhận thấy a b  thỏa mãn phương trình 0  1

.Nếu a b  thì 0 2a b 20 1 và a3b32a 0

nên phương trình  1

vô nghiệm Nếu a b  thì 0 2a b 1 và a3b32a 0

nên phương trình  1

cũng vô nghiệm Vậy a b  suy ra 0 3m3cosx  2 cosx � cos3x6 cos2 x9cosx 8 m.

Đặt cos x t với điều kiện t�1;1 , suy ra f t    t3 6t2  9t 8 m.

Khi đó ta cũng suy ra được 3 m3cosx 2 cosx.

Câu 26 [2D2-5.5-4] (SỞ GDĐT KIÊN GIANG 2019) Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham

số m để phương trình 2 log2x4 2 log2x8 2m2018 0 có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn

b

( ,a b��,a b là phân số tối giản) là giá trị nhỏ nhất của tham số thực m sao cho phương

Câu 28 [2D2-5.5-4] (Cụm 8 trường chuyên lần1) Số giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn

2019 ; 2 để phương trình x1 log 4�� 3 x 1 log 25 x1��2x m

có đúng hai nghiệmthực là

x .Trường hợp 1: m , phương trình đã cho trở thành:2

Ta có: f  0  2 ; f  1 0, suy ra f    0 f 1 0.

Theo hệ quả của định lý trung gian, tồn tại x0�0 ; 1

sao cho f x 0 0.

Do vậy: m thỏa mãn yêu cầu bài toán.2

Trường hợp 2: m , dẫn đến 2 x không phải là nghiệm của phương trình đã cho.1

Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra: phương trình g x  0 có đúng hai nghiệm 1

1

; 14

Vậy với mọi giá trị nguyên của tham số m�2019 ; 2 thì phương trình đã cho luôn có hai

nghiệm thực phân biệt

Có 2022 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Phân tích : (Ng Việt Hải)

- Đây là bài toán về sự tương giao.

- Tuy nhiên nếu chúng ta cô lập m thì việc khảo sát hàm biến x khá phức tạp Ý tưởng của tác giả: Cho m � sử dụng tính chất đơn điệu trên từng khoảng và ứng với từng2

khoảng tương ứng phương trình có 1 nghiệm

Bài toán tổng quát

TH1 : m , Phương trình 2  

12

� ��

� �� f x  2 có nghiệm duy nhất khác 1.

Vậy m thỏa mãn bài toán.2

TH2 : m , dẫn đến 2 x không phải là nghiệm của phương trình đã cho.1

Câu 29 [2D2-5.5-4] (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUYÊN-HÀ-TĨNH) Tổng tất cả các giá

trị của tham số m để phương trình 2  

Phương trình  1

tương đương f x 3y  f xy  � x3y xy .Theo bất đẳng thức Schwarz ta có

0

42

u

u u