Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Phương Thảo; Fb: Nguyễn Thị Phương Thảo Chọn C Ta có z i +... Lời giải Tác giả: Lê Đăng Khoa; Fb: Lê Đăng Khoa Chọn A... Tìm độ dài ngắn nhất của đoạn MN...
Trang 1Câu 1 [2D4-5.2-3] (THPT-Gia-Lộc-Hải-Dương-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Gọi M và m lần
lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
2z i P
z
+
=
với z là số phức khác 0 và thỏa mãn
2
z ≥ Tính tỉ số
M
m
A M 3
3
M
3
M
m = . D M 2
m = .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Phương Thảo; Fb: Nguyễn Thị Phương Thảo
Chọn C
Ta có
z i
+
Vậy
5 3
M
m = .
Câu 2 [2D4-5.2-3] (Nguyễn Du Dak-Lak 2019) Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện
2 3
z i − = − + z i , số phức z0 có môđun nhỏ nhất Phần ảo của z0 là
A
2
4
3
3
4
Lời giải
Tác giả: Vũ Văn Hiến; Fb: Vu Van Hien
Chọn C
+ Giả sử z x yi x y0 = + , , ( ∈ R ).
+ Ta có:
z i − = − + ⇔ + − z i x y i = − + − + x y i
( ) (2 ) (2 )2
⇔ + − = − + − +
3
⇔ = − +
0
z = x + y = x + − + x = x − + = x x − + ≥
Vậy 0 min
3 2
z =
x = ⇒ = ⇒ = + y z i, suy ra phần ảo của
0
z bằng 3 2.
Trang 2Câu 3 [2D4-5.2-3] (KỸ-NĂNG-GIẢI-TOÁN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Cho tất cả các số phức
i, ,
z x y x y = + ∈ ¡ thỏa mãn z + − = + 2i 1 z i Biết z được biểu diễn bởi điểm M sao cho
MA ngắn nhất vớiA ( ) 1;3 Tìm P 2 3 = + x y
Lời giải
Tác giả: Lê Đăng Khoa; Fb: Lê Đăng Khoa
Chọn A
Gọi M x y ( ) ; là điểm biểu diễn số phức z x y x y = + i, , ( ∈ ¡ ) .
Ta có: z + − = + 2i 1 z i
i 2i 1 i i
⇔ + + − = + + ⇔ ( ) ( x − + + 1 y 2 i ) = + + x ( ) y 1 i ( ) (2 )2 2 ( )2
⇔ − + + = + + ⇔ − − = x y 2 0
Dễ thấy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức zlà đường thẳng: x y − − = 2 0
( ; 2 )
M x x
( 1;x 5 )
MA = − − x
uuur
2
Suy ra: MAmin = 8 khi x 2 3 2 0 − = ⇔ = ⇒ = x 3 y 1
Vậy P 2 3 = + = + = x y 2.3 3.1 9
Câu 4 [2D4-5.2-3] (Sở Hưng Yên Lần1) (Sở Hưng Yên Lần1) Cho số phức z thỏa mãn z = 1 Gọi
M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z = + + − + 1 z z2 1.
Tính M m
A
13 3
39
13
4
Lời giải
Tác giả: Giáp Minh Đức; Fb: Giáp Minh Đức
Chọn A
Giả sử z x yi = + , ( ,x y R ∈ ) .
Do z = 1 ⇔ x2+ = y2 1 ⇔ + = x y2 2 1 Suy ra x y , ∈ − [ ] 1;1
Ta có z z z = 2 = 1 Thay vào P ta được:
2
P z = + + − + z z z z = + + z z z − + = + + z z z z z + − = + + + − z z z
Trang 3( )2 2
Xét hàm số y f x = ( ) = 2 x + + 2 2 1 x −
Ta có
( )
1
2 1
2
y f x
( )
2
2
x
f x
x
( )
1 1
2
1
2 0
x
f x
x
− < <
= ⇔
1 1
2 1
2
x x
− < <
⇔
7 8
x
⇔ = −
Bảng biến thiên của hàm số f x ( ) trên [ ] − 1;1
Suy ra
1;1
1;1
14 max
3
−
−
Vậy
13 3
4
M m = .
Câu 5 [2D4-5.2-3] (THPT-Yên-Mô-A-Ninh-Bình-2018-2019-Thi-tháng-4) Gọi M là điểm biểu
diễn số phức ( 2 )
z a a = + − + a i (với a là số thực thay đổi) và N là điểm biểu diễn số phức 2
z biết z2− − = − − 2 i z2 6 i Tìm độ dài ngắn nhất của đoạn MN .
6 5
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thanh Giang; Fb: Thanh Giang
Chọn B
Trang 4Gọi M x y ( ) ; Từ điều kiện ( 2 )
z a a = + − + a i suy ra M thuộc parabol ( ) P y x : = − +2 2 2 x
Gọi N x y ( ) ; Từ điều kiện z2− − = − − 2 i z2 6 i suy ra N thuộc đường thẳng
: 2 8 0
Gọi ∆ là tiếp tuyến của ( ) P mà song song với d x y : 2 − − = 8 0
Gọi M x y ( o; o) là tiếp điểm mà tại đó tiếp tuyến ∆ // d
Ta có y ′ = − 2 2 x
Do ∆ // d nên y x ′ ( )o = ⇔ 2 2 xo− = ⇔ = 2 2 xo 2 suy ra yo = 2
Phương trình tiếp tuyến ∆ có dạng: y y x = ′ ( ) (o x x − o) + ⇔ = yo y 2 ( ) x − + ⇔ = − 2 2 y 2 2 x .
Khi đó: min MN d = ∆ ( ) ( ) , d = d A d ; với A ∈ ∆ Chọn A ( ) 1;0 ta có:
( )2 2
2.1 0 8 6 5 min
5
+ −
Câu 6 [2D4-5.2-3] (Kim Liên 2016-2017) Cho số phức z và w biết chúng đồng thời thỏa mãn hai
điều kiện:
( ) 1
2 1 1
i z i
+ + =
− và w iz = Tìm giá trị lớn nhất của M z w = −
Lời giải
Tác giả:Lê Thị Như Quỳnh; Fb: Lê Thị Như Quỳnh
Chọn C
Cách 1.
Trang 5Ta có:
( ) 1
2 1 1
i z i
+ + =
1 1
i z i i
− ⇔ + ( ) 1 i z + 2 1 ( ) − = − i 1 i
( ) 1 i z 2 1 ( ) i 2
Mặt khác: ( ) 1 + i z − 2 1 ( ) ( ) − ≤ + i 1 i z + 2 1 ( ) − = i 2 ⇔ + ( ) 1 i z ≤ 2 1 ( ) − + i 2
2 z 3 2
Khi đó: M z w z iz = − = − = − ( ) 1 i z = 2 z ≤ 3 2.
Cách 2.
O
1
1 2 3
x y
( ) 1
2 1 1
i z i
+
+ =
−
(1 ) 2(1 )
1 1
i z i i
− ⇔ + + − = − (1 ) 2(1 ) 1 i z i i
(1 ) 2(1 ) i z i 2
⇔ + + − = ( ) 1
Đặt z x yi = + thay vào ( ) 1 ta được ( ) 1 + i x yi ( + ) 2(1 i) + − = 2
2 ( 2) 2
⇔ − + + + − = ⇔ + − x2 ( 2) 1 y 2 =
Tập hợp điểm biểu diễn số phức ztrên hệ trục tọa độ là đường tròn tâm I (0;2) bán kínhR = 1 Khi đó: 1 ≤ ≤ z 3
⇒ M z w z iz = − = − = − ( ) 1 i z = 2 z ≤ 3 2.
Câu 7 [2D4-5.2-3] (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019)Cho số phức z có z = 1 Gọi M , m lần lượt là
giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = − + + 1 z 1 z2 Tính giá trị M m2+ 2
Lời giải
Tác giả: Huỳnh Quy; fb: huynhquysp
Cách 1: (Phương pháp đại số)
+) Gọi z x yi = + (với x, y ∈ ¡ )
Trang 6Vì z = 1 ta có z .z 1 = và x y2+ = ⇒ = −2 1 y2 1 x2 (với x ∈ − [ ] 1;1 ).
+) Đặt t = − 1 z ⇒ ≤ = − ≤ + ⇒ ∈ 0 t 1 z 1 z t [ ] 0;2 và
t = − = z − z − = z − z − = − − + z z z z z = − + x yi − − x yi = − x
2
2 2
2
t
+) Ta có: P = − + + 1 z 1 z2 = + t z z z + = +2 t z z z t + = + 2 x t = + − 2 t2
Xét hàm số f t ( ) = + − t 2 t2 trên [ ] 0;2 .
Với t ∈ 0; 2 ta có: f t t ( ) = + − 2 t2 ( ) 1 2 0 1
5
f t ′ t t
⇒ = − = ⇔ = (lo¹i)
suy ra f ( ) 0 2 = và f ( ) 2 = 2.
Với t ∈ ( 2;2 ta có: f t t ( ) = − + 2 t2 ( ) 2 1 0 1
5
f t ′ t t
⇒ = + = ⇔ = − (lo¹i)
suy ra f ( ) 2 4 = .
Vậy Pmax = = M 4 và Pmin = = m 2 ⇒ M m2+ =2 18
Cách 2: (Phương pháp hình học)
+) Giả sử số phức z được biểu diễn bởi điểm Q x y ( ) ; ⇒ z có điểm biểu diễn là điểm Q x y ′ − ( ; ) đối
xứng với điểm Q qua trục Ox
+) Theo giả thiết z = 1 nên tập hợp điểm Q là đường tròn tâm O ( ) 0;0 và bán kính bằng 1 Ta có hình
vẽ như sau:
Trang 7+) z = 1 ⇒ z z 1 = ⇒ P = − + + 1 z 1 z2 = − + z 1 z z z + = − +2 z 1 z z z + = − + + z 1 z z .
+) Từ hình vẽ ta có: z − = 1 AQ và z z + = 2 x = 2 OH, suy ra:
2.
P AQ OH = +
max
min
Vậy M m2+ =2 18
Câu 8 [2D4-5.2-3] (THTT lần5) Cho số phức z thỏa mãn z2− 2 iz = 2 Giá trị lớn nhất của biểu
thức P iz = + 1 bằng
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Thanh Mai; Fb: Thanh Mai Nguyen
Chọn C
2 = − z 2 iz = − + + = − + ≥ − z 2 iz i 1 z i 1 z i − 1.
2
⇒ − ≤ ⇔ − ≤ .
+ P iz = + = 1 i z i ( ) − = − ≤ z i 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 3.
Câu 9 [2D4-5.2-3] (SỞ PHÚ THỌ LẦN 2 NĂM 2019) Giả sử z là số phức thỏa mãn iz − − = 2 i 3
Giá trị lớn nhất của biểu thức 2 z − − + + + 4 i z 5 8 i bằng
Lời giải
Tác giả:Phan Lê Thanh Quang ; Fb:Pike Man
Chọn D
Ta có: iz 2 i 3 i z 2 i 3 z 1 2 i 3 1 ( )
i
+
Gọi z a bi = + với ,ab ∈ R
Từ (1), ta có ( ) (2 )2 1 3sin ( )
2 3cos
= +
− + + = ⇒ = − + ∈ R
Trang 8
Suy ra z = + ( 1 3sin t ) ( + − + 2 3cost ) i.
Đặt P = 2 z − − + + + 4 i z 5 8 i Khi đó:
Đặt sin
4
u = t + π
, u ∈ − [ ] 1;1 .
Xét hàm số f u ( ) = 6 3 2 2 − u + 3 9 4 2 + u trên đoạn [ ] − 1;1
'
3 2 2 9 4 2
f u
−
2
f u = ⇒ = u − ∈ −
Ta có bảng biến thiên của hàm số f u ( ) :
Do vậy giá trj lớn nhất của P là 9 5 Dấu bằng xảy ra khi
2
1 5 4
π
= − + = − −
¢
Cách khác: Sử dụng Bất đẳng thức Bunhia đánh giá
6 3 2 2 sin 3 9 4 2 sin
P = − t + π + + t + π
3 2 6 4 2 sin 3 9 4 2 sin (18 9)(6 9) 9 5
Cách 2 ( thông dụng hơn):
Ta có: iz 2 i 3 i z 2 i 3 z 1 2 i 3 1 ( )
i
+
Gọi z a bi = + với ,ab ∈ R
Từ (1), ta có ( ) (2 )2 2 2
a − + + b = ⇔ + = − + a b a b .
Trang 9Khi đó: P = 2 ( a − 4) ( 1)2+ − + b 2 ( a + 5) ( 8)2+ + b 2
2
( 4 2 21 ) 93 405 9 5
2
Câu 10 [2D4-5.2-3] (Chuyên Sơn La Lần 3 năm 2018-2019) Cho số phức z có phần thực bằng 2
Giá trị lớn nhất của
1
i
z −
bằng
Lời giải
Tác giả: Tạ Trung Kiên ; Fb: TrungKienTa
Chọn A
Đặt z = 2 + bi b , ∈ ¡
2
1
2
−
+
zi
i
Xét hàm số
2 2
2 3 2
b b y
b
+ +
=
+
2 2 2 2
2
2 3
2 2.
2
y
b
b
− − +
′ =
+ + +
− − +
=
2
3
2
b b
2 0
1
b y
b
= −
′ = ⇔ =
lim 1
→ ±∞ = .
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy max y = 2 ⇔ = b 1
Trang 10Do đó giá trị lớn nhất của
1
− i
z là 2
Câu 11 [2D4-5.2-3] (THPT TX QUẢNG TRỊ LẦN 1 NĂM 2019) Cho hai số phức ,zw thỏa mãn
z w + = + ivà z w − = 2.Giá trị lớn nhất của biểu thức P z w = + bằng
21
2 21 3
Lời giải
Tác giả: ; Fb: Pham Anh
Chọn D
Ta có z + = + 3 w 2 2 3 i ⇒ + z 3 w = + 2 2 3 i = 4.
z w z w
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:( )2 1 ( 2 2) 28 2 21
z w + ≤ + z + w = ⇒ + ≤ z w
Vậy max
2 21 3
Câu 12 [2D4-5.2-3] (NGUYỄN TRUNG THIÊN HÀ TĨNH) Với ai số phức z z1, 2 thỏa mãn
1 2 8 6
z z + = + i và z z1− =2 2 Giá trị lớn nhất của biểu thức P z = +1 z2 là:
Lời giải
Tác giả: Lê Phương Anh ; Fb: Anh Phương Lê
Phản biện: Nguyễn Thị Trà My; Fb: Nguyễn My
Chọn B
Đặt z a bi z c di a b c d1 = + , 2 = + , , , , ( ∈ ¡ ) .
Ta có: z z1+ = +2 8 6 i nên
8
8 6
6
a c
a bi c di i
b d
+ =
+ + + = + ⇔ + =
a c + + + b d = ⇔ + + + = a b c d − ac bd −
Vì z z1− =2 2 nên ta có:
a bi c di + − − = ⇔ − a c + − b d = ⇔ + + + = + a b c d ac bd +
Cộng (1) và (2) ta được: 2 ( a b c d2+ + +2 2 2) = 104.
Trang 11Áp dụng bất đẳng thức ( 2 2) ( )2
2 x + y ≥ + x y ta có:
P = a b + + c d + ≤ a b c d + + + = .
Do đó P ≤ 2 26
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là 2 26
Câu 13 [2D4-5.2-3] (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG QUẢNG NAM LẦN 2 NĂM 2019) Xét tập hợp
S các số phức z x yi = + ( ,x y ∈ ¡ ) thoả mãn điều kiện 3 z z − = + ( ) ( 1 i 2 2 + i ) Biểu thức
( 2 )
Q z z = − − x đạt giá trị lớn nhất là M và đạt được tại z x y i0 = +0 0 (khi z thay đổi trong tập S) Tính giá trị T M x y = 0 02
A
9 3 2
T = −
9 3 4
T =
9 3 2
T =
9 3 4
T = −
Lời giải
Tác giả: Đào Văn Vinh ; Fb: Đào Văn Vinh
Chọn D
Ta có 3 z z − = + ( ) ( 1 i 2 2 + i ) ⇔ 3 3 x + yi x yi − + = 4 ⇔ 2 4 x + yi = 4
⇔ x2+ 4 y2 = 4 ⇔ 2 y = 4 − x2 ( − ≤ ≤ 2 x 2 ) .
Khi đó Q z z = − ( 2 − x ) ⇔ Q = 2 yi ( 2 − = x ) 2 2 y ( − = x ) 4 − x2 ( 2 − x ) .
Xét hàm số f x ( ) = − ( 2 x ) 4 − x2 với x ∈ − [ ] 2;2 .
2 2
( )
4
x x
f x
x
− −
′ =
− ;
1 ( ) 0
2
x
f x
x
= −
′ = ⇔ =
Ta có bảng biến thiên
Nên [ ]2;2 ( ) 3 3 ( 1)
x
∀ ∈ − = = − .
Trang 12Vậy M = 3 3; x0 = − 1;
2 0
3 4
y = ⇒ T = − 9 3 4 .
Câu 14 [2D4-5.2-3] (HKII-CHUYÊN-NGUYỄN-HUỆ-HÀ-NỘI) Cho số phức z thỏa mãn
z − + = − + z z i z i + − Tính min w , với w z = − + 2 2 i
A
1 min
2
w = . B min w = 1 C
3 min
2
w = . D min w = 2.
Lời giải
Tác giả: Lê Thanh Bình ; Fb: Lê Thanh Bình
Chọn B
Ta có z2− + = − + 2 5 z ( z 1 2 i z i ) ( + − 3 1 ) ( )2 ( ) ( )
( z 1 2 i z ) ( 1 2 i ) ( z 1 2 i z i ) ( 3 1 )
⇔ − + − − = − + + − ⇔ − + z 1 2 i z − − = − + 1 2 i z 1 2 i z i + − 3 1
1 2 0
− + =
⇔
− − = + −
TH1: z − + = ⇔ = − 1 2 i 0 z 1 2 i ⇒ = − + = − − + = − ⇒ = w z 2 2 1 2 2 2 i i i 1 w 1 (1)
TH2: z − − = + − ⇔ 1 2 i z i 3 1 ( z − + + − = − + + + 2 2 i ) 1 4 i ( z 2 2 i ) 1 i
⇔ + − = + + (*)
Gọi w x yi x y = + ( ; ∈ ¡ ) thì (*) ( ) (2 ) (2 ) (2 )2 3
2
Khi đó
2
w = x + y = x + ≥
÷
Đẳng thức xảy ra ⇔ = x 0 Suy ra:
3 min
2
w = (2)
Từ (1) và (2) suy ra min w = 1.
Câu 15 [2D4-5.2-3] (Chuyên KHTN lần2) (Chuyên KHTN lần2) Xét các số phức z thỏa mãn
z − − = i Gọi m M , là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của z Giá trị M m + bằng:
Lời giải
Tác giả: Lê Phương Anh ; Fb: Anh Phương Lê
Phản biện: Nguyễn Thị Trà My; Fb: Nguyễn My
Chọn D
Ta có: z = − − + + ( z 2 i ) ( ) 2 i .
Áp dụng bất đẳng thức z1 − z2 ≤ + ≤ + z z1 2 z1 z2 ta có:
z − − − + ≤ ≤ − − + + ⇔ − i i z z i i ≤ ≤ + z ⇔ − ≤ ≤ + z
Trang 13Vậy m = 5 1, − M = 5 1 + , do đó M m + = 2 5.
Câu 16 [2D4-5.2-3] (KHTN Hà Nội Lần 3) Xét các số phức zthỏa mãn z = 1, giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
2
2
z + + z
bằng
A
2
1
1
1
4
Lời giải
Tác giả: Trần Trung Chiến ; Fb: Trần Trung Chiến
Chọn B
Theo đề z = 1 Đặt z = cos x i x + sin ( x ∈ ¡ ) Suy ra 4 ( )4
cos sin cos 4 sin 4
z = x i + x = x i + x.
cos 4 cos sin 4 sin
z + + z = x + x + + x + x i
2
2 1
cos 4 cos sin 4 sin
2
9
cos 4 2cos3 cos
9
8cos 8cos 8cos 5cos 1
( )
9
4 f t
= + Với f t ( ) = 8 t4 + − 8 t3 8 t2 − + 5 1, t t ∈ − [ ] 1;1 .
[ ] 1;1 ( )
min
− +
Câu 17 [2D4-5.2-3] (THANH CHƯƠNG 1 NGHỆ AN 2019 LẦN 3) Cho hai số phức z z1; 2 thỏa mãn
1 2
z z ≠ và z12− 5 z z1 2+ 4 z22 = 0 Gọi M N , lần lượt là điểm biểu diễn của số phức z z1, 2 thỏa mãn diện tích tam giác OMN bằng 12 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2 z z1− 2 là
14 6
3 D 7 6
Lời giải
Tác giả : Nguyễn Thị Thu Hằng ; Fb: Nguyễn Thu Hằng.
Chọn D
Vì z12− 5 z z1 2+ 4 z22 = 0 ( z z1≠ 2) suy ra z1= 4 z2 ⇒ = P 7 z2
Trang 14Mặt khác 1 . .sin ·
2
OMN
S∆ = OM ON MON 12 1 1 2 sin ·
2 z z MON
· 2
6
sin
P z
MON
Nên P = 7 z2 nhỏ nhất khi sin MON · lớn nhất⇔ sin MON · = 1 Khi đó P = 7 6
Câu 18 [2D4-5.2-3] (Chuyên Bắc Giang) Cho số phức z có z = 1 Giá trị lớn nhất của biểu thức
P z = − + + + z z z là
A
13
11
4
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Anh Đào; Fb: Đào Nguyễn
Chọn A
Giả sử z x yi x y = + ( , ∈ ¡ ) Theo giả thiết ta có x y2+ =2 1
Ta có: P z = − + + + =2 z z2 z 1 z z ( ) − + + + = 1 z2 z 1 z z − + + + = − + + + 1 z2 z 1 z 1 z2 z 1.
z − = + − = x yi x − + = y x + − + = y x − x .
z z + + = − + x y xyi x yi + + + = x x y x + + + i
( )2 ( )2 ( )2( )
Suy ra P = 2 2 − + + x 2 1 x
Xét hàm số f x ( ) = 2 2 − + + x 2 1 x trên đoạn [ ] − 1;1
+ Trên
1 1;
2
− − ÷
:
2
2 2
x
′
= − − − ⇒ = − − − < ∀ ∈ − − ÷
Mặt khác hàm số f x ( ) = 2 2 − − − x 2 1 x liên tục trên
1 1;
2
− − ÷
Do đó hàm số nghịch biến trên
1 1;
2
− − ÷
( ) ( ) 1 3, 1; 1
2
⇒ ≤ − = ∀ ∈ − − ÷
( )
1 1;
2
x
f x
∈ − − ÷
(1) + Trên
1
;1 2
−
:
2 2
x
Trang 15Có:
1 3 2
f − =
÷
7 13
f = ÷
; f ( ) 1 3 =
( )
1;1 2
13 max
4
x
f x
∈ −
(2)
Từ (1) và (2) ( )
[ ] 1;1
13 max
4
x
f x
∈ −
hay max
13 4
P = .
Chú ý:
Ta có thể biến đổi theo hướng khác như sau
Do z z z = = ⇒ + + = + + = 1 z2 z 1 z2 z z z z z ( + + = 1 z ) z x ( 2 1 + )
2 1 2 1 2 1 2 1
Câu 19 [2D4-5.2-3] (Chuyên Lý Tự Trọng Cần Thơ) Xét số phức z thỏa mãn
( 1 2 i z ) 10 2 i
z
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A
3
2
2
2 < <z 2
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Quang Vinh; fb: Quang Vinh Nguyen
Chọn D
Ta có: ( 1 2 i z ) 10 2 i
z
+ = − + ⇔ ( z 2 ) ( i z 2 1 ) 10
z
lấy môđun hai vế
( ) (2 )2
2 2
z
Câu 20 [2D4-5.2-3] (THPT-Phúc-Trạch-Hà-Tĩnh-lần-2-2018-2019-thi-tháng-4) Cho số phức z thỏa
mãn z − − = − 2 4 i z i 2 và biểu thức iz + − 2 i đạt giá trị nhỏ nhất Tìm phần ảo của số phức z
A
2
5 2
2
2
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Hoàng Huy; Fb: Nguyen Hoang Huy
Chọn D
Gọi z a bi = + ( a b , ∈ ¡ ) Khi đó:
( ) (2 )2 2 ( )2
z − − = − ⇔ i z i a − + − b = a + − b ⇔ = − a b.
( ) ( )2 2 ( ) ( )2 2 2
iz + − = i − b + − a = − b + − b = b − b +
2
2
b
= − ÷ + ≥
Trang 16
Vậy giá trị nhỏ nhất của iz + − 2 i là
2
2 khi
5 2
b = ; 3
2
a = .
Câu 21 [2D4-5.2-3] (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Xét các số phức z thỏa mãn z − − = 1 3 2 i Số
phức z mà z − 1 nhỏ nhất là
A z = + 1 5 i B z = + 1 i C z = + 1 3 i D z = − 1 i
Lời giải
Tác giả: Hoàng Minh Tuấn; Fb: Minh Tuấn Hoàng Thị
Chọn B
Gọi z x yi = + , ,x y ∈ R Khi đó M x y ( ) ; là điểm biểu diễn của số phức z
Theo bài ra ta có ( ) (2 )2
z − − = ⇔ − + − i x y = .
Suy ra tập hợp điểm M là đường tròn tâm I ( ) 1; 3 bán kính R = 2
z − = x − + = y I M ′ với I ′ ( ) 1; 0 .
1
z − nhỏ nhất khi I M ′ ngắn nhất hay I , M , I ′ thẳng hàng, M nằm giữa I và I ′
Phương trình đường thẳng II ′ là x = 1
Tọa độ giao điểm của đường thẳng II ′ với đường tròn tâm I bán kính R = 2 là M1( ) 1; 1 và
( )
1 1; 5
Thử lại ta thấy M1( ) 1; 1 thỏa mãn Vậy z = + 1 i