+ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của w.. Với yếu tố thứ hai, chúng ta phải tìm GTLN, GTNN của w.. Kết hợp sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz và sử dụng 3 ta có:... Cách 3 Thầ
Trang 1Câu 1 [2D4-5.2-4] (Chuyên Vinh Lần 2) Cho các số phức z và w thỏa mãn ( ) 2 1
w
z
Tìm giá trị lớn nhất của T = + − w 1 i
A
4 2
2
2 2
3 D 2
Lời giải
Tác giả: Trần Thị Thanh Thủy; Fb: Song tử mắt nâu
Chọn A
Cách 1
Ta có: ( ) 2 1
w
z
w
z
( 2 1 ) ( 1 )
w
z
w
z
w
z
Vì 5 z2− 2 z + > 2 0 ∀ z ⇒ > z 0 Đặt t z = ( ) t > 0
Ta có:
2
1 5 2 2 w
t t t
− +
=
2
2 2 5
t t
2
1 1 9 2
2 2
t
= − ÷ +
3 2
≥
0
t
∀ > ⇒ w ≤ 3 2. Khi đó: T = + − w 1 i ≤ + − w 1 i ≤ 3 2 + 2 = 4 2 3 .
Dấu đẳng thức xảy ra
2 w 3 2
z
=
¡
2 2 3
k
3
k
3 3 i
Vậy
4 2 max
3
Cách 2
Ta có: ( ) 2 1
w
z
w
z
( 2 1 ) ( 1 )
w
z
w
z
w
z
Vì 5 z2− 2 z + > 2 0 ∀ z ⇒ > z 0 Đặt t z = ( ) t > 0
Ta có:
2
1 5 2 2 w
t t t
− +
=
2
2 2 5
t t
2
1 1 9 2
2 2
t
= − ÷ +
3 2
≥
0
t
∀ > ⇒ w ≤ 3 2. Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức w là hình tròn tâm O ( ) 0;0 , bán kính R = 3 2 .
Trang 2Khi đó: T = + − = w 1 i MI ( ở đây I ( ) 0;2 là điểm biểu diễn cho số phức z0 = − + 1 i)
Dễ thấy điểm I ( ) 0;2 nằm ngoài đường tròn tâm C ( ) O; R , suy ra T MI = đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi
5 6 5 2
T MI IO R = = + = + = +
Vậy
4 2 max
3
T =
* Phân tích bài toán
- Dạng toán đề cập đến ở đây bao gồm 2 yếu tố:
+ Cho trước một điều kiện module của số phức w
+ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của w .
Với yếu tố thứ nhất thông thường ta phải tham số hóa module của z, ở đây là đặt
( ) 0
z t t = > , từ đó ta đánh giá để tìm ra miền biểu diễn số phức w
Với yếu tố thứ hai, chúng ta phải tìm GTLN, GTNN của w .
* Bài tập tương tự.
Câu 2 [2D4-5.2-4] (Chuyên Vinh Lần 2) Cho số phức z và w thỏa mãn ( ) 1 i z z 2 i
w
+ = + − Tính
giá trị lớn nhất của T w i = − 2
A
5 2
3 + . B 5
5 5
3 + . D 5
Lời giải
Tác giả: Trần Thị Thanh Thủy; Fb: Song tử mắt nâu
Chọn A
Cách 1
Ta có: ( ) 1 i z z 2 i
w
w
w
2
2 z 2 z 5 z
w
Đánh giá: 2 z2− 2 z + > ∀ 5 0, z ⇒ > z 0 Đặt t z = ( ) t > 0
Ta có:
2 2
2
t t
Khi đó ta có:
5
3
w − ≤ + − ≤ i w i +
Trang 3Dấu đẳng thức xảy ra
( ) (2 , 0) 5
3 5
w z
=
¡
2
3 k k 6
2
⇔ = −
Vậy:
5 2 3
MaxT = + .
Cách 2
Ta có: ( ) 1 i z z 2 i
w
w
w
2
2 z 2 z 5 z
w
Đánh giá: 2 z2− 2 z + > ∀ 5 0, z ⇒ > z 0 Đặt t z = ( ) t > 0
Ta có:
2 2
2
t t
Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức w là hình tròn tâm O ( ) 0;0 , bán kính R = 3 5
Khi đó: T = − = w 2 i MI (ở đây I ( ) 0;2 là điểm biểu diễn cho số phức z0 = 2 i)
Dễ thấy điểm I ( ) 0;2 nằm ngoài đường tròn tâm C ( ) O; R , suy ra T MI = đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi
5 2 3
T MI IO R = = + = + .
Vậy
5 max 2
3
T = +
Câu 3 [2D4-5.2-4] (Chuyên Vinh Lần 2)Cho số phức z và w thỏa mãn ( 3 2 ) 1
1 3
z
Tính giá trị lớn nhất của T w =
A
2 11
3 + . B 2 10
5 + . C 5
5 13
5 +
Lời giải
Tác giả: Trần Thị Thanh Thủy; Fb: Song tử mắt nâu
Chọn B
Ta có: ( 3 2 ) 1
1 3
z
1 3
z
− +
3 1 2 1
3
z
i w i
+ +
2
13 2 2
3
z
+ +
Đánh giá: 13 z2− 2 z + > ∀ 2 0, z ⇒ > z 0 Đặt t z = ( ) t > 0
Trang 4Ta có:
2 2
2
t t
Khi đó ta có:
2
5
w = + + + − − ≤ + + + − − ≤ w i i w i i +
Dấu đẳng thức xảy ra
2 3
5 2
z
=
¡
10
5 k k 5 5
( )
Vậy:
2 10 5
MaxT = +
Câu 4 [2D4-5.2-4] ( Nguyễn Tất Thành Yên Bái) Cho z là số phức thỏa mãn z z = + 2 i Giá trị
nhỏ nhất của z − + + + + 1 2 i z 1 3 i là
Lời giải
Tác giả: Đinh Thanh ; Fb: An Nhiên
Chọn B
Đặt z a bi a b = + ( , ∈ ¡ ) .
z = + ⇔ z i a b + = a + + b ⇔ + = ⇔ = − 4 4 0 b b 1
z a i
Xét: z − + + + + = − + + + + 1 2 i z 1 3 i a 1 i a 1 2 i ( )2 2 ( )2 2
1 a 1 1 a 2
Áp dụng BĐT Mincôpxki:
1 − a + + 1 1 + a + ≥ 2 1 − + + a 1 a + + 1 2 = + = 4 9 13
Suy ra: z − + + + + 1 2 i z 1 3 i đạt GTNN là 13 khi 2 1 ( ) 1 1
3
Nhận xét : Bài toán trên có thể được giải quyết bằng cách đưa về bài toán hình học phẳng.
Trang 5Câu 5 [2D4-5.2-4] (Đặng Thành Nam Đề 5) Cho z1, z2là các số phức khác 0 thỏa mãn
1 1 9 2 2
z z = z z Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z1 và z2 Biết tam giác
OMN có diện tích bằng 6, giá trị nhỏ nhất của z z1+ 2 bằng
Lời giải
Tác giả:Trần Phương ; Fb:Trần Phương
Chọn A
Từ giả thiết: z z1 1= 9 z z2 2 ( ) 1
Lấy mođun hai vế ta được : z12 = 9 z22 ⇒ z1 = 3 z2 .
Thay z1 = 3 z2 vào ( ) 1 ta được z1= 3 z2
Gọi z a bi2 = + ( a b , ∈ ¡ ) ⇒ = + z1 3 3 a bi, z a bi2 = −
Điểm M a b ( 3 ;3 ), N a b ( ; − ) ⇒ SOMN = − 1 2 3 ab − 3 ab = 3 a b .
Mà SOMN = 6 nên a b = 2 và z z1+ =2 4 a + 4 bi = 4 a b2+ 2 ≥ 4 2 a b = 8.
Suy ra min z z1+ =2 8
Lưu ý công thức tính diện tích tam giác OAB với OA a a uuur = ( 1; 2) , OB b b uuur = ( )1; 2 là
1 2
OAB
S = a b a b −
Câu 6 [2D4-5.2-4] (Thanh Chương Nghệ An Lần 2) Các số phức z1, z2 thỏa mãn ( 11 1)
2 1
w
z z i
+ −
=
là số thực và 4z 8 13 42+ + i = Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z z = +1 2 bằng
A
21
37
37 4 4
−
Lời giải
Tác giả: Lê Thị Như Quỳnh; Fb: Lê Thị Như Quỳnh
Chọn D
+ Đặt z x yi1= + , ( ,x y ∈ ¡ ) , ta có
2
1
w
z z i
+ + −
Trang 6+ Vì w là số thực nên y − − 1 2 x x ( ) + = ⇔ = 2 0 y 2 x2+ + 4 1 x .
+ P z z = + = − −1 2 z1 ( ) z2
+ Gọi M là điểm biểu diễn của z1 thì điểm M thuộc parabol ( ) P y : = 2 x2 + + 4 1 x .
Gọi N là điểm biểu diễn của z2 thì điểm N thuộc đường tròn ( ) ( )2 13 2
4
C x + + + y =
Gọi N1 là điểm biểu diễn của − z2 thì điểm N1 thuộc đường tròn ( ) ( )2 2
1
13
4
C x − + − y =
+ Phương trình tiếp tuyến ∆ của ( ) P tại ( 2 )
T x x + x + ( x0 > − 1 ) là
4 x 4 x y 2 x 1 0
+ Khi đó:
( )1
P ⇔ MN ⇔ T là hình chiếu vuông góc của I lên ∆ , với
13 2, 4
I
là tâm ( ) C1
IT
⇒ uur cùng phương với VTPT n uur∆
, với
2
9 2,2 4
4
IT = x − x + x −
uur
, n uur∆ = ( 4 x0+ − 4, 1 )
9
4
⇔ 8 x03+ 24 x02+ 8 x0− = 11 0
0
1 1 7
,
2 2 2
⇔ = ⇒ ÷
Vậy
37 37 4 1
min
Trang 7
Câu 7 [2D4-5.2-4] (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP 2019 LẦN 2) Cho các số
phức z và w thỏa mãn ( ) 3 1
1
z
w
− Tìm giá trị lớn nhất T w i = +
A.
2
3 2
1
2
Lời giải
Tác giả: PhongHuynh ; Fb: PhongHuynh
Chọn B
Đk: w ≠ 1
Ta có:
1
z
w
1
z
i z i
w
z w
z
Đặt t z = điều kiện: t ≥ 0 Xét hàm số ( ) 2 2
10 8 2
t
f t
t t
( )
4 2
10 8 2 10 8 2
t
f t
− +
′ =
2
f t ′ = ⇔ = t .
BBT
Dựa vào bảng biến thiên ta có max[0; ) ( ) 1 3 2
2 2
+∞
Câu 8 [2D4-5.2-4] (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk) Cho số phức z thỏa mãn
điều kiện z + = + 2 z i 2 Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A z = − − + − − + − − i z i z i được viết dạng a b + 2 17 với a,b là số hữu tỉ Giá trị của 3a b − bằng
Lời giải
Tác giả: Bồ Văn Hậu; Fb:Nắng Đông
Chọn C
Trang 8Gọi z x yi = + với x,y ∈ ¡
Ta có: z + = + 2 z i 2
( x yi ) 2 ( x yi ) 2 i
⇔ + + = + + ⇔ ( x + + = + + 2 ) yi x ( y 2 ) i ( )2 2 2 ( )2
x y
⇔ = hay z x xi = +
Khi đó ta có
( ) ( 1 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 )
A = − + − x x i + − + − x x i + − + − x x i
( ) (2 )2 ( ) (2 )2 ( ) (2 )2
2 x 6 5 x 2 x 14 25 x 2 x 22 61 x
= − ÷ ÷ + + − ÷ ÷ + + − ÷ +
≥ − + − ÷ + + ÷ + − ÷ +
1 1 2 17
2 17
+
Dấu bằng xảy ra khi
3 11
7
2 2
0 2
x x
− = −
− =
Vậy:
1 2 17
2
A = +
Suy ra a = 1, b = 2nên 3 a b − = 1
Câu 9 [2D4-5.2-4] (Đặng Thành Nam Đề 3) Trong các số phức z thoả mãn z − − = 3 4 2 i có hai số
phức z z1, 2 thỏa mãn z z1− =2 1. Giá trị nhỏ nhất của 2 2
z − z bằng
A − 10 B − − 4 3 5 C − 5 D − − 6 2 5
Lời giải
Tác giả: Trần Thị Thảo; Fb:Trần Thảo
Chọn A
2
, , ,
z a bi
a b c d
z c di
= +
= +
¡ Theo đề ta có:
1 3
a c b d
Khi lấy (1) – (2) theo vế có a b c d2+ − − =2 2 2 6 ( a c − + ) ( 8 b d − )
Kết hợp sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz và sử dụng (3) ta có:
Trang 9( ) ( ) ( ) ( ) ( )
z − z = + − − = a b c d a c − + b d − ≥ − + a c − + − b d = −
Vậy giá trị nhỏ nhất của z12− z2 2 là − 10 khi
1 0
a c b d
a c b d
k
− + − =
Tồn tại 2 cặp số phức thỏa mãn là:
1
2
1
2
27 4 15 144 12 15
33 4 15 176 12 15
27 4 15 144 12 15
33 4 15 176 12 15
Câu 10 [2D4-5.2-4] (Đặng Thành Nam Đề 12) Cho số phức z a bi = + , ( , a b ∈ ¡ ) thỏa mãn
2 2 3 1 z + − = i Khi biểu thức P = 2 z + + − 2 z 3 đạt giá trị lớn nhất thì giá trị của a b − bằng
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Ngọc Minh ; Fb: Minh Nguyen
Chọn A
Theo giả thiết có:
2( a bi + + − = ) 2 3 1 i ⇔ (2 2) (2 3) 1 a + + b − i = ( )2 2
2 a 2 (2 3) 1 b
2
( 1)
2 4
⇔ + + − ÷ =
Cách 1: (Đại số)
( ) * ⇔ + = − − + a b2 2 3 2 3 a b
Từ ( ) * suy ra
2
1 2.
− ≤ ⇔ ≤ ≤
Khi đó biến đổi và sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:
2 2 3 2 ( 2) ( 3)
P = z + + − = z a + + + b a − + b
2 a b 4 4 a a b 6 9 a
2 ( 3 2 3 ) 4 4 a b a ( 3 2 3 ) 9 6 a b a
= − − + + + + − − + + −
2 2 3 1 a b 8 3 6 a b
8 12 4 a b 8 3 6 a b (1 1)(8 12 4 8 3 6) a b a b
2(15 10) b 2(15.2 10) 4 5.
Trang 10Dấu “ = ” xảy ra khi
Suy ra MaxP = 4 5 khi a = − = 1, b 2
Vậy a b − = − 3.
Cách 2: (Hình học)
Gọi M a b ( ) ; là điểm biểu diễn hình học của số phức z
Từ ( ) * suy ra M thuộc đường tròn ( ) C có tâm I − 1; 3 2
bán kính
1 2
R = .
Gọi A ( − 2; 0 , 3; 0 ) ( ) B và H ( − 1; 0 )
Khi đó P = 2 MA MB + và uuur HB = − 4 uuur HA
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:
P = MA MB + ≤ + MA MB + .
Ta có:
4 MH HA MH HB
= uuuur uuur + + uuuur uuur +
( 4 MH2 8 MH HA HA 2) ( MH2 2 MH HB HB 2)
= + uuuur uuur + + + uuuur uuur +
5 MH 2 MH HA HB 4 HA HB
= + uuuur uuur uuur + + + = 5MH2+ ( HA HB2+ 2) .
Do các điểm H A B , , cố định và P > 0 nên P lớn nhất khi MH là lớn nhất
M
⇔ là giao điểm của đường thẳng IH với đường tròn ( ) C (I nằm giữa M và H)
Dễ dàng tìm được M ( − 1; 2 ) hay a = − = 1; b 2 Vậy a b − = − 3.
Câu 11 [2D4-5.2-4] (CỤM TRƯỜNG SÓC SƠN MÊ LINH HÀ NỘI) Cho số phức z thỏa mãn
1 2 4 6 9
z − − + − − = i z i , giá trị lớn nhất của z − − 10 14 i là
Lời giải
Tác giả: Thành Đức Trung; Fb: Thành Đức Trung
Chọn A
Cách 1:
Trang 11Đặt
5 8
3 4 2
z
i
+
Ta có
Đặt w x yi = + và gọi M x y ( ) ; là điểm biểu diễn w Khi đó tập hợp điểm M là elip có
phương trình là
( ) : 2 2 2 1
350 45
2
÷
Suy ra
350 81
y = − x ( ) 1 .
Mặt khác ta có
2 2
15 1 125 1 125
w
i
Suy ra
2
Từ ( ) 1 ta có − 45 2 ≤ ≤ x 45 2 .
Xét hàm số ( ) 25 2 17025
125
f x = x − x + trên đoạn 45 45 ;
2 2
( ) 50 125
81
f x ′ = x − Xét ( ) 0 405 45 45 ;
f x ′ = ⇔ = x ∉ −
Ta có
45
7225 2
f − =
45 1600 2
f = ÷
Vậy giá trị lớn nhất của T bằng
17
5 f 2
− =
Cách 2:
Ta có z − − 10 14 i z ≤ − − + − − 1 2 i 9 12 i z = − − + 1 2 15 i .
Ta có z − − 10 14 i z ≤ − − + − − = − − + 4 6 i 6 8 i z 4 6 10 i .
Suy ra 2 z − − 10 14 9 15 10 34 i ≤ + + = ⇔ − − z 10 14 17 i ≤ .
Dấu '' '' = xảy ra khi
1 2
5 5
z = − + i.
Vậy max z − − 10 14 17 i = .
Cách 3 (Thầy Hoàng Ngọc Huệ):
Trang 12Gọi M x y ( ) ; là điểm biểu diễn số phức z Gọi F1( ) 1;2 và F2( ) 4;6 Suy ra MF MF1+ 2 = 9 Suy ra tập hợp điểm biểu diễn z là Elip và có F F1 2 = 5
Ta có P z = − − 10 14 i MA = với A ( 10;14 ).
Ta có F A uuur1 = ( ) 9;12 , F F uuuur1 2= ( ) 3;4 ⇒ F A uuur1 = 3 F F uuuur1 2⇒ F1, A, F2 thẳng hàng và có
1 2 1 2
5 15 10
F F
F A
F A
=
Ta có MA MF F A ≤ 2+ 2 ≤ + = 7 10 17 Dấu '' '' = xảy ra khi M , F1, F2 thẳng hàng và
MF F F MF + =
Câu 12 [2D4-5.2-4] (PHÂN TÍCH BL_PT ĐỀ ĐH VINHL3 -2019 ) Xét các số phức ,zw thỏa mãn
2, 2 5 1
z = iw − + = i Giá trị nhỏ nhất của z wz2− − 4 bằng
A.4. B 2 29 3 ( − ) C.8. D 2 29 5 ( − )
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Huỳnh Tấn Trung ; Fb: Nguyễn Huỳnh Tấn Trung
Chọn C
Ta có:iw − + = ⇔ + + = 2 5 1 i w 5 2 1; i z = ⇒ 2 z z = 4
Đặt: z x iy w a ib x y a b = + , = + ; , , , ( ∈ ¡ )
Khi đó: ( ) ( )
4
x y
+ =
z
Gọi A B , lần lượt là điểm biểu diễn z z − và w
Dẫn đến:A ( 0;2 y ) với − ≤ ≤ 2 y 2,Bthuộc đường tròn có tâm I ( − − 5; 2 ) và có bán kính R = 1.
Khi đó: z wz2− − = 4 2 AB.
Trang 13Ta có:ABmin = d I d R ( ) , − = 4
Giá trị nhỏ nhất của
z wz − − =
Nhận xét:
Ta xem bài toán trên gồm 3 giả thiết:
2 4
2 5 1 5 2 1
iw − + = ⇔ + + = i w i
( )
z wz − − = z w z − −
Việc đầu tiên, ta rút gọn các giả thiết của bài toán
Từ ( ) * , ta gọi A là điểm biểu diễn của z z − , B là điểm biểu diễn của w
Bài toán trở thành tìm độ dài AB nhỏ nhất
Bài toán tương tự:
Câu 13 [2D4-5.2-4] (SỞ NAM ĐỊNH 2018-2019) Cho các số phức ,zw thỏa mãn
3 5 5
w i + = và
5 w = + (2 )( 4) i z − Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P z i z = − + − − 2 6 2 i
Lời giải
Tác giả:Huỳnh Hữu Hùng; Fb:Huuhung Huynh
Chọn C
Cách 1.
Ta có 5 w = + (2 )( 4) i z − ⇔ 5 w i i + = + + 5 5 (2 )( 4) i z − ⇔ 5 w i + = + − + (2 ) 8 i z i
Đặt z x yi = + với ,x y ∈ ¡ ta được (2 )( + i x yi + − + = ) 8 i 3 5
2 x y 8 ( x 2 1) y i 3 5
⇔ − − + + + = ⇔ (2 x y − − + + + = 8) ( 2 1) 452 x y 2
4 x y 64 4 xy 32 16 x y x 4 y 1 4 xy x 2 4 y 45
2 2
5 x 5 y 30 20 20 0 x y
Đặt
3sin 3 3cos 2
x y
α α
2 ( 2)2 ( 6) (2 2)2 18sin 24cos 34 18sin 24cos 34
P = x + − y + x − + − y = α − α + + − α − α +
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia Copsky ta có
2 2
1 1 48cos 68 2 58
Dấu bằng xảy ra khi
18sin 24cos 34 18sin 24cos 34
cos 1
α
=
cos 1 sin 0
α α
= −
Trang 14Suy ra max P = 2 58 khi z = − 3 5 i.
Cách 2.(ThiHongHanh)
Ta có 5 w = + (2 )( 4) i z − ⇔ 5 w i i + = + + 5 5 (2 )( 4) i z − ⇔ 5 w i + = + − + (2 ) 8 i z i .
8
2
i
i
−
+ ⇔ 3 5 = 5 z − − ( 3 2 i ) ⇔ − − z ( 3 2 i ) = 3. Khi đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I ( ) 3; 2 − và bán kính R = 3 Gọi M x y ( ) ; là điểm biểu diễn số phức z;
( ) 0;2
A là điểm biểu diễn số phức z1 = 2 i;
( ) 6;2
B là điểm biểu diễn số phức z2 = + 6 2 i
( ) 3;2
E là trung điểm của đoạn thẳng AB
Ta có P MA MB = + ⇒ 2 ( )2 ( 2 2) 2 2
P = MA MB + ≤ MA MB + = ME + AB .
Khi đó P đạt giá trị lớn nhất khi ME đạt giá trị lớn nhất hay ME R IE = +
P = R IE + + AB =
khi
3
7
MI = ME ⇔ MI − ME =
uuur uuur uuur uuur r
4
4
M
M
x x x
y
−
3 5
M M
x y
=
⇔ = −
Câu 14 [2D4-5.2-4] (SỞ GDĐT KIÊN GIANG 2019) Cho hai số phức z z1 2, thỏa mãn
1 2 3 5 2 2 3 3
z + + = i z + + = i Gọi m0 là giá trị lớn nhất của phần thực số phức 12
2 3
2 3
+ + + + Tìm 0
m .
A 0
3 5
m =
81 25
m =
C m0 = 3 D m0 = 5
Lời giải
Tác giả: Mai Liên ; Fb:mailien
Trang 15Chọn D
Đặt
2 3
2 3
= + + = +
= + + = +
với a b c d , , , ∈ ¡ , theo giả thiết ta có:
1
2
3 3 5
2 3
9
2 3
25
a bi c di ac bd bc ad i
Phần thực của số phức
1 2
w
w là
25 9
ac bd +
Ta có ( )2 ( 2 2) ( 2 2) ( )2 9 9
9.
ac bd + ≤ a + b c + d ⇔ ac bd + ≤ ⇒ + ac bd ≤ .
25
5 9
ac bd +
Dấu " " = xảy ra khi ad bc = hay
1 2
w
w là số thực và w1 = 5 w2 = 3.
Vậy m0 = 5
Câu 15 [2D4-5.2-4] (THPT-Toàn-Thắng-Hải-Phòng) Cho số phức z thỏa mãn
( ) 1 + i z + + + 2 ( ) 1 i z − = 2 4 2 Gọi m = max ;n min z = z và số phức w m ni = + Tính
2018
w
Lời giải
Tác giả: Viết Ánh ; Fb: Viết Ánh
Chọn C
Gọi z x yi x y = + ( , ∈ ¡ ).
Ta có ( ) 1 + i z + + + 2 ( ) 1 i z − = 2 4 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 i z 1 i 1 i 1 i z 1 i 1 i 4 2
( ) ( 1 i z 1 i ) ( ) ( 1 i z 1 i ) 4 2
1 i z 1 i 1 i z 1 i 4 2
⇔ + + − + + − + =
( ) ( )2 2 ( ) (2 )2
Gọi M x y ( ) ( ) ( ) ; ,F 1;1 ,1 − F2 1; 1 − Ta có (*)⇔ MF MF1+ 2 = 4
Trang 16Do đó tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức z là một Elip có hai tiêu điểm là F F1, 2; tiêu cự bằng 1 2
1
2
2 F F = ; độ dài trục lớn bằng
MF MF + = ; một nửa độ dài trục bé bằng 2
Ta có m = max z = 2(bằng một nửa độ dài trục lớn);n min = z = 2( bằng một nửa độ dài trục bé)
Câu 16 [2D4-5.2-4] (Sở Bắc Ninh 2019) Cho số phức z thỏa mãn ( ) 1 + i z + − = 1 3 3 2 i Giá trị lớn
nhất của biểu thức P z = + + + 2 i 6 z − − 2 3 i bằng
A 5 6 B. 15 1 ( ) + 6 . C. 6 5. D. 10 3 15 +
Lời giải
Tác giả: Ngô Ngọc Hà; Fb: Hà Ngọc Ngô
GV phản biện: Trương Thị Thúy Lan; Fb: Lan Trương Thị Thúy
Chọn C
Ta có ( ) 1 + i z + − = 1 3 3 2 i ⇔ − − = z 1 2 i 3 nên tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I (1;2), bán kính R = 3
Đặt a z = − − 1 2 , 1 i b = + i
Ta có
z i a b a b a b a b
z i a b a b a b a b
P a = + + b a b − ≤ + a + b + a b − = .
Câu 17 [2D4-5.2-4] (THPT PHỤ DỰC – THÁI BÌNH) Hai số phức z, w thay đổi nhưng luôn thỏa
mãn đẳng thức
( ) 2 2019 2019
1 i z 2 iz 1 z i 2 2 i
w
+ + − − = + − Giá trị lớn nhất của w là
A
2019 2
2019 2
2 C 2019 D Đáp án khác
Lời giải
Tác giả: Cấn Duy Phúc ; Fb: Duy Phuc Can
Chọn A