NBV 1d3 1 PHƯƠNG PHÁP QUY nạp TOÁN học

Học sinh trên chứng minh đúngA. Học sinh không kiểm tra bước 1 bước cơ sở của phương pháp qui nạp... Chứng minh trên đúng hay sai, nếu sai thì sai từ bước nào.. Cách 2: Kiểm tra tính đún

Trang 1

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT: 0946798489

TRUY CẬP https://diendangiaovientoan.vn/tai-lieu-tham-khao-d8.html ĐỂ ĐƯỢC NHIỀU

HƠN 1D3-1

PHẦN A CÂU HỎI

Câu 1 Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến A n  đúng với mọi số tự

nhiên n p (p là một số tự nhiên), ta tiến hành hai bước:

 Bước 1, kiểm tra mệnh đề A n  đúng với n p

 Bước 2, giả thiết mệnh đề A n  đúng với số tự nhiên bất kỳ nk p và phải chứng minh rằng

nó cũng đúng với nk1

Trogn hai bước trên:

A Chỉ có bước 1 đúng B Chỉ có bước 2 đúng

C Cả hai bước đều đúng D Cả hai bước đều sai

7,   n ''  * như sau:

 Giả sử  * đúng với nk, tức là 8k chia hết cho 1 7

8k  1 8 8k1  , kết hợp với giả thiết 87 k  chia hết cho 1 7 nên suy ra được 8k 1 1 chia hết cho 7 Vậy đẳng thức  * đúng với mọi n   *

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Học sinh trên chứng minh đúng

B Học sinh chứng minh sai vì không có giả thiết qui nạp

C Học sinh chứng minh sai vì không dùng giả thiết qui nạp

D Học sinh không kiểm tra bước 1 (bước cơ sở) của phương pháp qui nạp

 

n S

n n

*

n  Mệnh đề nào sau đây đúng?

12

6

3

4

S 

 

n S

n n

*

n  Mệnh đề nào sau đây đúng?

A S n n 1

n



1

n

n S n



1 2

n

n S n





2 3

n

n S n







n

P

n

        

      với n 2 và n  . Mệnh đề nào sau đây đúng?

2

n P

n





1 2

n P n



n



2

n P n





Câu 6 Với mọi n   , hệ thức nào sau đây là sai? *

1 2

2

n n

1 3 5     2n1 n

1 2

6

Trang 2

6

Câu 7 Với mối số nguyên dương n , đặt S 1222 n2 Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

6

3

6

2

Câu 8 Đặt T  n 2 2 2   2 (có n dấu căn) Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?

2



2



 D T  n 5

n

S

*

n   Mệnh đề nào dưới đây đúng?

2(2 1)

n

n S

n





n

n S n





n S

n



2

n

n S n







Câu 10 Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 2n1n23 n

Câu 11 Tổng S các góc trong của một đa giác lồi n cạnh, n  , là: 3

A S n.180 B S n2 180 

C S n1 180  D S n3 180 

n   , hãy rút gọn biểu thức S1.4 2.7 3.10    n3n1

1

S n n B  2

2

S n n C S n n 1 D S 2n n 1

! 1 2.1,

k k k    Với k n  *, đặt S n 1.1! 2.2!   n n ! Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A S n 2 !n B S n n1 ! 1 C S n n1 ! D S n n1 ! 1

n   , đặt 2 2 2  2

n

M      n Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

n





n





1

n





1

n







Câu 15 Tìm số nguyên dương p nhỏ nhất để 2n 2 1

n

  với mọi số nguyên n p

Câu 16 Tìm tất cả các giá trị của *

n   sao cho 2

2n n

Câu 17 Với mọi số nguyên dương n , ta có:

an b



   , trong đó a b c, , là các

số nguyên Tính các giá trị của biểu thức T ab2bc2ca2

an



      , trong đó a b, là các số nguyên Tính các giá trị của biểu thức T a2b2

Trang 3

Câu 19 Biết rằng 1323 n3 an4bn3cn2dn e , n   Tính giá trị biểu thức *

M    a b c d e

4

2

M 

1.22.3  n n1 a n b n c nd và

1.22.5 3.8   n 3n1 a n b n c nd Tính giá trị biểu thức

1 2 1 2 1 2 1 2

T a a b b c c d d

3

T 

Câu 21 Biết rằng 1k2k n k, trong đó n k, là số nguyên dương Xét các mệnh đề sau:

1

1 2

n n

2

6

3

1 4

4

30

Số các mệnh đề đúng trong các mệnh đề nói trên là:

Câu 22 Với n  *, ta xét các mệnh đề P: "7n5chia hết cho 2"; : "7n 5

Q  chia hết cho 3" và : "7n 5

Q  chia hết cho 6" Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là :

Câu 23 Xét bài toán: “Kiểm nghiệm với số nguyên dương n bất đẳng thức 1

2n

n  ” Một học sinh đã trình bày lời giải bài toán này bằng các bước như sau:

Bước 1: Với n  , ta có: ! 1! 11 n   và 1 1 1 0

2n 2 2  Vậy 1 n!2n1 đúng

Bước 2 : Giả sử bất đẳng thức đúng với nk , tức là ta có 1 1

! 2k

Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n  , nghĩa là phải chứng minh k 1 k 1 ! 2  k

1 ! 1 ! 2.2k 2k

k   k  k    Vậy n ! 2  n1 với mọi số nguyên dương n Chứng minh trên đúng hay sai, nếu sai thì sai từ bước nào ?

A Đúng B Sai từ bước 2 C Sai từ bước 1 D Sai từ bước 3

Câu 24 Biết rằng

2 2

an bn



    , trong đó a b c d, , , và n là các số nguyên dương Tính giá trị của biểu thức T a c b d    

là :

Câu 2 Chọn D Thiếu bước 1 là kiểm tra với n 1, khi đó ta có 81  không chi hết cho 1 9 7

Câu 3 Nhìn vào đuôi của S là n

 

1

n n  cho n 2, ta được  

2 2 1 2 3

Do đó với n 2, ta có 2 1 1 2

1 2 2 3 3

S  S  S  Từ đó ta thấy quy luật là từ nhỏ hơn

mẫu đúng 1 đơn vị Chọn B

Cách tự luận Ta có 1 1, 2 2, 3 3

1

n

n S n





Trang 4

 Với n 1, ta được 1 1 1

1.2 1 1

 : đúng

 Giả sử mệnh đề đúng khi nk k 1, tức là

 

k

 Ta có

 

k

2

k

    

k



    Suy ra mệnh đề đúng với nk1

Câu 5 Vì n 2 nên ta cho

    





        



Kiểm tra các đáp án chỉ cho D thỏa Chọn D

Câu 6 Bẳng cách thử với n 1, n 2, n 3 là ta kết luận được Chọn D

Câu 7

Đáp án C Cách 1: Chúng ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học rằng mọi n   , ta có đẳng *

thức 12 22 32 2 ( 1)(2 1)

6

 Vậy đẳng thức đúng với n 1

Ta phải chứng minh đẳng thức cũng đúng với nk1, tức là chứng minh

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có

6

Mà

2 2

k

Suy ra 12 22 32 2 ( 1)2 ( 1)( 2)(2 3)

6

Do đó đẳng thức đúng với nk1 Suy ra có điều phải chứng minh

Vậy phương án đúng là C

Cách 2: Kiểm tra tính đúng-sai của từng phương án đến khi tìm được phương án đúng thông qua một số giá trị cụ thể của n

+ Với n 1 thì S 12  (loại được các phương án B và D); 1

+ Với n 2thì S 1222  (loại được phương án A) 5

Trang 5

Vậy phương án đúng là C

Câu 8

Đáp án B Ta chứng minh 2 cos 1

2



 bằng phương pháp quy nạp toán học Thật vậy:

Vậy đẳng thức đúng với n  1

2



Ta phải chứng minh đẳng thức cũng đúng với nk1, tức là chứng minh 1 2 cos 2

2

Thật vậy, vì T k1 2T k nên theo giả thiết quy nạp ta có 1 2 2 2 cos 1

2

1 2.2 cos 2 2 cos 2

Vậy phương án đúng là B

Câu 9

Đáp án C Cách 1: Rút gọn biểu thức S dựa vào việc phân tích phần tử đại diện n

(2k 1)(2k 1) 2 2k 1 2k 1

n S

1

n

Vậy phương án đúng là phương án C

Cách 2: Kiểm tra tính đúng – sai của phương án dựa vào một số giá trị cụ thể của n

Với n 1thì 1 1 1

1.3 3

S   (chưa loại được phương án nào);

Với n 2 thì 2 1 1 2

1.3 3.5 5

S    (loại ngay được các phương án A,B và D

Vậy phương án đúng là phương án C

Câu 10

Đáp án D Kiểm tra tính đúng – sai của bất đẳng thức với các trường hợp n 1, 2, 3, 4, ta dự đoán được

2n n 3 ,n với n 4 Ta chứng minh bất đẳng thức này bằng phương pháp quy nạp toán học Thật vây:

-Bước 1: Với n 4 thì vế trái bằng 24 1 25 32, còn vế phải bằng 423.428

Do 3228 nên bất đẳng thức đúng với n 4

-Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với nk4, nghĩa là 2k1 k23 k

Ta phải chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với n  tức là phải chứng minh k 1,

 

 2  

1 1

2k   k1 3 k1 hay 2k2 k25k4

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có 2k1k23 k

2.2k 2 k 3k hay 2k2 2k26k

2k 6k k 5k4 k   k 4 4  4 416 với mọi k 4

2k 2 k 3k k 5k4 hay bất đẳng thức đúng với nk1

Trang 6

Suy ra bất đẳng thức được chứng minh

Vậy phương án đúng là D

Cách 1: Từ tổng các góc trong tam giác bằng 180 và tổng các góc trong từ giác bằng 360 ,

chúng ta dự đoán được Sn2 180 

Cách 2: Thử với những trường hợp đã biết để kiểm nghiệm tính đúng –sai từ các công thức Cụ

thể là với n  thì 3 S 180 (loại luôn được các phương án A, C và D); với n  thì 4 S 360 (kiểm nghiệm phương án B lần nữa)

Để chọn được S đúng, chúng ta có thể dựa vào một trong ba cách sau đây:

Cách 1: Kiểm tra tính đúng –sai của từng phương án với những giá trị của n

Với n  thì 1 S 1.4 (loại ngay được phương án B và C); với 4 n  thì 2 S 1.4 2.7 18  (loại được phương án D)

Cách 2: Bằng cách tính S trong các trường hợp n1,S 4; n2,S 18; n3,S 48 ta dự đoán được công thức S n n 12

Cách 3: Ta tính S dựa vào các tổng đã biết kết quả như  1

1 2

2

n n

1 2

6

S    n    n n n

Chúng ta có thể chọn phương án đúng dựa vào một trong hai cách sau đây:

Cách 1: Kiểm nghiệm từng phương án đúng đối với những giá trị cụ thể của n

Với n  thì 1 S 1 1.1! 1 (Loại ngay được các phương án A, C, D)

Cách 2: Rút gọn S dựa vào việc phân tích phần tử đại diện n

k k  k  k  k k k  k k Suy ra:

2! 1! 3! 2!  1 ! !  1 ! 1

n

Chúng ta có thể chọn phương án đúng dựa vào một trong hai cách sau đây:

Cách 1: Kiểm nghiệm từng phương án đúng đối với những giá trị cụ thể của n

T    M   nên 1

1

5 4

T

M  (loại ngay được các phương án B, C, D)

Cách 2: Chúng ta tính T M dựa vào những tổng đã biết kết quả Cụ thể dựa vào ví dụ 1: n, n

;

n







Dễ thấy p 2thì bất đẳng thức 2p 2p là sai nên loại ngay phương án 1 D

Xét với p 3 ta thấy 2p 2p là bất đửng thức đúng Bằng phương pháp quy nạp toán học 1 chúng ta chứng minh được rằng 2n 2n1 với mọi n  Vậy 3 p 3 là số nguyên dương nhỏ nhất cần tìm

Kiểm tra với n  ta thấy bất đẳng thức đúng nên loại ngay phương án A và 1 C

Trang 7

Kiểm tra với n  ta thấy bất đẳng thức đúng Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ta 1 chứng minh được rằng 2

Cách 1: Với chú ý

3k 1 3k 2 3 3k 1 3k 2

=

Đối chiếu với đẳng thức đã cho, ta có: a1,b0,c6

Suy ra T ab2bc2ca2 6

Cách 2: Cho n1,n2,n3 ta được: 1 2; 1 3; 3

Giải hệ phương trình trên ta được a1,b0,c6 Suy ra 2 2 2

6

T ab bc ca 

Cách 1: Bằng cách phân tích số hạng đại diện, ta có: 1 12 k 1.k 1

2

Đối chiếu với đẳng thức đã cho ta có: a2,b4 Suy ra 2 2

20

Pa b 

Cách 2: Cho n2,n3 ta được 1 3 3; 2 2

  Giải hệ phương trình trren ta được 2; 4

a b Suy ra 2 2

20

Pa b 

1 2

a b c d e

Cách 2: Cho n1,n2,n3,n4,n5, ta được hệ 5 phương trình 5 ẩn a b c d e, , , , Giải hệ phương trình đó, ta tìm được 1; 1; 1; 0

a b c d e Suy ra M    a b c d  e 1

Cách 1: Sử dụng các tổng lũy thừa bậc 1 và bậc 2 ta có:

Suy ra 1 1; 1 1; 1 2; 1 0

a  b  c  d 

1.2 2.5 3.8    n 3n1 3 1 2  n  1 2   n n n

Suy ra a2 b2 1;c2 d2  0

3

T a a b b c c d d 

Cách 2: Cho n1,n2,n3,n4 và sử dụng phương pháp hệ số bất đinh ta cũng tìm được

a  b  c  d  ; a2 b2 1;c2 d2  0

Trang 8

3

T a a b b c c d d 

chúng ta thấy ngay được chỉ có 2 2

3

1 4

S   là sai

Bằng phương pháp quy nạp toán học, chúng ta chứng minh được rằng 7n5 chia hết cho 6 Thật vậy: Với n  thì 1 1

7  5 12 6 Giả sử mệnh đề đúng với nk , nghĩa là 1 7k5 chia hết ccho 6

Ta chứng minh mệnh đề đúng với n  , nghĩa là phỉa chứng minh k 1 1

7k  5 chia hết cho 6

7k 5 7 7k 5 30

Theo giả thiết quy nạp thì 7k5 chia hết cho 6 nên 1  

7k 5 7 7k 5 30

    cũng chia hết cho 6 Vậy 7n 5

 chia hết cho 6 với mọi n  Do đó các mệnh đề 1 P và Q cũng đúng

Phân tích phần tử đại diện, ta có:

Suy ra:

1.2.32.3.4 n n1 n2



Đối chiếu với hệ số, ta được: a2;b6;c8;d 24

Suy ra: T a c b d   300

Định dạng
Số trang	8
Dung lượng	210,88 KB