Tiet 38 phuong phap quy nap toan hoc

Chào mừng quý thầy cô đến thăm... DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN 11A Ch ¬ng: III Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu về một phương pháp chứng minh nhiều khẳng định trong toá

Chào mừng

quý thầy cô đến

thăm

DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG

VÀ CẤP SỐ NHÂN

11A

Ch ¬ng: III

Trong chương này chúng ta sẽ

nghiên cứu về một phương pháp

chứng minh nhiều khẳng định trong

toán học liên quan tập hợp số tự

nhiên đó là “ Phép quy nạp toán học.”

Tiếp đó chúng ta sẽ nghiên cứu về

“dãy số” và cuối cùng các em sẽ

được tìm hiểu một số vấn đề xung

quanh 2 dãy số đặc biệt là “cấp số

cộng” và “cấp số nhân ”

Bài 1: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP

TOÁN HỌC

Hoạt động 1:

Xét 2 mệnh đề chứa biến

a Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai?

b Nhận xét tính đúng sai của P(n), Q(n) với mọi

( ) :"3n 3 1" & ( ) :"2n ", *

Trả lời:

a)

1 2 3 4 5

3n n ? n

1 2 3 4 5

2n

b Với mọi P(n) sai; Q(n) chưa thể khẳng định

chắc chắn là đúng hay sai.

*

n ��

3 9 27 81 243

4 7 10 13 16











2

8 16

4 3 2

1 4











Đ Đ Đ Đ

Đ Đ Đ Đ Đ S

( ) :"3n 3 1" & ( ) :"2n ", *

P n  n  Q n  n n � �

*

n ��

( ) :"3n 3 1"

P n  n  Q n ( ) :"2n  n "

Cho thêm

mđ R(n)

mà khi

thử các

gtrị dầu

đúng, gtrị

sau sai

Chương III: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

Bài 1: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

1 Phương pháp qui nạp toán học

Để chứng minh mệnh đề chứa biến P(n) có liên quan đến số

tự nhiên là đúng với mọi n mà không thể thử trưc tiếp được thì ta có thực hiện hai bước sau:n �� *

1

n k  �

Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1

2 Ví dụ áp dụng:

Ví dụ 1 : Chứng minh rằng với mọi n  N*, ta có:

( 1)

2

n n

    

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi nN*, ta có:

( 1)

1 2 3 (1)

2

n n

    

Lời giải:

+) Với n = 1, ta có ,mVT(1) 1  1(1 1) VP(1) ệnh đề (1) đúng.

2



  

+) Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là (( 1) GTQN )

1 2 3

2

k k

    

Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+1, tức là phải chứng minh:

( 1)[( 1) 1]

2

k k

      

( 1) (2) ( 1)

2

k k

�

( 1) ( 1) 1

2

 VP(2)

Vậy với mọi nN*, ta có: 1 2 3 ( 1) (1)

2

n n

    

( 1)

1 2 3

2

k k

    

Theo giả thiết quy nạp ta có:

 1 1

2

k

  �  �

� �  1 2

2

k

  � �

� �

Thật vậy: VT(2) (1 2 3       k) (k 1)

B1: Kiểm tra mệnh đề

đúng với n=1

B2: Giả sử mệnh đề

đúng với

Ta chứng minh mệnh

đề cũng đúng với n=k+1

1

n k  �

Hoạt động 2:

Xét 2 mệnh đề chứa biến

a Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n) đúng hay sai?

1

2

3

4

5

3n

3 9 27 81 243

4 7 10 13 16











Đ Đ Đ Đ S

( ) :"3n 3 1" , *

b Với mọi thì P(n) sain �� *

c Dự đoán xem mệnh đề P(n) khi nào?

Để chứng minh mệnh

đề chứa biến P(n)

đúng khi

ta cần thực hiện các bước nào ? n � p Trả lời:

B1: Kiểm tra mệnh đề đúng

với n=1 (Bước cơ sở)

B2: Giả sử mệnh đề đúng

với

Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1

1

n k  �

B1: Kiểm tra mệnh đề đúng

với n=1 (Bước cơ sở)

B2: Giả sử mệnh đề đúng

với

Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1

1

n k  �

Tiết 37: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

1 Phương pháp qui nạp toán học

Để chứng minh mệnh đề đúng với mọi , p là một số tự nhiên ta thực hiện theo các bước sau: n p �

n k p  �

B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=p

B2: Giả sử mệnh đề đúng với (Giả thiết quy nạp)

Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1

2 Ví dụ áp dụng:

Chú ý:

Bài : PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

HOẠT ĐỘNG NHÓM

: n � 2,  n N � : 3 3 1n   n

CMR c�

:  n N � * un  (13 1) 6n  M

B1: Kiểm tra mệnh đề

đúng với n=p

B2: Giả sử mệnh đề

đúng với

Ta chứng minh mệnh

đề cũng đúng với n=k+1

2

n k  �

:  n N � * un  13n  1 6 (2) M

1

1 13 1 12 6

u    M

1

1 (13k 1) 6

k

 Với n = 1 ta có: (Mệnh đề (2) đúng)

 Giả sử mệnh đề (2) đúng với n = k≥ 1, nghĩa là:

(Giả thiết quy nạp)

Ta phải chứng minh (2) đúng với n = k+ 1, tức là :

Thật vậy:

(13k 1) 6

k

1

1 13k 1 13.13k 1

k

12.13k uk

Vậy với mọi nN*, ta có:un  (13n  M 1) 6

Theo giả thiết quy nạp và nên suy ra được uk M 6 12 6 M

(13 uk  12) 6 M

12.13k 13k 1

3k   3 k 1

 

Với n = 2, ta có VT(1) = 9 > 7 = VP(1), bất đẳng thức (3)

đúngGiả sử bất đẳng thức (3) đúng với n = k≥ 2, nghĩa

là:

( Giả thiết quy nạp )

Ta phải chứng minh bđt đúng với n = k+ 1, tức là:

Thật vậy: theo giả thiết quy nạp có:

1

3k  3( k   1) 1

3k  3 k  1 � 3 3 3(3k  k  1)

1

3k  9 k  3

�

1

3k  3 k   4 6 k  1

�

ì k � � 2 6 k   1 0 �

V (3k+4)+(6k-1)>3k+4

Vậy: n � 2,  n N � c� : 3n  3 n  1

3k  3 k  4 3k  3( k   1) 1

1

3k  3(3 k  1)

�

• Học thuộc và nắm chắc qui trình chứng

minh bài toán bằng phương pháp quy

nạp theo hai bước.

• Các bài tập 1,2,3,4 trang 100 SGK

• Đọc bài: Bạn có biết “Suy luận quy nạp” Bài 1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC

QUÝ THẦY CÔ CÙNG CÁC EM SỨC KHỎE

THÀNH ĐẠT