Giáo án Đại số 11 chương 3 bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

ĐẠI SỐ 11PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC I.. - Hiểu được nội dung của phương pháp qui nạp toán học gồm hai bước theo một trình tự qui định.. 2.Kỹ năng: - Giúp học sinh biết cách vận dụng ph

ĐẠI SỐ 11

PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC

I Mục tiêu:

1 Kiến thức:

- Có khái niệm về suy luận quy nạp

- Hiểu được nội dung của phương pháp qui nạp toán học gồm hai bước theo một trình tự qui định

2.Kỹ năng:

- Giúp học sinh biết cách vận dụng phương pháp quy nạp toán học để giải quyết các bài toán cụ thể đơn giản

- Biết cách lựa chọn và sử dụng phương pháp qui nạp toán học để giải các bài toán một cách hợp lí

3 Tư duy: phát triển tư duy logic, tính chặc chẽ trong giải toán.

4 Thái độ: nghiêm túc, tích cực tiếp thu tri thức mới hứng thú trong học tập

II Chuẩn bị:

- GV: đọc kĩ SGK, SGV, SBT

- HS: Kiến thức mệnh đề chứa biến đã học

III Phương pháp:

- Nêu vấn đề, vấn đáp và đan xen hoạt động nhóm

III Tiến trình:

HĐ 1:Ổn định lớp và kiểm tra bài củ Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Thời gian dự

trù

Yêu cầu HS vào chổ ngồi và chuẩn bị tập

-sách

- Kiểm tra bài củ: mệnh đề là gì? cho vài ví dụ

về mệnh đề chứa biến

- Trật tự và đem tập sách chuẩn bị tiết học

- Kêu 1 em lên bảng trả lời, tất cả hs còn lại suy nghỉ và xem xét

8h05’- 8h06’ 8h06’

HĐ2: Phương pháp qui nạp toán học

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Thời gian dự

trù

HĐTP1:Tiếp cận phương pháp qui nạp

- Phát biểu hoạt động số 1 SGK

Xét hai mệnh đề chứa biến

P(n): “3n n  100” và Q(n): “2n > n” với

- Tiếp nhận vấn đề

8h11’

nN

a Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay

sai?

n 3n n +100 P(n) ? n 2n Q(n) ?

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5

b Với mọi n N *thì P(n), Q(n) đúng hay sai?

Hướng dẫn:

- Hỏi 1: phép thử một vài TH có phải là c/m

cho KL trong TH TQ không ?

- Hỏi 2: với MĐ Q(n), thử kiểm tra tiếp với một

giá trị n 6? có thể khẳng định Q(n)đúng với

mọi nN * chưa ?

- Hỏi 3: muốn chứng minh 1 kết luận đúng ta

phải làm sao? muốn chứng minh kết luận sai ta

phải làm sao?

HĐTP2: Phương pháp qui nạp

Bước 1:

Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1

Bước 2:

Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất

kỳ n = k  1 (gọi là giả thiết quy nạp) Chứng

minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1

- H4: MĐ đúng với n = k và n = k + 1

nghĩa là gì?

- Làm việc theo nhóm và cử đại diện trình bày kết quả:

a) P(n) :

n = 1 : 3 < 101 (Đ)

n = 2 : 9 < 102 (Đ)

n = 3 : 27 < 103 (Đ)

n = 4 : 81 < 104 (Đ)

n = 5 : 243 < 105 (S) Q(n):

n = 1 : 2 > 1 (Đ)

n = 2 : 4 > 2 (Đ)

n = 3 : 8 > 3 (Đ)

n = 4 : 16 > 4 (Đ)

n = 5 : 32 > 5 (Đ)

- Các nhóm thảo luận và nêu ý kiến của nhóm mình

b) "nN* thì P(n) sai, vì khi

n = 5 thì P(5) sai Q(n) có đúng với "nN* , không vẫn chưa kết luận được, vì ta không thể thử trực tiếp với mọi n

- HS lần lượt trả lời các câu hỏi

- Chú ý theo dõi phương pháp qui nạp toán học

- Giải thích điều mình hiểu

8h20’

HĐ3: Ví dụ áp dụng.

VD1- SGk: chứng minh rằng với mọin N *

thì:

1 + 2 + 3 +…+ (2n - 1) = n2 (1)

- Hướng dẫn:

Bước 1: n = 1: (1) đúng ?

Bước 2: đặt Sn = 1 + 2 + 3 +…+ (2n - 1)

- Giả sử (1) đúng với n k  1, nghĩa là có giả

thiết gì ?

Ta chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là

chứng minh điều gì? (chú ý đến giả thiết qui

nạp)

- Hoàn thành B1, B2 ta kết luận ?

VT = 1 , VP = 12 = 1  (1) đúng

Sk = 1 + 2+…+ (2k - 1) = k2

C/m: Sk+1 = 1 + 2 + 3 +…+

(2k - 1) +

2(k 1) 1   k 12

Ta có:

Sk+1 = Sk + 2(k 1) 1 

= k2  2k  1 k  12

Vậy (1) đúng với mọi nN *

8h24’

HĐ4: Luyện tập (yêu cầu HS làm theo nhóm) VD2- SGK:

- Hướng dẫn: đặt 3

n

A n  n

- Làm việc theo nhóm

- HS trình bày bài giải

8h29’

1

1 + 3 =

1 + 3 + 5 =

1 + 3 + 5 + 7 =

1 + 3 + 5 + 7 + 9 =

1

4 = 22

9 = 32

25 = 52

= 12

+ 3 + 5 + 7 + 9

n

+ + (2n – 1) = n2

2 2 1.1

3.3

4.4

5.5

.n

Bước 1: n = 1: (1) đúng ?

Bước 2: n k  1 thì (1) như thế nào?

Ta phải chứng minh Ak+1 chia hết cho 3

Với n 1 thìA  chia hết cho 1 0 3

1

n k  thì 3

k

A (k  k) chia hết cho 3 (giả thiết quy nạp)

Thật vậy, ta có

3 3 k+1

3 2

2

k

k k

k k k k

k k k k

A k k

Theo giả thuyết A chia hết chok

3, hơn nữa, 3(k2k)chia hết cho

3 nên Ak+1 chia hết cho 3

n

A n  n chia hết cho 3

n N

" 

HĐ5: Luyện tập

 Hoạt động 2- SGk

Chứng minh với mọi nN * thì

( 1)

1 2 3

2

n n

    

- Yêu cầu hs làm theo nhóm

- GV quan sát và giúp đỡ khi cần thiết

- Gọi bất kì 1 hs trình bày để kiểm tra và sữa

chữa

* GV lưu ý cho hs TH: Nếu phải c/m MĐ đúng

với mọi số tự nhiên n pthì ta làm thế nào?

 Hoạt động 3-SGK

Cho hai số 3nvà 8n với nN *

a) SS 3nvới 8n khi n = 1, 2, 3, 4, 5

HD: Điền vào bảng sau

- Làm việc theo nhóm

- HS trình bày bài giải

* Chú ý:

Nếu phải c/m MĐ đúng với mọi số tự nhiên n p thì:

- B1 ta phải kiểm tra MĐ đúng với n = p

- B2 ta giả thiết MĐ đúng với

số tự nhiên bất kì n k p

và phải CMR nó cũng đúng với n=k + 1

a)

1 2 3 4

3 9 27 81

<

<

>

>

8 16 24 32

8h34’

8h40’

n 3n ? 8n

1

2

3

4

5

b) Dự đoán kết quả TQ và chứng minh bằng

phương pháp qui nạp

HD: - Dựa vào bảng kq câu a) để đưa ra dự

đoán

- Phát biểu lại bài toán và chứng minh

+ Cho hs làm theo nhóm

+ GV quan sát và hd khi cần thiết

+ Gọi đại diện của một nhóm trình bày, cho các

nhóm khác nhận xét và bổ sung (nếu cần)

+ Lưu ý cho hs là nhờ phép thử mà tìm ra n = 3

là số nhỏ nhất sao cho 3n> 8n

Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề

đúng với mọi số tự nhiên n  p (p là một

số tự nhiên) thì:

• Ở bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng

với n = p

• Ở bước 2: giả thiết mệnh đề đúng

với số tự nhiên bất kỳ n = k  p

• Ở bước 3: Chứng minh mệnh đề

cũng đúng với n = k+1

b) “ Chứng minh rằng 3n> 8n với mọi n 3 ”

- HS chứng minh bằng phương pháp qui nạp

HS chú ý và ghi vào tập

8h42’

- Nêu các bước của phương pháp chứng minh qui nạp và chỉ rõ thực chất của bước 2 là

gì ?

- Xem lại các bài đã giải

- Làm các bài tập 1 – 5 sgk Và sách bài tập