BÀI 2 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN MỤC TIÊU Kiến thức: - Trình bày được cách viết phương trình tổng quát của đường tròn.. - Nhận biết được các dạng của phương trình đường tròn.. - Trình bày được

Trang 1

BÀI 2 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

MỤC TIÊU

Kiến thức:

- Trình bày được cách viết phương trình tổng quát của đường tròn

- Nhận biết được các dạng của phương trình đường tròn

- Trình bày được các điều kiện để xác định vị trí tương đối của hai đường tròn, một điểm với đường tròn

- Trình bày được cách viết phương trình tiếp tuyến đường tròn

Kỹ năng:

- Viết được phương trình đường tròn tâm l(a;b) bán kính R

- Xác định được tâm và bán kinh của một đường tròn khi biết phương trình đường tròn

- Viết được phương trình tiếp tuyến với đường tròn khi biết tọa độ của tiếp điểm

I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

Phương trình đường tròn

Phương trình đường tròn (C) có tâm I a b bán kính R là ; , (C): (x a )2 (y b)2R2

hoặc 2 2

x y  ax by c  trong đó R a2 b2 c

Chú ý:

Phương trình tiếp tuyến

Cho điểm M x y 0; 0 nằm trên đường tròn (C) Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M là

 0  0  0  0

: x a x x y b y y 0

Chú ý:

CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1 Nhận dạng phương trình đường tròn

Xác định tâm, bán kính của đường tròn

Bài toán 1 Nhận dạng đường tròn

Phương pháp giải

Cách 1

Đưa phương trình về dạng

2 2

( ) :C x y 2ax2by c 0

Xét dấu biểu thức 2 2

M a b c

• Nếu M 0 thì (1) là phương trình đường tròn

• Nếu M 0 thì (1) không phải phương trình đường tròn

Trang 2

Cách 2

Đưa phương trình về dạng

( ) : (C x a )  (y b) M

• Nếu M > 0 thì (2) là phương trình đường tròn

• Nếu M 0 thì (2) không phải phương trình đường tròn

Ví dụ:

a) x2y22x2y 3 0

Phương trình có dạng: 2 2

x y  ax by c  với a 1,b 1 và c3

Ta có Ma2   b2 c ( 1)2 ( 1)2   3 1 0

Vậy phương trình trên không phải là phương trình đường tròn

b) x26xy24y 7 0

Ta có x26xy24y 7 0

(x 3) (y 2) 20

Vậy phương trình trên là phương trình đường tròn

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn?

a) x2y22x6y 15 0

b) 2x22y28x4y 14 0

Hướng dẫn giải

a) Ta có

    





( 1) ( 3) ( 15) 25 0

Vậy phương trình trên là phương trình đường tròn

b) Ta có 2x22y2 8x 4y   14 0 x2 y24x2y 7 0

Khi đó

    





( 2) 1 7 2 0

Vậy phương trình trên không phải là phương trình đường tròn

Lưu ý: Khi xét một phong trình có phải là phương trình đường tròn, trước tiên ta quan sát hệ số của

2 2

x và y Hệ số của x và y khác nhau thì phương trình không là phương trình đường tròn 2 2

Ví dụ 2 Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn?

2 2

2 2

(I) 4 15 12 0

(II) 3 4 20 0

(III)2 2 4 6 1 0

A Chỉ (I) B Chỉ (II) C Chỉ (III) D Chỉ (I) và (III)

Hướng dẫn giải

(I) có

2

a b   c     

Trang 3

(I) có 2 2 3 4 20 55 0

a b  c        

2

      phương trình này có

2

2 2 4

a b   c     

 

Vậy chỉ (I) và (II) là phương trình đường tròn

Chọn D

Ví dụ 3 Để 2 2

0

x y    ax by c  1 là phương trình đường tròn, điều kiện cần và đủ là

A a2b2 c 0 B a2b2 c 0

C a2b24c0 D a2b24c0

Hướng dẫn giải

Ta có: 2 2  

0 1

x y ax by c  

        

Vậy điều kiện để (1) là phương trình đường tròn là:

2 2

2 2

4 4

a b

Chọn C

Bài toán 2 Xác định tâm và bán kính của đường tròn

Phương pháp giải

• Phương trình đường tròn dạng

(x a )  (y b) R có tâm I a b và R bán kính  ;

• Phương trình đường tròn dạng

2 2

x y  ax by c  có tâm I a b và R bán kính  ; R a2 b2 c

Chú ý: Những bài toán không cho phương trình đường tròn ở dạng tường minh ta phải đi tìm bán kính và

tâm thông qua các yếu tố hình học

Ví dụ:

a) (x2)2 (y 1)216

Ta có tâm I2; 1  và bán kính R 164

b) x2y22x2y 1 0

Ta có a = 1;b = 1; c =1 nên tâm I 1;1 và bán kính kính

2 2

1 1 1 1

R   

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Tìm tọa độ tâm và bán kính của các đường tròn sau:

2 2

)( 1) ( 2) 25

) 7 11 10 0

)4 4 16 40 80 0

Trang 4

Hướng dẫn giải

a) Đường tròn (x1)2 (y 2)225 có tâm I1; 2 và bán kính R 255

b) Ta có

7 2

2 7

11

2 11

2 10

10

a a

c

c























  









Vậy tâm 7 11;

2 2

I 

  và bán kính

10

R a   b c      

Mẹo: Phương trình đường tròn dạng 2 2

0

x y Ax By C   thì đường tròn có tâm là ;

2 2

A B

  

c) Ta có 4x24y216x40y80  0 x2 y24x10y200

     



Vậy tâm I2; 5  và bán kính R a2b2 c 22 ( 5)220 3

Chú ý: Trước khi đi tìm các yếu tố của đường tròn cần đưa các hệ số của x y về 1 2; 2

Ví dụ 2 Tâm đường tròn đi qua ba điểm A     0;0 ,B 0;6 ,C 8;0 là

A (0;0) B (4:0) C (0;3) D (4:3)

Hướng dẫn giải

Bước 1 Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB, AC:

Trung trực của đoạn thẳng AB đi qua trung điểm (0;3) và nhận AB 0;6 làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình  d1 :y3

Trung trực của đoạn thẳng AC đi qua trung điểm (4;0) và nhận AC 8;0 làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình  d2 :x4

Bước 2 Xác định giao điểm của hai trung trực chính là tâm của đường tròn:

Tọa độ giao điểm của hai đường trung trực thỏa mãn: 3 (4;3)

4

y

I x







 

Chú ý: Tâm đường tròn đi qua ba điểm không thẳng hàng chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

với ba đình là ba điểm đã cho

Ví dụ 3 Cho   2 2

: 2( 1) 4( 1) 5 0

m

C x y  m x m y  m Tìm điều kiện của m để  C m là một đường tròn Khi đó, tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn

Hướng dẫn giải

Ta có

2 2( 1)

2 4( 1)

5



   



  



1 2( 1) 5

a m

 





  



( 1) [2( 1)] (5 ) 5 5

M a   b c m  m  m  m  m

Trang 5

Để  C m là một đường tròn thì 0 5 2 5 0 5 ( 1) 0

1

m

m





Khi đó, đường tròn  C m có tâm I(m+1;2(m-1)) và bán kính R 5m25m

Ví dụ 4 Cho   2 2

m

C x y  m x m y m   a) Chứng minh rằng  C m là họ các đường tròn

b) Tìm tập hợp tâm của  C m khi m thay đổi

c) Chứng minh rằng họ các đường tròn  C m luôn đi qua hai điểm cố định khi m thay đổi

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

2 ( 4)

1

a m

c m



   



  



2 2 4 2 1

m a

m b

c m



  









 



 





Xét biểu thức

( 1)

M a b   c        m

4 8 ( 2) 4

0

m

Vậy  C m là họ các đường tròn khi m thay đổi

b) Tâm I có tọa độ là

2

2

4

2

I

I

m

x

m

y



  



 



2 2

2 4

I

I



Vậy tập hợp tâm các đường tròn  C m khi m thay đổi là đường thẳng, x  y 1 0

c) Gọi M x M;y M là điểm cố định mà họ  C m luôn đi qua

Khi đó x M2 y M2 (m2)x M (m4)y M   m 1 0 với mọi m

2 2



1 0

M M

x y

 



Vậy  C m luôn đi qua hai điểm cố định M1 1; 2 và M21;0 

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1 Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn?

A 2 2

2 8 20 0

4x y 10x6y 2 0

C x2y24x6y 12 0 D x22y24x8y 1 0

Câu 2 Phương trình nào sau đây không phải là phương trình đường tròn?

A x2y2   x y 4 0 B x2y2 y 0

C x2y2 2 0 D x2y2100y 1 0

Câu 3 Mệnh đề nào sau đây đúng?

Trang 6

(I) Đường tròn   2 2

C x y  x y  có tâm I1; 2 ,  bán kính R = 3

(II) Đường tròn   2 2

2

1

2

C x y  x y  có tâm 5; 3

2 2

I  

  bán kính R= 3

A Chỉ (I) B Chỉ (II) C (I) và (II) D Không có

Câu 4 Đường tròn 2 2

10 11 0

x y  x  có bán kính bằng

Câu 5 Đường tròn 2 2

2x 2y  8x 4y 1 0 có tâm là điểm nào trong các điểm sau đây?

A.2;1  B.4; 2   C.4; 2  D 2; 1  

Câu 6 Đường tròn 3x23y26x9y 9 0 có bán kính bằng bao nhiêu?

A 5 B 25

5

25

4

Câu 7 Cho đường tròn 2 2

(C): x y 8x6y 9 0 Mệnh đề nào sau đây sai?

A (C) không đi qua điểm O(0;0) B (C) có tâm I 4; 3 

C (C) có bán kính R = 4 D (C) đi qua điểm M1;0 

Câu 8 Giá trị của m là bao nhiêu để phương trình x2y22mx4(m2)y  6 m 0 là phương trình đường tròn?

A m2 hoặc m1 B 1 m 2

C m1 hoặc m2 D 1 m 2

Câu 9 Xác định m để phương trình x2y22mx4y 8 0 không phải là phương trình đường tròn

A.m2. B 2  m 2. C.m 2. D m 2 hoặcm2

Câu 10 Cho phương trình 2x22y28mx4(m1)y 14 0(1) Giá trị của m để phương trình (1) là phương trình đường tròn có bán kính bằng 1 là

A 7

Đáp án trắc nghiệm

1 - C 2 - A 3 - C 4 - A 5 - D 6 - C 7 - D 8 - C 9 - B 10 - B

Hướng dẫn giải

Câu 8

Phương trình 2 2

x y  mx m y  m là phương trình đường tròn khi và chỉ khi

2 2

0

a b  c

[2( 2)] (6 ) 0 4( 2) 6 0 5 15 10 0

2

m

m





Vậy m  ( ;1) (2;) thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 9

Ta có x2y22mx4y 8 0 (1)

Vậy điều kiện để (1) không phải là phương trình đường tròn: 2

Câu 10

Xét 2x22y28mx4(m1)y   14 0 x2 y24mx2(m1)x 7 0

Trang 7

1

5

m

m







 



Dạng 2 Lập phương trình đường tròn

Phương pháp giải

Cách 1

• Tìm tọa độ tâm I a b của đường tròn (C)  ;

• Tìm bán kính R của đường tròn (C)

• Viết phương trình của (C) theo dạng:

(x a )  (y b) R

Cách 2

Giả sử phương trình đường tròn (C) có dạng 2 2

x y  ax by c  với a2b2 c 0

• Từ điều kiện của đề bài, lập hệ phương trình ba ẩn a,b,c

• Giải hệ phương trình tìm nghiệm a,b,c rồi thay thay vào (1) để có phương trình đường tròn (C)

Ví dụ: Viết phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a) Có tâm I1;1 và bán kính R = 3

Phương trình đường tròn (C) có tâm I1;1 và bán kính R = 3 là (C) : (x1)2 (y 1)29 b) Đi qua ba điểm A1; 3 ,    B 2; 4 và C4; 2  

Giả sử phương trình đường tròn (C) có dạng 2 2

x y  ax by c  với a2b2 c 0

Theo bài ra, ta có A(1 3) ( )C

1 ( 3) 2 1 2 ( 3)a b c 0

2a 6b c 10

Tương tự, ta có:

(2; 4) ( ) 4 8 20(2)

(4; 2) ( ) 8 4 20(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra

3 2 1 2 10

a

b

c

 





 





 





(thỏa mãn)

Vậy 2 2

(C): x y    3x y 10 0

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Viết phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau

a) Có tâm I 1;4 và đi qua gốc tọa độ

b) Nhận AB làm đường kính với A 2;5 và B4;1 

c) Có tâm I nằm trên đường thẳng d x:   y 2 0 và đi qua hai điểm A1;2  và B2; 2   d) Ngoại tiếp ∆OAB với A 2;0 và B2;1 

e) Nội tiếp ∆OAB với A   8;0 ,B 0;6

Hướng dẫn giải

Trang 8

a)(C) đi qua gốc tọa độ nên O(0;0)( )C IOR

Ta có R10 1242  17

Vậy phương trình đường tròn (C) là 2 2

(x1)  (y 4) 17 b) Ta có AB là đường kính nên trung điểm I1;3 của AB là tâm của đường tròn (C) và

(2 1) (5 3) 13

IA     là bán kính của (C)

Vậy phương trình đường tròn (C) là 2 2

(x1)  (y 3) 13 c) Tâm Id x:   y 2 0 nên ( ; 2I t  t) d

Vì A B,  C nên

( 1 ) (2 2 ) (2 ) ( 2 2 )

IAIBIA IB   t   t  t    t

19

14

2 2

19 9

;

14 14

I

R IA

  

Vậy phương trình đường tròn (C) là

      

Cách khác Vì tâm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB nên I doAB Do đó ta viết phương trình của đường thẳng AB và tìm giao điểm I của d và AB

d) Đường tròn (C) là đường tròn ngoại tiếp OAB C đi qua ba điểm O,A,B

Giả sử (C) có dạng: x2y22ax2by c 0 với a2b2 c 0

Theo bài ra, ta có hệ phương trình:

2

2 2

0

2 2 2 0

( 2) 1 2 ( 2) 2 1 0

c





    



         



0 1 9 2

c a

b



 



 



 



(thỏa mãn)

Vậy phương trình đường tròn (C) là: x2y22x9y0

e) Ta có OA8,OB6 và AB OA2OB2 10

Lại có 1

2OA OB r với 6 8 10 12

OA OB AB

và r là bán kính đường tròn nội tiếp

2 2

OAOB OAB r

p

Mặt khác (C) có tâm I thuộc phân giác của góc phần tư thứ nhất x y 0 và có bán kính r = 2 nênI 2; 2

Vậy phương trình đường tròn nội tiếp ∆OAB là 2 2

(C): (x2)  (y 2) 4

Ví dụ 2 Cho điểm M x y có ; 1 2 cos ( )

2 2sin

t

  





  

 Tập hợp điểm M là

Trang 9

A Đường tròn tâm I1; 2 ,  bán kính R = 2

B Đường tròn tâm I1; 2 , bán kính R = 2

C Đường tròn tâm I1; 2 , bán kính R= 4

D Đường tròn tâm I1 2 ,  bán kính R = 4

Hướng dẫn giải

Ta có

1 2 cos 1 2 cos ( 1) 4 cos

2 2sin 2 2sin ( 2) 4sin

( 1) ( 2) 4cos 4sin ( 1) ( 2) 4 sin cos

( 1) ( 2) 4

Vậy tập hợp điểm M là phương trình đường tròn có tâm I1; 2 bán kính R= 2

Chọn B

Chú ý: Bài toán này là một trường hợp đặc biệt Các em có thể mở rộng thành bài toán lập phương trình

đường tròn nội tiếp tam giác nhọn

Ví dụ 3 Phương trình 2 4sin ( )

3 4 cos

t

 





   

 là phương trình đường tròn có

A tâm I2;3 bán kính R = 4

B tâm I2; 3 ,  bán kính R = 4

C tâm I2;3 , bán kính R = 16

D tâm I2; 3 ,  bán kính R = 16

Hướng dẫn giải

Ta có

2 4sin 2 4sin ( 2) 16sin

3 4 cos 3 4 cos ( 3) 16 cos

( 2) ( 3) 16sin 16 cos

( 2) ( 3) 16 sin cos

( 2) ( 3) 16

Vậy 2 4sin ( )

3 4 cos

t

 





   

 là phương trình đường tròn có tâm I2 3 ,  bán kính R=4

Chọn B

Ví dụ 4 Trong mặt phẳng tọa độOxy , cho hai đường thẳng d1: 3x y 0 và

2: 3 0

d x y Gọi (C) là đường tròn tiếp xúc với d , tại A và cắt 1 d , tại B,C sao cho 2

∆ABC vuông tại B Viết phương trình của (C) biết diện tích ∆ABC bằng 3

2 và điểm A có hoành độ dương

Hướng dẫn giải

Điểm A d 1, nên ( ;A t t 3) vớit0 Vì ∆ABC vuông tại B nên AC là đường kính của đường tròn (C) Đường thẳng AC qua A và vuông góc với d nên có phương trình là 1 x 3y 4t 0

Trang 10

Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình : 3 4 0 2

2 3

x y

 



 

( 2 ; 2 3 )

Đường thẳng AB qua A và vuông góc với d , nên có phương trình là 2 x 3y 2t 0

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình:

;

2 2 3

2

t x

B t

x y

y





Ta có: 3 1 3 3 3; 1 và 2 3; 2

ABC

Đường tròn (C) có tâm I là trung điểm của 1 ; 3

2

2 3

AC I   

   kính 1

2

AC

R  Vậy

2

2 3

C x  y  

Bài tập tự luyện dạng 2

Câu 1 Đường tròn tâm I3; 1  và bán kính R = 2 có phương trình là

(x3)  (y 1) 4 B 2 2

(x3)  (y 1) 4

(x3)  (y 1) 4 D 2 2

(x3)  (y 1) 4 Câu 2 Đường tròn tâm I1; 2 và đi qua điểm M 2;1 có phương trình là

A x2y22x4y 5 0 B x2y22x4y 3 0

C x2y22x4y 5 0 D x2y22x4y 5 0

Câu 3 Đường tròn tâm I1; 4 và đi qua điểm B 2;6 có phương trình là

A (x1)2 (y 4)25 B (x1)2 (y 4)2 5

C (x1)2 (y 4)2 5 D (x1)2 (y 4)25

Câu 4 Cho hai điểm A(5 ;-1), B(-3 ; 7) và điểm M thỏa mãn AMB900 Khi đó điểm M nằm trên đường tròn nào sau đây?

A x2y2 x 6y 1 0 B x2y2 x 6y 1 0

C x2y25x4y 11 0 D x2y2 5x 4y 11 0

Câu 5 Cho hai điểm A1; 1 ,  B 3;7  Đường tròn đường kính AB có phương trình là

A x2y22x6y220 B x2y22x6y220

C 2 2

6 5 1 0

x y  x y  Câu 6 Phương trình đường tròn đi qua 3 điểm O(0 ; 0), A(a ; 0), B(0 ; b) là

A x2y22ax by 0 B x2y2  ax by xy0

C x2y2 ax by0 D x2y2 ay by0

Trang 11

Câu 7 Đường tròn (C) đi qua hai điểm A   1;3 ,B 3;1 và có tâm nằm trên đường thẳng d: 2x  y 7 0

có phương trình là

A (x7)2 (y 7)2102 B (x7)2 (y 7)2 164

(x3)  (y 5) 25 D 2 2

(x3)  (y 5) 25 Đáp án trắc nghiệm

1 - C 2 - A 3 - D 4 - A 5 - B 6 - C 7 - B

Hướng dẫn giải

Câu 5

Tâm I của đường tròn là trung điểm AB nên I (1;3)

Bán kính 1 1 ( 3 5)2 (7 1)2 4 2

Vậy phương trình đường tròn là 2 2 2 2

(x1)  (y 3) 32 x y 2x6y220

Câu 6

Gọi phương trình cần tìm có dạng 2 2

( ) :C x y mx ny  p 0

Do A, B, O (C) nên ta có hệ

2

2

      





Vậy phương trình đường tròn là 2 2

0

x y  ax by

Câu 7

Đường trung trực của đoạn thẳng AB đi qua trung điểm M(2;2) và nhận AB(2;-2) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là (x 2) (y2)   0 x y 0

Tọa độ tâm của đường tròn thỏa mãn 2 7 0 7 ( 7; 7)

I



Bán kính của đường tròn là ( 7 1)  2  ( 7 3)2  164

Do đó phương trình đường tròn là(x7)2 (y 7)2164

Dạng 3 Vị trí tương đối của điểm, đường thẳng với đường tròn

Bài toán 1 Vị trí tương đối

Phương pháp giải

Sử dụng các kiến thức hình học đã học ở trung học cơ sở để giải bài toán

Nhắc lại:

Cho đường tròn (C) tâm I , bán kính R

• Vị trí tương đối của điểm A và đường tròn (C):

+) IAR: Điểm A nằm trong đường tròn

+) IAR: Điểm A nằm trên đường tròn

+)IAR : Điểm A nằm ngoài đường tròn

• Vị trí tương đối của đường thẳng (d) và đường tròn (C):

Gọi h là khoảng cách từ tâm đến đường thẳng (d)

+) hR: Đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm

+)hR : Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn

+) hR: Đường thẳng không cắt đường tròn

• Cho đường tròn  C có tâm 1 I , bán kính 1 R , và đường tròn 1  C có tâm 2 I bán kính 2 R : 2