Chương III - Bài 2: Phương trình đường tròn

Viết ph ơng trình của đ ờng trònVí dụ... Viết ph ơng trình của đ ờng trònVí dụ.

Định nghĩa đ ờng tròn ?

 I R ,    M IM  R I , : cố định, > 0: không đổi R 

Bài toán.

Trên mặt phẳng toạ độ, cho đ ờng tròn

(C) có tâm I(a ; b) và bán kính R

Tìm điều kiện của x và y để điểm

M(x ; y) thuộc đ ờng tròn.

I

M

x

y

O a b

y

x

R

M(x; y)( C )  IM = R

 (x-a))2 + (y-b))2 = R2

1 Ph ơng trình đ ờng tròn có tâm và bán kính cho tr ớc

(x – a)2 + (y – b)2 = R2 (1)

là ph ơng trình đ ờng tròn tâm I(a ; b) bán kính R

Ví dụ :Viết ph ơng trình đ ờng tròn tâm I(2;1) bán kính R =3

(x-2)2 +(y-1)2 =9

đặc biệt: Phương trỡnh đường trũn cú tõm là gốc toạ độ O cú bỏn kớnh R

2

y

VÝ dô1 Cho hai ®iÓm P(- 2 ; 3) vµ Q (2 ; -3)

a) H·y viÕt ph ¬ng tr×nh ® êng trßn t©m P vµ ®i qua Q

b) H·y viÕt ph ¬ng tr×nh ® êng trßn ® êng kÝnh PQ

VÝ dô2 H·y ghÐp mçi dßng cña cét bªn tr¸i víi mét dßng cña

§ êng trßn T©m vµ b¸n kÝnh

1 (x + 3)2 + (y 1) – 2 = 5

2 x2 + y2 = 1

3 x2 + (y + 2)2 = 4

4 (x – 5)2 + y2 = 25

a) I (0 ; 2), R = 2

b) I (-3 ; 1), R = 5

c) I (0 ; 0), R = 1

d) I (5 ; 0), R = 5

e) I (-3 ; 1), R = g) I (0 ; -2), R = 2

5

Biến đổi ph ơng trình (1):

x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – R2 = 0 (*)

Nhận thấy (*) có dạng:

x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 (2)

Vậy ph ơng trình (2) có phải là ph ơng trình của

đ ờng tròn không ?

Ph ơng trình x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0, với điều

kiện a2+ b2-c>0, là ph ơng trình của đ ờng tròn tâm

I(a ; b), bán kính R  a2  b2  c

Ví dụ3 Trong các ph ơng trình sau, ph ơng trình nào là ph ơng

trình của đ ờng tròn, xác định tâm và bán kính của đ ờng tròn đó ?

a) x2 + y2 2x 2y 2 = 0 – – –

b) x2 - y2 + 4x – 2y – 5 = 0

c) x2 + y2 – 2008y = 0

d) 4x2 + 4y2 – 4x + 8y – 7 = 0

e) x2 + y2 – 2xy + 3x – 5y – 1 = 0

1

; 1 ; 3 2

 I (1 ; 1), R = 2

 Không là PTĐT

 I (0 ; 1004), R = 1004

 Không là PTĐT

+ Giả sử I(x ; y) là tâm và R là

bán kính của đ ờng tròn qua A,

B, C

+ Từ hệ thức: IA = IB = IC 

Toạ độ điểm I

+ Tính bán kính R = IA

+ Viết ph ơng trình hai đ ờng trung trực của hai đoạn thẳng BC và AC

 Giao điểm của hai đ ờng trung trực đó là tâm đ ờng tròn

+ Tính bán kính R = IA

I A

I A

Viết ph ơng trình của đ ờng tròn

Ví dụ 4 Viết ph ơng trình của đ ờng tròn đi qua ba điểm

A(1 ; 2) ; B(5 ; 2) và C(1 ; -3)

I A

Viết ph ơng trình của đ ờng tròn

Ví dụ 4 Viết ph ơng trình của đ ờng tròn đi qua ba điểm

A(1 ; 2) ; B(5 ; 2) và C(1 ; -3)

Cách 2

+ Thay toạ độ của các điểm A, B, C vào ph ơng

trình (2)

+ Lập hệ ph ơng trình (ba ẩn a, b, c)

+ Giải hệ ph ơng trình đó ta tìm đ ợc a, b, c 

ph ơng trình của đ ờng tròn qua ba điểm A, B, C

x2+ y2 - 2ax - 2by + c = 0 (2)

Viết ph ơng trình của đ ờng tròn

Ví dụ Viết ph ơng trình của đ ờng tròn đi qua ba điểm

A(1 ; 2) ; B(5 ; 2) và C(1 ; -3)

Cách 1 Tìm tâm và bán kính của đ ờng tròn:

+ Giả sử I(x ; y) là tâm và R là bán kính của đ ờng tròn qua A, B, C + Từ hệ thức: IA = IB = IC  Toạ độ điểm I

+ Tính bán kính R = IA

Hoặc: + Viết ph ơng trình hai đ ờng trung trực của hai đoạn thẳng BC, AC

 Giao điểm của hai đ ờng trung trực đó là tâm đ ờng tròn + Tính bán kính R = IA

Cách 2 Xác định hệ số a, b, c từ PT: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 (2)

+ Thay toạ độ của các điểm A, B, C vào ph ơng trình (2)

+ Lập hệ ph ơng trình (ba ẩn a, b, c) + Giải hệ ph ơng trình đó ta tìm đ ợc a, b, c  ph ơng trình của

đ ờng tròn qua ba điểm A, B, C

Viết ph ơng trình của đ ờng tròn

Ví dụ Viết PT của đ ờng tròn đi qua ba điểm A(1 ; 2) ; B(5 ; 2) và C(1 ; -3)

+ Giả sử I(x ; y) là tâm và R là bán kính của đ ờng

tròn qua A, B, C

+ Từ: IA = IB = IC , ta có:

2 2

3

1

2

AI BI

x x













I A

 Tâm I có toạ độ là: 1

3 ;

2



 

2

R IA      

+ Tính bán kính

 Đ ờng tròn có ph ơng trình là:  

2

3

x  y   

ViÕt ph ¬ng tr×nh cña ® êng trßn

VÝ dô 4 ViÕt PT cña ® êng trßn ®i qua ba ®iÓm A(1 ; 2) ; B(5 ; 2) vµ C(1 ; -3)

+ Gi¶ sö ® êng trßn qua A, B, C cã ph ¬ng tr×nh d¹ng:

+ § êng trßn ®i qua ba ®iÓm A, B, C nªn ta cã:

x 2 + y 2 - 2ax - 2by + c = 0

3

1 4 2 4 0 2 4 5

1

25 4 10 4 0 10 4 29

2

a

a b c a b c

a b c a b c b

a b c a b c c





        

           

          

 § êng trßn cã ph ¬ng tr×nh lµ: x2  y2  6x y  1 0

Tãm t¾t kiÕn thøc bµi häc

1) Ph ¬ng tr×nh cña ® êng trßn

(x – a)2 + (y – b)2 = R2 (1)

T©m I(a ; b), b¸n kÝnh R

x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 (2)

( §k : a2 + b2 -c > 0)

T©m I(a ; b), b¸n kÝnh R = a2  b2  c

2) ViÕt ph ¬ng tr×nh cña ® êng trßn

BµI TËP VÒ NHµ

Lµm bµi tËp 1 ,2,3 (sgk tr 83,84 )

2 2

4 x  4 y  4 x  8 y  7  0

4

 

2

2

2