Chương III - Bài 2: Phương trình đường tròn

Để d1 là tiếp tuyến của đ ờng tròn điều kiện cần và đủ là khoảng cách từ tâm I đến đ ờng thẳng bằng bán kính của đ ờng tròn... Để viết ph ơng trình tiếp tuyến của đ ờng tròn, ta th ờng d

Phươngưtrìnhưnàoưdướiưđâyưlàưphươngưtrìnhưcủaưđườngư tròn:

1 2x 2 + y 2 - 8x + 2y – 1 = 0.

2 x 2 + y 2 + 2x – 4y – 4 = 0.

3 x 2 + y 2 – 2x - 6y + 20 = 0.

4 x 2 + y 2 + 6x + 2y + 10 = 0.

Câu 1

2

Nh¾c l¹i kh¸i niÖm tiÕp tuyÕn?

C©u 2

Bài toán 1: Viết ph ơng trình tiếp tuyến của đ ờng tròn

( x+1 ) 2 + ( y-2 ) 2 = 5 Biết rằng tiếp tuyến đó đi qua

M  5  1 ; 1

5

0 )

1 (

) 1 5

a

-Nêu điều kiện cần và đủ để (d1) là

tiếp tuyến của đ ờng tròn ? -Viết ph ơng trình đ ờng thẳng đi qua

M và nêu công thức tính khoảng

cách từ tâm I đến đ ờng thẳng đó ?

Đ ờng tròn (C) có tâm I(-1;2) và bán kính R =

Đ ờng thẳng (d1) đi qua M có ph ơng trình :

Khoảng cách từ I(-1;2) tới đ ờng thẳng d1 là:

a2  b2  0

I(a;b)

M(x0;y0)

Để (d1) là tiếp tuyến của đ ờng tròn

điều kiện cần và đủ là khoảng cách từ tâm I đến đ ờng thẳng bằng bán kính của đ ờng tròn

Tức là

Từ đó ,suy ra b = 0 hoặc

Nếu b = 0, ta có thể chọn a =1 và đ ợc tiếp tuyến:

Nếu ta có thể chọn a = 2; b = và đ

ợc tiếp tuyến:

5

5

2







b a

b

a

) (

5

5a b  a2 b2





0 1

5  



x

0 5

0 5

2 5

Cã thÓ viÕt ph ¬ng tr×nh ® êng th¼ng ®i qua M cã d¹ng

Tuy nhiªn, ph¶i xÐt thªm tr êng hîp x

= a (h»ng sè )

 x0; y0 

 x x0  y 0 k

y   

Để viết ph ơng trình tiếp tuyến của đ ờng tròn, ta

th ờng dùng điều kiện sau:

Đ ờng thẳng tiếp xúc với đ ờng tròn khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm đ ờng tròn đến đ ờng

thẳng bằng bán kính của đ ờng tròn

Cách viết ph ơng trình tiếp tuyến đi qua điểm M bất kì.

Ph ơng trình có dạng:

Hoặc dạng:

và xét thêm tr ờng hợp x = a (hằng số ).

ờng thẳng đó.

1

d

 x0; y0 

 x  x0   b y  y0   0

a

 x x0  y0 k

1

d  d(I;d1) R.

Bàiưtoánư2: Cho đ ờng tròn

x2 + y2 – 2x + 4y -20 = 0

và điểm M (4; 2 )

a Chứng tỏ rằng điểm M nằm trên đ ờng tròn đã cho

b.Viết ph ơng trình tiếp tuyến của đ ờng tròn tại

điểm M

- Khi nào điểm M (4;2 ) nằm

trên đ ờng tròn ?

- Nhận xét về quan hệ giữa

MI và tiếp tuyến Từ đó hãy chỉ ra một véc tơ pháp tuyến

của tiếp tuyến đó ?

M(x0;y0)

I(a;b)

a Thay toạ độ (4; 2) của M vào vế trái của

ph ơng trình đ ờng tròn, ta thu đ ợc:

42 + 22 – 2 4 + 4 2 – 20 = 0 Vậy M nằm trên đ ờng tròn

b § êng trßn t©m I (1;-2 ).tiÕp tuyÕn cña ® êng

trßn t¹i M lµ ® êng th¼ng qua M nhËn lµm vÐc t¬ ph¸p tuyÕn

V× nªn ph ¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn lµ:

-3 (x - 4) - 4(y - 2) = 0

hay 3x + 4y - 20 = 0

MI



MI

C¸ch viÕt ph ¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹i mét ®iÓm M n»m trªn ® êng trßn

 B íc 1 : TÝnh víi I (a;b).

 B íc 2 : Ph ¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn lµ ® êng th¼ng ®i

qua M nhËn lµm vÐc t¬ ph¸p tuyÕn

Ph ¬ng tr×nh cã d¹ng:

)

; (a x0 b y0

MI

a  x0  x  x0   b  y0  y  y0  0

 Nhóm 1: Hoạt động 3

Viết ph ơng trình đ ờng

thẳng đi qua gốc tọa độ

và tiếp xúc với đ ờng

tròn

(C) x 2 +y 2 -3x+y =0

 Nhóm 2: Hoạt động 4

Viết ph ơng trình tiếp tuyến của đ ờng tròn

(x-2) 2 +(y+3) 2 =1 Biết tiếp tuyến đó song song với đ ờng thẳng 3x-y+2=0

Cáchưviếtưphươngưtrìnhưtiếpưtuyếnưkhiưbiếtưtiếpưtuyếnưsongưsongư hoặcưvuôngưgócưvớiưđườngưthẳngư

ưưưưưưưưưưưưưưaxư+byư+cư=0ưư(choưtrướcư)

B ớc 1: Viết dạng tiếp tuyến.

 Nếu tiếp tuyến song song với ax + by + c = 0

Ph ơng trình của nó là: ax + by + d = 0

 Nếu tiếp tuyến vuông góc với ax + by + c = 0

Ph ơng trình của nó là : -bx + ay + d = 0

B ớc 2: Sử dụng điều kiện: một đ ờng thẳng bất kì là tiếp tuyến

của đ ờng tròn khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm đ ờng tròn đến đ ờng thẳng bằng bán kính đ ờng tròn.

tuyÕn ®i qua ®iÓm M bÊt k× cho tr íc.

®iÓm M n»m trªn ® êng trßn.

biÕt tiÕp tuyÕn song song hoÆc vu«ng gãc víi mét ® êng th¼ng cho tr íc.

1 ViÕt ph ¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ® êng trßn

x2 + y2 = 4

BiÕt tiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi ® êng th¼ng

x +2y - 5 = 0

2 ViÕt ph ¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ® êng trßn

x2+ y2 = 4

BiÕt tiÕp tuyÕn ®i qua ®iÓm M (-2 ;2)