Bài giảng Tích phân 1

Trường THPT Gò Công Đông Trần Duy Thái Các phương pháp tính Tích phân 1... Điều quan trọng khi sử dụng công thức tích phân từng phần là làm thế nào để chọn u và dv thích hợp tron

Trường THPT Gò Công Đông Trần Duy Thái

Các phương pháp tính Tích phân

1 Phương pháp đổi biến số

 Dạng I : Tính I = [ ( )] ( )/

b a

f u x u x dx

 Đặt t = u(x) => dt = u’(x)dx

 Đổi cận

ta được I =

( ) ( )

( )

u b

u a

f t dt

1 f(sin ) cosx xdx

2 f(cos ).sinx xdx

3.f e e dx( )x x

4 f(ln ).x 1dx

x



t = sinx

t = cosx

t = ex

t = lnx (Tổng quát đặt t = mẫu, mũ, căn, logarit)

 Dạng II : Tính I = ( )

b a

f x dx

 Đặt x = (t)  dx = ’(t)dt

((t)liên tục, có đạo hàm/[a;b])liên tục, có đạo hàm/[a;b])liên tục, có đạo hàm/[a;b])

 Đổi cận

 I =

/

[ ( )] ( )





 (f[(t)liên tục, có đạo hàm/[a;b])] xác định / [; ])

2 2

2 2

1/ a2 + x2; a2x2

a x

a x



 hoặc a x

a x



 (x a b x )(  )

x= asint với t ;

2 2

 



x=

sin

a

x với t 2 2;

 



x = atant với t ;

2 2

 

x = acos2t

x = a+(b-a)sin2t

Ví dụ 1:

1

5 0

2x1 dx

2

ln

e e

dx

1 2 0

1

x dx



 

2

2

1(2 1)

dx

x 

 e)

2 3 3

2

3









1

2 3 1

5







g)2 4 

0

sin x 1 cosxdx







1

5 0

2x1 dx

1 6 0

x 



b)Đặt tlnx dt dx

x

 x = e  t = 1; x = e2  t = 2

Ta có

1

2

ln ln 2 ln1 ln 2 1

ln

e e

t

c)Đặt t = x2 + x + 1  dt = (2x+1)dx Đổi cận: x = 0  t = 1; x = 1  t = 3 Do đó:

2

3

1 1

t



 

d) Đặt t2x1 2

2

dt

Đổi cận: x = 1  t = 1; x = 2  t = 3 Do đó:

3

( 1) 1

(2 1)

t

e) Đặt 3 2

3

3

dt

Khi

3

x thì

3

t , khi 2

3

x  thì 4

3

4

3







1 sin4 sin

f)Đặt t = x35 t2 = x3+52tdt = 3x2dx 

2

2 3

 Đổi cận x = -1  t = 2; x = 1  t = 6

Ta có

3 6

2

g) Đặt t = sinx  dt = cosxdx Đổi cận . I =6

5

Ví dụ 2: a)

4 2 0

4 x dx

1 2

01

dx x



 c)

1 2

dx



Giải: a) Đặt 2sin , ;

2 2

  dx2costdt Khi x = 0 thì t = 0 Khi x 2 thì

2

t

4 x dx 4 4sin 2cost tdt 4 cos tdt



b) Đặt tan , ;

2 2

x t t   

   dx = (1+tan2t)dt Khi x 0 thì t 0, khi x 1 thì

4

t Ta có:

1 tan

4 4







c)

x



tan

3

1 tan 2

9

1

x a b

t u(a) u(b)

x a b

t  

Trường THPT Gò Công Đông Trần Duy Thái

3

ln

8 2 4

2

2 Phương pháp tích phân từng phần.

u u x du u x dx

dv v x dx v v x



B2: Thay vào công thức :  

b a

udv  u v  vdu

B3: Tính  u v và b a

b

a

vdu



Chú ý: - Đặt u theo thứ tự ưu tiên : Logarit, đa thức, …

- Sau khi đặt u, toàn bộ phần còn lại là dv.

Điều quan trọng khi sử dụng công thức tích phân từng phần

là làm thế nào để chọn u và dv thích hợp trong biểu thức

dưới dấu tích phân f(x)dx Nói chung nên chọn u là phần của

f(x) mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn '

dv v dx là phần của f(x)dx là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm

dễ tìm

Ví dụ 1: Tính

1

ln

e

 Đặt u dv xdxlnx



2

dx du x x v







 

 



Ví dụ 2: Tính các tích phân sau:

a)

2

5

1

ln x

dx

x

 Đặt

5

4

ln

4

dx

x







Do đó:

2 2

1



b) 2

0

cos





c)

1

0

x

xe dx

 Đặt u x x du dx x



Do đó:

d) 2

0

cos

x





0





 I2

Tính I2 Đặt 1 1



I2 =

2

0

0





 = 1+ I  I =e2



1  I  I = 2 1

2

e





MỘT SỐ BÀI TÍCH PHÂN THI TỐT NGHIỆP

1: I= 1

0(2x1)e dx x

 Đặt u 2x x 1 du x2dx



[(2x1) ]e x  2e dx x 3e 1 [2 ]e x  e 1

2: I= 1 2

0(x 2)e dx x

2 2

1 2

x x

dv e dx





 







3: I= 4

1

x

x

 Đặt t= x dt21x dx 2dtdx x Đổi cận: x = 1  t = 1; x = 4  t = 2

1

1e t(2 ) 2dt  1 e dt t [2 ]e t 2e  2e 2e 2

4: I= 1 2

0(1 3 )(1 2 x  x3 )x dx

Đặt t = 1 2 x3x2 dt(2 6 ) x dx dt2(1 3 ) x dx

(1 3 ) 2

dt

x dx





1

5: I= 4

2 0

tan cos

x dx x



1 tan

cos

x

Đổi cận :

1 4









I= 1 2 1

0 0

1 [ ]

t

6: I= 8

0 (1 cos 4 )sin 4x xdx





 dt=4sin4xdx 1 sin 4

1 8









0

t

7: I= 0ln 3 3

( 1)

x x

e dx

e 

 Đặt t = ex + 1  dt = exdx

Đổi cận : x = 0  t = 2; x = ln3  t = 4

I =

2

t dt







8: I= 2

1(2x1) lnxdx

2

ln (2 1)

dx du

x









I =

2

[(x x) ln ]x x x dx 2ln 2 (x 1)dx

x



2 2 1

1 2ln 2 [ ] 2ln 2

9: I= 2 2

1

ln x dx

x

2

ln

1 1

dx du

x dx

v















1ln 2 [ ] 1ln 2 [ 1] 1ln 2 1

x

x



3 Một số tích phân thường gặp:

a) Tích phân hữu tỉ: ( )

( )



b a

P x dx

Q x P(x), Q(x) là các đa

thức

+ Nếu bậc P(x)  bậc Q(x) chia P(x) cho Q(x)

+ Nếu bậc của P(x) < bậc Q(x) dùng phương pháp đổi

biến hoặc phương pháp đồng nhất hệ số

b) Tích phân chứa các hàm số lượng giác.

+ Nắm vững các công thức biến đổi

c) Tích phân hồi quy:

 Dạng  sin ,

b

x

a

b x a

Đặt u = sinx (u = cosx), dv = exdx Tích phân từng phần

2 lần

 Dạng: sin(ln ) , cos(ln )  

Đặt u = sin(lnx)(u=cos(lnx)), dv=dx Tích phân từng

phần 2 lần

d) Tích phân hàm số chẵn, lẻ:

Nếu y = f(x) liên tục trên đoạn [-a; a] và:

+ y = f(x) chẵn thì

0





a

+ y = f(x) lẻ thì: ( ) 0







a a

e) Tích phân dạng ( )

1





 x

a trong đó f(x) là hàm số

chẵn

Cách giải: Tách thành 2 tích phân :

0

0

Xét tích phân

0 ( )

1



 x

f x dx

a đổi biến số x = -t.

Kết quả ta được

0

1









f) Tích phân dạng:

f(x) là hàm số liên tục trên [0; a] Đổi biến x = a - t

Bài tập:

Bài 1: Tính tích phân

1 3 2





HD: Đặt t = x2 + 1 hay x = tant ĐS I =1/2(1-ln2)

Bài 2: Tính tích phân

ln 3

3

0 ( 1)







x x

e

e

HD: Đặt t = mẫu đưa về dạng 



b a

u du ĐS I 2 1

Bài 3: Tính tích phân

0

2 3 1



HD Tách thành 2 tích phân ĐS I=3/4e-2 - 4/7

Bài 4: Tính tích phân 2 3 5

0

1 cos sin cos



 

HD: t =61 cos 3x  cos3x = 1- t6 ĐS I

=12/91

Bài 5: Tính tích phân

2 3 2 5

1







x x

HD: nhân tử và mẫu với x rồi đặt t x24 ĐS I=1/4.ln5/3

Bài 6: Tính tích phân 4

01 cos 2







x

HD:Đưa về dạng tích phân từng phần ĐS I = /8

1/4.ln2 Bài 7: Tính tích phân

1

0

1

1

0

1

Bài 8: Tính tích phân

3

2 4

cos 1 cos









HD:

3

4

tan cos tan 1

x









Bài 9 :Tính tích phân :

2

x

x





Đặtt x1t2  x 1 x t2 1 dx2tdt

x  t x  t

2

1

3 2

0

Bài 10:Tính tích phân : 2

0

sin 2 sin

1 3cos

x









– 2005)

2

2

2

2 cos 1 sin 2sin cos sin

tdt

t







2 1

34 27









Bài 11 : Tính tích phân : 2

0

sin 2 cos 4sin

x









học khối A – 2006)

2 2 2 2

2

2

3

2 2

3

tdt

tdt

t



 

 

MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN KHÓ

THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ THI

Đổi biến ( ; ; ; 2 )

4 2

Ví dụ: Tính các tích phân sau

4

2

0

2

0 2 0 2

sin

2

x









  





Kết hợp với tích phân ban đầu ta có

2

os sin





4

4 0

0 4

0 0 4

) ln(1 tan )

4

1 tan

2

t

t

t















  

  









2

2

0

0

0 0

sin

1 os

ost 2

















  

  





2

3

0

3

0

2

sin

3

t

















  



Bài tập tương tự:

3 1) sin KQ: 2) sin os KQ:





Đổi biến xt

2

sin

)

3x 1

x











 Đặt x = t  dx =  dt

x =    t =  , x =   t =  

Kết hợp với tích phân ban đầu ta có

x



1 4 1

2x 1

x











  

  



4 1

1 1

2

x





1 2 1

sinx

1 sin(-t) s in(t)

0

x







 

  





4

2 4

2

4 4

4 4

4 4

os

os





 

 















  

  





Bài tập tương tự

2

Giải nhanh ?

sin

cos

x

x



  Đặt: t = cosx I =

-2 2 1

dt t

 =12Ln2

 I=

2 2

0 1

x dx x



 Đặt: t = 31 x 3  I=

2

0

8

 I=

4 1

x

x

 . Đặt: t = x  x t2 Vậy:I = 2e(e-1)

 I=

1 (1 ln )

e dx

 = ln2 Đặt: t = 1+lnx

sin cosx xdx sin (1 sinx x) cosxdx

 I=

1 2

dx

x 

 Đặt: t = x+ x  2 4

0

a dx

 4a Đặt: x= atant (

2 t 2

  )

 I=2

2 2 0

a

dx

 Đặt:x= asint (-2 t 2)  dx a costdt

 I=

1 3

0( 1)

xdx

x 

 Đặt t = x + 1  x = t – 1.

 I=

2

dx

 Nhân chia lượng liên hiệp.

109 bài tự luyện

Không có bài nào khó.

Chỉ sợ mình không làm.

1)

1

3

2

0 4 

2sin , 1/ 4 3



2)

2

2

1 3 6 1

(đặt 3x1 2sin ,t DS/ 3 3);

3)

6

2

x x dx (

2 3, /12 3

4)

9

4



5)

3

2

3

( 3 / 36)



6)

6

2

2

1

 x x dx (đặt x=cost,8/15);

7)

2

0

;

8)

4

1

(  , 2 ( 1)



x

x

e

9)

8 3

1

5

10)

4

1

ln

( 1/ 5)



e x

dx DS

11)

2

2

0

( / 8)

12)

0

( 141/ 20) 1

13)

2

3

2

2

0

( 2 / 3 5 2 /12)

;

14)

2

2

2

1

( sin ,1 / 4)



15)

1

0

1

2

( 1:C xsin , 2 :t C t 1 x , 2 /15)

16)

3

2

0

( tan ,1/16)

17)

2 0

3

2 4

 





18)

2

2 2

2 3



19)

2

0

4 ( 2sin , )

20)

1 2 2 0

( 2cos , / 3 3 / 2)

21)

2 2 2 2 0

( sin ,1/ 2( / 4 1/ 2)

1

6

0

1 ( 1/ 168)

23)

7 3

3 3

0

1 ( 3 1, 46 /15);





24)

1

5 2 0

( tan ,5 2 /12) 1





25)

4 0

1 ( 2 1, 4 / 3);





1

3 2 0

1 ( sin );

27)

2

0

6

28)

 

 

2

ln 2

2 0

3 1 1,ln



dx

29)

1

2 2 1

1

1







30) 1   0

1



 x x dx x (nhân liên hợp);

31) 3

0

sin cos 4cos sin





3/10);

32) 2

0

sin cos

3

3 sin 2





3 2 0

4sin

cos , 2

1 cos







34)

2

4

4

; c otx,

3 sin sin sin







3 2 2 6

cos

sinx,1/ 2 sin







36)

3 2

2 0

cos ,

2

1 cos







37) 2

0

sin cos 3sin 4cos





 x x xdx x(hạ bậc,

1ln4

2 3);

38) 4

0

sin 4





 x xdx x (ĐS 2ln4/3);

39)

0 2

cos







0

1 cos 2cos , 1



41) 4

0

cos 2 1ln 3

1 2sin 2 4



4 2 0

1 sin 2

1 ln 2 cos







43)

2

6

47

180







44)

4 cos 2 0

1

2



45)

2 2

0

18

3 cos







 

46) 2

0

12

7 cos 2







3

2

0



48)

2

0

sin

,



49

2

4

0

1 sin 2 , ln 2



 

50)

2

0

1 3cos ,

27

1 3cos



;

51)2

0

sin 2 cos

1 cos





 x x x dx(t = 1+cosx,

2ln21)

52) 2

0

3 cos 4sin





;

53)

3

2

0

3 sin tan x cos ,ln 2

8



0

1 cos sin cos





61 cos3 ,12

91

55)

4

0

sin

4 sin 2 2 1 sin cos





;

4 3 2 sin cos ,

4

56)

 

4

6

0

t anx, ln 2 3



57)

2

2 0





0





59)

3

6

,

1 t anx





60)

2

2

0





61)

1

1

16



e

0

,1/ 2



63)

1

0

3

4

; 64)

2 1

2 1 ln ln ,ln 4 1/ 2

0





66)

2 2 0





67) 3  

2 6

ln sin cos





 x x dx ; (u = ln(sinx);

3 , 3 ln

6



dx dv

x

68)

2 1

1

2

 

69) 4 2 

0

t anx+tan



(tách, u=tanx, dv=exdx) ;

1 2 0

71) 2

0

sin cos 2



tổng, tích phân từng phần, 5

9

 );

72) 2

01 sin 2





 xdx x Cách 1: Đặt

2



Cách 2: Biến đổi 1+sin2x=1+cos(2x

2

 ) =2cos2(x

4

 ), tích phân từng phần;

73)

3

2

74)

2 1

1 ln





e x

xdx

x (tách, tích phân

từng phần, ĐS 2 3

4



75) 2 1

ln



e

(u=lnx, dv=x2dx, ĐS (2e3+1)/9); 76)  

2 1

2 ln



(u=lnx, dv= , 5 2ln 2

77) 3 2 1

ln



e

32



78)

2 3 1

ln

x x dx ( u=lnx, dv= ,

3 2ln 2 8

 );

1 3 0

x e dx (t=x x 2, ĐS 1/2) ; 80)  

1

2 0

2



2

5 3 4

 e );

81)  

2

2 0

2 1 cos





phân từng phần, 2 2 4

8

   );

82)   1 0

4



0

8

4







2 cos 0





85)

ln 8

2

ln 3

1076

15

86)2 sin 

0

cos cos





4

 ) 87)

4

0



;

2 2 0

1



2 3 0

5 / 2



4 2 0

6 49 / 3

 

91) Cho P x asin 2x b cos 2x

Tìm

,

a b biết rằng:

2

2



 

 

b

a

(Đáp số a b 1)

100)

1

0

2

15

;

101)

1

135



x

102)

3

2

1

ln 1, 15

ln 1



103)

1

3

1 2ln



104)

ln 5

ln 3

3 ,ln 2

2  3



105)

ln 3

3

0

1, 2 1 1





x

x x

106)

ln 5 2

ln 2

20 1, 3 1





x

x x

e dx

107)

2

0

4

3

4 1 ln 2 ln 3

2



x

x

108)

3

3

1

1 1 3

109)

2

4

sin cos

3 sin 2









 x x x dx (t = sinxcosx,

6

 )