CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN-BÀI GIẢNG TÍCH PHÂN

” Lỗ Tấn -Viết một cuốn tμi liệu rất khó, để viết cho hay cho tâm đắc lại đòi hỏi cả một đẳng cấp thực sự!. Cũng may tôi không có tư tưởng lớn của một nhμ viết sách, cũng không hy vọn

Së GD & §t nghÖ an

Tr−êng THPT §Æng thóc høa

sin4x + cos2x

dx sin x + cos x

tÝch ph©n

x +1 - x -1

N¨m häc : 2007 - 2008

12 2007 bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Tr ường THPT Đặng Thúc Hứa

“ Thực ra trên mặt đất lμm gì có đường, người ta đi lắm thì thμnh đường thôi ! ”

Lỗ Tấn

-Viết một cuốn tμi liệu rất khó, để viết cho hay cho tâm đắc lại đòi hỏi cả một đẳng cấp thực sự ! Cũng may tôi không có tư tưởng lớn của một nhμ viết sách, cũng không hy vọng ở một điều gì đó lớn lao vì tôi biết năng lực về môn Toán lμ có hạn Khi tôi có ý tưởng viết ra những điều tôi gom nhặt được tôi chỉ mong sao qua từng ngμy mình sẽ lĩnh hội sâu hơn về môn Toán sơ cấp qua từng tiết học những học trò của tôi bớt băn khoăn, ngơ ngác hơn Vμ nếu còn ai đọc bμi viết nμy nghĩa lμ đâu đó tôi đang có những người thầy, người bạn cùng chung một niềm đam mê sự diệu kì Toán học

Thử giải một bμi toán khó… nhưng chưa thật hμi lòng !

x +1 - x - 1

dx 1

x + 1 2 x + 1 - 2x

x +1 x - 2x +1 + 2 - 1 x x - 1 x - 2x + 1 + 2 +1 x

2 x +1 - 2x 2 x +1 - 2x

2 x + 2x +1 2 x - 2x + 1 x + 2x +1 2 x + 2x +1 2 x - 2x +1 x + 2x + 1

2

1

1+

2 1

x - + 2 + 2

x

⎢⎜⎝ ⎟⎠ ⎥ ⎢⎜⎝ ⎟⎠ ⎥

1 1+ dx

+

x - + 2 - 2 x - + 2 + 2

2

1

1

2 1

x + - 2 - 2 x

⎢⎜⎝ ⎟⎠ ⎥ ⎢⎜⎝ ⎟⎠ ⎥

1

1 - dx

+

x + - 2 + 2 x + - 2 - 2

1

d x

=

2 1

x - + 2 + 2

x

⎢ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎥ ⎢ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎥

x - + 2 - 2 x - + 2 + 2

1

d x +

+

2 1

x + - 2 - 2 x

x + - 2 + 2 x + - 2 - 2

x + - 2 - 2 x + - 2 + 2

2 + 2 2 - 2 2 - 2 x 2 + 2 x

8 8 16 x + + 2 - 2 16 x + + 2 + 2

( Với x - 1 = 2 + 2tgu = 2 - 2tgv

12

2007

bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Tr −ờng THPT Đặng Thúc Hứa

ầ 0974.337.449 _ Tháng 12 – năm 2007 _ Trang 2

Phần lý thuyết

Định nghĩa : Giả sử f(x) l μ một hμm số liên tục trên một khoảng K, a vμ b lμ hai phần tử bất kì của K, F(x) lμ một nguyên hμm của f(x) trên K Hiệu số F(b) - F(a) đ−ợc gọi lμ tích phân từ a đến b của f(x) vμ đ−ợc kí hiệu lμ

Ta dùng kí hiệu

( )

∫

b

a

a để chỉ hiệu số : F(b) – F(a) Công thức Newton – Laipnit : ∫b a f x dx = ( ) F x( ) b

a = F(b) – F(a)

Ví dụ : 1 2 3 ( 3 )

0

1

0

3

Chú ý : Tích phân chỉ phụ thuộc v μ f, a vμ b mμ không phụ thuộc vμo kí hiệu biến số tích phân Vì vậy ta

( )

∫b a f x dx

( )

∫

b

a

f x dx ∫b a f t dt =( ) ∫b a f u du ( )

Các tính chất của tích phân

1. a ( )

a

f x dx = 0

∫

2. b ( ) a ( )

f x dx = - f x dx

3. ∫b a⎡⎣αf x( )± βg x dx =( )⎤⎦ α∫b a f x dx( ) ± β∫b a g x dx( )

4. ∫c a f x dx = f x dx + f x dx( ) ∫b a ( ) ∫c b ( )

VD :

5. f(x) 0 trên đoạn [a ; b] ≥ ⇒ ∫b a f x dx( ) ≥ 0

6. f(x) g(x) trên đoạn [a ; b] ≥ ⇒ ∫b a f x dx( ) ≥ ∫b a g x dx ( )

VD : Chứng minh rằng : 2 2

sin2xdx 2 sinxdx

≤

7. m f(x) M trên đoạn [a ; b] ≤ ≤ ⇒m(b – a) = m dx ∫b a ≤ ∫b a f x dx( ) ≤ M dx = M(b – a) ∫b a

VD : Chứng minh rằng :

2

1

∫

x

[ ] 1;2 [ ] 1;2

5

Do đó :

∫

Phần phương pháp

Phương pháp đổi biến số : t = v(x)

VD Tính tích phân : 2

1

0

x

= +

∫

2 =

2

2

1

+

Quy trình giải toán ∫b a f x dx = g v( ) ∫b a ( ( )x )v'( )x d x

B ước 1 Đặt t = v(x) , v(x) có đạo hμm liên tục, đổi cận

B ước 2 Biểu thị f(x)dx theo t vμ dt : f(x)dx = g(t)dt

Bước 3 Tính ( )

( )

( )

∫

v b

v a

g t dt

Bμi tập rèn luyện phương pháp :

Tính các tích phân sau :

1

2

e

e

dx

x ln x

2

2 1

dx 2x 1ư

1 2 3 0

x dx

3 4 2

xdx

∫

5

2 3 4

dx sin x

π

π

1

0

dx 2x 1+ x 1+

4

1

dx

∫

Phương pháp đổi biến số : x = u(t)

1 2 0

1 x

2 2

π π

π

Vậy với x = sint thì x∈⎡ ⎤0;1 ⇒t 0;

2

π

⎡

∈ ⎢⎣ ⎦⎤⎥ vμ dx = costdt

Do đó :

π

=

=2

0

sinx

cosx

O

1

∫

Quy trình giải toán ∫b a f x dx( )

Bước 1 Đặt x = u(t), t∈ α β⎡⎣ ⎤⎦sao cho u(t) có đạo hμm liên tục trên đoạn ;; ⎡⎣α β⎤⎦, f(u(t)) được xác định trên đoạn

12

2007

bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Tr ường THPT Đặng Thúc Hứa

ầ 0974.337.449 _ Tháng 12 – năm 2007 _ Trang 4

B ước 2 Biểu thị f(x)dx theo t vμ dt : f(x)dx = g(t)dt

Bước 3 Tính β ( )

α

∫g t dt

Bμi tập rèn luyện phương pháp :

Tính các tích phân sau :

1

1 2 0

dx

1 x+

1 2 2 0

dx

1 xư

1 2 0

dx

4.

1

0

∫ 5

1

0

5 2 0

5 xdx

5 x

+

ư

Phương pháp đổi biến số : u(x) = g(x,t)

VD1 Tính tích phân : I =

1 2 0

1 x dx+

∫

1+ x = x - t 1 = -2xt t x

2t

ư

Khi x =0 thì t= -1, khi x=1 thì t= 1ư 2 vμ dx = t2 21

2t

1

ư

ư

=

∫ =

2

2

ư

4

π

∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦ Khi x=0 thì t=0, khi x=1 thì t π

( )

2

d sin t

cos t cos t cos t cos t cos t 1 sin t

ư

1 sin t 1 sin t

4 1 sin t 1 sin t 4 1 sin t 1 sin t

=

2

d sin t

π

=

∫

0

π

π

Bình luận : B μi toán nμy còn giải được bằng phương pháp tích phân từng phần Còn với 2 cách giảI trên rõ rμng khi bắt gặp cách 1) ta nghĩ rằng nó sẽ chứa đựng những phép tính toán phức tạp còn cách 2) sẽ chứa những phép tính toán đơn giản hơn Nhưng ngược lại sự suy đoán - cách 2) lại chứa những phép tính toán dμi dòng vμ nếu quả thật không khá tích phân thì chưa hẳn đã lμ được hoặc lμm được mμ lại dμi dòng hơn

VD2 Tính tích phân : I =

1 2 0

1 dx

1 x+

∫

Cách (1) Đặt 1+ x = x - t2 1 = -2xt t2 x t2 1

2t

ư

Khi x =0 thì t= -1, khi x=1 thì t= 1ư 2 vμ dx = t2 21

2t

2t t 1 1

+

1

ư

ư

4 π

∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦ Khi x=0 thì t=0, khi x=1 thì t π

Do đó :

cos t

( )

4

2 0

+

ư

Bμi tập rèn luyện phương pháp :

Tính các tích phân sau :

1

2 2 1

x ư1dx

2 1

x dx

x ư1

0 2 1

ư

∫

4.

1

2

2 0

dx

1+ x ư4x 3+

∫ 5

1

2 2

dx

ư

1

2 0

xdx

Chú ý : Khi đứng trước một bμi toán tích phân, không phải bμi toán nμo cũng xuất hiện nhân tử để chúng ta sử dụng

sẽ nói đến ở phần Phân Loại Các dạng Toán )

Phương pháp tích phân từng phần

Nếu u(x) vμ v(x) lμ hai hμm số có đạo hμm liên tục trên đoạn [a; b] thì :

( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( )

b

u x v' x dx = u x v x - v x u' x dx

a

hay

( ) ( ( ) ( ) ) ( )

b

u x dv = u x v x - v x du

a

VD1 Tính 2

0

x cos xdx

π

∫

Đặt ⎨ =⎧u=x , ta có : ⎧du dx=

⎨ =

12

2007

bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Tr ường THPT Đặng Thúc Hứa

0974.337.449 _ Tháng 12 – năm 2007 _ Trang 6

( )

Nhận xét : Một câu hỏi đặt ra lμ đặt ⎧u cosxdv= xdx có được không ?

⎩

Ta hãy thử :

2

2

0

x sin xdx

π

hãy xét một VD nữa để đi tìm câu trả lời vừa ý nhất !

VD2 Tính

2 5 1

ln x dx x

∫

1 u x

dv ln xdx

⎧ =

⎪

⎨

⎪ =

⎩

rõ rμng để tính v=∫ln xdx lμ một việc khó khăn !

Giải Đặt

5

u ln x 1

x

=

⎧⎪

⎨ =

1 du x

⎪⎪

⎨

Do đó :

dx

Nhận xét : Từ 2 VD trên ta có thể rút ra một nhận xét ( với những tích phân đơn giản ) : Việc lựa chọn u v μ dv

phải thoả mãn :

1 du đơn giản, v dễ tính

2 Tích phân sau ( ) ∫vdu phải đơn giản hơn tích phân cần tính( ) ∫udv Bμi tập rèn luyện phương pháp :

Tính các tích phân sau :

1

1

x

0

xe dx

1 3x 0

xe dx

0

x 1 cosxdx

π

ư

0

2 x sin3xdx

π

ư

∫ 5

1

2 x 0

x e dxư

∫

6

2

2

0

x sin xdx

π

2 x 0

e cosxdx

π

e

1

ln xdx

2

2x ln x 1 dxư

1

ln x dx

∫ Mỗi dạng toán chứa đựng những đặc thù riêng của nó !

Phần phân loại các dạng toán

ầ

Tích phân của các hμm hữu tỷ

A Dạng : I =∫ P x( ) dx (a≠0)

Công thức cần lưu ý : I dx ln ax b C

+

Tính I1= x 1+ dx

ư

x 1

Tính I 2= x2ư5dx

+

x 1

2x 3

=∫ +

Phương pháp : Thực hiện phép chia đa thức P(x) cho nhị thức : ax+b, đưa tích phân về dạng :

ax b

α

+

B Dạng : I ∫ 2 ( ) (a≠0)

P x

ax + bx + c

1. Tam thức : f x( )=ax2+bx c+ có hai nghiệm phân biệt

Công thức cần lưu ý : I ( )

( ) ( )

u' x

dx ln u x C

u x

2 dx

x 4

=∫ ư Cách 1 ( ph ương pháp hệ số bất định )

2

1 A

A B 0

2

⎧ =

⎪ + =

Do đó : I 22 dx

x 4

=∫ ư =1 1 dx

2 x 2∫ ư - 1 1 dx

2 x 2∫ + = 1ln x 2 C

+

Cách 2 ( phương pháp nhảy tầng lầu )

ư

< Tổng quát >Tính I 2 2dx

α

=

ư

∫

9 x

=

ư

x 1

+

=

ư

x 5x 6

=∫ ư +

x 3x 2

=

ư +

Phương pháp :

Khi bậc của đa thức P(x) <2 ta sử dụng phương pháp hệ số bất định hoặc phương pháp nhảy tầng lầu

12

2007

bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Tr ường THPT Đặng Thúc Hứa

0974.337.449 _ Tháng 12 – năm 2007 _ Trang 8

2. Tam thức : f x( )=ax2+bx c+ = α + β( x )2có nghiệm kép

Công thức cần lưu ý : I ( )

( ) ( )

2

2

d x 2

ư

4x 4x 1

=∫ ư +

Đặt : 2x – 1 = t

dt dx=

2 2x t 1

⎧⎪

⇒ ⎨

⎪ = +

⎩

, lúc đó ta có :

I 2 t 12 dx 2 dt 2 dt2 2ln t 2

+

= ∫ = ∫ + ∫ = ư +C

x 4x 4

ư

=

ư +

x 2x 1

= + +

Phương pháp : Để tránh phức tạp khi biến đổi ta thường đặt :α + β = ⇒ =x t x tư β

trên tử số

3. Tam thức : f x( )=ax2+bx c+ vô nghiệm

x 1

= +

cos

I

1

d d cos tg 1

α α +

∫ ∫ = α +C , với (tgα =x)

< Tổng quát > Tính I 21 2 dx

= +

a

cos

α α

x 2x 2

= + +

x 2x 5

+

=∫ + +

x 4

= +

x 9

= +

ầ

P x

ax + bx + cx + d

1. Đa thức : f x( )=ax3+bx2+ +cx dcó một nghiệm bội ba

Công thức cần lưu ý : I

ư

=

☺ Tính I

1 dx

x 1

=

ư

Nếu x > 1 , ta có : I

2 3

x 1

2

ư

ư

Nếu x < 1 , ta có : I

2 3

1 x

2

ư

ư

Vậy : I

1 dx

x 1

=

ư

1 C

2 x 1

ư

Chú ý : m

m

1

x , với x > 0 x

ư

=

Tính I

x dx

x 1

=

ư

Tính I

2 3

dx

x 1

ư

=

ư

Tính I

3 3

x dx

x 1

=

ư

Tính I

4 3

x dx

x 1

= +

2. Đa thức : f x( )=ax3+bx2+ +cx dcó hai nghiệm

☺ Tính I

x 1 x 1

=

Đặt : x + 1 = t , ta có : I

Cách 1 < Ph ương pháp nhảy tầng lầu >

Ta có :

Cách 2 < Ph ương pháp hệ số bất định >

2B 1

1 At B C

1 A C t 2A B t 2B 2A B 0

t 2t t t 2

A C 0

ư =

⎧

= + ⇒ ≡ + + ư + ư ⇒ ư⎨ + =

⎩

1 B 2 1 A 4 1 C 4

⎧ = ư

⎪

⎪

⎪

⇒⎨ = ư

⎪

⎪ =

⎪⎩