BÀI GIẢNG: TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Changngoc203@gmail.com oso Ta có sin 2xsinxsinx2 cosx1... Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Changngoc203@gmail.com 3sin... Giáo viên: Nguyễn Th

Trang 1

TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

Giáo viên giảng dạy: NGUYỄN THÀNH LONG

Email: Changngoc203@gmail.com Bỉm sơn: 16 – 02 – 2014

Trang 2

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Changngoc203@gmail.com

BÀI GIẢNG: TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI SỐ TRONG TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

Dạng 1: Tính tích phân dạng I fcosx.sin x dx





 đặt tcosxdt sindx

Bài tập giải mẫu:

2

2 0

sin cos 1 cos

x

t t

Trang 3

dx I

123

t x

312

Trang 4

oso

Ta có sin 2xsinxsinx2 cosx1

Đặt t 1 3cos x ta được 3sin sin 2

x

t t

Trang 5

x b x a

cos

sin2

sin

t x

2 2

Chú ý: dcosxd1 cos x và ta có thể đặt tcosx

Tổng quát: sin 2 cos

 ta đặt tbc.cosx hoặc tcosx

Bài 4: (Đề 68 IVa) Tính tích phân sau

3 2

4 sin

4 sin 4 sin cos 4 sin 2 sin 2

Trang 6

t x

2

1cos

1

dt dx

t t x t

Trang 7

3sin tan ln 2

Trang 8

HD:

sin 4 cos 1sin 3 3sin 4 sin

2 0

sin

12

sin 3xsin 3xsin 3x 1 sin 3 x sin 3 cos 3x x và đặt t 1 cos 3x

Bài 8: (ĐHDB – 2004) Tính tích phân sau:

2 cos 0

Sử dụng công thức nhân đôi sin 2x2 sin cosx x và đặt tcosx

Bài 9: (ĐHDB – 2005) Tính tích phân sau:  

1 4

Tách ra thành tổng hai tích phân đơn giản

Bài 10: (ĐH – D 2005) Tính tích phân sau: 2 sin 

Tách ra thành tổng hai tích phân đơn giản

Bài 11: (TN – 2005) Tính tích phân sau:

2

2 0

Trang 9

Bài 13: (HVKTQS – 1996) Tính tích phân sau: 4 3 4 2 

Phân tích 1 cos 2x2 sin 2x từ đó đặt tsinx

Bài 15: Tính tích phân sau

2

2 0

  và đặt t 3 cos 2x hoặc tcos 2x

Dạng 2: Tính tích phân dạng sin .cos

 ta đổi biến bằng cách đặt t cd.cosx

Bài 1: (ĐH – B 2003) Tính tích phân sau

2 4

t x

Trang 10

Hoặc đặt t sinxcosx

Bài 2: Tính tích phân sau  

3

0 2

2cos2cos



dx x

x I

Giải:

Đặt tsinxdt cosxdx

Đổi cận

00

3

t x

2 3

12

32

cos2cos

t

dt t

dt dx

x

x I

x u thì bài toán sẽ nhanh hơn

Bài 3: Tính tích phân sau cos 3

Trang 11

Đổi cận

0

012

x

t t

Bài tập tự giải và có hướng dẫn

Bài 1: (Bộ đề 96) Tính tích phân sau

2cos 2x 3 2 sin x và đặt tsinx

Bài 2: (CĐ Kĩ thuật Cao Thắng – 2006) Tính tích phân sau

2

3 2 0

15sin 2 1 sin

sin 2x 1 sin x 2 sinx 1 sin x cosx và đặt tsinx

cos2

Trang 12

Bài 7: (ĐH BCVT – 1997) Tính tích phân sau:

3 2

2 0

ln9

6 5 sin sin

xdx I

cos

11 7 sin cos

xdx I

sin sin 2cos

b a

sin sin 2

sin 2cos

2

2 0

x

t t

Trang 13

Đặt t 1 cos2xdt 2 sin cosx xdx sin 2xdx và

x

t t

Trang 14

10

t x

Trang 15

t a x

2 2

b b

a a

Bài tập tự giải có hướng dẫn:

Bài 1: (ĐHNT – 2001) Tính tích phân sau

1 sin 24

Trang 16

4sin 2

dx I

4

01 tan

dx I

x

t t

Trang 17

4

sincos tan 2 tan 5

x

t t x

1cos

Trang 18

Đổi cận

0

014

x

t t

1 sin cos sin 1 tan 1

cos cos cos cos cos cos

0

014

x

t t

Trang 19

4 3 0tan

x

t t

dx

x I

t x

2

2 sin cos

1

dt dx t

Bài 1: Tính tích phân sau 4 2

2 0

3cos

Trang 20

3 4

2

0

sintan 1 cos

1 tancos 2

1 tan

x x

0

tancos 2

1 tancos 2

1 tan

x x

Trang 21

1sin 2 cos

sinx2 cosx cos x tanx2 và đặt ttanx 2

Bài 8: (ĐH Y HN – 1999) Tính tích phân sau

4 3

ln 3sin

2

dx I

x d

Phân tích cos 2 1 2 cos 2 sin 2  2 cos 2 sin 2 

Trang 22

Bài 1: (KTQS – 1997) Tính tích phân sau:

3 2

3 3

sin sin

cotsin

133

t x

323

t x

Trang 23

2 4 4

43sin

dx I

sin x  sin x sin x sin x  x và đặt tcotx

2 2 4

3cot 1sin

HD: Đặt t 3cotx1 hoặc t3 cotx1

Bài 3: Tính tích phân sau:

4 2 6

1sin cot

Phân tích sin2 x9 cos2x9 cot2x1 sin 2 x và đặt tcotx

cot 2 2 4

1sin

Trang 24

Dạng 6: Tính tích phân dạng I f sinx cosx  sinx cosx dx

   đặt usinxcosxdusinxcosx dx

4

3 0

Trang 25

2 3 3

sin cossin cos

Đặt t 3sinxcosx hoặc tsinxcosx hoặc biến đổi vi phân

Bài 2: (ĐHTCKT – 1999) Tính tích phân sau

3 sin 2 x4 sinxcosx và đặt tsinxcosx

2

4

ln 22

Trang 26

2

1 sin 2 cos 2 1 sin 2 cos 2

sin cos cos sin

Hoặc 1 sin 2 xcos 2x 1 2 sin cosx x2 cos2 x 1 2 cosxsinxcosx

Bài 5: (ĐH – B 2008) Tính tích phân sau

sin 2 2 1 sin cos sin 2 1 2 sin cos 1

1 sin 2 x  sinxcosx sinxcosx

PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN ĐỐI VỚI HÀM LƯỢNG GIÁC VÀ

NHỮNG HÀM LIÊN QUAN TỚI LƯỢNG GIÁC

Một số dạng thường gặp

Dạng 1: Tính tích phân:  

2cos

 

2

1sin

Trang 27

cos1sin

1sin

dx I

x dx I

Trang 28

x dx

1

0sin

sincos

Trang 29

coscos cos

3 sin lnx dx x.sin lnx coslnx dx 0 I

I

e e e

Trang 30

Bài 1: (CĐSP Vĩnh Phúc – 2007) Tính tích phân sau  

4

2 1

1sin

2ln

2 0

Trang 31

Bài 5: (CĐ Kinh Tế Kỹ Thuật I – 2005) Tính tích phân sau

3

3 0

2 0

3 2sin 3

1tan tan1 ln cos1

2

b (ĐHBKHN – 1994)

2 2

2 0

1cos

2 0

(sin cos 1)(1 cos )

sin

ln tancos

Trang 32

Đặt tan x sau đó sử dụng tích phân từng phần t

Đặt tan xt sau đó sử dụng tích phân từng phần

Bài 17: (NN I – B 1998) Tính tích phân sau: 2  

2 0

3 2sin 3

2 0

u x

x dv

2 0

Trang 33

Bài 26: (HVKHQS – 1999) Tính tích phân sau  

PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN LIÊN KẾT ĐỐI VỚI HÀM LƯỢNG GIÁC

Bài 1: (ĐHH – 2000) Tính tích phân sau

6 2

0

sinsin cos

t x

0

sinsin cos

t x

Trang 34

Đổi cận

02

t x

0

cos

4sin cos

t x

Trang 35

4

3 0

2sin cos

4 cossin cos

0

8sin 3 cos

0

cossin 3 cos

5 cos 4 sin 1

2cos sin

5 sin 4 coscos sin



 

Trang 36

3 6

0

cossin cos

2001 2001 0

PHƯƠNG PHÁP CẬN TRUNG GIAN ĐỐI VỚI TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

Bài 1: (ĐHTL – 1997) Tính tích phân sau

Trang 37

Bài 3: (ĐHMĐC – 2000) Tính các tích phân sau

n m

- Nếu mn là các số nguyên chẵn thì ta đặt t tanx hoặc tcotx

- Nếu m, n chẵn & âm, đặt ttan x

Các trường hợp đặc biệt

+ Rsin , cosx x Rsin , cosx x tức là R lẻ đối với sinx ta đặt tcosx

+ Rsin , cosx  x Rsin , cosx x tức là R lẻ đối với cosx ta đặt tsinx

+ Rsin , cosx  xRsin , cosx x tức là R lẻ đối với sinx và cosx ta đặt ttan x

Trang 38

t x

Trang 39

3 2 2 6

cossin

cossin , cos

212

x

t t x

x

t t

x

t t

1sin cos

sincos

Trang 40

136

t x

6

cossin

x dx x

126

t x

Trang 41

2

2 sin2

2sin



dx x

x I

Giải:

Nhận xét:

sin 2 2sin cos 2sin ( cos )

2 sin 2 sin 2 sin

Từ nhận xét đó giúp ta định hướng được phép biến đổi

Đặt tsinx, khi đó dtcosxdx

Đổi cận

0

012

x

t t

Trang 42

2 3 0sin

Trang 43

Ta biến đổi cos sin cos cos (1 sin )

sin ;cos sin cos

R x x  x x là lẻ đối với sin, ta đặt t = cosx và thực hiện đổi cận ta có tích

Bài 1: (HVKTMM – 1999) Tính tích phân sau

3 4 6sin cos

dx I

Trang 44

sincos

8 12sin

212

1cos

1

dt dx

t

t t x t

đưa về tích phân hàm hữu tỷ

Bài tập giải mẫu :

Trang 45

Bài 1: (ĐHLN – 2000) Tính tích phân sau

2

0cos sin 1

dx I

t x

x

t t

Trang 46

4 sin 3cos 5 4 sin 3cos 5 4 sin 3cos 5

- Sử dụng các công thức biến đổi tích thành tổng

a cos cos 1 cos  cos 

Bài 1: (ĐHBKHN – 1999) Tìm nguyên hàm sau I sin sin 2 cos 5x x xdx

3



Dạng 4: Tìm nguyên hàm của các hàm lượng giác bằng cách sử dụng các công thức lượng giác và các

phép biến đổi lượng giác

Trang 47

b cos 2x 1 2 sin2x2 cos2x 1 cos2xsin2 x

1

1 cotsin x  x e

sin xcos x1

Bài 1: (ĐHNT – 1997) Tìm nguyên hàm sau sin 3 sin 4

3sin 4 sin 6 3sin 2 3 sin 4 sin 2 sin 6 6 cos 3 sin 2sin 3 cos 3

2 cos 3 3sin sin 3 2 cos 3 4 sin

Trang 48

Bài tập có hướng dẫn giải:

Bài 1: (ĐHAN 1997) Tìm nguyên hàm:

Trang 49

a sin cos ln sin cos

cos 5 cos 3 2 cos 3 cos 2 sin 3 sin

Trang 50

sin

2sin

x x

Bài tập tự giải có hướng dẫn :

Trang 51

Bài 2: (CĐSPHN D – 2006) Tính tích phân sau

3

6

2

ln 23sin sin

3

dx I

Trang 52

ln6

cos12

x

x x

Bài 1: Tìm nguyên hàm tan tan

Trang 53

Trang 54

2

tan2

x d

dx I

Bài 1: Tìm nguyên hàm sau 8 cos

Trang 55

Biến đổi:

2

2 3 sin 2 cos 2 1 3 sin 2 (1 cos 2 ) 3sin 2 3 sin cos cos

Trang 56

sin cos sin cos

Trang 57

2sin1tan

cos

1

t x

t

t x t

Biến đổi: a1sinxb1cosxc1  A a 2sinxb2cosxc2B a 2cosxb2sinx c

Sau đó đưa về dạng quen thuộc để giải

Trang 58

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Changngoc203@gmail.com Bài tập giải mẫu:

Bài 1: Tìm nguyên hàm 5sin

sin3cos45

cos3

sin

4

6cos7

C x

x

x x

B A x

x

x x

Trang 59

Đưa về dạng quen thuộc để giải

Bài 1: Tìm nguyên hàm

24sin 1

( sin cos )( 3 sin cos ) (sin cos )

x dx

Trang 60

( 3 BC) cos x(B 3 )sin cosA x x A C sin x

14

3

40

14

Dạng quen thuộc giải được

3sin 2 sin cos cos

dx I

Trang 61

Ta phân tích:

1( 1)3

Bài 1: Tìm nguyên hàm sin cos2 2

Trang 62

Dạng 12: Tìm nguyên hàm:

sin cos

dx I

Sau đó thực hiện tính nguyên hàm bằng các biểu thức đại số

2 sin cos 1

dx I

22

x tg



 



Trang 63

1sin cos

Trang 64

Bài 3: Tính tích phân sau sin 3

x dx I

sin 1 (sin cos ) (sin cos )

Trang 65

Bài 9: (ĐHGTVT – 2001) Tính tích phân sau

2

3 0

5 cos 4 sin 1

2cos sin

3 2

cos 2cos 3 sin

Trang 66

3 2

cos 2cos 3 sin

Trang 67

Góp ý theo địa chỉ Changngoc203@gmail.com hoặc địa chỉ: fb

https://www.facebook.com/trithuc.viet.37

MỤC LỤC

PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI SỐ TRONG TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

Dạng 1: ……… Trang 1 → trang 9 Dạng 2: ………Trang 9 → trang 12 Dạng 3: ………Trang 12 → trang

PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN ĐỐI VỚI HÀM LƯỢNG GIÁC VÀ NHỮNG HÀM

LIÊN QUAN TỚI LƯỢNG GIÁC

Dạng 4: ……… Trang 49 → trang 53

MỘT SÔ DẠNG ĐẶC BIỆT CỦA TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

……….Trang 53 → trang 71

Tiêu đề	Tích Phân Hàm Lượng Giác
Tác giả	Nguyễn Thành Long
Trường học	Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Bài giảng
Năm xuất bản	2014
Thành phố	Bỉm sơn

Định dạng
Số trang	67
Dung lượng	0,92 MB