TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC1.. Nguyên hàm của hàm số lượng giác 1.1 Nguyên hàm của hàm số lượng giác suy trực tiếp từ đổi biến số cơ bản Bài 1... Một số tích phân xác định cho hàm lư
Trang 1VẤN ĐỀ 2 TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1 Nguyên hàm của hàm số lượng giác
1.1 Nguyên hàm của hàm số lượng giác suy trực tiếp từ đổi biến số cơ bản
Bài 1 Tìm nguyên hàm của hàm số f x( ) sin 3xcosx
Ta có:
4
4
x
f x dx x xdx xd x C
Bài 2 Tìm họ nguyên hàm của f x( )tgx
xdx d x
Bài 3 Tìm họ nguyên hàm của hàm số cos sin cos
( )
2 sin
x x x
f x
x
( )
x x x x x x x
Bài 4 Tìm họ nguyên hàm của hàm số sin 3 sin 4
( )
cot 2
x x
f x
tgx g x
Ta có:
( )
cot 2
tgx g x
x x xdx x x xdx x x x x dx
Bài 5 Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x( ) (sin 4xcos4x)(sin6xcos )6x
f x x x x x
2
2
Bài 6 Tìm họ nguyên hàm của hàm số 1 4
( ) cos sin
f x
x x
f x dx
3
ln
x
C
Bài 7 Tìm họ nguyên hàm của hàm số: g x( ) sin sin 2 sin 5 x x x
Bài 8 Tìm họ nguyên hàm của hàm số cos3
( ) sin
x
f x
x
Bài 9 Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x( ) cos3 x tgx
Bài 10 Tìm họ nguyên hàm của hàm số ( ) sin (2 sin 2 )
4
f x x x
Trang 2Bài 11 Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x( ) cos 3xsin8x
Bài 12 Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x( ) sin 3xcos3xcos3xsin 3x
Bài 13 Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x( ) sin 4x
Bài 14 Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x( )tg x4
Bài 15 Tìm họ nguyên hàm của hàm số sin cos
( )
x x
f x
x x
(ĐS: ln | sinxcos |x C)
Bài 16 Tìm họ nguyên hàm của hàm số cos 2
( )
x
f x
x x
(Đs: sinxcosx C )
Bài 17 Tìm họ nguyên hàm của hàm số sin
( )
1 sin 2
x
f x
x
( )
4
f x
Đặt
t x x t dx dt Vậy:
2
( )
t
f x
t
( )
ln
t
C
8
x
C
Bài 18 Tìm họ nguyên hàm của hàm số
1 ( )
cos cos
4
f x
x x
x
f x
x x x x x x x tgx
Bài 19 Tìm họ nguyên hàm của hàm số
2
cos ( )
x
f x
Ta có:
2
( )
3
f x
, từ đó tìm nguyên hàm
Bài 20 Tìm họ nguyên hàm của hàm số 1
( ) sin 2 2sin
f x
x x
( )
f x
Bài 21 Tìm họ nguyên hàm của hàm số
3
sin ( )
3sin 4 sin 6 3sin 2
x
f x
Ta có: 3sin 4x sin 6x 3sin 2x2cos3 (3sinx x sin 3 )x
Trang 3Bài 22 Tìm họ nguyên hàm của hàm số sin( 2 )
cos
x
f x
x
là số cho trước)
Bài 23 Tìm họ nguyên hàm của hàm số 1
( )
f x
x x
Bài 24 Tìm họ nguyên hàm của hàm số 1 3
( ) sin cos
f x
x x
1.2 Hàm lượng giác với mẫu số là biểu thức thuần nhất của sin:
(sin )n
dx x
Bài 1 Tìm nguyên hàm của 1
( ) sin
f x
x
dx xdx d x x
1.3 Hàm lượng giác với mẫu số là biểu thức thuần nhất của cos:
(cos )n
dx x
Bài 1 Tìm họ nguyên hàm của 1
( ) cos
f x
x
f x dx x x x C
dx
a x b x x c x
( )
f x
( )
f x
x tg x tgx
Vậy
tgx
f x dx C
tgx
Bài 2 Tính các nguyên hàm sau:
,
1.5 Dạng
dx
a x b x c
x x tg tg
Trang 42 2 2
C
Bài 2 Tìm họ nguyên hàm của hàm số 1
( )
f x
x x
Bài 3 Tìm họ nguyên hàm của hàm số 1
( )
f x
x x
1.6 Tích phân dạng liên kết:
Cần tính 1 cos
xdx E
a x b x
, xét tích phân liên kết 1 sin
xdx E
a x b x
Bài 1 Tính 1 sin
xdx I
x x
Bài 2 Tính 1 sin 3
2cos3 5sin 3
xdx I
x x
Bài 3 Tính
4
sin
xdx I
x x
(cos sin )
xdx I
x x
Trang 52 Một số tích phân xác định cho hàm lượng giác
Bài 1 Tính
/ 2
0
cos
7 cos 2
x
x
Ta có
I
Bài 2 Tính
/ 2
0
sin 2 sin
1 3cos
x x
x
Ta có:
(cos )
0
1
27
1 3
t
dt
t
Bài 3 Tính I 1 sinxdx
Ta có:
2
Bài 4 Tính
/ 2
/ 2
| sin |
I x dx
(Đáp số I 2)
Bài 5 Tính
/ 4
/ 4
| sin 2 |
I x dx
(đáp số I 1)
Bài 6 Tính
/ 3
/ 6
I tg x g x dx
/ 3
/ 6
3
2
I tgx gx dx
Bài 7 Tính
0
1 cos 2
(Hướng dẫn
0
I x dx
Bài 8 Tính
0
| cos | sin (
I x xdx
3
I )
Bài 9 Tính
2
0
1 sin
(Hướng dẫn
2
0
x
Bài 10 Tính
/ 2
3 / 2
I x x xdx
5
I )
Bài 11 Tính
/ 2
0
cos
2 cos 2
xdx I
x
/ 2
2 0
(sin )
3 2sin
d x I
x
Bài 12 Tính
/ 2
/ 4
3 sin 2
x x
x
/ 2
2 / 4
(sin cos )
6
d x x I
x x
Bài 13 Tính tích phân
2
2
I x xdx t tdt
, tích phân từn phần kết quả 22 8
Trang 6Bài 14 Tích phân
/ 2 4 0
cos
I xdx
(hạ bậc, kết quả 3
16
I )
Bài 15 Tích phân
/ 4 4 0
3
16
I xdx I
Bài 16 Tính
/ 2 2 0
4
I xdx I
Bài 17 Tính
/ 2
0
I x xdx
32
I
Bài 18 Tính
/ 2 3 0
sin
I xdx
2
3
I x xdx x d x
Bài 19 Tính 11
0
sin
I xdx
616
693
I x xdx x d x
Bài 20 Tính
/ 2
0
4
3
I x x dx I
Bài 21 Tính
/ 2
0
I x xdx
Bài 22 Tính
6 / 4
sin cos
x
x
x dx
I tg x tg x d tgx
x x x
Bài 23 Tính
/ 2 4 / 4sin
dx I
x
(Ta có:
2
3
dx
x x
Bài 24 Tính
/ 4 4 0
4
3 cos
dx
x
Bài 25 Tính
/ 2
/ 4sin cos
dx I
x x
/ 6
sin cos
x x
x x
Bài 26 Tính
/ 6
cos sin
x
x
ln 2 ) 2
I
Bài 27 Tính
/ 3
3 / 6cos sin
dx I
x x
3 / 6
ln 3 3 cos sin
x
x
x x
Bài 28 Tính
/ 3 3
0 cos
dx I
x
(Ta có
/ 3 2 0
4
x x
Bài 29 Tính
/ 2
0
sin 2 (1 sin )
I x x dx
/ 2
0
15
14
Bài 30 Tính
/ 2
2 0
sin cos (1 cos )
I x x x dx
/ 2
2 0
17 cos (1 cos ) (cos )
12
Trang 7Bài 31 Tính
/ 4
3 0
cos 2
xdx I
x x
Ta có
/ 4
3 0
9
x x d x x I
x x
Bài 32
/ 4
0 1 cos 2
x
x
(tích phân từng phần, đáp số là 1
ln 2
Bài 33 Tính
/ 4
2 0
sin 4
1 cos
x
x
Bài 34 Tính
/ 3
/ 6sin sin
6
dx I
x x
(Hãy thử suy nghĩ xem tính như thế nào?)
Bài 35 Tính
0
4sin
1 cos
x
x
(đáp số là 2)
Bài 36 Tính
/ 3 4 / 6sin cos
dx I
x x
I
Bài 37 Tính
/ 4
dx I
x x x x
(Chia cả tử và mẫu cho cos x2 ta được:
1
0
dx
x I
tg x tgx tg x tgx t t t t
Bài tập 38 Tính
/ 2
dx I
x x
x
t tg I )
Các bài tập tự làm:
a)
/ 2
0
cos
x
I dx I
x
b)
2 0
sin
2
1 cos
x
I dx I
x
c)
/ 2
2 / 3
27
xdx
x
d)
0
x
I dx I
x
e)
/ 2
2 0
x
f)
/ 2
2 0
3
xdx
x x
g)
/ 2
0
sin 3
x
I dx I
x
h)
/ 2 2 0
18
x
I dx I
x
i)
/ 2
2 0
cos
4
xdx
x
j)
/ 2
2 0
4sin
xdx
x x
k)
2 0
2 2
1 cos
x x
x
l)
/ 4
0
x
I dx I
x