VÏ KH vu«ng gãc víi tiÕp tuyÕn Bx cña ®êng trßn... §iÓm cña toµn bµi thi kh«ng lµm trßn..[r]
Trang 1Phòng GD&ĐT Hải Hậu kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp huyện
-* - Năm Học: 2008 - 2009
Môn Toán lớp 9
Thời gian làm bài : 150 phút
(không kể thời gian giao đề)
Đề bài
Bài 1 (5 điểm) Cho biểu thức
A = 2√a −9
a− 5√a+6 −
√a+3
√a− 2 −
2√a+1
3 −√a với a ≥ 0 , a ≠ 4 , a ≠ 9 .
a, Rút gọn biểu thức A.
b, Tìm giá trị của a để A< 1.
c, Tìm giá trị nguyên của a để A có gía trị là một số nguyên.
Bài 2 (4 điểm) Cho hệ phơng trình
¿
ax − 2 y =a
−2 x+ y=a+1
¿ {
¿
a, Giải hệ phơng trình khi a=√2 .
b, Tìm a để hệ có nghiệm thoả mãn x − y=1 .
Bài 3 (3 điểm) Cho bốn số thực a , b , c , d thoả mãn đồng thời:
a+b +c +d=7 và a2
+b2 +c2 +d2 =13 Hỏi a có thể nhận giá trị lớn nhất là bao nhiêu?
Bài 4 (4 điểm) Từ điểm K bất kì trên đờng tròn tâm O đờng kính AB =
2R Vẽ KH vuông góc với tiếp tuyến Bx của đờng tròn Giả sử góc KAB bằng α độ ( 0 < α < 90 )
a, Tính KA, KB, KH theo R và α .
b, Tính KH theo R và 2 α .
c, Chứng minh rằng: cos 2 α = 1 – 2sin2 α
cos 2 α = 2 cos2 α - 1
Bài 5 (4 điểm)Cho đờng tròn tâm O bán kính R, A là điểm cố định trên
đờng tròn Vẽ tiếp tuyến Ax, lấy điểm M bất kì trên Ax, vẽ tiếp tuyến thứ hai MB với đờng tròn (B là tiếp điểm) Gọi I là trung điểm của MA,
BI cắt đờng tròn ở K, tia MK cắt đờng tròn ở C Chứng minh rằng:
a, Tam giác MIK đồng dạng với tam giác BIM.
b, BC song song với MA.
c, Khi điểm M di động trên Ax thì trực tâm H của tam giác MAB thuộc đờng tròn cố định.
======================================
Họ và tên thí sinh:
Số báo danh:
Phòng GD&ĐT Hải Hậu hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi
cấp huyện
-* - Năm Học 2008 - 2009
Môn Toán lớp 9
Bài 1( 5 điểm )
a, ( 2 điểm )
Trang 2A = 2√a − 9−(√a+3)(√a − 3)+(2√a+1)(√a− 2)
(√a− 2)(√a− 3) = 2√a − 9− a+9+2a+√a −4√a− 2
(√a − 2)(√a − 3)
0,5đ
= a−√a −2
(√a −2)(√a −3)
0,25đ
= (√a+1)(√a− 2)
(√a −2)(√a −3)
0,5đ
= √a+1
√a − 3
0,25đ
b, (1 điểm)
Với a 0 và a 4 ; a 9 thì
A < 1 ⇔ √a+1
√a − 3 < 1 ⇔ √a+1−√a+3
√a− 3 <0 ⇔ 4
√a − 3 < 0
0,5đ
Kết hợp với điều kiện ta có 0 ≤ a<9 và a 4 0,25đ
c, (2 điểm)
Ta có A = 1+ 4
√a − 3
0,5đ
Với a nguyên, a 0 và a 4 ; a 9 thì A có giá trị nguyên khi
và chỉ khi √a −3 là ớc của 4
0,25đ
Do đó √a −3 nhận các giá trị ±1 ; ± 2 ; ± 4 ±1 ; 0,5đ
Từ đó a nhận giá trị : 1; 4; 16; 25; 49 0,5đ
Vì a 4 nên a nhận các giá trị 1; 16; 25; 49 0,25đ
Bài 2 (4 điểm)
a, (2 điểm)
Thay a = √2 vào hệ phơng trình đợc:
¿
√2 x −2 y=√2
−2 x+ y=√2+1
¿ {
¿
0,25đ
¿
√2 x − 2 y =√2
− 4 x+2 y =2√2+2
¿ {
¿
0,25đ
¿
(√2− 4) x=3√2+ 2
√2 x −2 y=√2
¿ {
¿
0,25đ
Tìm đợc x=3√2+2
√2 − 4
0,5đ
Tìm đợc y=2+3√2
√2− 4
0,5đ
b, (2 điểm)
Từ x – y = 1 ⇒ y = x – 1 thay vào hệ PT đợc
¿
ax − 2(x − 1)=a
−2 x+(x − 1)=a+1
¿ {
¿
0,25đ
Trang 3(a −2) x=a −2
− x=a+2
¿ {
¿
⇒ a2 + a - 6 = 0
0,5đ
Bài 3 (3 điểm)
Từ a +b+c+d = 7 ⇒ b+c+d = 7 – a 0,25đ
(b+c+d)2 = b2 + c2 + d2 + 2bc +2cd + 2bd 0,25đ
mà (b – c )2 0 ; (c - d )2 0 ;(d - b )2 0 ;
⇒ b2 + c2 2bc; c2 + d2 2cd; d2 + b2 2bd;
0,75đ
Từ đó (b+c+d)2 3(b2 + c2 + d2) 0,5đ
do đó a có thể nhận giá trị lớn nhất là 5
2
0,25đ
Bài 4 (4 điểm)
a, (1,5 điểm)
Lập luận để có ∠ AKB = 900 (0,25đ); ∠ KAB = ∠ KBH (0,25đ);
Xét Δ AKB vuông tại H có
KA = AB cos α = 2R cos α (0,25đ);
KB = AB sin α = 2R sin α (0,25đ);
Xét Δ KHB vuông tại H có
KH = KB sin α (0,25đ) = 2R sin2 α (0,25đ);
b, (1 điểm)
Vẽ KO; KC AB xét Δ KCO vuông tại C có OC = OK cos2 α (0,5đ);
Lập luận có KH = CB (0,25đ) = R - Rcos2 α = R(1 - cos2 α ) (0,25đ);
c, (1,5 điểm)
Theo câu a có KH = 2R sin2 α theo câu b có KH = R(1 - cos2 α )
(0,25đ);
nên 2R sin2 α = R(1 - cos2 α ) (0,25đ) do đó cos2 α = 1 - 2sin2 α
(0,25đ);
Mặt khác áp dụng định lí Pitago vào tam giác AKB vuông tại K chứng
minh đợc
sin2 α + cos2 α = 1 nên sin2 α = 1 - cos2 α (0,25đ);
Từ đó có cos2 α = 1 – 2(1 – cos2 α ) = 2 cos2 α - 1 (0,5đ);
Bài 5 (4 điểm)
a, (2 điểm)
Chứng minh đợc Δ IAK đồng dạng với Δ IBA (0,5đ)
⇒ IA2 = IK.IB , mà I là trung điểm của AM
nên IM2 = IK.IB (0,5đ)
Chứng minh đợc Δ MIK đồng dạng với Δ BIM (1đ)
b, (1điểm)
x
H K
C
A
C
K I
O
B
x M
A
Trang 4Từ câu a ⇒ ∠ IMK = ∠ MBI , lại có ∠ MBI = ∠ BCK(0,5đ);
⇒ ∠ IMK = ∠ BCK ⇒ BC // MA(0,5đ);
c, (1 điểm)
H là trực tâm của Δ MAB
⇒ tứ giác AOBH là hình thoi (0,5đ);
⇒ AH = AO =R ⇒ H (A;R) cố định
================================================
=
Chú ý:
1.Trong mỗi bài và mỗi câu HS có thể làm cách khác và lập luận chặt chẽ thì đúng đến đâu cho điểm tơng ứng đến đó.
2 Điểm của toàn bài thi không làm tròn.