SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO AN GIANG ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề thi gồm 01 trang.[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
AN GIANG
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP TỈNH
Khóa ngày 23-3-2019
(Đề thi gồm 01 trang)
SBD……… Phòng:……
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (3,0 điểm)
Rút gọn biểu thức 𝐴 = 12 + 4 2 + 2 3 + 4 6
Câu 2 (3,0 điểm)
Cho 𝑎 = 6 3 + 103 ; 𝑏 = 6 3 − 103 Tìm phương trình bậc hai có hai nghiê ̣m là 𝑎2 và 𝑏2 đồng thời các hệ số đều là số nguyên và hê ̣ số của 𝑥2 bằng
2019
Câu 3 (3,0 điểm)
Trên mă ̣t phẳng tọa độ 𝑂𝑥𝑦 cho Parabol 𝑃 : 𝑦 = −0,5𝑥2 và đường thẳng
𝑑 : 𝑦 = 1,5 𝑥 + 2𝑚 − 1 Tìm giá trị của tham số 𝑚 để đường thẳng (𝑑) cắt (𝑃) tại điểm khác gốc tọa độ và có hoành độ gấp hai lần tung độ
Câu 4 (3,0 điểm)
Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, biết bình phương của số đó sau khi đã bỏ đi chữ số hàng chu ̣c và hàng đơn vị cộng với số đó bằng 2419
Câu 5 (3,0 điểm)
Cho hai số 𝑥; 𝑦 thỏa
𝑥2 − 4𝑥𝑦 + 5𝑦2
𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 2𝑦2 = 2
5 Tính giá trị của biểu thức
𝐴 = 3𝑥 − 2𝑦
𝑥 + 𝑦
Câu 6 (3,0 điểm)
Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 vuông tai 𝐶, biết 𝐵𝐴𝐶 = 𝛼 , 𝐴𝐵 = 𝑎 Lấy mô ̣t điểm 𝐷 nằm bên trong tam giác 𝐴𝐵𝐶 sao cho 𝐶𝐷 vuông góc 𝐷𝐵 và góc 𝐴𝐶𝐷 = 𝐷𝐵𝐴 , Gọi 𝐸 là giao điểm của 𝐴𝐵 và 𝐶𝐷
a Tính độ dài đoạn 𝐴𝐸 theo 𝑎 và 𝛼
b Gọi 𝐹 là giao điểm của 𝐷𝐵 và 𝐴𝐶 Chứng minh 𝐹𝐶2 = 𝐹𝐷 𝐹𝐵
Câu 7 (2,0 điểm)
Cho 8 đươ ̀ ng tròn có cùng bán kính ,
biết rằng khi sắp ba đường tròn và năm
đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng
sao cho khoảng cách giữa hai tâm liền kề
bằng nhau thì khoảng cách lớn nhất giữa hai
đường tròn biên bằng 20 cm và 32 cm (hình
vẽ) Tính bán kính đường tròn
-Hết -
32 cm
Trang 2ĐÁP ÁN
Câu 1 Khai căn biểu thức 𝐴 = 12 + 4 2 + 2 3 + 4 6
= 1 + 8 + 3 + 4 2 + 2 3 + 4 6
= 1 + 2 2 + 3 2 = 1 + 2 2 + 3 Cách khác
𝐴 = 12 + 4 2 + 2 3 + 4 6 = 𝑎 + 𝑏 2 + 𝑐 3 2
= 𝑎2+ 2𝑏2+ 3𝑐2+ 2𝑎𝑏 2 + 2𝑎𝑐 3 + 2𝑏𝑐 6
⟹
𝑎2 + 2𝑏2+ 3𝑐2 = 12 2𝑎𝑏 = 4 2𝑎𝑐 = 2 2𝑏𝑐 = 4
⟹ 𝑎2𝑏2𝑐2 = 4 ⟹ 𝑎 = 1; 𝑏 = 2; 𝑐 = 1
Vâ ̣y 𝐴 = 1 + 2 2 + 3
3,0 đ
Câu 2
𝑎 = 6 3 + 103 ; 𝑏 = 6 3 − 103
6 3 + 10
3
= 1 + 3 3 + 3.3 + 3 3 3 = 1 + 3
𝑏 = 6 3 − 103 = −1 + 3
𝑎2 + 𝑏2 = 1 + 3 2+ −1 + 3 2 = 8; 𝑎2𝑏2 = 1 + 3 2 1 − 3 2 = 4
Vâ ̣y phương trình bâ ̣c hai cần tìm là
2019 𝑥2− 8𝑥 + 4 = 0 Hay 2019𝑥2− 16152𝑥 + 8076 = 0
3,0 đ
Câu 3 𝑃 : 𝑦 = −0,5𝑥2; 𝑑 : 𝑦 = 1,5 𝑥 + 2𝑚 − 1
Gọi tọa độ giao điểm là 𝑥0; 𝑦0 ; 𝑥0 ≠ 0 Ta có 𝑥0 = 2𝑦0 thay vào (P) ta đươ ̣c
𝑦0 = −0,5 2𝑦0 2 ⟹ 𝑦0 = 0 (loại); 𝑦0 = −12 ⟹ giao điểm −1; −0,5
Thay vào phương trình (𝑑) ta được −0,5 = −1,5 + 2𝑚 − 1 ⟹ 𝑚 = 1
Vâ ̣y 𝑚 = 1 thỏa đề bài
3,0 đ
Câu 4 Giả sử số cần tìm là 𝑎𝑏𝑐𝑑 𝑣ơ 𝑖 𝑎; 𝑏; 𝑐; 𝑑 ∈ 0; 1; … ; 9 theo đề bài ta có
𝑎𝑏𝑐𝑑
+ 𝑎𝑏 2 = 2419 1000𝑎 + 100𝑏 + 10𝑐 + 𝑑 + 10𝑎 + 𝑏 2 = 2419 Dễ thấy 𝑎 = 1 hoă ̣c 𝑎 = 2 (vì nếu 𝑎 = 0 vế trái bé hơn vế phải, ngược la ̣i 𝑎 ≥ 3
vế trái lớn hơn vế phải)
Xét 𝑎 = 2 ⟹ 2000 + 100𝑏 + 10𝑐 + 𝑑 + 400 + 40𝑏 + 𝑏2 = 2419
⟺ 140𝑏 + 10𝑐 + 𝑑 + 𝑏2 = 19
⟹ 𝑏 = 0 ⟹ 10𝑐 + 𝑑 = 19 ⟹ 𝑐 = 1; 𝑑 = 9
Vâ ̣y 𝑎𝑏𝑐𝑑 = 2019
Xét 𝑎 = 1 ⟹ 1000 + 100𝑏 + 10𝑐 + 𝑑 + 100 + 20𝑏 + 𝑏2 = 2419
⟺ 120𝑏 + 10𝑐 + 𝑑 + 𝑏2 = 1319
Do 𝑏 có một chữ số nên 𝑏 = 8; 𝑏 = 9
Nếu 𝑏 = 8 ⟹ 960 + 10𝑐 + 𝑑 + 64 = 1319 ⟺ 10𝑐 + 𝑑 = 𝑐𝑑 = 295 vô
nghiê ̣m;
Nếu 𝑏 = 9 ⟹ 1080 + 10𝑐 + 𝑑 + 81 = 1319 ⟺ 10𝑐 + 𝑑 = 𝑐𝑑 = 158 vô
nghiê ̣m
3,0 đ
Trang 3Vâ ̣y 𝑎𝑏𝑐𝑑 = 2019 Câu 5 Do 𝑥 = 0; hoă ̣c 𝑦 = 0 không thỏa điều kiê ̣n ta viết la ̣i đẳng thức như sau
𝑥2− 4𝑥𝑦 + 5𝑦2
𝑥2+ 2𝑥𝑦 + 2𝑦2 = 2
5⟺
𝑥
𝑦
2
− 4𝑥𝑦 + 5 𝑥
𝑦
2
+ 2𝑥𝑦 + 2=
2 5 Đặt 𝑡 =𝑥𝑦 ta được
𝑡2− 4𝑡 + 5
𝑡2+ 2𝑡 + 2 =
2
5⟺ 5 𝑡2− 4𝑡 + 5 = 2(𝑡2+ 2𝑡 + 2) 3𝑡2 − 24𝑡 + 21 = 0 ⟺ 𝑡 = 1; 𝑡 = 7
Ta có
𝐴 =3𝑥 − 2𝑦
𝑥 + 𝑦 =
3𝑡 − 2
𝑡 + 1
Vâ ̣y 𝐴 =12 hoặc 𝐴 =198
3,0 đ
Câu 6 +Ta có 𝐴𝐶𝐸 + 𝐵𝐶𝐸 = 900 = 𝐶𝐵𝐷 +
𝐵𝐶𝐷 ⟹ 𝐴𝐶𝐸 = 𝐶𝐵𝐷 = 𝐷𝐵𝐸
𝐷𝐵 vừa là đường cao vừa là phân giác
của tam giác 𝐵𝐶𝐸 nên tam giácBCE
cân ti ̣a B; 𝐵𝐶 = 𝐵𝐸
Mă ̣t khác xét tam giác vuông 𝐴𝐵𝐶 có
𝐵𝐶 = 𝑎 sin 𝛼
Vâ ̣y 𝐴𝐸 = 𝐴𝐵 − 𝐵𝐶 = 𝑎(1 − sin 𝛼)
+Tam giác FCB vuông ta ̣i C có CD là đường cao áp du ̣ng hê ̣ thức lươ ̣ng trong
tam giác vuông ta được
𝐹𝐶2 = 𝐹𝐷 𝐹𝐵
3,0 đ
Câu 7 Gọi bán kính đường tròn và khoảng cách phần giao nhau lần lượt là 𝑥; 𝑦 điều
kiê ̣n: 𝑥 > 0
Ta có hê ̣ phương trình
6𝑥 − 2𝑦 = 20 10𝑥 − 4𝑦 = 32 Giải hệ ta được 𝑥 = 4; 𝑦 = 2 Vậy bán kính đường tròn bằng 4 cm
2,0 đ
Ghi chú:
Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa
Giám khảo họp thống nhất cách chấm trước khi chấm
32 cm
F
A
C
D