Đề thi học sinh giỏi có đáp án chi tiết năm 2018 tỉnh quảng nam | Toán học, Đề thi đại học - Ôn Luyện

Xác suất để trong 10 học sinh trên không có hai học sinh cùng giới đứng cạnh nhau, đồng thời Hoàng và Lan không đứng cạnh nhau bằng!. Sau khi xếp 5 học sinh nam, để không có hai học sinh[r]

Câu 26: [1D2-3] Hệ số của x15 trong khai triển thành đa thức của biểu thức P x  (3x1) (9 x 2)7

là

A. 334611 B 1259712 C 1259712 D 216513

Lời giải Chọn D

Đặt

9( ) (3 1)

Đặt

2 5( ) ( 1)

Vậy số hạng không chứa x của khai triển là 217830

Câu 34: [2H3-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

Lời giải Chọn C

Ta có d    d A ;  d A d ;   d A ;  max d A d ; 

Khi hình chiếu của A trên

d cũng là hình chiếu của A trên  

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d

 t   119 ; 8 209 9; 

H

.Vậy mặt phẳng   có một véctơ pháp tuyến là

Câu 1: (Sở GD-ĐT Tp Hồ Chí Minh – Cụm 1 – năm 2017) [2H3-3] Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz, cho hai điểm M1; 2; 4

A

33



d

13



d

13



d

Lời giải Chọn A

Ta có M P  d M P ;  MN  d M P ;  max MN

khi MN  P

.Vậy  P qua M1;2;4và có một véc tơ pháp tuyến là  1; 1;1 

Câu 2: (THPT CHUYÊN LÊ KHIẾT – QUẢNG NGÃI – Lần 1 năm 2017) [2H3-3] Trong không

gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A3;2; 1 

và đường thẳng

:1

A 2x y  3z 3 0 B x2y z 1 0 C 3x2y z  1 0 D 2x y  3z 3 0

Lời giải Chọn A

Ta có d  P  d A P ;  d A d ;    ;     ; 

max

Khi hình chiếu của A trên

d cũng là hình chiếu của A trên  P

.Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d

Ta có

:1

3

f  f  

Đặt2

( ) ( ) 4 ( )

g x f x  f x Cho biết đồ thị của yf (x) có dạng như hình vẽ dưới đây

-2 -1

1 2 3 4

x y

Mệnh đề nào sau đây đúng?

min ( ) g x 3 B. max ( ) g x 3

13min ( )

9

g x 

13max ( )

y

c b

Xét hàm số yf x( ) có TXĐ:  Từ đồ thị của yf (x) ta suy ra BBT của yf x( ):

Để đồ thị hàm số yf x 

cắt trục hoành tại số điểm là nhiều nhất thì f c 0

 đồ thị hàm số yf x  cắt Oxtại nhiều nhất 2 điểm

Câu 2: Cho hàm số yf x 

có đạo hàm yf x 

liên tục trên  và có đồ thị hàm số yf x như hình vẽ

Lời giải Chọn D

Câu 38: [2H3-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxy cho mặt phẳng ( ) : 2P x y z   1 0 và hai

điểm A(2;1;1), (3;3; 2).B Điểm M a b c( ; ; )với b  nằm trong mặt phẳng 0 ( )P sao cho

OM AB và MA  26 Gía trị của tổng a b c  bằng:

Lời giải Chọn D.

OM

( ; ; )a b c

 và AB (1;2;1)

Từ giả thiết ta có hệ phương trình 2 2 2

a

ta được a 1 b2,c3 nên a b c   2

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Câu 1: [2H3-3] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( ) :P x y z   1 0 Ba

điểm A(2;0;1), (1;1;1)B và I(0;1;3) Điểm M a b c( ; ; ) thuộc mặt phẳng ( )P sao cho IM AB

và AM 3 2 Tính tổng S a b c   , biết rằng b  0

Lời giải Chọn B.

Câu 2: [2H3-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3;1;2), ( 3;1;0)B  và mặt phẳng

( ) :P x y 3z14 0 Gọi M là điểm thuộc ( )P sao cho AMBvuông tại M Khoảng cách

từ M đến (Oxy) bằng:

Lời giải Chọn C.

Ta có: AMB 90o suy ra M thuộc mặt cầu ( )S đường kính AB.

Gọi I là trung điểm AB, khi đó I(0;0;1) và 2 11

Tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

Câu 37: [2H3-2.9-3] (Thi HSG Quảng Nam lớp 12) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt

Do A1;2; 1    P

và mặt cầu S tiếp xúc với  P tại A nên có tâm I nằm trên đường

thẳng d là đường thẳng qua I và vuông góc với ( )P

Câu 1: [2H3-6.18-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

Ta có tâm I1; 2;3 và bán kính R  Do 3 d I P ;    9 R nên mặt phẳng  P không cắt

mặt cầu  S Do H là hình chiếu của I lên  P và MH lớn nhất nên M là giao điểm của

A.6; 12; 14; 75  

B.6;10; 20; 7 . C.10; 4; 2; 47

D.3; 5; 6; 29

Lời giải Đáp án A

Câu 41: [2D35.113] Trong một mặt phẳng cho đường thẳng D và hình tròn ( )C có bán kính bằng 1

tiếp xúc với nhau Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình tròn ( )C quanh

đường thẳng D.

A V 2 B V 22 C

22



2 42

Phương trình của đường tròn ( )C x: 2+ -(y 1)2=1.

Hình tòn ( )C là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y= +1 1- x2 và y= -1 1- x2.Thể tích khối tròn xoay khi quay ( )C

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Câu 1: [2D35.113] Trong một mặt phẳng cho Elíp ( )E

có trục lớn bằng 8 trục nhỏ bằng 6 và đườngthẳng D Biết D song song với đường thẳng nối hai tiêu điểm và tiếp xúc với Elíp Tính thểtích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình tròn ( )E quanh đường thẳng D.

Þ tiếp xúc với Ox tại gốc tọa độ.

Phương trình của Elíp ( )E :x (y- )

Câu 2: [2D35.113] Trong một mặt phẳng cho tam giác ABC vuông tại A có AB=1,BC= 3

Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay DABC quanh đường thẳng BC

A

12

V 

32

V 

Lời giải

Chọn B.

Gọi H là hình chiếu của A trên BCÞ BC=2,AB AC. =AH BC. Þ AH= 3

13



B

3sin

2 13



C

3sin

65

 

D.

2 3sin

65

 

Lời giải Chọn C

(Dựng hình như hình vẽ trên)

Gọi I là trung điểm của SB  MI SA ∥  MI BC (1).

Gọi D là trung điểm BC và K là trung điểm BD Do tam giác A BC đều nên

AD BC

Từ đó MK BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra BC (MIK) hay (SBC) ( MIK)

Gọi H là hình chiếu của M lên IK thì MH (SBC) Vậy SH là hình chiếu của SM lên

2 5

 

1sin

5

 

D.

1sin

2 5

 

Lời giải Chọn C

S

A

D K

M

I

H

(Dựng hình như hình vẽ trên)

Gọi I là trung điểm của SB  MI SA ∥  MI BC (1).

Gọi D là trung điểm BC và K là trung điểm BD Do tam giác A BC đều nên A D BC

Từ đó MK BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra BC (MIK) hay (SBC) ( MIK)

Gọi H là hình chiếu của M lên IK thì MH (SBC) Vậy CH là hình chiếu của CM lên

mặt phẳng (SBC) hay MCH 

Ta có:

32

Câu 2 [1H3-3] Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A cạnh A B  , SA vuông a

góc với mặt đáy và SA a 2 Gọi M là trung điểm của SA ,  là góc giữa BM và mặt

phẳng (SBC) Tính sin

A.

2sin

15



B

2sin

2 15



C

1sin

15

 

D.

1sin

2 15

 

Lời giải Chọn C

S

A D

Gọi H là hình chiếu của M lên SD thì  MH ∥ AK  MH (SBC)

Vậy BH là hình chiếu của BM lên mặt phẳng (SBC) hay MBH 

Tam giác MBH vuông tại H nên

1

15

MH MB

m 

Bm 4 C m 7 D m 6

Lời giải Chọn C

Biến đổi tương tự như trên ta thấy: Yêu cầu của đề

m 

Lời giải Chọn C

BC cm CA cm AB cm , cả ba cạnh của ABC cùng tiếp xúc với mặt cầu  S

Khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng ABC bằng

A 3 2cm B 2 2cm C 2 3cm D 2 5cm

Lời giải Chọn D

Nửa chu vi ABC :

13 14 15

212

BC cm CA cm AB cm , cả ba cạnh của ABC cùng tiếp xúc với mặt cầu  S Biết

khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng ABC là d 3cm. Tính R.

Lời giải Chọn A

Nửa chu vi ABC :

13 14 15

212

Câu 2: [2H2-2]Cho mặt cầu  S

có tâm O , bán kính R5cm Tam giác đều ABC có cạnh bằng

( )

a cm , cả ba cạnh của ABC cùng tiếp xúc với mặt cầu  S

Biết khoảng cách từ tâm O đến

mặt phẳng ABC là d 3cm. Tính a.

A.8 3 cm B 6 3 cm C 16 3 cm D 12 3 cm

Lời giải Chọn A

Theo giả thiết mpABC

Đặt t log x 2 khi x 2; 4 thì t 1;2 Ta có bất phương trình:

Đặt t log x 2 khi x 1;8 thì t 0;3 Ta có bất phương trình:

t  m t m  m 

Đặt t log x 3 khi x 1;9 thì t 0; 2 Ta có bất phương trình:

H

N M

O

D

C B

A S

Gọi O là tâm hình vuông ABCD Kẻ AH SC

Gọi I AHSO, đường thẳng qua I và song song với BD cắt SB SD lần lượt tại ,, M N

AC

.Tam giác SAB có

2 2

2

3

Câu 1 [1H3-3] Cho hình chóp S ABCD. với ABCD là hình chữ nhật có AB a AD , 2a SA

vuông góc với đáy và SA a Gọi  P là mặt phẳng qua SO và vuông góc với SAD Diện tích thiết diện của  P

và hình chóp S ABCD. bằng bao nhiêu?

A

2 32

a

B

2 22

Lời giải Chọn C.

N

M

D

C B

A S

) + Tam giác SAD có

2

SA AD a AM

SD

;

2 32

SM SD

+ Tam giác SCD có //

SA ABC SA a Gọi E là điểm trên cạnh SB sao cho ES 2EB Gọi H là hình chiếu

của A lên SBC Gọi  P là mặt phẳng chứa AE và vuông góc với mặt phẳng SBC Xácđịnh và tính diện tích thiết diện do  P

a

2 34

a

Lời giải Chọn C.

S

Gọi H là hình chiếu của A trên SBC  H

là trực tâm của tam giác SBC.Khi đó   P  AEH

.Trong SBC

, gọi I SHBC; F EHSC.Suy ra thiết diện là tam giác AEF

Tam giác SBC đều cạnh a 2 nên H cũng là trọng tâm tam giác và I là trung điểm BC

23

Tam giác SAI có 2 2 2

a AH

Ta có:

1.2

Câu 47: [1D2-4] Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 5 học sinh nam (trong đó có Hoàng) và 5 học sinh

nữ (Trong đó có lan) thành một hàng ngang Xác suất để trong 10 học sinh trên không có haihọc sinh cùng giới đứng cạnh nhau, đồng thời Hoàng và Lan không đứng cạnh nhau bằng

A

8

1

4

5.450

Lời giải Chọn A

Gọi A là biến cố “ Không có hai học sinh cùng giới đứng cạnh nhau, đồng thời Hoàng và Lan

không đứng cạnh nhau khi xếp 10 học sinh thành một hàng ngang”

Số phần tử của không gian mẫu là: n    10!

Tính n A :

 Xếp 5 học sinh nam có 5! cách xếp Sau khi xếp 5 học sinh nam, để không có hai học sinh cùnggiới đứng cạnh nhau, ta xếp 5 học sinh nữ xen giữa các vị trí của học sinh nam Ta có 2.5! cáchxếp Do đó có 2 5! 2

cách xếp nam nữ đứng xen kẽ

 Bây giờ ta đếm cách xếp nam nữ đứng xen kẽ trong đó Hoàng và Lan đứng cạnh nhau Trước hết

ta xếp 5 học sinh vào các vị trí A B C D E, , , , có 5! cách xếp Ta xếp 5 học sinh nữ vào các vị trí

1, 2,3, 4,5,6 sao cho nam và nữ xen kẽ và Hoàng và Lan đứng cạnh nhau

Nếu Hoàng ở vị trí A, lan ở vị trí 1, các bạn nữ còn lại xếp ở các vị trí 2,3, 4,5 ; Lan ở vị trí 2,các bạn bữ xếp ở vị trí còn 3, 4,5,6 hoặc 1,3, 4,5 Trường hợp này có 3.4!.4! cách xếp.Nếu Hoàng ở vị trí E, Lan ở vị trí 6, các bạn nữ còn lại xếp ở các vị trí 2,3, 4,5 ; Lan ở vị trí

5, các bạn bữ xếp ở vị trí còn 2,3, 4,6 hoặc 1, 2,3, 4 Trường hợp này có 3.4!.4! cách xếp.

Nếu Hoàng ở vị trí B, Lan ở vị trí 2, các bạn nữ còn lại xếp ở các vị trí 1,3, 4,5 hoặc

3, 4,5,6 ;

Lan ở vị trí 3, các bạn nữ còn lại xếp ở các vị trí 2, 4,5,6

hoặc 1, 2, 4,5 

Trườnghợp này có 4.4!.4! cách xếp Tương tự Hoàng ở vị trí C D, có 4.4!.4! cách xếp

Do đó có 2.3.4!.4! 3.4!.4! 18.4!.4! 

Từ đó ta có n A   2 5! 218.4!.4!

Xác suất cần tìm:

   

 

8.1575

Câu 1: [1D2-3] Cho các chữ số 1, 2,3, 4,5 Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau đôi

một Chọn ngẫu nhiên một số từ S Tính xác suất để số được chọn có hai chữ số 1 và 2 không

Gọi A là biến cố “Số được chọn có hai chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau’’

Suy ra: A là biến cố “Số được chọn có hai chữ số 1 và 2 đứng cạnh nhau’’

Sắp vị trí  12 vào các ô AB , BC , CD , DE có 4 cách Tương tự vị trí  21 vào các vị trí

AB , BC , CD , DE cũng có 4 cách Ứng với mỗi cách chọn 1, 2 như vậy ta có 3! 6 cách chọn các chữ số còn lại

Vậy n A   8.6 48.

Do đo:   1   1 48 3

120 5

P A   P A   

Câu 2: [1D2-3] Đội tuyển học sinh giỏi của một trường có 8 học sinh nam và 4 học sinh nữ Trong

buổi lễ trao phần thưởng, các học sinh trên được xếp thành một hàng hang Tính xác suất để khixếp sao cho 2 học sinh nữ không đứng cạnh nhau

.12! 55

A

Câu 48: [2D1-3] Đường thẳng d y x:  cắt Parabol  P y: x2

tại hai điểm O0;0 ; A1;1

Tính diệntích lớn nhất S max của hình chữ nhật có hai đỉnh thuộc đoạn OA và hai đỉnh còn lại thuộc cung

OA của Parabol  P

A

224

max

212

max

336

max

318

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y f a 

trên đoạn 0;1 với

  2 3 3 2

f a  a  a a

0;16

Câu 1 [2D1-3] Cho tam giác đều ABC cạnh a Người ta dựng một hình chữ nhật MNPQ có cạnh

MN nằm trên cạnh BC Hai đỉnh P và Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AC và AB của tam

giác Xác định độ dài đoạn BM sao cho hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất

Câu 2 [2D1-3] Chiều dài bé nhất của cái thang AB để nó có thể tựa vào tường AC và mặt đất BC ,

ngang qua một cột đỡ DH cao 4m song song và cách tường CH 0,5m là:

D A

5 5min

2



Câu 49: (HSG Quảng Nam) [2H1-3] Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1 Hai điểm M N, theo thứ

tự di động trên hai cạnh AB AC, sao cho DMN  ABC

Khi thể tích tứ diện AMND đạt giá trị lớn nhất, giá trị của tổng AM ANbằng

Đặt AM x AN; y, 0 x y,  ; Dựng 1 DH MN DH ABC H là tâm tam giác

đều ABC (Suy ra từ việc kết hợp với giả thiết)

32

22

2

1

3

;1 2

ADMN

tại

1, 1

32

, 12

Bài giải của file đề ,đáp án bị sai vì dấu bằng ở BĐT cuối không xảy ra Em nhờ các thầy côxem giúp ạ.

Câu 50: [2D1-3] Cho 3 số thực dương x y z, , Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2 3