[r]
Trang 1ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7
Năm học 2011-2012
(Thời gian 120 phút không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (2 điểm)
a) Thực hiện phép tính: A= 2 3122 56 4 964 25 5 710 3 325 4959 23
−
b) Cho hàm số: y= f x( ) ax= 2 +bx+c
Cho biết: (0) 2010;f = f(1) 2011;= f( 1) 2012− = Tính ( 2)f − ?
Câu 2 : (1,5 điểm) Tìm x , y , biết :
a) (x 7)x+ 1 (x 7)x+ 11 0
− − − = b)
4
x
x
−
c) x+ 5 +(3y− 4)2010= 0
Câu 3 : (2 điểm)
a) Cho 3 số x ,y , z khác 0 thỏa mãn điều kiện : y z x z x y x y z
Hãy tính giá trị của biểu thức : B = 1 x 1 y 1 z
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A= x−2010 (+ y+2011)2010+2011 và giá trị của x, y
tương ứng
Câu 4 : (1 điểm)
Tìm số tự nhiên M nhỏ nhất có 4 chữ số thỏa mãn điều kiện:
M = a + b = c +d = e + f
Biết a, b, c, d, e, f thuộc tập N* và 14
22
a
b = ; 11
13
c
d = ; 13
17
e
f =
Câu 5 : (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC có góc B và góc C là hai góc nhọn Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB , trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC
a) Chứng minh rằng : BE = CD
b) Gọi M là trung điểm của BE , N là trung điểm của CD Chứng minh M,A,N thẳng hàng
c) Ax là tia bất kỳ nằm giữa hai tia AB và AC Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của B và
C trên tia Ax Chứng minh BH + CK ≤ BC
d) Xác định vị trí của tia Ax để tổng BH + CK có giá trị lớn nhất
.Hết
Trang 2ĐÁP ÁN
điểm
A
10
12 5 12 4 10 3 4
12 6 12 5 9 3 9 3 3
( ) ( )
( )
( )
10 3
12 4
12 5 9 3
5 7 6
2 3 2
−
a
−
Theo giả thiết ta có: f(0) 2010 = ⇒ =c 2010
f(1) 2011 = ⇒ + + =a b c 2011 ⇒ + +a b 2010 2011 = ⇒ + =a b 1 (1)
Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có: 2a = 3 => a = 3/2
Do đó: Hàm số đã cho có dạng: 3 2 1
đ)
b
(x 7)x+ 1 (x 7) 0
1 10
x x x
+
x x
a
7 8 6
x x x
=
=
0,25
4
x
x
−
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
5 1
x
x
=
−
Do đó:
x
=
- Nếu 5x+ 7y− 7 0 ≠ thì 8 = 4x => x = 2, thay vào tính được y = 3 0,25 b
- Nếu 5x+ 7y− 7 0 = => 5x – 1 = 0 và 7y – 6 =0 ⇒ 6
7
y = ; 1
5
x = (thỏa
Ta có x +5 0 ≥ với mọi x và (3y −4) 2010 ≥ 0 với mọi y Vậy x+ 5 +(3y− 4)2010= 0 ⇔x+5 =0 và 3y - 4 = 0 0,25
2
,5đ)
c
⇔x = -5 và y = 4
Từ y z x z x y x y z
0,25
Trang 3⇒ y z 1 z x 1 x y 1
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
2
y z z x x y x y z
a
Do đó :
B = 1 x 1 y 1 z
Ta thấy: x −2010 ≥ 0 với mọi x và (y + 2011)2010 ≥ 0 với mọi y 0,25
Do đó: A= x− 2010 ( + y+ 2011) 2010 + 2011 ≥ 2011 với mọi x, y 0,25 đ)
b
Từ giả thiết ta có:
7 11 11 13 13 17
7 11 7 11 18
a b c d e f
=
=
=
+
+
0,5
Tương tự ta có:
11 13 11 13 24
+
+ +
+
kết hợp (1); (2) ⇒M∈BC(18; 24;30)
0,25 đ)
Mặt khác M là số tự nhiên nhỏ nhất có 4 chữ số nên: M là 1080 0,5
Trang 4k
I A
E
H
K
N M
0,5
c/m được ∆ABE = ∆ADC (c.g.c)
a
⇒BE = DC ( 2 cạnh tương ứng) 0,25 c/m được ∆ABM = ∆ADN (c.g.c) ⇒AM = AN
và ∠MAB= ∠NAD 0,5
b
Gọi I là giao điểm của BC và Ax, ta có BH ≤BI CK; ≤CI 0,25 c
Theo câu c) BH + CK ≤ BC nên giá trị lớn nhất của BH+ CK bằng BC
,5đ)
d
Lưu ý: Học sinh làm cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa