II.MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN: - Lấy ví dụ về mệnh đề, mệnh đề phủ định của một mệnh đề, xác định được tính đúng sai của một mệnh đề trong những trường hợp đơn giản.. - Nêu được mệnh đề [r]
Trang 11
Chương I: MÊNH ĐỀ - TẬP HỢP
PHẦN 1 MỆNH ĐỀ
I KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
Một khẳng định hoặc đúng hoặc sai, không thể vừa đúng vừa sai gọi là một mệnh đề
Một mệnh đề còn phụ thuộc vào những giá trị của biến số gọi là mênh đề chứa biến Mệnh đề chứa biến x kí hiệu là: P(x)
Mệnh đề “ không phải P” là mệnh đề phủ định của mệnh đề P và kí hiệu là P
Mệnh đề “ Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là: PQ Mệnh đề PQ chỉ sai khi P đúng và Q sai
Định lí là một mệnh đề đúng và thường có dạng PQ
Mệnh đề QP được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề PQ
Nếu cả hai mênh đề PQ và QP đều đúng ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương Khi đó ta kí hiệu
và đọc là : P tương đương Q hoặc P là điều kiện cần và đủ để có Q, hoặc P khi và chỉ khi Q
Q
Kí hiệu đọc là “ với mọi “, nghĩa là tất cả.
Kí hiệu đọc là “ có một “ ( tồn tại một) hay “ có ít nhất một “.
II.MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN:
- Lấy ví dụ về mệnh đề, mệnh đề phủ định của một mệnh đề, xác định được tính đúng sai của một mệnh đề trong những trường hợp đơn giản
- Nêu được mệnh đề kéo theo và mệnh đề tương đương
- Lập được mệnh đề đảo của một mệnh đề cho trước và xác định tính đúng sai của mệnh đề
- Phát biểu định lí dưới dạng càn và đủ:
+ Nếu A => B (đ): A là điều kiện đủ để có B
Nếu B => A (s): B là điều kiện cần để có A
(Không có định lí đảo, điều kiện cần và đủ)
+ Nếu A => B (đ) và B => A (đ): A (hoặc B) là điều kiện cần và đủ để có B (hoặc A)
* Phủ định mệnh đề:
B A B
A
B A B
A
);
( : )
( :
);
( : )
( :
x p D x x
p D x
x p D x x
p D x
* Phương pháp chứng minh bằng phản chứng:
Để chứng mịnh A (đ), ta giả thiết A BC Nếu C (s) ta dừng phép chứng minh và kết luận A(đ)
III.BÀI TẬP ÁP DỤNG:
1 Với giá trị nào của x mệnh đề chứa biến sau trở thành một mệnh đề đúng:
𝒙𝟐‒ 𝟐𝒙 ‒ 𝟏 = 𝟎
2 Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng:
a) P: “ 3 ≠ 1.73” b) 𝑄:" 𝜋 > 3" c) 1977 là một số nguyên tố
3 Giả sử ABC là một tam giác đã cho Xét các mệnh đề sau:
P: “Tam giác ABC có hai góc bằng 600 ” Q: “ Tam giác ABC đều”
a) Phát biểu mệnh đề P => Q và xét tính đúng sai của nó
b) Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề P => Q và xét tính đúng sai của nó
4 Xét các mệnh đề
P: “ Mọi số tự nhiên là ước của chính nó ” Q: “ Có một số tự nhiên bằng bình phương của nó ”
Trang 22 a) Dùng kí hiệu hoặc để viết mệnh đề P, Q và xét tính đúng sai của chúng
b) Lập mệnh đề phủ định của mệnh đề phủ định của P, Q
5 Trong các câu sau đây, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến.
a) 2011 + 1 = 2012 b) x + 10 = 1 c) x + 2y > 0 d) 5 - 100
6 Nếu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xác định xem mệnh đề phủ định đó đúng hay sai:
a) P: “ Phương trình x2 – x + 1 = 0 có nghiệm “
b) Q: “ 17 là số nguyên tố “R: “
c) Số 963 chia hết cho 3 “
d) S: “ 25 không thể biểu diễn thành tổng của hai số chính phương “
7 Phát biểu mỗi mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm “ Điều kiện cần và đủ “
a) Một hình chữ nhật có hai cạnh liên tiếp bằng nhau là hình vuông và ngược lại
b) Một tam giác có ba đường cao bằng nhau là tam giác đều và ngược lại
c) Một số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 và ngược lại
8 Dùng kí hiệu , để viết các mệnh đề sau:
a) Có số tự nhiên chia hết cho 11
b) Mọi số nhân với chính nó đều là số không âm
9 Lập mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:
a) P: “ xR,2xx3"
b) Q: “ nN:n2 14"
10 Xét các mệnh đề sau:
A: "∀𝑥 ∈ 𝐼𝑅 : 𝑥2+ 1 > 0"; B: "∀𝑥 ∈ 𝐼𝑅 : 2𝑥 > 𝑥"
C: "∃ n ∈ Z : n = - n " D: ∃x ∈ Q : 2x ∈ IN
a) Mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai?
b) Không dung kí hiệu ∀, ∃, ∈ , hãy phát biểu các mệnh đề đã cho
c) Lập mệnh đề phủ định của các mệnh đề đã cho
11* Hãy phát biểu điều kiện cần, điều kiện đủ, định lí đảo, điều kiện cần và đủ?
a) “ Hai tam giác bằng nhau thì diện tích của chúng bằng nhau”
b) “Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có nghiệm thì b24ac 0”
12* Chứng minh:
a) “ n2 chẳn => n chẳn”
HD:
A: n chẳn
: n lẻ => n = 2p +1 A
) 2 2 ( 1 2
1 ) 2 2 ( 2
1 4 4 )
(
2 2
2 2
2 2
p p k k n
p p n
p p n p
lẻ (trái giả thiết) Vậy
2
n
n chẳn
b) , 0: 2
a
b b
a b a
c) Chứng minh: A B A B A
HD: Giả sử:
) (A B x
và A x A B
A x và A x
B x hay A x và A x
(mâu thuẩn)
13* Tìm mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng?
a) a,b:(ab)2 a2 2abb2 b)a,b:ab1
c)a,b:a2 b d)a, b:a2 b1
e)a,b:a2 21b2
Trang 33
14* Chứng minh: a0: a a22 a1
HD: Giả sử: a0: a a22 a1
) 1 ( 4 ) 2 ( 2
0
) 1 ( ) 2
) (
1 2
=>dpcm.
*********************************************
Trang 4PHẦN 2 TẬP HỢP - CÁC PHÉP TỐN TRÊN TẬP HỢP
I KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
Tập hơp là một khái niệm cơ bản của tốn học Để chỉ a là một phần tử của tâp hơp A, ta viết a A( đọc là a thuộc A) Để chỉ a khơng phải là một phần tử của tập hợp A, ta viết a A( đọc là a khơng thuộc A) Tập hợp rỗng kí hiệu là tập hợp khơng chứa phần tử nào.
Nếu mọi phần tử của A đều là phần tử của B thì ta nĩi A là một tập hợp con của B và viết A B( đọc là A chứa trong B) A Bx(xAxB)
Khi AB và B A ta nĩi tâp A bằng tập B và viết là: A = B Nhu vậy A = B x(xA xB)
Tập hợp C gồm các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B được gọi là giao của A và B
ABx/xA và xB ;
B x
A x B A x
Tâp hợp C gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B được gọi là hợp của A và B
B x
A x B A x B
x hoăo A x x B
Tập C gồm các phần tử thuộc A nhưng khơng thuộc B gọi là hiệu của A và B
B x
A x B A x B
x và A x x B
II.MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN:
- Xác định tập hợp, tập hợp con, tập hợp bằng nhau.
Phép liệt kê và nêu tính chất đặc trưng AxX/p(x)
- Xác định các giao, hợp, hiệu của các tập hợp
- Những bt chứng minh các phép tốn trên tập hợp
III BÀI TẬPÁP DỤNG:
1) Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp sau :
A = {x N / x có hai chữ số và chữ số hàng chục
là 3}
B = {x N / x là ước của 15}
C = {x N / x là số nguyên tố không lớn hơn 17}
D = {x N * / 3 < n 2 < 30}
E = {x R / (2x – x 2 )(2x 2 – 3x – 2) = 0}
F = {x Z / 2x 2 – 7x + 5 = 0}
G = {x Q / (x – 2)(3x + 1)(x + 2) = 0}
H = {x Z / x 3}
I = {x Z / x 2 – 3x + 2 = 0 hoặc x 2 – 1 = 0}
J = {x R / x 2 + x – 2 = 0 và x 2 + 2x – 3 = 0}
2) Xét xem hai tập sau có bằng nhau không ?
A = {x R / (x – 1)(x – 2)(x – 3) = 0}
B = {5, 3, 1}
3) Trong các tập sau tập nào là con tập nào ?
M = {x Q / 1 x 2}; N = {x Z / x 2}
P = {x N / x 2 + 3 = 5}
4) Xác định tất cả tập con của các tập sau :
a/ A = {a} b/ B = {0, 1} c/ C = {a, b, c}
5) Tìm tất cả tập hợp X sao cho : {1, 2, m} X {1, m, 2, a, b, 6}
6) Xác định A B, A B, A \ B, B \ A trong các trường hợp sau :
a/ A = {1, 2, 3, 5, 7, 9}; B = {2, 4, 6, 7, 8, 9, 10}
b/ A = {x N / x 20}; B = {x N / 10 < x < 30}
Trang 55
7) Xaực ủũnh caực taọp hụùp sau vaứ bieồu dieón chuựng treõn truùc soỏ :
a/ [-3;1) (0;4] b/ (-;1) (-2;+) c/ (-2;3) \ (0;7)
d/ (-2;3) \ [0;7) e/ R \ (3;+) f/ R \ (-;2]
8) Xaực ủũnh A B, A B, A \ B, B \ A :
a/ A = [-2;4], B = (0;5] b/ A = (-;2], B = (0;+) c/ A = [-4;0), B = (1;3]
9)Cho A,B,C là các tập hợp thỏa mãn AC BC; AC BCchứng minh A B.
Điều đảo lại có đúng không?
10) Cho A12k29 , ,h k h Z ) Chứng minh rằng:A = Z
11) Tỡm tập hợp cỏc số tự nhiờn chẳn, khỏc 0 và nhỏ hơn 10?
12) Tỡm tập hợp cỏc nghiệm của ptr x(x1)(x2)(x21)0
13) Viết tập hợp A = {2; 3} theo cỏch nờu ra tớnh chất đặctrưng?
14)Cho 2 tập hợp: Ax/x2 4x30 và Bx/x2 3x20
TỡmAB,AB,A\B,B\A
15) Cho 2 tập hợp N1 = { x ∈ N* / x là số lẻ} và N2 = { x ∈ N* / x là số chẳn}
Tớnh N1N2, N1N2, N1/N2, N2/N1,N*/N2, N*/N1
16*) Cho 3 tập hợp: Ax/x45x2 40; Bx/x(x2 4x3)0;
/ ( 25 6)0)
C
a) TỡmAB,BC,AC
b) Chứng minh: A(BC)(BA)(AC)
17*) Cho 3 tập hợp: Ax/ x 2; Bx/ x 3;Cx/ x 6
Tỡm quan hệ giữa AB và C
********************************
Trang 6PHẦN 3: SỐ GẦN ĐÚNG- SAI SỐ
I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Sai số:
Nếu a là số gần đỳng của thỡ a a |aa| được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đỳng a
Nếu a |aa|h thihaah hay ahaah Ta núi a là số gần đỳng của với độ chớnh a
xỏc h, và viết là a ah
Để quy trũn số gần đỳng , người ta thường quy ước làm trũn đến hàng cụ thể ( hàng trăm, hàng a
nghỡn,… ).Để làm trũn đến hàng k, người ta thường quan tõm đến hàng k + 1 Nếu chữ số đú lớn hơn hoặc bằng 5 ta cộng vào chữ số k một đơn vị, nếu chữ số nhỏ hơn 5 ta giữ nguyờn chữ số hàng k
II BAI TẬP ÁP DỤNG:
1) Cho số = 37975421a 150 Hóy viết số quy trũn của sở975421
2) Độ cao của một ngọn nỳi là h = 1372,50,1m Hóy viết số quy trũn của số 1372,5
3) Một vật thể có thể tích V=180,57 cm3 0.05 cm 3 Xác định số chữ số chắc và sai số tương đối của giá trị gần
đúng ấy
4) Cho giá trị gần đúng của số 3 2=1,25992104 với 6 chữ số chắc hãy viết giá trị gần đúng của 3 2dưới dạng chuẩn và tính sai số tuyệt đối của giá trị này?
*****************************
Trang 77
Chương II HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI.
PHẦN 1: HÀM SỐ
I KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1 Khái niệm hàm số.
Cho một tập hợp khác rỗng D R
Một hàm số f xác định trên D là một quy tắc, nhờ đĩ với mỗi số x luơn tìm được một số thực y duy nhất gọi là giá trị của hàm số f tại x, kí hiệu là y = f(x)
Tập D gọi là tập xác định( hay miền xác định), x gọi là biến số độc lập (hay biến số) hay đối số, y gọi là biến
số phụ thuộc của hàm số f
, Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, khi nĩi (G) là đồ thị của hàm số f xác định trên tập D, ta hiểu rằng:
) ( )
( )
; (x0 y0 G x0 D và y0 f x0
2 Sự biến thiên của hàm số.
Cho hàm số f xác định trên K
Hàm số f gọi là đồng biến ( hay tăng) trên K nếu x1,x2K,x1 x2 f(x1) f(x2) Hàm số đồng biến thì
đồ thị đi lên
Hàm số f gọi là nghịch biến ( hay giảm ) trên K nếu x1,x2 K,x1 x2 f(x1) f(x2) Hàm số nghịch biến thì đồ thị đi xuống
3 Một số tính chất cơ bản của hàm số.
Cho hàm số y = f(x) với tập xác định D
f(x) là hàm số chẳn trên D
) ( )
f
D x D x
f(x) là hàm số lẽ trên D
) ( )
f
D x D x
II MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN:
-Tìm tập xác định của hàm số.
- Khảo sát sự biến thiên của hàm số
- Khảo sát tính chẳn lẻ của hàm số
III BÀI TẬP ÁP DỤNG:
1 Tìm miền xác định (tập xác định) của hàm số :
) 3 )(
1 (
2 2
; 2 3
1 2
; 1
1 2
; 5 4
10 4 5
2 2
2
x x
x y
x x
x y
x
x y x
x
x x y
2
1
; 5 1
; 3 5 1
x
x y x
x y x
x y
1
; 2
1 2
; 6 1 ) 3 2 (
2 5
; 6 4
3
2
x
x y x
x x y x
x
x y
x x
x
4
2 1
2
; 3
2 3 5
; ) 3 )(
2 (
4 1
2
x
x x
y x
x x
y x
x
x x
y
5 4
1
;
; 5
6 5 5
; 2
x x
x y
x
x x y
x x y
3
; 2 1
3
; 1 2
1
; 1
x
x y x
x
y x
x y
x y
2 Xét tính đơn điệu của hàm số :
Trang 88 a/ y = 2x + 5; y = -3x + 2; y = 1/2x – 10 trên R
b/ y = 2x2 trên (0;+); y = x – 2x2 trên (1/4;+)
3 Xét tính chẵn lẻ của hàm số :
a/ y = x2 + 1; y = 3x4 – 4x2 + 3; y = 4x3 – 3x; y = 2x + 1; y = x3 - 1
y = x4 + x + 10; y = ; y = x2 + ; y = y = x|x|
x
2
x x
b/ y = ; y= ; y = ; y = y =
x
********************************
Trang 99
PHẦN 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT- HÀM SỐ BẬC HAI
I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1 1 Hàm số bậc nhất:
a) Hàm số y = ax + b (a 0)gọi là hàm số bậc nhất Đồ thị của nĩ là một đường thẳng, a gọi là hệ số gĩc của đường thẳng đĩ Hàm số này đồng biến khi a > 0, nghịch biến khi a < 0
2 b) Hàm hằng y = b (a = 0), đồ thị là đường thẳng song song hoặc trùng với trục hồnh ( nằm ngang) và cắt trục
tung tại điểm (0; b)
3 c) Hàm số Đồ thị là hai nữa đường thẳng vuơng gĩc nhau tại gố O và nằm phía trên trục
0
0
x khi x
x khi x x y
hồnh
4 d) Hàm số yaxb đồ thị là hai nữa đường thẳng nằm trên trục hồnh
5.
a
b x khi b
ax
a
b x khi b
ax b
ax y cĩ ta a
a
b x khi b
ax
a
b x khi b
ax b
ax y cĩ ta a
0
0
6 e) Hàm phần nguyên:
7. - Phần nguyên của số x, kí hiệu x là số nguyên a thỏa axa1
8 -
, ; 1
, 1
a a x a x y
x x
x x
9 2 Hàm số bậc hai:
Hàm số y = ax2 + bx + c (a0)gọi là hàm số bậc hai Đồ thị của nĩ là một parabol
a > 0 : Hàm số nghịch biến và đồng biến
a
b
2
;
2a b
10.
a < 0 : Hàm số đồng biến và nghịch biến
a
b
2
;
2a b
II.MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN:
4 Vẽ đồ thị hàm số y =
1 1
2 1
1 1
2
x voi x
x voi x
5 Viết phương trình y = ax + b của đường thẳng :
a/ Đi qua hai điểm A(-3;2), B(5;-4)
b/ Đi qua A(3;1) và song song với Ox
Vẽ các đường thẳng vừa tìm được trên cùng hệ trục tọa độ
6 Xác định hàm số bậc hai y = 2x2 + bx + c, biết rằng đồ thị của nĩ
a) Cĩ trục đối xứng là đường thẳng x = 1 và cắt trục tung tại điểm (0 ; 4)
b) Cĩ đỉnh là I(-1 ; -2) c) Đi qua hai điểm A(0 ; -1), B(4 ; 0) d) Cĩ hịanh độ đỉnh là 2 và đi qua điểm M(1 ; -2)
Trang 107 Tỡm a, b, c bieỏt raống parabol y = ax2 + bx + c caột truùc hoaứnh taùi hai ủieồm A(1;0), B(-3;0) vaứ coự hoaứnh ủoọ ủổnh
laứ -1 Veừ parabol vửứa tỡm ủửụùc
8 Tỡm giao điểm của parabol y = 2x2 + 3x – 2 với cỏc đường thẳng
a) y = 2x + 1 b) y = x – 4 c) y = - x – 4
bằng cỏch giải phương trỡnh và bằng đồ thị
9 Lập bảng biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số y = x2 – 2|x| + 1
10 Vẽ đồ thị hàm số y = |x2 – 6x + 5|
BỔ SUNG BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
1 Cho hàm số y= 2xm xm2.Tìm m để y xác định với mọi x>1
2 Tìm hàm số y=f(x) vừa là hàm số chẵn vừa là hàm số lẻ
3 Cho hai hàm số cùng phụ thuộc tham số m :
Hàm số y=f(x) =(m+ 2)(x+2) có đồ thị là đường thẳng dm và hàm số y =(m- 2)x+m2-1 có đồ thị là đường thẳng ∆m
Có hay không giá trị m để dm//∆m ?
Cmr các đường thẳng dm(khi m thay đổi) luôn đồng quy tại một điểm cố định trong khi đường thẳng
∆m không đi qua điểm cố định nào cả
4.Cho parabol (P) có phương trình y = ax2+bx+c luôn tiếp xúc với đường thẳng (d) : y=2x+1 tại A(1 ;3)
Tính b,c theo a
Tìm quỹ tích đỉnh của (P) khi a thay đổi
Tìm các điểm trong (Oxy) mà (P) không thể đi qua
5 Cho parabol (P) y = x2 – 2(m2 – 1)x + 4
a) Xaực ủũnh m deồ (P) tieỏp xuực truùc hoaứnh
b) ẹũnh m ủeồ (P) caột truùc hoaứnh taùi 2 ủieồm phaõn bieọt
c) Tỡm taọp hụùp caực ủổnh cuỷa (P) khi m thay ủoồi
d) Tuứy theo m bieọn luaọn soỏ giao ủieồm cuỷa (P) vaứ ủửụứng thaỳng (d) :y = 2x + 3m2
e) Chửựng minh raống m R, (P) luoõn ủi qua moọt ủieồm coỏ ủũnh
6.Cho hàm số y=f(x) = x2 - 2(m+ 1 )x + m trong đó m là tham số khác 0 Giả sử
m
( )
min
1
; 1
y
x
( )
max
1
; 1
y
x
Hãy tìm các giá trị của m sao cho y2-y1=8
7.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2
;
1
2
y
8.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y x 22x 4x212x9
9.Viết phương trình parabol biết
Parabol đi qua A(0;2),B(-1;7),C(1;1)
Parabol có đỉnh toạ độ I(2;5) và đi qua A(1;4)
Parabol đi qua A(2;0) B(-2;-8) và đạt cực trị bằng 1
Parabol có đỉnh A(1;-2) và chắn đường thẳng (d): y=x+1 một dây cung MN = 34
10 Tìm các điểm cố định của họ đường cong y = m2x2 + 2(m-1)x + m2-1 theo 2 cách
11.cmr các parabol trong họ parabol Pm vừa tiếp xúc nhau vừa tiếp xúc với một đường thẳng cố
12.Tìm m để hàm số sau xác định trên D1;3: