Biết cách vận dụng định lý về giới hạn hữu hạn của hàm số để tính giới hạn của các hàm số đơn giản.. Biết cách tính giới hạn hữu hạn của hàm số bằng máy tính bỏ túi.[r]
Trang 1Người soạn: Nguyễn Thị Thu Đại số và giải tích 11
Người hướng dẫn: Trần Việt Cường Ngày dạy: 04/10/2017
Tiết 53 §2: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
I MỤC TIÊU
Qua bài học, HS sẽ:
1 Về kiến thức
Hiểu được khái niệm giới hạn của hàm số tại một điểm, chủ yếu thông qua các ví dụ và minh họa
Hiểu được định lý về giới hạn hữu hạn
2 Về kỹ năng
Biết cách vận dụng định lý về giới hạn hữu hạn của hàm số để tính giới hạn của các hàm số đơn giản
Biết cách tính giới hạn hữu hạn của hàm số bằng máy tính bỏ túi
3 Về tư duy, thái độ
Được rèn luyện tính tư duy logic có hệ thống
Được rèn luyện tính tích cực, chủ động, sáng tạo trong học tập
Được rèn luyện tính cẩn thận, chính xác, trách nhiệm trong học tập và làm việc nhóm
Kích thích được hứng thú học tập, giúp HS thấy được mối liên hệ giữa các kiến thức trong toán học
4 Định hướng phát triển năng lực
Phát triển năng lực tư duy logic, năng lực phát hiện và giải quyết vấn
đề, năng lực phân tích, năng lực hợp tác, năng lực đánh giá,…
II CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH
Giáo viên: Đồ dùng dạy học, Computer và Projector, bảng phụ, các câu hỏi
gợi ý giúp học sinh tự tiếp cận kiến thức
Học sinh: Đồ dùng học tập, máy tính bỏ túi.
III TỔ CHỨC HOẠT ĐỘNG DẠY VÀ HỌC
Trang 21 Ổn định: Ổn định tổ chức lớp
2 Kiểm tra bài cũ: (Lồng ghép vào các hoạt động)
3 Bài mới
HS
GHI BẢNG – TRÌNH
CHIẾU
Hoạt động 1: Khám phá phát hiện định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại
một điểm HĐTP 1: Hình thành định nghĩa
GV ghi tiêu đề bài toán
lên bảng
GV gợi ý:
Các giá trị tương ứng
( ), ( ), , ( ), n
ủa hàm số f x( ) lập
thành 1 dãy số, kí
hiệu là ( ( ))f x n
Bằng các phép biến
đổi đại số và x n 1 thì
( )n
f x có thể biểu diễn
như thế nào?
Áp dụng định lý về
giới hạn của dãy số,
tính lim ( )f x n
GV gợi động cơ:
Khi đó, ta nói rằng hàm
HS suy nghĩ giải quyết bài toán
2
( )
1
n n n
n
f x
x
2
( )
1
2 1
n
n
n n
n n
f x
x
x x
x x
với mọi n
lim ( ) lim 2
n
x
§2: Giới hạn của hàm số
Xét bài toán:
Cho hàm số
2
( )
1
f x
x
và một dãy x x1 , , , , 2 x n
những số thực khác 1 ( tức
là x n 1 với mọi n) sao cho
limx n 1
a) Chứng minh rằng
( ) 2n n
f x x b) Tính lim ( )f x n
Giải:
a) Vì x n 1 nên:
2
( )
1
2 1
n
n
n n
n n
f x
x
x x
x x
b) Vì limx n 1
nên:
lim ( ) lim 2f x n x n 2 limx n 2
Trang 3số
2
( )
1
f x
x
cĩ giới hạn là 2 khi x dần tới 1
Vậy, thế nào là giới hạn
hữu hạn của hàm số tại 1
điểm
GV ghi tiêu đề lên
bảng
I Giới hạn hữu hạn của hàm số tại 1 điểm
1 Định nghĩa
HĐTP 2: Phát biểu định nghĩa
GV yêu cầu HS phát
biểu định nghĩa theo ý
hiểu
GV chính xác hĩa định
nghĩa và tĩm tắt định
nghĩa
0
lim
x x f x L
0 0
n
n
dãy x
GV đưa ra chú ý:
Ở đây, thay cho các
khoảng ( ; ), (a b ; ), ( ;b a )
hoặc ( ; ), ta viết
chung là khoảng K
HS phát biểu định nghĩa theo ý hiểu
HS ghi chép bài
Định nghĩa 1 (SGK/124)
Cho hàm số yf x( ) xác định trên K hoặc trên
0
\
Khi đĩ,
0
lim
x x f x L
0 0
n
x K x
n dãy x
Chú ý:
Ở đây, thay cho các khoảng ( ; ), (a b ; ), ( ;b a ) hoặc ( ; ) , ta viết chung là khoảng K
HĐTP 3: Củng cố định nghĩa
GV hướng dẫn HS thực
hiện VD1
Nêu tập xác định của
HS thực hiện theo hướng dẫn của GV
Ví dụ 1(SGK/124):
Cho
2 4 ( )
2
x
f x
x
Chứng
Trang 4hàm số
Dựa vào định nghĩa:
Lấy 1 dãy ( )x n bất
kì cần thỏa mãn
những điều kiện gì?
Bằng kiến thức đã
học tìm lim ( )f x n
Kết luận về lim ( ) 2
x f x
GV giúp HS đưa ra lưu
ý
Mối quan hệ giữa tập
xác định và giới hạn
tại 1 điểm
GV gợi động cơ nhằm
đưa ra nhận xét:
Tương tự VD trên:
Lấy dãy số ( )x n bất
kì
Tìm lim ( )f x n
Kết luận 0
lim ( )
x x f x
lim ( ) lim 0 0 0
x x f x x x x x
TXĐ: D \2
Lấy ( )x n bất kì thỏa mãnx n \2 và
limx n 2
2 4 ( )
2
n n n
x
f x
x
2 4 lim ( ) lim
2
lim
4
n n
n
n n n
x
f x
x
x x x
2
lim ( ) 4
x f x
HS:
f x( ) không xác định tại x 2
f x( ) có giới hạn là 4
khi x 2
HS dựa vào định nghĩa và VD1 để giải quyết:
Lấy dãy số ( )x n bất kì,
n
x và limx n x0
Ta có:
0
lim ( ) limf x n x n x
lim ( ) lim
x x f x x x x x
minh lim ( ) 2 4
x f x
Giải:
Tập xác định: D \2 Giả sử ( )x n là một dãy
số bất kì thỏa mãn
\ 2
n
x và limx n 2
Ta có:
2 4 lim ( ) lim
2
lim
4
n n
n
n n n
x
f x
x
x x x
Do đó lim ( ) 2 4
x f x
Lưu ý: Hàm số f x( ) không xác định tại x0, nhưng vẫn
có thể có giới hạn tại điểm này
Ví dụ 2:
Cho các hàm số sau:
f x x x
( ) ,
g x c x
(với c là
hằng số)
Tính 0
lim ( )
x x f x
0
lim ( )
x x g x
,x0
Trang 5Tương tự đối với g x( )
GV đưa ra nhận xét
SGK/124
GV đưa ra ví dụ, hỏi
đáp nhanh đối với HS
lim ( ) limg x n c c
lim ( ) lim
x x g x x x c c
HS áp dụng nhận xét, thực hiện ví dụ
a) lim 6 6
x x
b) 13
1 lim
3
x
x
c) lim 5 5 6
x
d)
2
x x
Giải:
Giả sử ( )x n là một dãy số bất kì, x n và limx n x0
Ta có:
0
lim ( ) limf x n x n x
lim ( )
x x f x x
Tương tự ta có:
lim ( ) limg x n c c
lim ( ) lim
x x g x x x c c
NHẬN XÉT:
lim 0 0
x x x x
lim
x x c c
(với c là
hằng số)
Ví dụ 3:
Tính:
a) lim 6
x x
b) 13
lim
x
x
c) lim 5 6
x d)
2 3
2 lim 3
x
Giải:
a) lim 6 6
x x
b) 13
1 lim
3
x
x
c) lim 5 5 6
x
d)
2
x x
Hoạt động 2: Hình thành định lý về giới hạn hữu hạn
Trang 6 GV đặt vấn đề đưa ra
định lý:
Nhắc lại định lý về
giới hạn hữu hạn của
dãy số
Giới hạn hữu hạn của
hàm số cũng có tính
chất tương tự
GV đưa ra định lý
GV hướng dẫn HS
cách ghi nhớ nhanh:
Giới hạn của tổng,
hiệu, tích, thương của hai
hàm số tại một điểm bằng
tổng, hiệu, tích, thương
các giới hạn của chúng tại
điểm đó (trong trường hợp
HS thực hiện yêu cầu của GV
HS chú ý ghi chép bài
2 Định lý về giới hạn hữu hạn
ĐỊNH LÝ: (SGK/125) a) Giả sử 0
lim ( )
x x f x L
,
0
lim ( )
x x g x M
Khi đó:
lim [ ( ) ( )]
x x f x g x L M
lim [ ( ) ( )]
x x f x g x L M
lim [ ( ) ( )]
0
x x cf x c L
(c=const)
lim
x→ x0
f ( x) g(x ) =
L M ( nếu M ≠ 0)
b) Nếu ( ) 0f x và
0
lim ( )
x x f x L
, thì
L ≥ 0 và 0
lim ( )
x x f x L
(Dấu của f x( ) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn, với x x 0)
Trang 7thương, giới hạn của mẫu
phải khác không).
GV: Định lý vẫn hoàn
toàn đúng trong trường
hợp tổng quát
Tức là:
Giả sử :
0
lim ( ) , lim ( ) , ,
lim ( )
x x
f x L
Khi đó:
0 1 2
1 2
n
x x
n
Tương tự trong các công
thức còn lại
GV yêu cầu HS về nhà
hoàn thiện các công
thức tổng quát còn lại
HS tìm hiểu định lý trong trường hợp tổng quát
Tổng quát:
Giả sử :
0
lim ( ) , lim ( ) , , lim ( )
x x
f x L
Khi đó:
0 1 2
1 2
n
x x
n
0 1 2
1 2
n
x x
n
0 1 2
1 2
lim [ ( ) ( ) (x)]
n
x x
n
Hoạt động 3: Củng cố và vận dụng định lý
GV hướng dẫn HS thực
hiện VD4
Tập xác định của hàm
số
Nhận xét về lim( 1 1)
x x
lim( 1) lim lim1 1 1 0
chưa thể áp dụng định
lý về giới hạn hữu hạn
HS thực hiện theo hướng dẫn của GV
TXĐ: D \{1}
1 1 0
Ví dụ 4 Tính:
2 1
2 lim
1
x
x x x
Giải:
TXĐ: D \{1}
Ta có:
Trang 8
Đặt
( )
1
f x
x
Với x 1, hàm số
( )
f x còn được biểu
diễn như thế nào?
Áp dụng định lý về
giới hạn hữu hạn, tính
1
lim ( )
x f x
GV giao VD2 (SGK /
125) là bài tập về nhà
cho HS
GV hướng dẫn HS áp
dụng định lý để đưa ra
nhận xét
GV chia lớp thành 4
nhóm
GV trình chiếu đề bài
lên bảng
(Sử dụng máy chiếu)
Phiếu học tập
Nhóm 1, 3 Nhóm 2, 4
Tìm:
a)
2
3 2
1
2
lim
x
b)
c)
2 2 2
lim
2
x
x x
x x
d)
( )
1
1 2
f x
x
x x
lim ( ) lim( 2) lim lim 2
1 2 3
x
HS áp dụng định lý:
0
0 0 0 0
lim lim lim lim lim (lim )
k
x x
x x x x x x x x
k
x x
ax
HS thực hiện theo yêu cầu của GV
Nhóm 1, 3:
a)
2
lim( 2) lim lim 2
1 2 3
NHẬN XÉT:
Nếu k là một số nguyên dương và a là một hằng số
thì x0 , ta có:
x x ax ax
Phiếu học tập
Nhóm 1, 3 Nhóm 2, 4 Tìm:
a)
2
3 2 1
2 lim
x
b)
1
c) 2 2 2
lim
2
x
x x
x x
d)
3
1
Giải:
Trang 9 3
1
1
Sau thời gian 5 phút,
GV chọn ngẫu nhiên
2 nhóm trình bày kết
quả lên bảng
2 nhóm còn lại quan
sát và nhận xét bài
làm của nhóm bạn
GV đưa ra nhận xét
về bài của các nhóm
2
3 2 1
2 1
1
1
1
2 lim
( 1)( 2) lim
( 1) lim( 2) 2
lim
lim lim lim 2 lim lim
1 2 1.1 3
x
x
x x
x
x x
x x
x x
x x
x
b)
1 3
lim 7.(lim )
1 7.( 1) 8
x
Nhóm 2, 4:
c)
2 2
2
2
2 2
2
lim
2(lim ).(lim ) lim 1 (lim ).(lim ) 2lim 2.2.2 2 1
2.2 2.2 7
8
x x
x
d)
a) 2
3 2 1
2 1
1
1
1
2 lim
( 1)( 2) lim
( 1) lim( 2) 2
lim
lim lim lim 2 lim lim
1 2 1.1 3
x
x
x x
x
x x
x x
x x
x x
x
b)
1 3
lim 7.(lim )
1 7.( 1) 8
x
c)
Trang 10 GV hướng dẫn HS
cách tính nhanh giới
hạn hữu hạn của hàm
số bằng máy tính bỏ túi
thông qua thao tác trên
máy tính bỏ túi
(Đồng thời chiếu lên
màn hình máy chiếu để
tất cả HS dễ dàng quan
sát)
Cách tính giới hạn hàm
số bằng máy tính bỏ túi
(Casio fx-570, Vinacal)
Để tính 0
lim ( )
x x f x
Casio fx-570:
B1: Nhập vào máy tính
biểu thức ( )
B2: Bấm phím CALC
Máy tính hỏi X ?, ta
nhập vào giá trị xấp xỉ
bằng x0 như X x0 10 8
(hoặc 10 ,10 , 5 9 )
Sau đó nhấn phím “ = ”
Vinacal:
B1: Bấm tổ hợp phím
SHIFT_6_5, màn hình
hiện lim( ) |x
1 3
(lim ).(lim ).(lim ) 7 lim ( 1).( 1).( 1) 7.( 1) 6
x
HS tiến hành tính toán dưới sự hướng dẫn của GV
2 2
2
2
2 2
2
lim
2(lim ).(lim ) lim 1 (lim ).(lim ) 2lim 2.2.2 2 1
2.2 2.2 7
8
x x
x
d)
(lim ).(lim ).(lim ) 7 lim ( 1).( 1).( 1) 7.( 1) 6
Trang 11B2: Nhập f x( ) và x0 vào
máy tính
Sau đó nhấn phím “ = ”
GV yêu cầu HS sử
dụng máy tính bỏ túi
thử lại giới hạn của các
hàm số trong hoạt động
nhóm
GV giúp HS lưu ý các
vấn đề khi sử dụng
máy tính bỏ túi để tính
giới hạn của hàm số
HS sử dụng máy tính
bỏ túi kiểm tra lại các kết quả trên
Lưu ý:
Khi sử dụng máy tính
bỏ túi, kết quả thường chỉ xấp xỉ đáp án
Vì vậy, thường dùng cách này để kiểm tra, thử lại kết quả
IV CỦNG CỐ
Qua bài học, HS cần:
Nắm vững định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm, định lý
về giới hạn hữu hạn
Biết vận dụng định lý về giới hạn hữu hạn của hàm số để giải một số bài toán cụ thể
GV giúp HS hệ thống lại kiến thức bằng một số câu hỏi trắc nghiệm:
Chọn đáp án đúng nhất:
Câu 1: Khẳng định nào sau đây không chính xác?
A Hàm số f x( ) không xác định tại x0, nhưng vẫn có thể có giới hạn tại điểm này
Trang 12B.lim ( ) 0 ( ),n n \ 0 , n 0 n
C 0
lim [ ( ) ( )]
x x f x g x L M
D
lim ( ) lim ( )
x x f x L x x f x L
Câu 2: Tính:
2
lim
1
x
x x
Câu 3: Tính
2 2 1
1 lim
x
x
V DẶN DÒ
Đọc lại bài, đọc trước nội dung phần 3: Giới hạn một bên
Bài tập về nhà:
Hoàn thành định lý tổng quát về giới hạn hữu hạn của hàm số
Hoàn thành ví dụ 2 (SGK/125)
Bài 1, 2, 3a,b,c (SGK/132)