Xaïc âënh vë trê cuía M trãn âæåìng cheïo AC âãø diãûn têch tam giaïc DEF nhoí nháút, tçm giaï trë âoï.. KYÌ THI HOÜC SINH GIOÍI HUYÃÛN BÁÛC THCS NÀM HOÜC 2005 - 2006.[r]
Trang 1KỲ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN BẬC THCS
NĂM HỌC 2005 - 2006 Khóa ngày 11/01/2006 Môn: Toán lớp 9 Bảng A
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (1.5 điểm): Viết tiếp một số nguyên dương vào
sau số 1993 ta được một số chia hết cho 101 Tìm số nhỏ nhất thoả mãn điều kiện trên
Bài 2 (1.5 điểm): Cho 3 số a, b, c thoả mãn điều kiện
a2 + b2 + c2 = 1
Chứng minh rằng: a + b + c + ab + bc + ca ≤ 1 + √3
Bài 3 (2 điểm): Chứng minh rằng:
2+√3
√2+√2+√3+
2−√3
√2−√2−√3=√2
Bài 4 (2 điểm): Cho phương trình có ẩn số là x.
√x2− 4 x+4=√14+6√5 −√14 −6√5
a Rút gọn vế phải của phương trình
b Giải phương trình
Bài 5 (3 điểm): Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a.
Lấy điểm M tuỳ ý trên đường chéo AC, kẻ ME AB, MF
BC Xác định vị trí của M trên đường chéo AC để diện tích tam giác DEF nhỏ nhất, tìm giá trị đó
KỲ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN BẬC THCS
NĂM HỌC 2005 - 2006
ĐỀ CHÍNH
THỨC
ĐỀ CHÍNH
THỨC
Trang 2Khóa ngày 11/01/2006 Hướng dẫn chấm môn: Toán lớp 9 Bảng A
Bài 1(1.5 điểm):
- Giả sử ta có 1993a ⋮ 101 với 0 a ≤ 9, a N
(0.25 điểm)
⇒ 1993a = 19930 + a = 101 197 + a + 33 ⋮ 101 vì a + 33
42 Vậy số viết thêm vào sau 1993 có nhiều hơn 1 chữ
- Giả sử ta có số 1993ab ⋮ 101 với 0 a , b ≤ 9, a,b N
(0.25 điểm)
⇒ 1993ab = 199300 + ab = 101.1973 + ab + 27 ⋮ 101
⇒ ab + 27 ⋮ 101 ⇒ ab = 74
Số nhỏ nhất cần tìm là: 199374
(0.5 điểm)
Bài 2 (1.5 điểm):
Ta có (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 0 nên
ab + bc + ca a2 + b2 + c2 = 1 (1)
(0.5 điểm)
Do đó (a + b + c)2 = 2 (ab + bc + ca) + (a2 + b2 + c2) (a2 + b2
+ c2) = 3 (0.5 điểm)
⇒ a + b + c √3 (2)
Từ (1) và (2) ⇒ a + b + c + ab + bc + ca 1 + √3
(0.5 điểm)
Bài 3 (2 điểm):
Biến đổi 2 + √3 = 4+2√3
2 =
(√3+1)2
2 2 - √3 =
4 −2√3
2 =
(√3 − 1)2
2 Ta có:
2+√3
√2+√2+√3+¿
2 −√3
√2 −√2 −√3 = (√3+1)2/ 2
√2+ (√3+1 ) /√2 + (√3 −1)2/2
√2+ (√3 −1) /√2 (0.5 điểm)
= (√3+1)2
2√2+√6+√2+
(√3 − 1)2
2√2 −√6+√2 (0.5 điểm)
= (√3+1)2
3√2+√6+
(√3− 1)2
điểm)
= (√3+1)
2
√6(√3+1)+
(√3 −1)2
√6(√3 −1)
(0.25 điểm)
Trang 3= √3+1+√3 −1
2√3
điểm)
Bài 4 (2 điểm):
a Rút gọn: √14+6√5 −√14 −6√5=√9+6√5+(√5)2−√9− 6√5+(√5)2 (0.5
điểm)
= √(3+√5)2 - √(3−√5)2 = |3+√5|− |3 −√5| (0.5 điểm)
= 3 + √5 - 3 + √5 = 2 √5
(0.25 điểm)
b Giải phương trình:
√x2− 4 x+4=2√5⇔|x −2| =2√5 (0.25
điểm)
Do đó: x = 2 + 2 √5 = 2(1 + √5 ) và x = 2 - 2 √5 = 2(1 - √5 )
(0.5 điểm) Bài 5 (3 điểm):
(0.25 điểm)
- Ta có: S (DEM) = S (AME)
(0.5 điểm)
⇒ S (DEF) = S (DEM) + S (DMF) + S (EMF)
(0.5 điểm)
(0.25 điểm)
S (DEF) đạt giá trị nhỏ nhất ⇔ BE.BF lớn nhất (0.5 điểm)
Do BE + BF = a nên BE.BF lớn nhất ⇔ BE.BF = a2 (0.5 điểm)
⇔ M là trung điểm AC và S (DEF) = 1
2
điểm)
A E B F
D C
Trang 4* Lưu ý: Học sinh giải bằng cách khác đúng vẫn cho
điểm tối đa.