PHÒNG GIÁO DỤC TP.. Tính tỷ số diện tích hai tam giác OAM và OFM.. Chứng minh các đường thẳng AC, EF và QM đồng qui.
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC TP HUẾ
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS NĂM HỌC 2007
-2008 MÔN TOÁN - LỚP 9
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (2 điểm):
Cho biểu thức A = 1 - 3 + 2
x +1 x x +1 x- x +1
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức A
Bài 2 (2 điểm):
Cho hàm số y = - 2x + 2 có đồ thị (D) và hàm số y =-4
x có đồ thị (H)
a) Tìm toạ độ giao điểm của (D) và (H)
b) Tìm trên (H) điểm A(xA , yA) và trên (D) điểm B(xB , yB) thoả mãn các điều kiện: xA+ xB = 0 và 2yA - yB = 15
Bài 3 (2 điểm):
Tìm các cặp số nguyên (x , y) sao cho:
2
x x y x
Bài 4 (4 điểm):
Cho đường tròn (O , R) và điểm A với OA = 2R Từ A vẽ
2 tiếp tuyến AE và AF đến (O) (E, F là 2 tiếp điểm) Đường thẳng OA cắt (O) tại C và D (O nằm giữa A và C)
a) Tính diện tích tứ giác AECF theo R.
b) Từ O vẽ đường thẳng vuông góc với OE cắt AF tại
M Tính tỷ số diện tích hai tam giác OAM và OFM
c) Đường thẳng kẻ từ D vuông góc với OE cắt EC tại Q Chứng minh các đường thẳng AC, EF và QM đồng qui.
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM 2007-2008
Môn: Toán - Lớp 9 Bài 1(2 điểm)
Trang 2a) (0,75 đ)
x- x +1-3+2 x +2 x+ x
x x +1 x x +1 (0,25 đ)
= x- x +1
x +1 x- x +1 (0,25 đ) b) (1,25 đ)
2
x
1 3
x - +
2 4
(0,5 đ)
Do đó Amin = 0 khi x = 0
2
x -1
x - x+ x -1
(0,75 đ)
Suy ra A 1 Do ó Amax= 1 khi x = 1
Bài 2 (2 điểm)
a) (0,75 đ)
Hoành độ giao điểm của (D) và (H) là nghiệm của phương trình: -2x + 2 = -4
x
x2 - x - 2 = 0
x = -1 ; x = 2 Với x = -1 y = 4 ; với x = 2 y = -2
Vậy toạ độ giao điểm của (D) và (H) là (-1 ; 4) và (2 ; -2) (0,25 đ)
b) (1,25 đ)
A (xA , yA) (H) nên yA =
A
-4
B (xB , yB) (D) nên yB = -2xB + 2 (2)
Do xA + xB = 0 xB = -xA
Thay vào (2) 2yA - 15 = 2xA + 2 hay yA = xA + 17
2 (3) Từ (1) và (3) xA + 17
2 =
A
-4 x
(2xA + 1) (xA + 8) = 0
xA = 1
2
; xA = -8 Với xA = 1
2
yA = 8 ; xB = 1
Với xA = -8 yA = 1
2 ; xB = 8 yB = -14
Trang 3Vẽ hình chính xác (0,25 đ)
I
M
Q
O
E
F
2
; 8) và B (1
hoặc A (-8 ; 1
2) và B (8 ; -14)
Bài 3 (2 điểm):
x - 2x - <y <2- x-1
2
Suy ra y+ >01 y >-1
Do y nguyên nên y = 0 ; 1
Với y = 0 ta có 0 < 2 - x-1 x-1 <2 -2<x-1<2
-1 < x < 3 Do đó x = 0 ; 1 ; 2 (vì x nguyên)
0 2.0
2 2
2 2
2 2
Với y = 1 ta có 1<2- x-1 x-1 <1 -1<x-1<1
2 2
Vậy các cặp số phải tìm là (0 ; 0); (2 ; 0) và (1 , 1)
(0,25 đ)
Bài 4 (4 điểm)
a) (1,25 đ)
Ta có AE = AF (t/c tiếp tuyến) và OE = OF = R nên OA là đường trung trực của đoạn thẳng EF Gọi I là giao điểm của
AC và EF tại I thì OA EF và IE = IF
OEA có OEA = 900 (t/c tiếp tuyến) và EI OA
nên OE2 = OI OA
OE R R ÞOI = = =
OA 2R 2
OIE (OIE = 900) nên EI2 = OE2 - OI2 = R2 -
R =3R Þ EI = 3.R
EF = 2EI = 3.R và AC = AO + OC = 2R + R = 3R
Trang 4SAECF = 1
2 AC EF = 1
2 3R 3 R = 3 3 2
R 2
b) (1,25 đ)
Ta có OM // AE ( OE) nên MOA = OAE
mà OAE = OAM Do đó MOA = OAM
OAM
OFM
S =AM =OM
S FM FM = 1
cos OMF
mà OMF = EAF = 2EAO
sin EAO = OE = R = Þ1 EAO=300
OA 2R 2
Do đó OMF = 600 nên OAM
OFM
S
S = 1 0
cos 60 =
1 2 1 2
c) (1,25 đ)
- Chứng minh DEQ = OFM
Suy ra: QD = OM
- Chứng minh QDMO là hình bình hành
Suy ra QM và DO giao nhau tại trung điểm của mỗi đường Mà I là trung điểm của OD (OI = ID = R
2) nên I là trung điểm của QM
Vậy AC, EF và QM đồng quy tại I
