Đáp án một đề HSG Toán 9

Áp dụng bất đẳng thức Côsi: 4 Vậy hệ đã cho vô nghiệm.

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 MÔN TOÁN

GV: Phạm Thị Hằng - Trường THCS Ngọc Trung

điểm

1

a Điều kiện: x3

3 x

x 5 )

3 x (

) 3 x )(

x 5 (















0,5 1

b Ta có: x  16 4 6 20  16 4( 51)  10 2

3 2 10

2 3 10 3 5 3 2 10

) 2 10 ( 3 5 A























1

1 c

2 3 x

x 5

























3

; 3

5 x 0 3 x

x 5

7

17 x ) 3 x ( 4 x 5

Kết luận:

7

17

x  thì A 2

0,5

0,5 0,5

2

a Pt: x 3 x 3

Điều kiện: x 0

Đặt: 3  x  t;(t 3)  khi đó ta có hệ





































3

0 1 3

3

t x

t x t x t

x

t x































1

4 3

1

1

x

t x

x

x t

Vậy phương trình có nghiệm x = 1

0,5

0,5

0.5

0,5

3x y 6



 



Dễ thấy x, y > 0 Áp dụng bất đẳng thức Côsi:

4

Vậy hệ đã cho vô nghiệm

0,5

1 0,5

3

K H

M

B

A

C

Kẻ đường cao AH của tam giác ABC và đường cao AK của tam

giác cân AMC

ΔABH vuông, có ABH vuông, có B= 300 nên AH = 1

2AB (1) ΔABH vuông, có AMC cân tại A nên AK là đường phân giác và đường trung tuyến,

do đó  0 1

2

  (2) Hai tam giác vuông AHC và CKA

có AC là cạnh chung,   0

ACH CAK 50   , do đó ΔABH vuông, có AHC = ΔABH vuông, có CKA 

AH = CK (3)

0,5

0,5 0,5 0,5 0,5

Câu ý Nội dung Thang điểm

Từ (1), (2), (3) ta có AB = CM 0,5

4

a Ta có ABC ADB    cùng chắn cung AB

 ΔABH vuông, có ABC đồng dạng với ΔABH vuông, có ADB (g.g) (1)

(1)  AB AC

AD ABAB2 = AC.AD

0,25 0,25 0,25 0,25 b

B O

A

O' E

(1) 

2 2

.

Ta lại có OBC OBD CBD 90       0  CBD BDO'   

ΔABH vuông, có COB đồng dạng với ΔABH vuông, có DO'B (g.g)

BC OC R

0,5 0,5 0,5 0,5

c Ta có CAB DAB     EAC DAE   

Mặt khác: AC AB

ABAD, mà AE = AB AC AE

 ΔABH vuông, có CAE đồng dạng với ΔABH vuông, có EAD (g.g)

Do đó CED CEA DEA ADE DAE BAD           

 Tứ giác CBED nội tiếp được trong đường tròn Hay 4 điểm B, C,

E, D cùng nằm trên cùng một đường tròn

0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

5

Biến đổi P trở thành P = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1 = x4 + 2x3 +

2x2 + x2 + 2x + 1= x4 + 2x2(x + 1) + (x + 1)2 = (x2 + x + 1)2

vì

2

  , mà x2 + x + 1 > 0 nên min(x2 + x + 1) = 3 x 1

Vậy MinP =

2

x

1

1

0,5

0,5