Đề hsg toán 9

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH VÀO ĐỘI TUYỂN Môn : Toán lớp 9.. O là giao điểm của hai đường chéo AC,BD.. Đường thẳng qua O song song với AB và cắt AD,BC lần lượt tại M,N.. 2/ Biết diện tích tam

UBND HUYỆN YÊN PHONG CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO Độc lập - Tự do - Hạnh phúc.

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH VÀO ĐỘI TUYỂN

Môn : Toán lớp 9.

Năm học : 2008-2009.

Thời gian làm bài: 150 phút.

Câu 1(2 điểm):

1/ Chứng minh rằng nếu: a + b + c = 0 thì a3 + b3 + c3 – 3abc = 0

2/ Tính giá trị của biểu thức: 2 2 2

y

zx x

yz z

xy

A   Biết 111 0

z y x

Câu 2(2 điểm):

Cho a ,b ,c là các số hũu tỉ thoả mãn: abc = 1 và

c

a b

c a

b a

c c

b b

2 2

Chứng minh rằng: Trong 3 số a, b, c có một số là bình phương của một số hữu tỉ

Câu 3(2 điểm):

1/ Tìm giá trị lớn nhất của: y = ( 2x + 1).(2 – 3x) biết  21 x32

2/ Giải phương trình nghiệm nguyên sau: x2 = y.(y + 1).(y + 2).(y +3)

Câu 4(2,5 điểm):

Cho hình thang ABCD (AB//CD) O là giao điểm của hai đường chéo AC,BD Đường thẳng qua O song song với AB và cắt AD,BC lần lượt tại M,N

1/ Chứng minh rằng: AB1 CD1 MN2

2/ Biết diện tích tam giác AOB bằng a2,diện tích tam giác COD bằng b2 Tính diện tích hình thang ABCD theo a,b

Câu 5(1,5 điểm):

Cho hình chữ nhật có chu vi không nhỏ hơn 2 2 và một tứ giác có các đỉnh nằm trên các cạnh khác nhau của hình chữ nhật đó Chứng minh rằng chu vi tứ giác không nhỏ hơn 2

===================Đề gồm 01 trang===================

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH VÀO ĐỘI TUYỂN

Môn :Toán 9.

Năm học 2008-2009.

Thời gian làm bài 150 phút.

Câu 1(2 điểm)

1/Từ a + b + c = 0  a + b = - c  (a + b )3 = - c3 (0,5đ)

 …  a3 + b3 + c3 - 3abc = 0(0,5đ)

















3

1 1 1

z y x xyz

Mà 111  0

z

y

Câu 2(2 điểm).

a

c y c

b

x

b

2 2

2

1

; 1

; 1

;

;      

Ta có: xyz = 1 và x + y + z = 1x 1y1z  xyz = 1 và x + y + z = xy + yz + zx (0,5đ) Xét (x – 1)(y – 1)(z – 1) = xyz – (xy + yz + zx) + x + y + z – 1 = 0 (0,5đ)

Câu 3 (2 điểm):

1/ Viết Y = 6 

























 x x

3

2 2

1

24

49 2

3

2 2

1 6

2































x x

( có giải thích) (0,5đ)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 

12

1

ĐK

(0,25đ)

Vậy MaxY = 2449khi x = 121 (0,25đ)

2/Đặt a = y2 + 3y  x2 = a(a + 2) = a2 + 2a, aZ

TH1: Nếu a > 0  a2 < x2 < (a + 1)2 Mà x Z  Vô lí (0,5đ)

TH2: Nếu a0  y2 + 3y  0   3 y 0  y 3 ;  2 ;  1 ; 0  ( vì y- nguyên)

(0,25đ)

Thử lại vào phương trình ban đầu ta được 4 nghiệm nguyên:

A B

M O N

Câu 4(2,5 điểm):

1/ MN//AB(gt),AB//CD(gt)  MN// DC

Chỉ ra

AC

OA CD

OM BD

OD AB

OM

BD

OB OA OD

OB OC OA











;

;

AC (0,5đ) D C

Suy ra 1 1   1













CD AB

OM (1) (0,25đ)

Chứng minh tương tự ta có: 1 1   1













CD AB

ON (2) (0,25đ )

Từ (1) và (2) suy ra (ĐPCM) (0,25đ)

2/Chỉ ra S S OD OB S S OD OB

ODC

OBC

OAD

OAB



suy ra SOAD.SOBC = a2b2 mà SADC = SBDC (0,25đ)

 SADC – SODC = SBDC – SODC  SODA = SOBC (0,25đ)

Suy ra (SOAD)2 = (SOBC)2 = (ab)2  SODA = SOBC = ab (0,25đ)

SABCD = SODA+ SOBC+SOAB + SOCD =  2

b

a  (đvdt) (0,25đ)

Câu 5(1,5 điểm):

Xét hình vẽ bên có E,F,G lần lượt là trung điểm MQ,MP,PN (0,25đ)

Ta cần chứng minh chu vi tứ giác MNPQ lớn hơn hoặc bằng 2(đvđd)

Thật vậy: CVMNPQ = 2(AE + EF + FG + GC) (0,5đ)

2AC = 2 AB 2 BC2

2

2AB  BC

2

2

 (0,5đ) Dấu “=” xảy ra khi MNPQ là hình chữ nhật và ABCD là hình vuông (0,25đ)

A

E N

F G

D P C

Chú ý : Với các cách giải khác mà vẫn đúng thì cho điểm tương đương