Đề HSG Toán 9.1

PHÒNG GIÁO DỤC TP.. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AB tại D.. Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với DE cắt đường thẳng AH tại N.. HN b Chứng tỏ N là một điểm cố định.. Tính khoản

PHÒNG GIÁO DỤC TP HUẾ

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS NĂM HỌC 2006 - 2007

MÔN TOÁN - LỚP 9

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (2 điểm): Cho biểu thức A 3y3 10 3x.y2 31xy 10x 3x







 a) Phân tích A thành nhân tử

b) Tìm cặp số x, y thoả mãn điều kiện y - x =

4

3

đồng thời A = 0

Bài 2 (2 điểm):

Cho biểu thức M = x2 + 2y2 + 3z2 + 4t2 với x, y, z, t là các số nguyên không âm Tìm các giá trị của x, y, z, t để biểu thức M có giá trị nhỏ nhất thoả mãn điều kiện:

2x2 - 2y2 + 5t2 = 30

x2 + 8y2 + 9z2 = 168

Bài 3 (2 điểm):

Cho hàm số f(x) =

2 x x

1 x 2 x 2 2







a) Chứng minh rằng với hai giá trị x1 , x2 tuỳ ý của x sao cho 1≤

x1< x2 thì f(x1) < f(x2)

b) Với giá trị nào của x thì

4

3 ) x ( 2

1





Bài 4 (4 điểm):

Cho tam giác cân ABC (AB = AC), đường cao AH Trên cạnh BC lấy

2 điểm M và E sao cho ME =

2

1

BC (BM < BE) Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AB tại D Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với

DE cắt đường thẳng AH tại N

a) Chứng minh: BM BH = MD HN

b) Chứng tỏ N là một điểm cố định

c) Biết AB = 5 cm, BC = 6 cm Tính khoảng cách giữa tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM

2006-2007 Môn: Toán - Lớp 9 Bài 1(2 điểm)

a) (1 điểm)

x x 10 xy 10 xy 21 y x 7 y x 3 y











y 3 3x  y2  7 3x y 10x

y 3 3x  y2  2 3x y 5 3x y 10 60x  (0,5 đ)

y 3 3x  y 2 x  3y 5 x

b) (1 điểm)

x y 0

4

3 x

2

3 x

2















4

3

4

y x 

4

3 x

y  

4

3 x

y   2

3

*

3

x

2

4

3 3

x 2

2

0 12 3

x

4

y x  y  x 43 y  x 43

3

5

4

3 3

x 5

12

16 3

2

5 x

2



















4

y x 

4

3 x

y  

4

3 x

y  

3 2

9

3 2

1

4

27

x  12

1

x 

4

3 x

y  

4

3 x

y   y 152 6

5

y 

4

y x  là: (x 43; y 23) ; (x = 27

2 ) và (x 121 ; y 65) Bài 2 (2 điểm)

3(x2 + 2y2 + 3z2 + 4t2 ) = 198 + 7t2

3M = 198 + 7t2

7 66







Giá trị nhỏ nhất của M là 66 khi t = 0

Từ (1)  (x + y)(x - y ) = 15

Vì x, y là các số nguyên không âm, nên x + y = 15 và x - y =

1 (3)

Hoặc: x + y = 5 và x - y = 3 (4)

Từ (3)  x = 8, y = 7, các giá trị này không thỏa (2)

Từ (4)  x = 4, y = 1 Thay vào (2) ta có:

9z2 = 144

z2 = 16

z = 4 (z = - 4 loại)

Vậûy giá trị nhỏ nhất của M là 66, khi: x = 4, y = 1, z = 4, t

= 0

Bài 3 (2 điểm)

a) 1 điểm

vô nghiệm

ûc

   

x 1 1

1 x x









- Với x1 = 1, x2 >1 thì f(x1) = 0, f(x2) > 0 nên f(x1) < f(x2)

- Nếu x  1, ta có

 

1 x

1 1

1 x

f







Với 1 < x1 < x2 thì 0 < x1 - 1 < x2 - 1 nên:  2

1 1 x

1

2 1 x

1



Do đó:

1 1 x

1 1

1



2 1 x

1 1

1



Vậy với 1 x1 < x2 thì f(x1) < f(x2)

b) 1 điểm

f(x) > 1

2  x 2 x 2

1 x x 2 2









>1

2











 x (x - 2) > 0  x > 2 hoặc x < 0 (1) f(x) <

4

3



2 x 2 x

1 x 2 x 2 2









<

4

3

-3) < 0

Từ (1) và (2) suy ra

2

1

< f(x) <

4

3

Bài 4 (4 điểm)

A

D

B M H E

C

N

a) Xét  MDE và  HEN có:

ứng vuông góc)

Hay MD.HN = HE.ME

2

1

Do đó: MD.HN = BM.BH (1)

ABH có MD//AH nên

BH

AH BM

MD

 (3) Từ (2) và (3) 

BH

AH HN

BH

AH

BH HN

2



N  AH cố định và HN không thay đổi nên N là điểm cố định

c)

A

P

BC = 6cm  BH = 3cm

= 52 - 32 = 16

 AH = 4cm K

I

B H

C

Gọi K là tâm đường tròn nội tiếp ABC,

Do đó:

5

3 BA

BH KA

KH





8

4 8

KA KH 5

KA 3

KH











KH = 1,5cm

KA = 2,5cm Gọi I là tâm dường tròn ngoại tiếp ABC thì IP là đường

2 2

AB

PA   cm

5

4 AB

AH





  cos(PAI) 0,8

API (Pˆ  90 0) có cos (PAI)

AI

AP

3,125 0,8

cos( )

AP AI

PAI

Do đó KI = AI - AK = 3,125 - 2,5 = 0,625 (cm)

Vậy khoảng cách giữa tâm đường tròn ngọai tiếp và tâm

đường tròn nội tiếp của tam giác ABC là 0,625cm