BÀI 2 HE DOI XUNG LOAI II

Hay nói cách khác hệ đối xứng loại II là hệ mà khi ta đổi vai trò của x y, cho nhau thì phương trình của hệ này chuyển thành phương trình kia... Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta t

CHỦ ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ LỚP 10.

Vấn đề 2 : HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II

1 Định nghĩa

Hệ đối xứng loại II là hệ có dạng:

( ) ( )

F x y

F y x

=





Trong đó F x y( );

là biểu thức không đối xứng

Hay nói cách khác hệ đối xứng loại II là hệ mà khi ta đổi vai trò của x y, cho nhau thì phương trình của hệ này chuyển thành phương trình kia

2 Phương pháp giải

Trừ vế theo vế hai phương trình trong hệ ta được một nhân tử chung là (x y− )

: ( ; ) ( ; ) 0 ( ) ( ; ) 0 ( )

f x y

=





3 Áp dụng

Câu 1 Giải hệ phương trình:

2 2







Lời giải

Trừ vế với vế hai phương trình, ta được:

x −y − x+ y= y− x ⇔ −(x y x y) ( + − =1) 0 1 0

x y

x y

=



⇔  + − =

Do đó hệ đã cho tương đương với:

0

x y

 − =



hoặc

1 0

x y

 + − =



Trường hợp 1:

( )

5 0

− =

Trường hợp 2:

( ) 2

2

x

y

hoặc

2 1

x y

=



 = −



Vậy hệ có bốn nghiệm ( )0;0

, ( )5;5

, (−1;2)

, (2; 1− )

Nhận xét: Nếu hệ có nghiệm (x y0; 0)

thì cũng có nghiệm (y x0; 0)

Câu 2 Giải hệ phương trình sau:

3 4

3 4

y

x y

x x

y x

y

=  ÷



 − =  ÷



Lời giải

Điều kiện: x y, ≠0

Hệ tương đương:

2

2

4 0

x y x y

Xét x y=

thì

x + x= ⇔ =x

hoặc x= −2

Chọn x y= = −2

Xét x y+ + = ⇒ = − −4 0 y 4 x

thì x2+3 4x( + = −x) 4 4( +x) ( )2

2

Vậy hệ có nghiệm (− −2; 2)

Câu 3 Giải hệ phương trình sau:

3 3







Lời giải

3

3

3

2 3

3 8

0

x y

x y

x

x

=



=





Do đó hệ có bốn nghiệm là ( )0;0

, (− 11;− 11)

, ( 11; 11)

Câu 4 Giải hệ phương trình sau:

2 2

2 2







Lời giải

Điều kiện: x y, ≥0

Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta thu được:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x + x− y + y = y x− ⇔ x− y  x+ y x y+ + + x+ y =

Vì ( x+ y x y) ( + )+ +1 2( x+ y)>0

nên phương trình đã cho tương đương với: x=y

Hay x2−2x+ x = ⇔0 x2+ x =2x⇔ x( x−1)(x+ x− =1) 0

2

x x

x





Vậy hệ có 3 cặp nghiệm:

( ; ) ( ) ( )0;0 , 1;1 , 3 5 3; 5

Câu 5 Giải hệ phương trình sau:







Lời giải

Hệ đã cho



⇔ 



Trừ vế theo vế hai phương trình của hệ ta được:

x y

x y xy

=



⇔  + − + =

+ Nếu x= y

thay vào hệ ta có:

5 6 0

3

x y

x y

= =



− + = ⇔  = =

+ Nếu x y+ −2xy+ = ⇔ −7 0 (1 2x) (1 2− y) =15

Mặt khác khi cộng hai phương trình của hệ đã cho ta được:

( ) (2 )2

x +y − − + = ⇔x x x− + y− =

Đặt a=2x−5,b=2y−5

Ta có:

2

0 1

31

a b ab

ab











Trường hợp 1:

( ) ( ) ( )

0

; 3; 2 , 2;3 1

a b

x y ab

+ =

 = −



Trường hợp 2:

8 31

a b ab

+ = −



 =



vô nghiệm

Vậy nghiệm của hệ đã cho là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x y; = 2; 2 , 3;3 , 2;3 , 3;2

Câu 6 Giải hệ phương trình sau:

3 3







.

Lời giải

Điều kiện:

;

x≥ − y≥ −

Để ý rằng

1 2

x= = −y

không phải là nghiệm

Ta xét trường hợp x y+ ≠ −1

Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta thu được:

x + x− + x+ − y + y− + y+ = −y x

( )

x y

−

Khi x= y

xét phương trình:

x + x− + x+ = ⇔x + x+ x+ − =

x

Tóm lại hệ phương trình có nghiệm duy nhất: x= =y 0

Câu 7 Giải hệ phương trình

2 2 2 2

2 3

2 3

y y x x x y



 =



Lời giải

ĐK: xy≠0

Hệ

x y y

y x x



⇔ 



Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta được:

x y

x y xy y x xy x y x y x y

xy x y

− =



TH1:

0

thế vào (1) ta được

3x − − = ⇔ =x 2 0 x 1

TH2: 3xy x y+ + =0

Từ

2 2

2

x

+

= ⇒ >

;

2 2

2

y

+

Suy ra: 3xy x y+ + >0

Do đó TH2 không xảy ra

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( )1;1

Câu 8 Giải hệ phương trình:







.

Lời giải

● Điều kiện:

3

4 2

3

4 2

x y

−



−



Lấy ( ) ( )1 − 2

, hệ phương trình đã cho tương đương với hệ :







0





x y





x y





2x 3 4 y 4

x y



⇔ 

=



7 2 (2 3)(4 ) 16

x y



⇔ 

=



3 11 9

x y

x y

= =





⇔  = =



● So với điều kiện, hệ có hai nghiệm:

( )3;3 , 11 11;

9 9

S=   ÷

Câu 9 Giải hệ phương trình:

( ) ( )

2 2







Lời giải

Điều kiện

0 0

x y

≥



 ≥



( ) ( )1 − 2

ta được: x2+ −3 y2+ +3 3( x− y) =0 ( ) 3

Nhận thấy x= =y 0

không là nghiệm của hệ, với x>0,y>0

ta có:

( ) 3

+

x y

x y

+

3

x y

Thay vào phương trình ( )1

của hệ ta được

( )

2

2

2

2

1

3 2

1

3 2

x x

x x

x

x x

+ + +

+ + +

Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( ) ( )x y; = 1;1

Câu 10 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:

(I)







.

Lời giải

Điều kiện cần:

Giả sử hệ phương trình có nghiệm là (x y0; 0)

thì (y x0; 0)

cũng là nghiệm của hệ (I) Vì vậy, để

hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất thì 0 0

x = y

Thay 0 0

x = y

vào hệ ta được:

0

0

x

=





Để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất thì pt(*) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép 0

0

x =

25 4 0

25

25 4 0

4

5 0

m

m m

∆ = − <





⇔ =∆ = − = ⇔ >





Điều kiện đủ:

Với

25 4

m>

, ta có

(I)

( ) ( )

2 2

2

, 0

x y

cộng vế với vế của (1) và (2), ta được:

x x − x m+ +y y − y m+ =

2 2

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi

25 4

m>

4. Bài tập tự luyện

Câu 1 Giải hệ phương trình

2 2

3 3







Câu 2 Giải hệ phương trình

2 2

1 1







Câu 3 Giải hệ phương trình

2 2 2 2

1 1 1 1

y x

y x y x





−

 =



Câu 4 Giải hệ phương trình:

1

5 1

5

y x x

x y y

 = +





 = +



Câu 5 Giải hệ phương trình sau:

y x







Câu 6 Giải hệ phương trình sau:

( ) ( )

-ïí

-ïî

Câu 7. Giải hệ phương trình :

3 4

y

x y

x x

y x

y

 − =





 − =



Câu 8. Giải hệ phương trình :







Câu 9. Giải hệ phương trình

( ) ( ) ( )

, 0

x y





Câu 10 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:

( ) ( )

2 2

1 1

xy x m y

xy y m x





HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ

Câu 1 ĐS: Có bốn nghiệm ( )0;0

, ( )4;4

, (1+ 3;1− 3)

, (1− 3;1+ 3)

Câu 2 ĐS: ( )1;1

Câu 3 ĐS: ( )1;0

, ( )0;1

Câu 4 Điều kiện x≠0;y≠0

Ta có

2

1

5

5

y x

x

x y x y

y xy

x y y

 = +



 = +



Do

x≠ y

nên

;



⇔ 





Câu 5 Điều kiện : x y, ≥1

Ta có :

x y

y x





 ⇒2x−2y+ y− −1 x− =1 0 2( )

y x

x y

−

x y

Khi x= y

thì 2x+ x− = ⇒1 1 x− = −1 1 2x ( )2

1 2

1 1 2

x

 ≤



⇔ 

 − = −

1 2

x x

 ≤



⇔ 

Khi

1

2

y− + x− =

thì

(vô nghiệm vì x y, ≥1

)

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( )0;0

Câu 6 Lấy

( )1

trừ

( )2

vế với vế ta được:

3x −3y −(3x−3 ) 0y = ⇔ −(x y x y)( + − −) (x y) 0=

0

x y x y

Với x=y thay vào (*) ta có:

Với x= -1 y thay vào (*) ta có:

2y −3y= −(1 y) − ⇔2 y − + =y 1 0

(vô nghiệm) Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm (1; 1) và (2; 2)

Câu 7 ĐS: (x;y) = (-2;-2)

Câu 8 ĐS: (x;y) = (7;7)

Câu 9 Điều kiện

0 0

x y

≥



 ≥



Lấy ( ) ( )1 − 2

theo vế ta được:

4 2

x xy y x y

x y x xy y x y

⇔ =

(do x y, ≥0

)

Thay

y x = vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:

( ) ( )

2

2

2 2

1

x

x

( )

2 2

2 7 0

1

0 3

x





Với điều kiện x≥0

, phương trình ( ) 3

vô nghiệm

2 7 0

1 2 2

x

x

 = − − + − = ⇔ 

= − +



Với điều kiện x≥0

, ta chọn nghiệm

(x y; ) = − +( 1 2 2; 1 2 2− + )

Câu 10 Điều kiện cần:

Giả sử hệ phương trình có nghiệm là (x y0; 0)

thì (y x0; 0)

cũng là nghiệm của hệ Vì vậy, để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất thì 0 0

x = y

Thay 0 0

x = y

vào hệ ta được:

2

2x −mx + =m 0 (*)

Để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất thì pt(*) có nghiệm kép

8

m

m

=



⇔ ∆ = − = ⇔  =

Điều kiện đủ:

+ Với m=0

, ta có

hpt

2 2

0 0

xy x

xy y





ta thấy hệ có vô số nghiệm thỏa mãn y= −x

Vậy giá trị m=0

(loại) + Với m=8

, ta có

hpt

( ) ( )

( )

2

2

2

8

72 0

x y

x y

x y

y x

 =



Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m=8