hệ đối xứng loại 2

Đoàn Vương Nguyên toancapba.com CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI KIỂU II 1.. Dạng 1: ìïï íï ïî fx, y = 0 fy, x = 0 đổi vị trí x và y cho nhau thì phương trình này trở thành phư

ThS Đoàn Vương Nguyên toancapba.com CHUYÊN ĐỀ

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI (KIỂU) II

1 Dạng 1: ìïï

íï

ïî

f(x, y) = 0

f(y, x) = 0 (đổi vị trí x và y cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia) Phương pháp giải chung

Cách giải 1

Trừ hai phương trình cho nhau, đưa về phương trình tích, giải x theo y (hay ngược lại) rồi thế vào một trong hai phương trình của hệ

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình

3 3

x 2x y (1)

y 2y x (2)

ìï + = ïïí

Giải

Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được:

x -y +3x-3y = 0 Û (x-y)(x +y +xy+3)= 0

Û - êêëççè + ÷÷÷ø + + úúû = Û = Thế y = x vào (1) hoặc (2) ta được:

3

x + =x 0 Û x = 0 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x 0

ì = ïï

íï =

Ví dụ 2 Giải hệ phương trình 2x 3 4 y 4 (1)

2y 3 4 x 4 (2)

ïïí

ïïî

Giải

Điều kiện:

3

x 4 2

3

x 4 2

ìïï- £ £

ïï

íï

ï- £ £

ïïî

Trừ (1) và (2) ta được:

( 2x+ -3 2y+3) (+ 4- -y 4-x)= 0 (2x 3) (2y 3) (4 y) (4 x) 0

Thay x = y vào (1), ta được:

2x + +3 4-x = 4 Û x+ +7 2 (2x+3)(4-x) =16

ì - ³ ïï

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt

11 x

y 9

ìïï =

Cách giải 2 (nên dùng khi cách 1 không giải được)

Cộng và trừ lần lượt hai phương trình đưa về hệ phương trình mới tương đương gồm hai phương trình tích (thông thường tương đương với 4 hệ phương trình mới)

Ví dụ 3 Giải hệ phương trình

3 3

x 2x y (1)

y 2y x (2)

ïïí

ïïî

Giải

Trừ và cộng (1) với (2), ta được:

ì

+

2 2

ïî

Vậy hệ phương trình có 5 nghiệm phân biệt: x 0 x 1 x 1 x 3 x 3

Cách 3 Sử dụng hàm số đơn điệu để suy ra x = y

Ví dụ 4 Giải hệ phương trình 2x 3 4 y 4 (1)

2y 3 4 x 4 (2)

ïïí

ïïî

Giải

Điều kiện:

3

x 4 2

3

x 4 2

ìïï- £ £

ïï

íï

ï- £ £

ïïî

Trừ (1) và (2) ta được:

2x + -3 4-x = 2y+ -3 4-y (3)

2

ë û, ta có:

2

ç

= + + - > " Î -ççè ÷÷÷øÞ(3)Û f(x)= f(y) Û x = y

Thay x = y vào (1), ta được:

2x + +3 4-x = 4 Û x+ +7 2 (2x+3)(4-x) =16

2 11

9

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt

11 x

y 9

ìïï =

Ví dụ 5 Giải hệ phương trình

3 3

ìï + = ïïí

Giải

Xét hàm số f(t)= t3 +2t Þ f (t)/ = 3t2 + >2 0, t" Î ¡

Hệ phương trình trở thành f(x) y (1)

f(y) x (2)

ïï

+ Nếu x > y Þ f(x)> f(y)Þ y> (do (1) và (2) dẫn đến mâu thuẩn) x

+ Nếu x < y Þ f(x)< f(y)Þ y< (mâu thuẩn) x

Suy ra x = y, thế vào hệ ta được x3 +x= 0 Û x = 0

Vậy hệ có nghiệm duy nhất x 0

ì = ïï

íï =

Chú ý:

Khi gặp hệ phương trình đối xứng loại II dạng 1, ta nên giải cách 1 Nếu giải không được mới nghĩ đến cách 2

và 3, nếu vẫn không giải được thì quay trở về đề bài và tìm điều kiện chính xác rồi giải lại cách 1!

Ví dụ 6 (trích đề thi ĐH khối B – 2003) Giải hệ phương trình:

2 2 2 2

3x

y

3y

x

ïï ïí

ïï = ïïî

Giải

Nhận xét từ hệ phương trình ta có x 0

ì >

ïï

íï >

ïî Biến đổi:

2 2 2

2 2 2

2

y

3yx y 2 (2)

3y

x

ïïî Trừ (1) và (2) ta được:

(x-y)(3xy+ +x y)= 0 Û x = y (3xy+ + >x y 0) Với x = y : (1) Û 3x3 -x2 - =2 0Û (x-1)(3x2 +2x+2) = 0 Û x =1 Vậy hệ có 1 nghiệm x 1

ì = ïï

íï =

2 Dạng 2: ìïï

íï

ïî

f(x, y) = 0

g(x, y) = 0 , trong đó chỉ có 1 phương trình đối xứng

Phương pháp giải chung

Cách giải 1

Đưa phương trình đối xứng về dạng tích, giải y theo x rồi thế vào phương trình còn lại

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình

2

2x xy 1 0 (2)

ìïï = -ïï

íï

ïïî

Giải

Điều kiện: x ¹ 0, y ¹ Ta có: 0

ç

Û - ççè + ÷÷÷ø= Û = Ú =

-+ Với y = x: (2) Û x2 - =1 0 Û x = ±1

y

x

= - : (2) vô nghiệm

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt x 1 x 1

Cách giải 2 (nên dùng khi cách 1 không giải được)

Đưa phương trình đối xứng về dạng f(x) = f(y)Û x = với hàm f đơn điệu y

Ví dụ 2 Giải hệ phương trình x2 y cos x cos y (1)

x y 3y 18 0 (2)

-ïï

Giải

Tách biến phương trình (1), ta được:

(1) Û x-cos x = -y cos y (3)

Xét hàm số f(t)= -t cos tÞ f (t)/ = +1 sin t> 0, t" Î ¡

Suy ra (3)Û f(x)= f(y) Û x = y

Thay x = y vào (2), ta được:

3 2

x -3x-18 = 0 Û (x-3)(x +3x +6) = 0 Û x = 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x 3

ì = ïï

íï =

Chú ý:

Cách giải sau đây sai:

2

2x xy 1 0 (2)

ìïï = -ïï

íï

ïïî

Giải

Điều kiện: x ¹ 0, y ¹ 0

2

f(t) t , t \ {0} f (t) 1 0, t \ {0}

Suy ra (1)Û f(x)= f(y)Û x= ! y

Sai do hàm số f(t) đơn điệu trên 2 khoảng rời nhau (cụ thể f(–1) = f(1) = 0)

BÀI TẬP Giải các hệ phương trình sau

1)

2

2

ïïí

2)

2

2

ïïí

3 x

y 2

ìïï =

ïïí

ì = ïï

íï =

ïïí

ì = ïï

íï =

ïïí

6)

3

3

ìï = +

ïïí

2

3 2x y

x 3 2y x

y

ìïï + =

ïïï

íï

ïï

ïî

Đáp số: x 1

ì = ïï

íï =

2 2

1

y 1

x

ïïï íï

ïïïî

Đáp số: x 1

ì = ïï

íï =

9)

x y 4 y

ìï - =

ïïí

ì = ïï

íï =

10)

3 2

3 2

ïïí

11) (trích đề thi ĐH khối A – 2003)

3

2y x 1 (2)

ìïï = -ïï

íï

ïïî

Hướng dẫn giải

Điều kiện: x ¹ 0, y ¹ 0

2

- ±

x

4

æ- ÷ö

ç ÷÷

4

Þ + + = vô nghiệm Cách khác:

+ Với x < Þ1 x+ > Þ2 0 x4 + + > x 2 0

+ Với x ³ Þ1 x4 ³ x ³ - Þx x4 + + > x 2 0

Suy ra (2) vô nghiệm

Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm phân biệt

ì =

12) x sin y (1)

y sin x (2)

ì =

ïï

íï =

ïî

Hướng dẫn giải

Trừ (1) và (2) ta được:

x- =y sin y-sin x Û x+sin x = y+sin y (3)

Xét hàm số f(t)= +t sin tÞ f (t)/ = +1 cos t³ 0, t" Î ¡

(3) Û f(x)= f(y) Û x = yÞ (1)Û x-sin x = 0 (4)

Xét hàm số g(x)= x-sin x Þ g (x)/ = -1 cos x ³0, x" Î ¡ Þ (4) có không quá 1 nghiệm

Do g(0)= 0 Þ(4)Û x = 0 Vậy hệ có 1 nghiệm x 0

ì = ïï

íï =