Phương pháp giải.. Rút xtheo y rồi thế vào một trong hai phương trình của hệ ta được một phương trình trùng phương theo ẩn y.. Giải hệ phương trình... Gv: Nguyễn Thị Duyên, FB:Nguyễn Duy
Trang 1CHỦ ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ LỚP 10.
Vấn đề 3: HỆ ĐẲNG CẬP BẬC HAI
1 Định nghĩa.
Hệ đẳng cấp bậc 2 có dạng:
a x b xy c y d
a x b xy c y d
2 Phương pháp giải.
* Cách 1: Khử số hạng tự do để dẫn tới phương trình
Ax +Bxy Cy+ =
sau đó chia cả hai vế
cho
2( 0)
y y≠
* Cách 2: Khử số hạng tự do để dẫn tới phương trình
Ax +Bxy Cy+ = ( )1
Đặt x ty=
khi đó ( )1 ⇔ y At2( 2+Bt C+ ) =0
* Cách 3: Từ hệ khử số hạng
2
x
( hoặc
2
y
) để dẫn tới phương trình khuyết
2
x
Rút xtheo y rồi thế vào một trong hai phương trình của hệ ta được một phương trình trùng phương theo ẩn y
3 Áp dụng.
Câu 1 Giải hệ phương trình
( ) ( )
x xy y
x xy y
Lời giải
Cách 1:
Khử số hạng tự do từ hệ ta được phương trình
2 9 22 2 0
x + xy− y = ( )3
Với y=0
thì x=0
không thỏa mãn hệ nên y≠0 ⇒
chia cả hai vế của phương trình ( )3
cho
2
y
ta được:
11
x y
x
y
=
Trang 2Với
x
x y
thay vào ( )2
ta được:
Với
x
thay vào ( )2
ta được:
11 14
−
−
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm
( ) (2;1 , 2, 1 ,) 11, 1 , 11 , 1
S = − − − −
Cách 2:
Khử số hạng tự do từ hệ ta được phương trình
2 9 22 2 0
x + xy− y = ( )3
Đặt x ty=
khi đó phương trình ( )3
trở thành
2 2
0
11
y
t
=
= −
+ Với y=0
thay vào hệ ta có
2 2
8
=
x
vô nghiệm
+ Với t= ⇒ =2 x 2y
(giải tiếp như cách 1)
+ Với t= − ⇒ = −11 x 11y
(giải tiếp như cách 1)
Cách 3: Nhận thấy y=0
thì x=0
nên ta có (0;0) không là nghiệm của hệ phương trình
Khử số hạng
2
x
từ hệ ta được
( )
2
y
−
Thay ( )4
vào ( )2
ta được:
14y −15y + =1 0
Đặt 2( )
0
t =y t≥
ta được phương trình:
2
1
14
t
t t
t
=
=
+ Với
2
t = ⇒y =
(giải tiếp như cách 1)
Trang 3+ Với
2
t= ⇔ y =
(giải tiếp như cách 1)
Gv: Nguyễn Thị Duyên, FB:Nguyễn Duyên
Câu 2 Tìm m để hệ phương trình:
( ) ( )
2
x xy
x xy y m
có nghiệm
Lời giải
Gv: Nguyễn Thị Duyên, FB:Nguyễn Duyên
Nhận thấy x=0
thì (1) vô nghiệm Từ ( )1
suy ra
( )
2 2
*
−
= x
y x
Thay ( )*
vào phương trình thứ hai của hệ, ta được:
( ) ( 2 )2
2
x
− + − − = ⇔4x4−mx2− =8 0 3 ( )
Đặt t=x t2( ≥0)
, khi đó ( )3 ⇔4t2−mt− =8 0 ( )4
Để hệ có nghiệm thì phương trình ( )4
phải có ít nhất một nghiệm không âm Điều này luôn đúng
vì a c. = − <32 0
nên phương trình ( )4
luôn có hai nghiệm trái dấu Vậy với mọi mthì hệ đã cho luôn có nghiệm
Câu 3 Giải hệ phương trình
x x y y
x x y xy y
Lời giải
Ta có hệ tương đương với
( ) ( )
x x y y
x x y xy y
Lấy (1) - (2) ta được phương trình
3 3 2 5 2 3 3 0
x − x y+ xy − y =
Dễ thấy với y=0
hệ trở thành
3 3
1 2
x x
=
=
Do đó hệ vô nghiệm
Với y≠0
, chia cả hai vế cho
3
y
ta được:
Trang 43 2
x y
⇔ =
x y
⇔ =
Thay vào ( )2
ta được
3
2y = ⇔ =2 y 1
Vậy hệ phương trình có duy nhất 1 nghiệm (x y, ) ( )= 1,1
Câu 4 Giải hệ phương trình
2 0
x y x xy y
Lời giải
FB: Hung Tran
Hệ phương trình tương đương với
( ) ( )
x x y y
x x y xy y
Cộng vế với vế hai phương trình ta được:
2x +y −x y−2xy =0
(2x y x) ( 2 y2) 0
2
y x
=
= −
Với y=2x
, thay vào ( )1
ta được
Với y x=
, thay vào ( )1
ta được
3
2x = ⇔ = ⇒ =2 x 1 y 1
Với y= −x
, thay vào ( )1
ta được 0 2=
(vô lý)
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm (x y, ) ( )= 1,1
và
Câu 5 Giải hệ phương trình:
2 2
23 2 11 2(x x y y ) xy y 14
Lời giải
23 2 11 2 3 2 11 2(x x y y ) xy y 14 2x x y4xy y xy 14
Với x=0
không thỏa mãn hệ phương trình, với x≠0
đặt y tx=
hệ phương trình trở thành:
Trang 52 2 2 2 2 2 2 2
2x x t x4tx tx t x 14 x x (2 4t t t t ) 14 11 (2 4x x t t t t) 154 (2)
Thế (1) vào (2) ta được phương trình:
14 (1x + +t 3 ) 11 (2 4t = x + +t t )⇔14(1+ +t 3 ) 11(2 4t = + +t t )
4
3
=
⇔ t − − = ⇔ = −t t t
Với t=2
thế vào phương trình (1) ta được
= ⇒ =
Với
3 4
t= −
thế vào phương trình (1) ta được
2 9
x = −
(vô nghiệm)
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là: S={(1; 2);( 1; 2)}− −
Câu 6 Giải hệ phương trình:
2
2
xy y
+ =
Lời giải
Cách 1:
Điều kiện: { 0
0
x
y≥
≥
2
Do y=0
không thỏa mãn hệ phương trình, nên với y>0
(1)⇔5xy +3y −4y xy =2( xy+y) (3)
Thế
2
2 xy y= +
vào (3) ta được:
5xy +3y −4y xy =(xy y+ )( xy y+ ) (4)
Đặt x ty=
( ĐK: t >0
(3) trở thành:
5ty +3y −4y ty =(ty +y )( ty +y)⇔ y (5t+ −3 4 )t = y t( +1)( t +1)
Trang 65 3 4 ( 1)( 1) 4 5 2 0
( ) ( )3 4 2 5 2 0 2
1
t
Với
2
1
1
x y
x y
y
=
Với x= y
thế vào (2)
2
Với x=4y
thế vào (2)
Kết luận: so với điều kiện của hệ phương trình, tập nghiệm của hệ là:
4 10 10 (1;1),( ; )
S
Cách 2
Điều kiện: { 0
0
x
y≥
≥
2
2
xy y
+ =
2
2
2
Do y=0
không thỏa mãn hệ phương trình, nên với y>0
:
(1)⇔5xy +3y −4y xy =2( xy+y) (3)
Thế
2
2 xy y= +
vào (3) ta được:
5xy +3y −4y xy =(xy y+ )( xy y+ ) (4)
Chia cả 2 vế của (4) cho
3
y
:
(4) 5.x 3 4 x x 1 x 1
5.x 3 4 x x x x 5.x 3 4 x x x x
Trang 73 2
2
4 1
x
x y x
y
=
Với x= y
thế vào (2)
2
Với x=4y
thế vào
(2)
Kết luận: so với điều kiện của hệ phương trình, tập nghiệm của hệ là:
4 10 10 (1;1),( ; )
S
Câu 7 Giải hệ phương trình :
1 5(1 )
(I)
Lời giải
Ta có:
( )I 3 2 3 24( 4 ) 0 1( ) ( )
5 4 2
x y
Thay (2) vào (1) ta được: 3 3 ( 2 2) ( )
x − + −y x +y y− x = ⇔21x3−5x y2 −4xy2 =0
(3)
Dễ thấy ( ; ) (0;0)x y =
không là nghiệm của hệ phương trình
Đặt x ty t= ( ≠0,y≠0)
, khi đó
( )
0 1
3 4 7
t l
t
=
=
+ Với
t= − ⇔ = −x y
Thay vào (2), ta được
9
y
= ⇒ = −
+ Với
Thay vào (2), ta được
2 196 31
y = −
nên hệ phương trình vô nghiệm
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là S ={ (1; 3 ; 1;3− ) (− ) }
Trang 8
Câu 8 Giải hệ phương trình:
2 2 2
x y xy y x y x
x y x
Lời giải
Ta có : ( ; ) (0;0)x y =
không là nghiệm của hệ phương trình
Xét x≠0
, chia cả hai vế của hai phương trình cho
2
x
, ta được hệ phương trình: 2
3
2
2
2
1
1
y y
y
x
− + =
(I)
Đặt
1
z
x
=
, ta có:
( )I 823 132 2 2 4( )
2
y y z yz y z
y z
⇔
+ =
( )
2 2
2 2
⇔
y y z yz y z y z
y z
Khi đó, phương trình (1) trở thành phương trình đẳng cấp bậc ba, đặt y tz=
, ta được: ( )1 ⇔6t z3 3−11t z2 3−3tz3+2z3 = ⇔0 z3(6t3−11t2− + =3t 2) 0
6t 11t 3t 2 0
(vì z= ⇒ =0 y 0
không là nghiệm của hệ)
1 3 2 1 2
t t t
=
= −
+ Trường hợp 1:
x
Theo đề, ta có:
Suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm
1
S
+ Trường hợp 2:
2
x
, tương tự
Trang 9
Suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm
2
10 2 10 10 2 10
S
+ Trường hợp 3:
x
, tương tự
x = ⇔ = ±x
Suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm
3
S
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là
Câu 9 Giải hệ phương trình
( ) ( )
x x y y
Lời giải
Ta có
Do x=0,y=0
không phải là nghiệm của hệ nên ta đặt x ty t= , ≠0
Khi đó phương trình hệ trở thành
3 3
2 2
( 1) (8 2) (t 3) 6
y t y t y
Từ đó ta suy ra
6(t − =1) (8t+2)(t − ⇔ + −3) t t 12t = ⇔ =0 t 3,t = −4,t=0
( Loại t=0
)
+ Với
2 2
3
1 ( 3) 6
t
y
y t
+ Với
2 2
4 78
4
13
=
= −
− =
m
x
t
y t
y
Vậy hệ đã cho có nghiệm là
( ) (3;1 , 3; 1 ,) 4 78; 78 , 4 78; 78
Trang 10Câu 10 Giải hệ phương trình
4 4
1
x y xy
x y x y
Lời giải
Ta có x=0,y=0
không phải là nghiệm của hệ nên ta đặt x ty t= , ≠0
Khi đó phương trình hệ trở thành
3 3
4 4
(4 t 1) (4 1)
y t t
Từ đó ta suy ra
(t − +t 1)(4 t 1) 4+ = t + ⇔ −1 t 4t + = ⇔ =t 0 t 3,t=1,t=0( )l
+ Với
2 3
3
3
1
5
= ±
=
− + =
x
x y t
+ Với
2 3
1 1
1
t
y
y t t
Vậy hệ phương trình có nghiệm là
Câu 11 Giải hệ phương trình ( ) ( )
x y
Lời giải
Ta có:
3
x y
x y
= −
+ Với x= −y
thế vào phương trình
2 9 2 32 0
x − y + =
ta được:
Do đó có hai nghiệm của hệ là
2 2
x y
= −
=
hoặc
2 2
x y
=
= −
+ Với x=3y
thế vào phương trình
2 9 2 32 0
x − y + =
ta được:
2
0.y = −32
, phương trình vô nghiệm
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là
2 2
x y
= −
=
hoặc
2 2
x y
=
= −
Trang 11
Câu 12 Giải hệ phương trình:
Lời giải
● Với x=0;y=0
hệ phương trình trở thành
0 0
0 0
=
=
Suy ra ( ; ) (0;0)x y =
là một nghiệm của hệ phương trình
● Với x≠0
đặt x ty= (1)
hệ phương trình đã cho tương đương với hệ:
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
⇔
2
2
39 22
(2)
14 21
10 111
35 28
t x
t t x
t
−
=
=
Suy ra:
3
Thay
1 3
t= −
vào (2) suy ra
2
3
14 21
t x
t
−
−
Thay x= −3
vào (1) suy ra y=1
Vậy nghiệm của hệ phương trình là
0 0
x y
=
=
hoặc
3 1
x y
= −
=
Câu 13 Giải hệ phương trình sau:
2 3
x y xy x
x x xy
Lời giải
Điều kiện y≥ −1
Ta viết lại hệ thành:
2 3
1 2 ( 1) 1
3 ( 1) 6
x y x y
x x y
Trang 12Ta thấy các phương trình của hệ đều là phương trình đẳng cấp bậc 3 đối với
x y+
Dễ thấy y= −1
không phải là nghiệm của hệ phương trình
Xét y> −1
Đặt
1
x t y= +
thay vào hệ ta có:
3 2
3 3
3 6( 2 ) 0
3
t t t t
t
+ Nếu t =0
thì x=0
Không thỏa mãn hệ
+ Nếu
3
1
9
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
3 3
1
9
x y = −