BAI 4 HE PHUONG TRINH PP THE

Phương pháp thế ẩn.. Phương pháp giải: Từ một trong hai phương trình, rút y theo x hoặc ngược lại thế vào phương trình còn lại.. Giải phương trình ẩn x để tìm x, sau đó tìm được y tươn

CHỦ ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ LỚP 10.

Vấn đề 4: GIẢI HỆ BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ Dạng 1 Phương pháp thế ẩn.

1.1 Phương pháp giải: Từ một trong hai phương trình, rút y theo x (hoặc ngược lại) thế vào phương trình còn lại Giải phương trình ẩn x để tìm x, sau đó tìm được y

tương ứng

1.2 Bài tập ví dụ:

Câu 1 Giải hệ phương trình

3 3

2 26

x y

x y

+ =





Lời giải

Tác giả: Đinh Thị Mỹ; Fb: Mỹ Đinh

Biến đổi hệ về dạng:

3

1 2

1

3

1

x

x

x

y

 = −

= −

= −



= −





Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (−1;3)

và (3; 1− )

Câu 2 Cho hệ phương trình

2

0

x y m

y x m

− − =





a Giải hệ phương trình với m=1

b Tìm mđể hệ có hai cặp nghiệm phân biệt (x y1; 1)

và (x y2; 2)

thỏa mãn 2 2 2 2 ( )

x + y = x + y

Lời giải

Tác giả: Bùi Phùng Đức Anh; Fb: Anh Bùi

a Biến đổi hệ về dạng:

( )2 2 2 3 0 2 2( 1) 2 2 3 0

x m x m m

x m x m

= −



Với m=1

, ta được:

2 1 2

3

y x y x

x

x y x

y x

 =



 =





⇔

b Biến đổi tiếp hệ về dạng:

1

1

2

2

1 1

1 0

3 0

3

x m

y x m

y

y x m

x m

x m

y

 = +

= −



− + −









= −







 Hay, với mọi m hệ luôn có hai cặp nghiệm

Điều kiện ( )*

trở thành ( )2 ( )2

m+ + = m− + ⇔ m− = ⇔ =m

Câu 3 Giải hệ phương trình

3 15

x y x y

x y x y







Lời giải

Tác giả: Đinh Thị Mỹ; Fb: Mỹ Đinh

Biến đổi hệ phương trình dưới dạng:

( ) ( )

( ) ( )

2 2

3

x y xy x y

x y x y

x y x y x y x y xy

Trừ hai vế của phương trình cho nhau ta được:

2xy x y 12 x y xy 0

xy

Thay x y+

vào (*) ta được 2

4xy 3 xy 2 x y 3

Khi đó hệ phương trình tương đương với:

3 2

x y

xy

+ =



 =



Suy ra x y, là nghiệm của phương trình:

2

1 2 1

1

x y t

t t

y

 =



 =

=

− + = ⇔ ⇔





Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: ( )1; 2

và ( )2;1

Câu 4 Giải hệ phương trình ( )

2

x y y x x







Lời giải

Tác giả: Đặng Tấn Khoa, Fb: Đặng Tấn Khoa

( )

2

2 1 ( 1) (2)

x y y x x







Điều kiện: y≥ −1

(1)⇔2 (x y x− ) (+ y −x ) 0= ⇔2 (x y x− ) (+ −y x )(y +yx +x ) 0=

2

0

y x

y x x y yx x

x y yx x

 − =



+)

2 0

y x− =

ta có

2

y=x

: Thế vào phương trình (2) ta được:

(x+2) x + = +1 (x 1) ⇔(x x + −1 2 ) (2x + x + −1 (x +1)) 0=

2

2

1 2 0 (3)

1 0 (4)

x

x x





Giải phương trình (3) được hai nghiệm 1,2

3

x = ±

Với 1

3

x =

tính được 1

3

y = ( thỏa mãn)

Với 2

3

x = −

tính được 2

3

y = ( thỏa mãn)

2

0

1

x

x x

x x

≥





vô nghiệm

+)

2

0

x

y

=



thay vào (2) không thỏa mãn

Vậy hệ có hai nghiệm là ( 3 ;3) và (− 3 ;3)

1.3 Bài tập rèn luyện.

Bài 1 Giải hệ phương trình

x y

x y y





Lời giải

Từ phương trình (1) ta được

5 3 2

y

x= +

Thế vào phương trình (2):

2 2

5 3

2

y

y y

+

2

1

23

y

y y

y

= −





 = −

 Với y= − ⇒ =1 x 1

Với

y= − ⇒ = −x

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là (1; 1− )

và

;

− − 

Bài 2 Giải hệ phương trình

x y y x y

x y y x x y







Lời giải

Điều kiện

1 0

x y

≥ −



 ≥



Từ phương trình

( )3 3

(1)⇔x − −y 1 + − + =x y 1 0

( ) 2 ( ) ( )2

1 0 1

x y x x y y

x y

x y

⇔ − + =

⇔ = −

(Vì 2 ( ) ( )2

x +x y− + −y + > ∀ ∈x ¡

)

Thế x y= −1

vào phương trình (2) ta được: (y−1) y y y+ =2y+6

2y y 2y y 6 0

⇔ − − − = ⇔( y−2 2)( y+2 y+ =3) 0⇔ y− = ⇔ =2 0 y 4

Với y=4

suy ra x=3

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x y; ) ( )= 3; 4

Bài 3 Giải hệ phương trình

2

2

x y x









Lời giải

Tác giả: Bùi Phùng Đức Anh; Fb: Anh Bùi

Điều kiện xác định: x>0,y≠0

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với

y x

y x y x x xy y y x x x x

x y

x + = + ⇔ + = + ⇔ + − − =

Xem đây là phương trình bậc hai theo biến y, ta có

Do đó, phương trình có hai nghiệm là

2

y= − − + = − x

và

2 2

Suy ra hệ phương trình tương đương với

( )

y x

y y xy

 = −







hoặc

( )

2

2

4

y x

y y xy

=





Ta có

3

)

y x

 = −



⇔ 



(vô nghiệm vì 2 ( )2

y + y− > − x x <

)

2

2(2 ) 2(2 ) 1 3 (2 ) 2 4 1 0

2

y x



2

x

y

=



⇔ 

 = +



hoặc

2

x y

=





 = −



Dạng 2 Phương pháp thế biểu thức.

2.1 Phương pháp giải: Từ một trong hai phương trình, rút biểu thức u x y( , ) theo v x y( , ) thế vào phương trình còn lại

2.2 Bài tập ví dụ.

Câu 1: Giải hệ phương trình

8 2 (1)

3 3( 1) (2)

x x y y







Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Thảo; Fb: Cỏ Vô Ưu

Từ phương trình (2)

2 3( 2 2)

x y

(3) thay vào phương trình (1) ta được:

2

3( 2)

3

x y

x

x x y y x x y x x xy

2

0

x x y

x



 =

 =





* Với x=0

thay vào (3) ta có:

y + =

vô nghiệm

* Với

2

3x 24

y

x

−

=

thay vào (3) ta được:

2 2

x

x

13x 213x 864 0

2 2

9

x

= ± ⇒ = ±



 =







Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là

(3;1);( 3; 1); ; ; ;

S     

= − −  ÷ ÷ − − ÷÷

Câu 2 Giải hệ phương trình

2 2 (2)

x y x y

x y x y



 + + − =



Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Thảo; Fb: Cỏ Vô Ưu

Điều kiện:

x y

x y

+ ≥



 + ≥



Từ (2) suy ra

2x y+ = − + ≥2 x y 0

thế vào (1) ta được

7x y+ = − + ≥x y 3 0

Do đó ta có

hệ phương trình:

2

2

x y x y x y x y

x y x y

x y x y

 + = − + +  + = − + +



x y x y x y xy x y xy x y

x y x y x y xy x y xy x y

2

2 1

10 (l)

11 10 0

x y

x y

y

y y



 − + =  =



Vậy x y= =1

là nghiệm của hệ phương trình

Câu 3 Giải hệ phương trình

( )

2 2 2 2 1 2 2 1 2 0 1

x y x y x y







Lời giải

Tác giả: Trương Thúy ; Fb: Thúy Trương

Điều kiện

( )

1

1 2

x y

 ≥ −





 ≥ −



( )2 ⇔x2+(3y+3)x+2y2+2y− =4 0

, ta xét phương trình ẩn x, có

1

2 4

x y

x y

= −



⇒  = − −

Với x= − − ⇔ +2y 4 x 2y+ =4 0

Trường hợp này loại do đk

;

x≥ − y≥ −

Lại có

( ) ( ) ( )

2

2 2

x y x y xy x y xy

Với x= − ⇔ + =1 y x y 1

, thế vào (3) ta được

8 4xy+ = −3 1 4xy −16⇔8 4xy+ =3 4xy+3 4xy−5

x y+ = ⇒ = +x y ≥ xy⇒ xy− ≤ − < ⇒ xy− xy+ − <

Nên

4

xy+  xy− xy+ − = ⇔ xy+ = ⇔ xy= −

Từ đó ta có hệ

( )

1 2 3 1

3

3 4

2 1 2

x y

x y

tm xy

x y

 = −





 = + =

 = −











 = −







Vậy hệ đã cho có nghiệm là

;

 = − = 

và

 = = − 

1.3 Bài tập rèn luyện.

Bài 1 Giải hệ phương trình

2

1

x y x y x x

xy x x



 + + =



Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Hương; Fb: Nguyễn Hương

( )

2

x y x y x x

xy x x





+ + =



Ta thấy x=0

không thỏa mãn phương trình (2)

Với x≠0

từ (2) có

2 1

1 x

y

x

− + =

, thay vào (1) ta được

( ) ( ) ( ) ( )

2

1

x

⇔ =

hoặc x= −2 (do x≠0 )

Với x=1

thì y= −1

Với x= −2

thì

5 2

y= −

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x; y)

là (1; 1 ,− ) − −2 ; 52÷

Bài 2 Giải hệ phương trình

1

x y

xy x y xy

x y







Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Hương; Fb: Nguyễn Hương

( ) ( )

1 1

x y

xy x y xy

x y







Điều kiện:

0 0

x y xy

+ ≠



 ≠



Với

0 0

x y xy

+ ≠



 ≠



( ) (1 x y)2 2xy 2 1 0 (x y)2 1 2 2 0

xy x y xy xy x y

1

x y x y x y

1

0

x y

x y x y

+ =





Với x y+ =1

thay vào (2) ta được:

( )2









Với − +(x y) =x2+y2

thay vào (2) ta được:

( )2

1

0 1

1

x

x x x y

y



− + = + + + ≥ ⇔ + = ⇔ + = ⇔ =

( Loại )

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x; y)

là

Dạng 3 Phương pháp thế số.

3.1 Bài tập ví dụ:

Câu 1 Giải hệ phương trình

( )

2

3 2

y y x x y

x xy







Lời giải

Tác giả: Trương Thúy ; Fb: Thúy Trương

Từ (2) thế

2

3 x= +xy

vào (1) ta được

y +y x+ x +xy x− y = ⇔y −y x x+ −x y=

( ) ( )

2

0

y y x x x y x y x y

x y

x y x y

x y

=



⇔ − + = ⇔  = −

Với x= y

thay vào (2) ta được

x = ⇔ = ±x ⇒ = ±y

Với x= −y

thay vào (2) ta được 0 3=

Phương trình (2) vô nghiệm

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là

6 6

;

2 2

và

Câu 2 Giải hệ phương trình

y y x x







Lời giải

Tác giả: Ngô Gia Khánh; Fb: Khánh Ngô Gia

Xét hệ

y y x x







Điều kiện:

y − x+ ≥

Ta có: (2)⇔ y2+ −(2 x y) − − =3x 3 0

được xem là phương trình bậc hai theo ẩn y có 2

(x 4)

∆ = +

Phương trình có hai nghiệm:

3 2

1 2

y

− − −





* Trường hợp 1: y= −3

thay vào (1), ta được

2 18 6 13 7 0

x + + − x =

(vô nghiệm)

* Trường hợp 2: y= x+1

thay vào (1), ta được

x −5x− +2 6 x −5x+ =5 0

(3) Giải (3): Đặt

x − x+

= t, điều kiện t≥

0 Khi đó, (3) trở thành:

6 7 0

7 (ko t/m)

t

t t

t

=

 + − = ⇔  = −

Với t=1

ta có:

x − x+ = ⇔x − x+ = ⇔

= ⇒ =



 = ⇒ =



(thỏa mãn) Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là: (1;2)và(4;5)

Câu 3 Giải hệ phương trình sau:

2

x x y x y x

x xy x





Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Thanh; Fb: Thanhh Thanhh.

Ta có :

2

x x y x y x

x xy x





( 2 )2

2

1

2

x xy x



⇔ 





( ) ( )

2

2 2

3

2

1 1

4 2

1

2

0 1

4

4

17

x x x x

xy x x

xy x x

x

x

y x

xy x x

y



 =

=

= −





Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là:

17 4;

4

− 

Câu 4 Giải hệ phương trình sau:

3







Lời giải

Tác giả: Trần Minh Lộc; Fb: Trần Lộc.

Điều kiện xác định 2x y+ ≥0;y≤1

Ta có:

(1)⇔(2x y+ ) 2 2+ x y+ − = ⇔3 0 ( 2x y+ −1)( 2x y+ + =3) 0

1 2



x y

x y

Thay vào phương trình thứ 2 ta có

(2)⇔ x+ +6 2x = ⇔4 ( x+ − +6 2) ( 2x− =2) 0

3

3

2

=





x

vn x

Vậy hệ có nghiệm duy nhất ta có x=2;y= −3

Câu 5 Giải hệ phương trình sau:

1 7

1 13

xy x y

x y xy y

+ + =





Lời giải

Tác giả: Kim Oanh; Fb: Kim Oanh

Ta có :

1 13 (2)

xy x y

x y xy y

+ + =





Từ (1) ta có x y( + =1) 7y−1

Xét y= −1

không thỏa mãn hệ phương trình, với y≠ −1

:

7 1 (1)

1

y x y

−

⇔ =

+ (*), thế (*) vào (2) ta được phương trình:

2

y y ⇔(7y−1) 2 y2+y.(7y−1)(y+11) (+ +y 1)2 =13 (y y2 +1)2

36 33 5 1 0 ( 1).(3 1).(12 5 1) 0

⇔ y − y − y + + = ⇔y y− y− y + y+ =

2

− =

 =



y

y

y y

Với y=1

thế vào (*) ta được x=3

Với

1 3

y= thế vào (*) ta được x=1

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (x;y) là: (

1 (3;1); 1;

3

3.1 Bài tập rèn luyện:

Bài 1 Giải hệ phương trình

2

x x y x y x

x xy x







Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Thanh; Fb: Thanhh Thanhh.

Ta có :

2

x x y x y x

x xy x







( 2 )2

2

1

2

x xy x



⇔ 





2

2 2

3

2

1 1

4 2

1

2

0 1

4

4

17

x x x x

xy x x

xy x x

x

x

y x

xy x x

y



 =

=

= −



Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là

17 4;

4

− 

Bài 2 Giải hệ phương trình

3

2 2 3 2 (1)

6 1 4 (2)







x y x y

Lời giải

Tác giả: Trần Minh Lộc; Fb: Trần Lộc.

Điều kiện xác định 2x y+ ≥0;y≤1

Ta có:

(1)⇔(2x y+ +) 2 2x y+ − = ⇔3 0 ( 2x y+ −1)( 2x y+ + =3) 0

1 2

2 3 0 (vn)



x y

y x

x y

Thay vào phương trình thứ 2 ta có

(2)⇔ x+ +6 2x = ⇔4 ( x+ − +6 2) ( 2x− =2) 0

3

3

2

=





x

vn x

Vậy hệ có nghiệm duy nhất ta có x=2;y= −3

Bài 3 Giải hệ phương trình

1 7

1 13

xy x y

x y xy y

+ + =





Lời giải

Tác giả: Kim Oanh; Fb: Kim Oanh

Ta có :

1 13 (2)

xy x y

x y xy y

+ + =





Từ (1) ta có x y( + =1) 7y−1

Xét y= −1

không thỏa mãn hệ phương trình, với y≠ −1

:

7 1 (1)

1

y x y

−

⇔ =

+ (*), thế (*) vào (2) ta được phương trình:

2

y y ⇔(7y−1) 2 y2+y.(7y−1)(y+11) (+ +y 1)2 =13 (y y2 +1)2

( ) ( ) ( )

36y 33y 5y y 1 0 y 1 3y 1 12y 5y 1 0

2

− =

 =



y

y

y y

Với y=1

thế vào (*) ta được x=3

Với

1

3

y=

thế vào (*) ta được x=1

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm:

( )3;1 , 1;1

3