Tổ 24 đại 10 chương 4 bài 2

Điều kiện của một bất phương trình Tương tự đối với phương trình, ta gọi các điều kiện của ẩn số x để f x  và g x  có nghĩa là điều kiện xác định hay gọi tắt là điều kiện của bất ph

ĐẠI SỐ 10 CHƯƠNG IV

BẤT ĐẲNG THỨC BẤT PHƯƠNG TRÌNH

BÀI 2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH

VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN

Tác giả: Nguyễn Thanh Hải; Fb: Thanh Hải Nguyễn

1 KHÁI NIỆM BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN

a Bất phương trình một ẩn

Bất phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng

          1 

trong đó f x 

và g x 

là những biểu thức của x.

Ta gọi f x 

và g x 

lần lượt là vế trái, vế phải của bất phương trình  1

Số thực x sao cho0

 0  0   0  0 

f x g x f x �g x là mệnh đề đúng được gọi là một nghiệm của bất phương trình

 1

Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó, khi tập nghiệm rỗng thì ta nói bất phương trình vô nghiệm

Chú ý:

Bất phương trình  1

cũng có thể viết lại dưới dạng sau: g x   f x  g x  �f x  

b Điều kiện của một bất phương trình

Tương tự đối với phương trình, ta gọi các điều kiện của ẩn số x để f x  và g x  có nghĩa là điều kiện xác định (hay gọi tắt là điều kiện) của bất phương trình  1

c Bất phương trình chứa tham số

Trong một bất phương trình, ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số Giải và biện luận bất phương trình chứa tham số là xét xem với các giá trị nào của tham số bất phương trình vô nghiệm, bất phương trình có nghiệm và tìm các nghiệm đó

2 HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN

Hệ bất phương trình ẩn x gồm một số bất phương trình ẩn x mà ta phải tìm nghiệm chung của

chúng

Mỗi giá trị của x đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ được gọi là một

nghiệm của hệ bất phương trình đã cho

Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó

Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao của các tập nghiệm

3 MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI BẤT PHƯƠNG TRÌNH

a Bất phương trình tương đương

Ta đã biết hai bất phương trình có cùng tập nghiệm (có thể rỗng) là hai bất phương trình tương đương và dùng kí hiệu "� để chỉ sự tương đương của hai bất phương trình đó "

Tương tự, khi hai hệ bất phương trình có cùng một tập nghiệm ta cũng nói chúng tương đương với

KIẾN THỨC CƠ BẢN

I

=

=

=

I

Đại số lớp 10 |

nhau và dùng kí hiệu "� để chỉ sự tương đương đó."

b Phép biến đổi tương đương

Để giải một bất phương trình (hệ bất phương trình) ta liên tiếp biến đổi nó thành những bất phương trình (hệ bất phương trình) tương đương cho đến khi được bất phương trình (hệ bất phương trình) đơn giản nhất mà ta có thể viết ngay tập nghiệm Các phép biến đổi như vậy được gọi là các phép biến đổi tương đương

c Cộng (trừ)

Cộng (trừ) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương

           

d Nhân (chia)

Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị dương (mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình) ta được một bất phương trình tương đương Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị âm (mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình) và đổi chiều bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương

             

             

e Bình phương

Bình phương hai vế của một bất phương trình có hai vế không âm mà không làm thay đổi điều kiện của nó ta được một bất phương trình tương đương

    2  2 ,   0,   0,

P x Q x � P x Q x P x � Q x � x

f Chú ý

Trong quá trình biến đổi một bất phương trình thành bất phương trình tương đương cần chú ý những điều sau

+ Khi biến đổi các biểu thức ở hai vế của một bất phương trình thì điều kiện của bất phương trình

có thể bị thay đổi Vì vậy, để tìm nghiệm của một bất phương trình ta phải tìm các giá trị của x thỏa

mãn điều kiện của bất phương trình đó và là nghiệm của bất phương trình mới

+ Khi nhân (chia) hai vế của bất phương trình P x  Q x  với biểu thức f x 

ta cần lưu ý đến điều kiện về dấu của f x 

Nếu f x 

nhận cả giá trị dương lẫn giá trị âm thì ta phải lần lượt xét từng trường hợp Mỗi trường hợp dẫn đến hệ bất phương trình

+ Khi giải bất phương trình P x  Q x  mà phải bình phương hai vế thì ta lần lượt xét hai trường hợp

- P x Q x   , cùng có giá trị không âm, ta bình phương hai vế bất phương trình

- P x Q x   ,

cùng có giá trị âm ta viết

       

rồi bình phương hai vế bất phương trình mới

Dạng 1 Tìm điều kiện xác định của bất phương trình

Tác giả:Tào Hữu Huy ; Fb: Tào Hữu Huy

a Phương pháp

Bất phương trình một ẩn x là mệnh đề chứa biến dạng: f x( )g x( ) ( f x( )�g x( )) trong đó

( ), ( )

f x g x là những biểu thức của x.

Điều kiện xác định của bất phương trình là điều kiện của ẩn số x để ( ) f x và ( ) g x có nghĩa.

b Một số ví dụ

Lời giải

Điều kiện xác định của bất phương trình là:

5

2

Vậy điều kiện xác định của bất phương trình đã cho là

5 2

x�

Lời giải

Điều kiện xác định của bất phương trình là: 2x�۳6 0 x 3.

Vậy điều kiện xác định của bất phương trình đã cho là x� 3

Lời giải

Điều kiện xác định của bất phương trình là:

2

1 0

x x x

�  �

1 1 2

x x x

�

�

��

�

� �

1 2

x x



�

Vậy điều kiện xác định của bất phương trình đã cho là x và 1 x� 2

Lời giải

Tìm điều kiện xác định của bất phương trình .

Ví dụ 1

Tìm điều kiện xác định của bất phương trình .

Ví dụ 2

Tìm điều kiện xác định của bất phương trình: .

Ví dụ 3

Tìm điều kiện xác định của bất phương trình: .

Ví dụ 4

Đại số lớp 10 |

Điều kiện xác định của bất phương trình là: 2

2 0

x

 

�

�   �

2

3 2

1 7

0

2 4

x

� 

�

�

�

� � �   �

�� �

3 2

x

Vậy điều kiện xác định của bất phương trình đã cho là

3 2

x

Lời giải

Điều kiện xác định của bất phương trình là:

3 0

3 0 ( 3)( 4) 0

x x

 �

�

�  

�

3 3 3 4

x x x x

�

�

�  

�

�

� �

3 4

x x



�

��

Vậy điều kiện xác định của bất phương trình đã cho là x và 3 x� 4

Dạng 2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG, BẤT PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ

Tác giả: Nguyễn Vũ Hương Giang; Fb: Hương Giang

a Phương pháp

i) Bất phương trình tương đương

Khái niệm: Hai bất phương trình (cùng ẩn) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm

Nếu f x  �g x tương đương với f x1  �g x1  thì ta viết: f x  ��g x  f x1  g x1 

.

Phương pháp: Tìm tập nghiệm của hai bất phương trình, nếu hai bất phương trình có cùng tập nghiệm thì đây là hai bất phương trình tương đương và ngược lại

ii) Bất phương trình hệ quả

Khái niệm: Gọi S S1, 2 lần lượt là tập nghiệm của hai bất phương trình  1

và  2

Ta nói bất phương trình  2

là hệ quả của bất phương trình  1

khi S1� S2

Phương pháp: Gọi S S lần lượt là hai tập nghiệm của hai bất phương trình 1, 2  1 và  2 Tìm hai

tập nghiệm S S , nếu 1, 2 S1�S2 thì ta nói bất phương trình  2 là hệ quả của bất phương trình  1 .

b Một số ví dụ

Tìm điều kiện xác định của bất phương trình: .

Ví dụ 5

Lời giải

Xét bất phương trình  1 ta có: 2x4 50�2x 5 0�x 52



Tập nghiệm S của bất phương trình 1  1

là:

5

; 2

�� �

� �.

Xét bất phương trình  2 ta có: x130�x 3 0�x3

 Tập nghiệm S2 của bất phương trình  2 là �;3 .

Ta thấy S1 � suy ra bất phương trình S2  1 là hệ quả của bất phương trình  2 .

Lời giải

Ta có: x�� �۳5 0 x 5 0 x 5

Tập nghiệm của bất phương trình là: S1 = 5;� (1)

Ta có: 4 2 x� �0 4 2 x� �0 2x�4ۣ x 2

Tập nghiệm của bất phương trình là: S2 = �; 2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra bất phương trình 4 2 x� không là hệ quả của bất phương trình 0 x �5 0

Lời giải

Xét bất phương trình

3 1

1 x

 (ĐKXĐ: x�1)  1

Cho hai bất phương trình: và Chứng minh rằng bất phương trình là hệ quả của bất phương

trình

Ví dụ 1

Cho bất phương trình Bất phương trình có là hệ quả của bất phương trình đã cho không?

Ví dụ 2

Hai bất phương trình dưới đây có tương đương không? Có phải là bất phương trình hệ quả

không?

và

Đại số lớp 10 |

x

 

vn



��  ��

Kết hợp ĐKXĐ ta được tập nghiệm của bất phương trình  1 là: 1;4 (i)

Xét bất phương trình

4 1 1

 (ĐKXĐ: x�1)  2

x



 

� ��

�

 

vn

��  ��

Kết hợp với ĐKXĐ ta được tập nghiệm của bất phương trình  2 là: 3;1 (2i)

Từ (i) và (2i) suy ra hai bất phương trình đã cho không phải hai bất phương trình tương đương, bất phương trình hệ quả

Lời giải

Xét bất phương trình  1 ta có: x �1 x  1 TXĐ: x� 1

Với x�1ta có 2x 1 0 3  .

Do đó nhân vế với vế của  1 với 2x1 ta được: 2x1 x1�x x2 1

Vậy hai bất phương trình đã cho tương đương

Lời giải

Cách 1

Chứng minh hai bất phương trình dưới đây tương đương: và

Ví dụ 4

Cho các bất phương trình: và Hai bất phương trình đã cho có tương đương không?

Ví dụ 5

Xét bất phương trình  1 ta có: 3x251�x32x

3 3x 5 6 2 x 2 6x

9x 15 6 2x 4 6x

5

x

 

Tập nghiệm S của bất phương trình 1  1 là:  �; 5 (i)

Xét bất phương trình  2 :

ĐKXĐ:

0

x x

� � �

�

�

� �

Khi đó

2

2

4

x

2

2

3

4

vn 3

6

13

x

x x

x x

x

�

Tập nghiệm S 2 của bất phương trình  2 là: 1 1; \ 0 

2 2



Từ    i ; 2i suy ra hai bất phương trình đã cho không tương đương.

Cách 2

Giải bất phương trình  1 : 3x251�x32x

3 3x 5 6 2 x 2 6x

9x 15 6 2x 4 6x

5

x

 

Tập nghiệm S của bất phương trình 1  1 là:  �; 5 (i)

Giải bất phương trình  2 :

ĐKXĐ:

Đại số lớp 10 |

Khi đó bpt

2 2

x

�4x3 1  1 4 x2  3

 Khi

1

0

2 x

bất phương trình  3 luôn nghiệm đúng ( do VT(3) 0 VP(3)).

 Khi

1 0

2

x

 �

bất phương trình  3 luôn nghiệm đúng

� �)

Vậy tâp nghiệm của bất phương trình  2

1 1

2 2

Từ    i ; 2i

suy ra hai bất phương trình đã cho không tương đương

Dạng 3 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN CHỨA THAM SỐ

Tác giả: Hồ Nhật Hoàn; Fb: Nhật Hoàn

a Phương pháp

Bất phương trình ax b 0 1  ax b �0, ax b �0, ax b 0 Trong đó a b, chứa tham số, x

là biến

Trường hợp 1: a khi đó 0  1 �b0.

 Nếu b� thì 0  1

vô nghiệm  i

 Nếu b thì 0  1 có nghiệm x ��  2i

Trường hợp 2: a khi đó 0  1 x b

a

 

�

 3i

Trường hợp 3: a khi đó 0  1 x b

a

 

Kết hợp        i ; 2 ; 3 ; 4i i i

suy ra kết luận

b Một số ví dụ

Lời giải

Bất phương trình mx 3 m vô nghiệm khi:

0

0

m

m m



� �

Tìm để bất phương trình vô nghiệm

Ví dụ 1

Vậy với m0, bất phương trình đã cho vô nghiệm

Lời giải

Chuyển bài toán trên về bài toán “tìm m để bất phương trình vô nghiệm”, từ đó suy ra m để bất

phương trình có nghiệm

2

m x mx �m m 1 x 1 0vô nghiệm

 1 0

1 0

m m

�

� �

 �

� , vô lí �m� Vậy với  ��m , bất phương trình có nghiệm.

Lời giải

Ta có:

  1 � m3 x3m7 0� �(m3)x�7 3 m (*)

TH1: Với m3, bất phương trình (*) trở thành:

7 3 3

m x

m



�



Tập nghiệm của bất phương trình là

7 3

; 3

m S

m



 �� �



Để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với x�2;� thì 2;  ;7 3

3

m m



� � �� �



� không có m  i

TH2: m3, bất phương trình (*) trở thành: 0.x�2

Bất phương trình vô nghiệm � không có m  2i

TH3: Với m3 , bất phương trình (*) trở thành:

7 3 3

m x

m



�



Tập nghiệm của bất phương trình là

7 3

; 3

m S

m



� � ���.

Để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với x�2;� thì 2;  7 3 ;

3

m m



� �� � ���,

Hay

m

m

 �� �--  

Tìm m để bất phương trình có nghiệm

Ví dụ 2

Tìm để bất phương trình nghiệm đúng với

Ví dụ 3

Đại số lớp 10 |

Từ  i , 2i , 3i suy ra m�135

khi đó bất phương trình đã cho nghiệm đúng với x�2;� .

Lời giải

1 � m2 x2m 6  * .

TH1: Với m 2, bất phương trình  * trở thành:

2

2

m x m







Tập nghiệm của bất phương trình là

2

; 2

m S

m



Để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với  x 1thì  ;1 2 2 6;

2

m m



� không có m  i

TH2: m 2, bất phương trình  * trở thành: 0x2

Bất phương trình vô nghiệm � không có m  2i

TH3: Với m 2 , bất phương trình (*) trở thành:

2

2

m x m







Tập nghiệm của bất phương trình là

2

2

m S

m



Để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với  x 1thì  ;1 ;2 2 6

2

m m



hay

2

2

2

m

m

 Kết hợp điều kiện m 2 � không có m  3i

Từ      i ; 2 ; 3i i

Vậy không có m thỏa mãn.

Lời giải

Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với

Ví dụ 4

Cho bất phương trình : Gọi là hai điểm phân biệt lần lượt là giao điểm của đồ thị hàm số với hai trục tọa độ Tìm nguyên dương bé nhất sao cho bpt thỏa mãn với và diện tích luôn lớn hơn 5

Ví dụ 5

Giải bpt : mx2m2 �2x8 1  � m2x2m28 0;� x�12  1�

Đặt f x   m2x2m28

Bpt  1�

2

2 0

m m

�

2

�ڳ�

� Vậy khi m2 hoặc m�4 thì bất phương trình  1

thỏa mãn với x�12 Với m� hoặc 4 m2 Xét đồ thị hàm số y 1 m x m  1  d .

Gọi ,A B lần lượt là giao điểm của  d với hai trục tọa độ Ox Oy ;

Khi đó:

1

;0 ; 0; 1 1

m

m



�  �

Nên ta có

 2

1

1

OAB

m m







Theo đề bài ta có:

 2  

1 1

m m





�



 m2 bất phương trình  *

vô nghiệm

 m� bất phương trình 4

2

2

1

5

4 4

m

�

� �

�

6 3 5 4

m m

�

Do m là số nguyên dương bé nhất nên m13.

Vậy m13.

Dạng 4 HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT

Tác giả: Đào Hữu Nghị; Fb: Đào Hữu Nghị

a Phương pháp

Bước 1: Giải từng bất phương trình trong hệ bất phương trình

Bước 2: Tìm giao tất cả các tập nghiệm của các bất phương trình trong hệ bất phương trình

Bước 3: Kết luận: Nếu giao các tập nghiệm khác tập rỗng thì phần giao đó là tập nghiệm của hệ bất

phương trình, nếu giao các tập nghiệm bằng rỗng thì hệ bất phương trình vô nghiệm

b Một số ví dụ

Đại số lớp 10 |

Lời giải

Bất phương trình (1) tương đương 2 �x1 2� �1� �x 3

Bất phương trình (2) tương đương

13

2 4 9 15

17

x   x� x

Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình là

13

;3 17

Lời giải

Bất phương trình (1) tương đương 2 � � nên tập nghiệm của bất phương trình (1) làx 3

1 2;3

Vì x2   �� nên bất phương trình (2) tương đương 1 03 0, x x  �x 1 Tập nghiệm của bất phương trình (2) là T2   �( 1; )

Suy ra tập nghiệm của hệ bất là T T 1�T2   1;3

Vậy nghiệm nguyên của hệ bất phương trình là 0,1, 2, 3}

Lời giải

Bất phương trình (1) tương đương x� suy ra tập nghiệm của bất phương trình (1) là 2 T1 � ; 2

+ Nếu m thì bất phương trình (2) vô nghiệm suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm.0

+ Nếu m thì bất phương trình (2) có tập nghiệm 0 2

1

;

T

m

 �� �

� �

Giải hệ bất phương trình sau:

Ví dụ 1

Tìm nghiệm nguyên của hệ bất phương trình sau:

Ví dụ 2

Tìm tất cả các giá trị của để hệ bất phương trình sau có nghiệm:

Ví dụ 3

Vì T1ǹ�T2 , m 0 nên suy ra hệ bất phương trình luôn có nghiệm.

+ Nếu m thì bất phương trình (2) có tập nghiệm 0 2

1

;

T m

� ��

� suy ra hệ bất phương trình có

nghiệm khi T1ǹ�T2 �

0 1 2

m

m



�

�

� � m�12

Vậy hệ bất phương trình có nghiệm khi m hoặc 0

1 2

m�

Lời giải

3

mx m x



�

�

�  �

3

m x m x



� �

�

�

� � �

�

Hệ bất

phương trình có nghiệm duy nhất

5

4

m

m

(thỏa mãn điều kiệnm ).0

Vậy

3

4

m 

thỏa mãn yêu cầu bài toán

Khi đó :

3

mx m

x



�

�

�  �

x x



�

�

� � �

� ( Vô nghiệm ).

Vậy m không thỏa yêu cầu bài toán.0

Khi đó:

3

mx m

x



�

�

�  �

3

m x m x



� �

�

�

� � �

�

Hệ bất

phương trình có nghiệm duy nhất

4

5

m

m

(thỏa mãn điều kiệnm )0

Kết luận:

,

m  m

thỏa mãn yêu cầu bài toán

Tìm tất cả các giá trị của để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất:

Ví dụ 4