he doi xung loai 2

CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI KIỂU II 1... Cách giải 2 nên dùng khi cách 1 không giải được Cộng và trừ lần lượt hai phương trình đưa về hệ phương trình mới tương đương gồm ha

CHUYÊN ĐỀ

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI (KIỂU) II

1 Dạng 1: ⎧⎪⎪

⎨⎪

⎪⎩

f(x, y) = 0

f(y, x) = 0 (đổi vị trí x và y cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia)

Phương pháp giải chung

Cách giải 1

Trừ hai phương trình cho nhau, đưa về phương trình tích, giải x theo y (hay ngược lại) rồi thế vào một trong hai phương trình của hệ

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình

3 3

x 2x y (1)

y 2y x (2)

⎧⎪ + =

⎪⎪⎨

Giải

Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được:

x −y +3x−3y = 0 ⇔ (x−y)(x +y +xy+3) = 0

2 2

y 3y

⇔ − ⎢⎢⎣⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎟⎠ + + ⎥⎥⎦ = ⇔ = Thế y = x vào (1) hoặc (2) ta được:

3

x +x = 0 ⇔ x = 0 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x 0

⎧ =

⎪⎪

⎨⎪ =

Ví dụ 2 Giải hệ phương trình 2x 3 4 y 4 (1)

2y 3 4 x 4 (2)

⎪⎪⎨

⎪⎪⎩

Giải

Điều kiện:

3

x 4 2

3

x 4 2

⎧⎪⎪− ≤ ≤

⎪⎪

⎨⎪

⎪− ≤ ≤

⎪⎪⎩

Trừ (1) và (2) ta được:

( 2x+ −3 2y+3) (+ 4− −y 4−x)= 0 (2x 3) (2y 3) (4 y) (4 x) 0

Thay x = y vào (1), ta được:

2x+ +3 4−x = 4 ⇔ x+ +7 2 (2x+3)(4−x) =16

Copyright(C) by Foxit Software Company,2005-2006 For Evaluation Only.

2

2

⎧ − ≥

⎪⎪

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt

11 x

y 9

⎧⎪⎪ =

Cách giải 2 (nên dùng khi cách 1 không giải được)

Cộng và trừ lần lượt hai phương trình đưa về hệ phương trình mới tương đương gồm hai phương trình tích (thông thường tương đương với 4 hệ phương trình mới)

Ví dụ 3 Giải hệ phương trình

3 3

x 2x y (1)

y 2y x (2)

⎧⎪ = +

⎪⎪⎨

⎪⎪⎩

Giải

Trừ và cộng (1) với (2), ta được:

x 2x y (x y)(x xy y 1) 0

y 2y x (x y)(x xy y 3) 0

2 2

⎧

+

2 2

2 2

2 2

xy 1

⎪⎩

Vậy hệ phương trình có 5 nghiệm phân biệt: x 0 x 1 x 1 x 3 x 3

Cách 3 Sử dụng hàm số đơn điệu để suy ra x = y

Ví dụ 4 Giải hệ phương trình 2x 3 4 y 4 (1)

2y 3 4 x 4 (2)

⎪⎪⎨

⎪⎪⎩

Giải

For Evaluation Only.

Điều kiện:

3

x 4 2

3

x 4 2

⎧⎪⎪− ≤ ≤

⎪⎪

⎨⎪

⎪− ≤ ≤

⎪⎪⎩

Trừ (1) và (2) ta được:

2x+ −3 4−x = 2y+ −3 4−y (3)

Xét hàm số f(t) 2t 3 4 t, t 3; 4

2

⎣ ⎦, ta có:

2

⎜

= + + − > ∀ ∈ −⎜⎜⎝ ⎟⎟⎟⎠⇒(3) ⇔ f(x)= f(y)⇔ x = y

Thay x = y vào (1), ta được:

2x+ +3 4−x = 4 ⇔ x+ +7 2 (2x+3)(4−x) =16

2 2x2 5x 12 9 x x 3 x 11

9

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt

11 x

y 9

⎧⎪⎪ =

Ví dụ 5 Giải hệ phương trình

3 3

x 2x y

y 2y x

⎧⎪ + =

⎪⎪⎨

Giải

Xét hàm số f(t)= t3 +2t ⇒ f (t)/ = 3t2 + >2 0, t∀ ∈ \

Hệ phương trình trở thành f(x) y (1)

f(y) x (2)

⎪⎪

+ Nếu x > y⇒ f(x)> f(y)⇒ y> (do (1) và (2) dẫn đến mâu thuẩn) x

+ Nếu x < y⇒ f(x)< f(y)⇒ y< (mâu thuẩn) x

Suy ra x = y, thế vào hệ ta được x3 +x = 0 ⇔ x = 0

Vậy hệ có nghiệm duy nhất x 0

⎧ =

⎪⎪

⎨⎪ =

Chú ý:

Khi gặp hệ phương trình đối xứng loại II dạng 1, ta nên giải cách 1 Nếu giải không được mới nghĩ đến cách 2

và 3, nếu vẫn không giải được thì quay trở về đề bài và tìm điều kiện chính xác rồi giải lại cách 1!

Ví dụ 6 (trích đề thi ĐH khối B – 2003) Giải hệ phương trình:

2 2 2 2

3x

y

3y

x

⎪⎪

⎪⎨

⎪⎪ =

⎪⎪⎩

Giải

Nhận xét từ hệ phương trình ta có x 0

⎧ >

⎪⎪

⎨⎪ >

⎪⎩ Biến đổi:

Copyright(C) by Foxit Software Company,2005-2006 For Evaluation Only.

2 2 2

2 2 2

2

y

3yx y 2 (2)

3y

x

⎪⎪⎩

Trừ (1) và (2) ta được:

(x−y)(3xy+ +x y) = 0 ⇔ x = y (3xy+ + >x y 0)

Với x = y : (1) ⇔ 3x3 −x2 − =2 0⇔ (x−1)(3x2 +2x+2)= 0 ⇔ x =1

Vậy hệ có 1 nghiệm x 1

⎧ =

⎪⎪

⎨⎪ =

2 Dạng 2: ⎧⎪⎪

⎨⎪

⎪⎩

f(x, y) = 0

g(x, y) = 0 , trong đó chỉ có 1 phương trình đối xứng

Phương pháp giải chung

Cách giải 1

Đưa phương trình đối xứng về dạng tích, giải y theo x rồi thế vào phương trình còn lại

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình

2

2x xy 1 0 (2)

⎧⎪⎪ − = −

⎪⎪⎨

⎪⎪⎩

Giải

Điều kiện: x ≠ 0, y ≠ Ta có: 0

⎜

⇔ − ⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎟⎠= ⇔ = ∨ = −

+ Với y = x: (2)⇔ x2 − =1 0 ⇔ x = ±1

+ Với y 1

x

= − : (2) vô nghiệm

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt x 1 x 1

Cách giải 2 (nên dùng khi cách 1 không giải được)

Đưa phương trình đối xứng về dạng f(x)= f(y)⇔ x = với hàm f đơn điệu y

Ví dụ 2 Giải hệ phương trình x2 y cos x cos y (1)

x y 3y 18 0 (2)

⎪⎪

Giải

Tách biến phương trình (1), ta được:

(1) ⇔ x−cos x = −y cos y (3)

Xét hàm số f(t)= −t cos t⇒ f (t)/ = +1 sin t > 0, t∀ ∈ \

Suy ra (3)⇔ f(x)= f(y)⇔ x = y

Thay x = y vào (2), ta được:

For Evaluation Only.

3 2

x −3x−18 = 0 ⇔ (x−3)(x +3x+6) = 0 ⇔ x = 3

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x 3

⎧ =

⎪⎪

⎨⎪ =

Chú ý:

Cách giải sau đây sai:

2

2x xy 1 0 (2)

⎧⎪⎪ − = −

⎪⎪⎨

⎪⎪⎩

Giải

Điều kiện: x ≠ 0, y ≠ 0

2

f(t) t , t \ {0} f (t) 1 0, t \ {0}

Suy ra (1)⇔ f(x)= f(y)⇔ x = ! y

Sai do hàm số f(t) đơn điệu trên 2 khoảng rời nhau (cụ thể f(–1) = f(1) = 0)

BÀI TẬP

Giải các hệ phương trình sau

1)

2

2

x 3y 2 0

y 3x 2 0

⎧⎪ − + =

⎪⎪⎨

2)

2

2

x xy x 2y

y xy y 2x

⎧⎪ + = +

⎪⎪⎨

3 x

y 2

⎧⎪⎪ =

⎧⎪ + + − =

⎪⎪⎨

⎧ =

⎪⎪

⎨⎪ =

⎧⎪ + + − =

⎪⎪⎨

⎧ =

⎪⎪

⎨⎪ =

⎧⎪ + + − =

⎪⎪⎨

6)

3

3

x x 2y

y y 2x

⎧⎪ = +

⎪⎪⎨

2

3 2x y

x 3 2y x

y

⎧⎪⎪ + =

⎪⎪⎪

⎨⎪

⎪⎪

⎪⎩

Đáp số: x 1

⎧ =

⎪⎪

⎨⎪ =

2

2

1

y 1

x

⎪⎪⎪

⎨⎪

⎪⎪⎪⎩

Đáp số: x 1

⎧ =

⎪⎪

⎨⎪ =

9)

2 2

2 2

x y 4 y

xy 4 x

⎧⎪ − =

⎪⎪⎨

⎧ =

⎪⎪

⎨⎪ =

Copyright(C) by Foxit Software Company,2005-2006 For Evaluation Only.

3 2

⎪⎪⎩ ⎪⎪⎩y =1 ⎪⎪⎩y = −1

11) (trích đề thi ĐH khối A – 2003)

3

2y x 1 (2)

⎧⎪⎪ − = −

⎪⎪⎨

⎪⎪⎩

Hướng dẫn giải

Điều kiện: x ≠ 0, y ≠ 0

+ Với x = : (2) y x 1 x 1 5

2

− ±

x

3

1 f(x) x x 2 f (x) 4x 1 0 x

4

−

⎛− ⎟⎞

⎜ ⎟⎟

4

⇒ + + = vô nghiệm Cách khác:

+ Với x < ⇒1 x+ >2 0⇒ x4 + + > x 2 0

+ Với x ≥ ⇒1 x4 ≥ x ≥ − ⇒x x4 + + > x 2 0

Suy ra (2) vô nghiệm

Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm phân biệt

⎧ =

12) x sin y (1)

y sin x (2)

⎧ =

⎪⎪

⎨⎪ =

⎪⎩

Hướng dẫn giải

Trừ (1) và (2) ta được:

x− =y sin y−sin x ⇔ x+sin x = y+sin y (3)

Xét hàm số f(t)= +t sin t ⇒ f (t)/ = +1 cos t≥ 0, t∀ ∈ \

(3)⇔ f(x)= f(y)⇔ x = y ⇒(1) ⇔ x−sin x = 0 (4)

Xét hàm số g(x)= −x sin x ⇒ g (x)/ = −1 cos x ≥0, x∀ ∈ \ ⇒ (4) có không quá 1 nghiệm

Do g(0)= 0⇒(4) ⇔ x = 0 Vậy hệ có 1 nghiệm x 0

⎧ =

⎪⎪

⎨⎪ =