TO 19 GADT NHOM 2 ĐOT 2 BAI 2 dang 1 2 CHUONG III

PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI CHỨA THAM SỐ Bài toán 1: Giải và biện luận phương trình chứa tham số.. Ví dụ 2 Giải và biện luận

BÀI 2 PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI

DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI CHỨA THAM SỐ

Bài toán 1: Giải và biện luận phương trình chứa tham số.

A Tóm tắt lí thuyết.

B Một số ví dụ.

Lời giải

Phương trình m2 3 x 2m2  x 4m m2 4x2m2 4m  1

TH1: Với

4 0

2

m m

m





   



 Khi đó phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

2 2

m x m





TH2: Với

4 0

2

m m

m





    

 Khi m 2,  1  0x : phương trình nghiệm đúng 0   x

Khi m 2,  1  0x16: phương trình vô nghiệm

Kết luận:

Khi m 2, phương trình  1

nghiệm đúng   x Giải và biện luận phương trình

Ví dụ 1

Khi m 2, phương trình  1

vô nghiệm

Khi m 2, phương trình  1

có nghiệm duy nhất

2 2

m x m





Lời giải

Xét phương trình

2 2 1

x m x

Điều kiện:

0 1

x x











1

x m x

Phương trình  1 vô nghiệm khi và chỉ khi hoặc phương trình  2 vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất bằng 0 hoặc 1

TH1: Phương trình  2

vô nghiệm khi và chỉ khi

3 0

3

2 0

m

m

 







TH2: Phương trình  2 có nghiệm duy nhất bằng 0 hoặc 1

3 2

3 2

1 3

m

m m

m

















 



Vậy m 3;5

thỏa yêu cầu bài toán

Lời giải

Điều kiện:

1 2

x x









Ta có:

Cho phương trình Tìm để phương trình vô nghiệm

Ví dụ 2

Giải và biện luận phương trình theo tham số

Ví dụ 3

TH1: m 4 Phương trình  2

trở thành 05 (phương trình vô nghiệm)

TH2: m 4 Phương trình  2 2 3

4

m x m





Khi

2 3

4

m

m



Vì

2 3

4

m

m



2 3

2 4

m m





 , m4

Kết luận:

Khi m 4 hoặc m 1, phương trình  1

vô nghiệm

Khi m 4 và m 1, phương trình  1

có nghiệm duy nhất

2 3 4

m x m







Lời giải

Điều kiện:

0 2

x

x











Ta có:

2

TH1:

3 2 0

2

m

m





     

Khi m 1,  2  0x2

: phương trình vô nghiệm Khi đó phương trình  1

vô nghiệm

Khi m 2,  2  0x0

: phương trình nghiệm đúng   x Khi đó phương trình  1

nghiệm đúng   x

TH2:

3 2 0

2

m

m





    



 Phương trình  

2 2

2

x



Giải và biện luận phương trình theo tham số

Ví dụ 4

Khi

2

1

m

m

m    , phương trình  1

vô nghiệm

Vì

2

1

m

m       : vô lý nên

2 2 1

m

m  ,   m \ 1; 2 

Kết luận:

Khi

1 0

m m









 , phương trình  1

vô nghiệm

Khi m 2, phương trình  1

nghiệm đúng   x \ 0; 2 

Khi

0 1 2

m m m











 

 , phương trình  1

có nghiệm duy nhất

2 1

m x m





Lời giải

Điều kiện:  

1 2

x m

 





 

Ta có  1  m3 x m   2  m1x 2m2x m2  *

TH1: 2m  2 0 m1,  *  0x : phương trình vô nghiệm.1

TH2: 2m  2 0 m1 Phương trình  *

có nghiệm  

2

m x

m







2

0 2

2

m m





2 2

2

m m

m





Khi

1

\ 0; 1; 2;

2

m     



, phương trình  1

có nghiệm:  

2

m x

m





 Giải và biện luận phương trình theo tham số

Ví dụ 5

Khi

1 0; 2;

2

m    

  , phương trình  1

vô nghiệm

Kết luận:

Khi

1

\ 0; 1; 2;

2

m     



, phương trình  1

có nghiệm:

2 2( 1)

m x

m







Khi

1 0; 1; 2;

2

 , phương trình  1 vô nghiệm.

Lời giải

TH1:

2

2

2

m

m







 

Khi m 2, phương trình trở thành

1

8 2 0

4

x   x

Khi

1

2

m 

, phương trình trở thành 2x  2 0 x1

TH2:

2

2

2

m

m







    





khi đó phương trình đã cho là phương trình bậc hai

Ta có   4m2 2 2 m25m22 5 m2

Khi 0 2 5 2 0 2

5



        

khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt

2

x



Khi

2 0

5

m



   

phương trình có nghiệm kép x 5

Khi

2 0

5

m



    

phương trình vô nghiệm

Kết luận:

Giải và biện luận phương trình theo tham số

Ví dụ 6

Khi m 2, phương trình có nghiệm duy nhất

1 4

x 

Khi

1 2

m 

, phương trình có nghiệm duy nhất x 1

Khi

2 5

m 

, phương trình có nghiệm kép x 5

Khi

2 5

m  

và m 2, phương trình có 2 nghiệm phân biệt

2

x



Khi

2 5

m  

, phương trình vô nghiệm

Phân tích

- Nhận thấy hệ số a  2 0 nên phương trình đã cho là phương trình bậc hai

- Thực hiện việc tính biệt thức  và biện luận theo 

Lời giải.

Phương trình có    9 2 3 m 5 6m19

Nếu

19

6



   

thì phương trình đã cho vô nghiệm

Nếu

19

6



   

thì phương trình đã cho có nghiệm kép

3 2

x 

Nếu

19

6



   

thì phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt

2

m

Phân tích

- Nhận thấy hệ số a m 1 nên ta cần xét hai trường hợp là a 0 hoặc a 0

Giải và biện luận phương trình theo tham số

Ví dụ 7

Giải và biện luận phương trình theo tham số

Ví dụ 8

Lời giải

TH1: Nếu m  1 0 m1 khi đó phương trình đã cho trở thành: x 3 0  x3

TH2: Nếu m  1 0 m1 khi đó phương trình đã cho là phương trình bậc hai có

2m 12 4m 1 m 2 8m 9

        Nếu

9 0

8

m

    

, phương trình đã cho vô nghiệm

Nếu

9 0

8

m

   

, phương trình đã cho có nghiệm kép x 5

Nếu

9 0

8

m

    

, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt  

x

m



Kết luận:

Khi m 1, phương trình  1

có nghiệm duy nhất x 3

Khi

9 8

m  

, phương trình  1

vô nghiệm

Khi

9 8

m 

, phương trình  1

có nghiệm kép x 5

Khi

9 8

m  

và m 1, phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt  

x

m



Bài toán 2: Tìm điều kiện tham số để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước.

A Tóm tắt lí thuyết

Khi phương trình ax2bx c  có 2 nghiệm phân biệt 0 x , 1 x thì: 2

1 2

1 2

b

x x

a c

x x

a



 







B Một số ví dụ

Lời giải

Phương trình có nghiệm duy nhất khi  2 

0 – 4 3

1 3

m m





 



Lời giải

Tìm để phương trình có nghiệm duy nhất

Ví dụ 1

Tìm để phương trình có nghiệm

Ví dụ 2

Cách 1:

Xét phương trình: 4m5x3x6m 3 4m5x 3x6m3

4m 2x 6m 3 2 2 m 1x 3 2 m 1

Khi

1

2

m 

thì phương trình  1

trở thành: 0x 0, phương trình nghiệm đúng   x

Khi

1

2

m 

thì phương trình  1

có nghiệm duy nhất

3 2

x 

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm   m

Cách 2:

Xét phương trình: 4m5x3x6m 3 4m5x 3x6m3

4m 2x 6m 3 2 2 m 1x 3 2 m 1 1  

Phương trình  1

vô nghiệm khi và chỉ khi

1

1

3 2 1 0

2

m m







 



 

 Suy ra không tồn tại giá trị

m để phương trình  1 vô nghiệm

Vậy phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m

Phân tích

- Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt

- Biến đổi x12x22 x1x22 2x x1 2

để sử dụng định lý Vi-et cho phương trình bậc hai có nghiệm

Lời giải

Phương trình x2 2(m1)x m 2 3m  có hai nghiệm phân biệt 4 0 x x khi và chỉ khi 1, 2

0



   m12 m23m 4 0  m 3 0  m3  *

Ta có

1 2

2

1 2

2 2

3 4





Cho phương trình Tìm để phương trình có nghiệm phân biệt , thỏa

Ví dụ 3

3

m

m





 Kết hợp với điều kiện  *

, vậy m 4 thỏa yêu cầu bài toán

Phân tích

- Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt

- Sử dụng định lý Vi-et cho phương trình bậc hai có nghiệm

Lời giải

Cách 1:

Phương trình  1

có hai nghiệm phân biệt x , 1 x khi và chỉ khi 2

1

1 0

1

m m

m





 



      

Ta có

1 2

1 2

2( 2) 1 3 1

m

x x

m m

x x m





 





Khi đó

1 2 1 2

Vậy 1m3 thỏa yêu cầu bài toán

Cách 2:

Vì khi m1 0  m1,  1

là phương trình bậc nhất nên m 1 không thỏa yêu cầu bài toán Xét m1 0  m1 Vì m1 2m 2m 3 0 (tức a b c  0) nên phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm x 1 và

3 1

m x m





 Yêu cầu bài toán tương đương với

Cho phương trình Tìm để phương trình có 2 nghiệm phân biệt, thỏa ?

Ví dụ 4

3

1 1

2 6

m

m

m

m







Vậy 1m3 thỏa yêu cầu bài toán

Phân tích

- Giả sử x là một nghiệm của một phương trình Khi đó một nghiệm của phương trình còn lại là0 0

3 x

- Thay hai nghiệm vào hai phương trình tương ứng để tìm tham số m

Lời giải

Gọi x là một nghiệm của phương trình 0 x2 mx  2 0

Suy ra 3 x 0 là một nghiệm của phương trình x22x m  0

Khi đó ta có hệ phương trình    

 

 

2 2





Thay  1

vào  2

ta được:

0

0

7 3 5 21 3 5

7 3 5 21 3 5



Vậy

21 3 5 21 3 5

m    

  thỏa yêu cầu bài toán

Cho hai phương trình và Tìm để một nghiệm của phương trình này và một nghiệm của phương

trình kia có tổng là 3?

Ví dụ 5

DẠNG 2 PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG

Bài toán 1: Giải và biện luận phương trình chứa tham số.

A Tóm tắt lí thuyết.

Để giải và biện luận phương trình: ax4bx2  c 0  1

, a 0, ta thực hiện các bước:

B1: Đặt t x 2 với điều kiện t 0

B2: Khi đó, phương trình  1

trở thành: at2bt c  0  2

B3: Khi đó:

a Phương trình  1 có nghiệm duy nhất   2 có nghiệm t1  0 t2

b Phương trình  1

có hai nghiệm phân biệt   2

có nghiệm t1  0 t2

c Phương trình  1

có ba nghiệm phân biệt   2

có nghiệm 0 t 1 t2

d Phương trình  1 có bốn nghiệm phân biệt   2 có nghiệm 0 t 1t2

B Một số ví dụ.

Lời giải

Đặt t x 2 t 0

Phương trình đã cho trở thành

3 2 0

2

t

t





     

 Với t 1 x2  1 x 1

Với t 2 x2  2 x 2

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm

Lời giải

Giải phương trình

Ví dụ 1

Giải phương trình

Ví dụ 2

Đặt t x 2 t 0

Phương trình đã cho tương đương

2018 2019 0

2019

t

t

 



Với t2019 x2 2019 x 2019

Vậy phương trình cĩ 2 nghiệm

Lời giải

Đặt t x t 2 0

phương trình đã cho trở thành

3

t

t









loại

Vậy tổng các nghiệm của phương trình bằng 0

Phân tích

Đặt t x 2, t 0

Khi đĩ, phương trình được biến đổi về dạng: t2  m2t m  0  2

Lời giải

Đặt t x 2, t 0

Khi đĩ, phương trình được biến đổi về dạng: t2  m2t m  0  2

a Phương trình  1

cĩ nghiệm duy nhất khi và chỉ khi  2

cĩ hai nghiệm t , 1 t thỏa 2 t1 0 t2



0

0

S

P











2 0 0

m m

 





 khơng tồn tại m Vậy khơng tồn tại m thoả mãn yêu cầu bài tốn.

Cho phương trình Tính tổng các nghiệm của phương trình

Ví dụ 3

Cho phương trình Tìm để

a Cĩ nghiệm duy nhất

b Cĩ hai nghiệm phân biệt

c Cĩ ba nghiệm phân biệt

d Cĩ bốn nghiệm phân biệt

Ví dụ 4

b Phương trình  1

có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi  2

có 2 nghiệm phân biệt trái dấu

Vậy m 0 thoả mãn yêu cầu bài toán

c Phương trình  1

có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi  2

có 2 nghiệm phân biệt t , 1 t thỏa2

1 2

0 t t

0 0 0

P S

 





  

 



2 4 0

2 0

m

m

  



  

Vậy m 0 thoả mãn yêu cầu bài toán

d Phương trình  1

có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi  2

có 2 nghiệm dương phân biệt 0

0 0

P

S

 





  

 



2 4 0

2 0

m

m

  



  

Vậy m 0 thoả mãn yêu cầu bài toán

Bài toán 2: Tìm điều kiện tham số để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phân tích

Đặt t x 2, t 0

Ta có phương trình t2 2(m1)t4m 8 0  2

Lời giải

Đặt t x 2 (t 0 )

Ta có phương trình t2 2(m1)t4m 8 0  2

PT  1

có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi  2

có 2 nghiệm dương phân biệt Tìm tất cả các giá trị của để phương trình có nghiệm phân biệt

Ví dụ 5

0

0

0

P

S



 





  

 



2

2

4 8 0

3

m m

m m







Vậy m 2 và m 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Phân tích

- Khi giải phương trình trùng phương, ta đặt ẩn phụ để đưa về phương trình bậc hai (chú ý điều kiện

của ẩn phụ)

- Nếu phương trình bậc hai có biệt thức  là số chính phương thì ta tìm cụ thể hai nghiệm, so sánh

hai nghiệm rồi đưa ra điều kiện cho nghiệm

- Nếu phương trình bậc hai có biệt thức  không là số chính phương thì phương trình đã cho có

bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình với ẩn phụ có ngiệm kép dương hoặc hai nghiệm

trái dấu

Lời giải

Cách 1: Đặt t x t 2 0 phương trình đã cho trở thành

1

t m

t m

 



       

 (Trong đó m 1 m1)

Do đó yêu cầu bài toán  m 1 0m1  1 m1

Vậy m   1;1

Cách 2: Đặt t x t 2 0 phương trình đã cho trở thành t2 2mt m 2  1 0  2

Do đó yêu cầu bài toán  phương trình (2) có nghiệm kép dương hoặc có hai nghiệm trái dấu

2

0

2

1 0

b

m a

m



  







  

 



 

 (vì   1,   m )

Vậy m   1;1

Cho phương trình Tìm tất cả các giá trị của tham sô để phương trình đã cho có hai nghiệm

phân biệt

Ví dụ 6