Các ideal trong vành đa thức

Trong nội dung của luận văn, người viết sẽ xem xét các ideal trong vành đa thức K x[ ,...,1 x n] trên trường K theo hai góc độ: ideal hiểu theo nghĩa thông thường của vành đa thức, và

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Thành ph ố Hồ Chí Minh – 2015

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

CÁC IDEAL TRONG VÀNH ĐA THỨC

L ỜI CẢM ƠN

Huyên, người thầy đã gợi cho tôi những ý tưởng mới về đề tài mà bản thân chưa hề nghĩ đến Trong quá trình làm việc, thầy đã đưa ra những góp ý và lời khuyên quí

biết ơn sâu sắc nhất đến thầy

Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh, cảm ơn những gì mà thầy cô đã dạy cho tôi trên

Gia đình, bạn bè là nguồn động viên và là chỗ dựa tinh thần cho tôi trong những lúc khó khăn nhất Bản thân cho rằng phải nổ lực thật nhiều để hoàn thành luận văn

Xin cảm ơn tất cả, chúc tất cả thật nhiều sức khỏe

M ỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cảm ơn

Mục lục

Bảng kí hiệu

L ỜI NÓI ĐẦU 1

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Vành và Ideal 3

1.2 Vành đa thức 6

Chương 2 CÁC IDEAL TRONG VÀNH ĐA THỨC 15

2.1 Ideal đơn thức – Ideal khởi đầu 15

2.2 Cơ sở Gröbner của Ideal 24

2.3 Cấu trúc không gian véctơ của Ideal 30

K ẾT LUẬN 35

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 36

L ỜI NÓI ĐẦU

t rong vành đa thức là cần thiết cho việc xem xét lớp vành đặc biệt này Trong nội dung

của luận văn, người viết sẽ xem xét các ideal trong vành đa thức K x[ , ,1 x n] trên

trường K theo hai góc độ: ideal hiểu theo nghĩa thông thường của vành đa thức, và

ideal xem như là không gian véctơ con của không gian véctơ K x[ , ,1 x n] trên trường

K Việc xem xét đánh giá này nhất thiết phải dẫn đến việc nghiên cứu một lớp ideal

rất quan trọng của vành đa thức, đó là ideal đơn thức, nó cho phép xấp xỉ một ideal tùy

ngược trở lại về ideal ban đầu

Nội dung của luận văn bao gồm:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

ý nghĩa quan trọng với ideal trong vành đa thức cũng được đưa ra trong chương này, đồng thời giới thiệu khái niệm thứ tự từ, giúp cho việc sắp xếp các đơn thức trong một

đa thức

Chương 2 Các ideal trong vành đa thức

Chương này là nội dung chính của luận văn, được phân ra làm 3 tiết

2.1 Ideal đơn thức – Ideal khởi đầu

Trình bày định nghĩa và các tính chất cơ bản của ideal đơn thức, ideal khởi đầu 2.2 Cơ sở Gröbner của ideal

đặc tính ban đầu của cơ sở Gröbner của ideal để đánh giá đặc điểm của ideal ban đầu

2.3 C ấu trúc không gian véctơ của ideal

của không gian véctơ R I/ trên trường K - phần bù của ideal I

hiểu là vành đa thức trên trường

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này trình bày một số kiến thức thiết yếu nhất phục vụ cho việc nghiên cứu chương sau

1.1 Vành và Ideal

M ột số khái niệm về vành được nhắc lại sơ lược qua các định nghĩa sau đây

Định nghĩa 1.1.1: Vành là một tập hợp R ≠ ∅ được trang bị phép toán cộng “+”:

( , )a b a+b và phép toán nhân “.”:( , )a b a b thỏa mãn các tính chất sau:

(ii) Phép nhân có tính chất kết hợp, tức là với mọi , ,a b c∈ : R

Định nghĩa 1.1.2: Cho R là một vành và a R ∈ Phần tử a được gọi là

(i) ước của không nếu a≠ và tồn tại 0 0≠ ∈b R sao cho ab=0,

(ii) khả nghịch (hoặc đơn vị) nếu tồn tại c R∈ sao cho ac= 1

Định nghĩa 1.1.3: Một tập con S ⊆R đóng đối với phép cộng và phép nhân của R

Định nghĩa 1.1.4: Cho f R: →S là ánh xạ của hai vành Khi đó f được gọi là đồng

cấu nếu các điều kiện sau thỏa mãn đối với mọi a b, ∈R:

(i) f a b( + =) f a( )+ f b( )

(ii) f ab( )= f a f b( ) ( )

(iii) f(1 ) 1R = S

đơn ánh (tương ứng toàn ánh, song ánh)

Ideal là khái ni ệm quan trọng nhất để nghiên cứu cấu trúc của vành Nó đóng vai trò như nhóm con chuẩn tắc trong lí thuyết nhóm

Định nghĩa 1.1.5: Cho R là một vành Tập con I ≠ ∅ của R được gọi là ideal nếu

thỏa mãn hai điều kiện:

(i) Với mọi a b, ∈I , a b+ ∈I

(ii) Với mọi a I∈ và r∈R, ra∈ I

N ếu I là ideal thì − = −a ( 1)a∈I v ới mọi a I ∈ Do đó ideal là nhóm con của nhóm

c ộng R , và là vành con theo nghĩa rộng (tức không cần điều kiện chứa 1), nhưng nói chung không là vành con theo qui ước của chúng ta

N ếu I ≠ R thì ta g ọi là ideal thực sự Chú ý rằng I =R khi và ch ỉ khi 1∈R

Cho I là ideal c ủa vành R Như trên đã nói I là nhóm con c ủa nhóm R , do đó ta được nhóm thương R I/ giao hoán Trên R I/ ta định nghĩa thêm phép nhân như sau: (r+I s)( + =I) ( )rs +I Định nghĩa này không phụ thuộc vào phép chọn phần tử đại diện của lớp kề Dễ dàng thử lại rằng phép toán này cùng với phép cộng của nhóm thương R I/ l ập thành một vành giao hoán có đơn vị với phần tử là 0 0 I = + và phần

t ử đơn vị là 1 1 I= +

Định nghĩa 1.1.6: Cho I là ideal của vành R Vành R I/ được gọi là vành thương

của vành R theo ideal I

B ổ đề 1.1.7: Cho I là ideal của vành R Khi đó ánh xạ f R: →R I/ xác định bởi ( )

f r = +r I là một toàn cấu vành Hơn nữa Kerf =I

H ệ quả 1.1.8: Cho I là tập con của vành R Khi đó I là ideal của vành R nếu và chỉ

nếu tồn tại đồng cấu f từ R vào một vành nào đó sao cho Kerf =I

Định lí 1.1.9 (định lí đẳng cấu): Cho f R: →S là đồng cấu vành Khi đó f cảm sinh

Vì 0 là ideal bé nh ất chứa ∅ nên ta qui ước ∅ = 0

Định nghĩa 1.1.11: Cho I là ideal của vành R Nếu A là tập hợp sao cho I = A thì

A được gọi là tập sinh (hay hệ sinh, cơ sở) của I và ta nói I là ideal sinh bởi A

A được gọi là tập sinh tối tiểu của I nếu A là tập sinh của I và không chứa thực sự

một tập sinh khác của I

Ta nói ideal là hữu hạn sinh nếu nó có một hệ sinh hữu hạn

Định lí – Định nghĩa 1.1.12: Cho R là một vành Các điều kiện sau là tương đương:

bao hàm thức)

1 2 n n1 ,

I ⊆I ⊆ ⊆I ⊆I + ⊆

đều dừng sau hữu hạn bước, tức là tồn tại k để I k =I k+1 =

(iii) Mọi ideal của R đều hữu hạn sinh

M ột số lớp ideal đặc biệt khác của vành R

Định nghĩa 1.1.13: Ideal thực sự I của vành R được gọi là nguyên tố nếu ab∈I suy

ra a∈ hoặc I b∈I Ideal thực sự I của vành R được gọi là cực đại (hay tối đại) nếu

nó không thực sự chứa trong một ideal J thực sự nào đó của R

B ổ đề 1.1.14: Cho I là ideal thực sự của vành R Khi đó:

(i) I là ideal nguyên tố khi và chỉ khi R I/ là miền nguyên

(ii) I là ideal cực đại khi và chỉ khi R I/ là trường

H ệ quả 1.1.15: Trong một vành (giao hoán, có đơn vị) mọi ideal cực đại là nguyên tố

M ệnh đề 1.1.16: Mọi vành không tầm thường đều chứa ít nhất một ideal cực đại

H ệ quả 1.1.17: Cho I là một ideal thực sự của vành R Khi đó tồn tại ít nhất một ideal cực đại của R chứa I

Định nghĩa 1.1.18: Ideal I được gọi là ideal bất khả qui nếu I không thể viết dưới

dạng I =  với I1 I2 I I1, 2 ≠ Nếu I I =   sao cho không có ideal , 1,I1 I r I j j = r

nào có thể bỏ được, thì ta gọi phân tích này là phân tích tối giản

Phép nhân đa thức được định nghĩa như sau:

Định nghĩa 1.2.1: Với hai phép toán cộng đa thức và nhân đa thức nêu trên có thể

Tập này được kí hiệu là [ ]R x , được gọi là vành đa thức một biến trên R

Sau khi định nghĩa được đa thức một biến, việc sắp xếp thứ tự các số hạng trong đơn

th ức là cần thiết nên xuất hiện khái niệm bậc đa thức

Định nghĩa 1.2.2: Bậc của đa thức khác 0

f x( )=a x0 0+ + a x n n

với a n ≠0,n ≥ là n Hệ tử 0 a n được gọi là hệ tử cao nhất (hệ tử đầu) của f x( )

Như vậy ta chỉ định nghĩa bậc của đa thức khác 0 Đối với đa thức không ta bảo nó không có b ậc

Định lí 1.2.3: Giả sử f x( ) và g x( ) là hai đa thức khác 0

(i) Nếu bậc của f x( ) khác bậc g x( ), thì ta có:

H ệ quả 1.2.5: Nếu R là miền nguyên, thì [ ]R x cũng là miền nguyên

L ớp vành đa thức một biến trên một trường có một tính chất rất đặc trưng, đó là lớp vành này th ỏa mãn định lí chia đa thức

Định lí 1.2.6: Cho K là một trường và g x( ) là đa thức khác 0 của [ ]K x Khi đó mọi

đa thức f x( )∈K x[ ] có thể viết dưới dạng

f x( )=q x g x( ) ( )+r x( ),

trong đó q x r x( ), ( )∈K x[ ] và hoặc r x( )=0 hoặc bậcr x( )<bậcg x( ) Hơn nữa q x( )

và r x( ) được xác định duy nhất

H ệ quả 1.2.7: Vành đa thức [ ]K x trên một trường tùy ý là vành các ideal chính, nghĩa

là mọi ideal đều sinh bởi một đa thức

Ch ứng minh: Cho I ⊆ K x[ ] là một ideal Nếu I = thì không có gì phải chứng 0minh Giả sử I ≠ Chọn 0 h≠0 là một đa thức có bậc bé nhất trong I\ {0} Cho

f ∈I tùy ý Theo định lí chia đa thức một biến, tồn tại ,q r∈K x[ ] để f =qh r+ sao cho r = hoặc bậc r < bậc0 h Vì I là ideal, nên qh∈I và r = −f qh∈I Nếu r ≠ 0thì mâu thuẫn với cách chọn h Vậy f =qh, tức là I ⊆ h Ngược lại vì h∈I nên

h ⊆ Do đó I I = h □

Định nghĩa 1.2.8: Ước chung lớn nhất của các đa thức f1, , f n∈K x[ ] là đa thức h

sao cho:

(i) h chia hết f1, , f n, nghĩa là f1=q h1 , , f n =q h n ; q1, ,q n∈K x[ ]

(ii) Nếu p là đa thức khác chia hết f1, ,f thì n p chia hết h

Trong trường hợp đó ta viết h=UCLN f( , ,1 f n)

M ệnh đề 1.2.9: Cho f1, , f n∈K x[ ], n≥ Khi đó: 2

(i) UCLN f( , ,1 f n) tồn tại và duy nhất với sai khác một hằng số khác 0 của K

(ii) f1, , f n = UCLN f( , ,1 f n)

(iii) Nếu n≥ thì 3 UCLN f( , ,1 f n)=UCLN UCLN f( ( , ,1 f n−1), f n)

T ừ điều khẳng định (i) của mệnh đề trên suy ra, nếu chọn ước chung lớn nhất là đa

th ức đơn, tức là đa thức có hệ số đầu là 1, thì nó được xác định duy nhất Như vậy,

n ếu không nói gì khác, ta luôn hiểu hệ số đầu của UCLN f( , ,f ) là 1

Thu ật toán 1.2.10: (Thuật toán Euclide) Để tìm UCLN f g( , ) ta thực hiện lần lượt các phép chia đa thức một biến:

B Vành đa thức nhiều biến:

Cho R là một vành và x1, ,x n (n≥ là các biến Ta gọi đơn thức là một biểu thức 1)

định nghĩa như sau:

đa thức f x( ) và x a là đơn thức của f x( )

Hai đa thức ( )

n

a a a

Phép cộng đa thức được định nghĩa như sau:

Định nghĩa 1.2.11: Với hai phép toán cộng đa thức và nhân đa thức nêu trên có thể

Tập này được kí hiệu là R x[ , ,1 x hay [ ] n] R x , được gọi là vành đa thức n biến trên

Tương tự có thể xây dựng vành đa thức vô hạn biến [ ; R x i i ∈ Tuy nhiên mỗi đa thức I]

c ủa vành này vẫn là một đa thức hữu hạn biến Ở đây ta chỉ xem xét vành đa thức hữu

Đối với đa thức một biến, bậc tổng thể chính là bậc thông thường Đôi khi bậc tổng thể

xảy ra

M ệnh đề 1.2.13: Nếu R là miền nguyên thì vành đa thức [ ]R x cũng là miền nguyên Cho ( )f x ∈R x[ ] Với mỗi i ≤deg ( )f x kí hiệu f là t i ổng tất cả các từ có bậc tổng thể

là i trong biểu diễn chính tắc của ( )f x Khi đó

deg( ( )f x +g x( ))≤max{deg ( ), deg ( )}f x g x

degf x( ) deg ( )g x

H ệ quả 1.2.15: Vành đa thức [ ]K x trên trường K là miền nguyên và bậc tổng thể của

đa thức thỏa mãn mệnh đề trên

M ột trong những kết quả đẹp nhất và cơ bản nhất về vành đa thức nói rằng mọi ideal

c ủa vành đa thức trên trường là hữu hạn sinh Đó là nội dung định lí nổi tiếng của Hilbert v ề cơ sở

Định lí 1.2.16: (định lí Hilbert về cơ sở) Cho R là vành Noether và x là t ập n biến

H ệ quả 1.2.17: Mọi ideal của vành đa thức [ ]K x trên trường K là hữu hạn sinh

Gi ống như trường hợp một biến, để sắp xếp các hạng tử của một đa thức nhiều biến

( )

f x khác không, ta s ắp xếp theo thứ tự của các từ được gọi là thứ tự từ

Định nghĩa 1.2.18: Thứ tự từ ≤ là một thứ tự toàn phần trên tập M tất cả các đơn

thức của [ ]K x thỏa mãn các tính chất sau:

(i) Với mọi m∈M, 1≤m

(ii) Nếu m m m1, 2, ∈M mà m1 ≤m2 thì mm1≤mm2

T ừ định nghĩa trên ta thấy ngay trên vành đa thức một biến chỉ có một thứ tự từ Đó là

th ứ tự xác định bởi bậc đơn thức Dưới đây ta sẽ thấy có nhiều cách định nghĩa thứ tự

t ừ khi số biến từ hai trở lên Trước hết ta thiết lập một số tính chất chung của thứ tự

M ệnh đề 1.2.20: Mọi thứ tự từ là thứ tự tốt Ngược lại mọi thứ tự tốt trên M thỏa điều

kiện (ii) của định nghĩa 1.2.18 là thứ tự từ

Cho ≤ là m ột thứ tự từ Sau khi đổi chỉ số các biến luôn có thể giả thiết

x1> x2 > > x n

Sau đây là một số thứ tự từ quan trọng

Định nghĩa 1.2.21: Thứ tự từ điển là thứ tự ≤ xác định như sau: lex

1 1

+Trong cả ba thứ tự trên ta luôn có x1> x2 > > x n

+Với các đơn thức ba biến bậc tổng thể không quá 2, ta có:

glex glex glex glex glex glex glex glex glex

rlex rlex rlex rlex rlex rlex rlex rlex

Như vậy ba thứ tự trên là thực sự khác nhau

Chú ý 1.2.25: Giả sử ≤ là một thứ tự từ nào đó đã được xác định Từ nay về sau ta

cũng sẽ dùng nó để kí hiệu giả thứ tự (quan hệ chỉ thỏa mãn tính chất phản xạ và bắc

0≠a β, ∈ và K m n, là hai đơn thức sao cho m≤n (tương ứng m n < ) thì ta nói

gây ra mâu thuẫn

Chương 2: CÁC IDEAL TRONG VÀNH ĐA THỨC

Trong chương này người viết cố gắng làm rõ vấn đề được đặt ra, đó là nhìn nhận các ideal trong vành đa thức nhiều biến K x[ , ,1 x n] theo hai góc độ: ideal hiểu theo định nghĩa thông thường trong vành đa thức K x[ , ,1 x n], và ideal xem như là không gian véctơ con của không gian véctơ K x[ , ,1 x trên trường n] K Vi ệc nhìn nhận dựa vào khái ni ệm cơ sở của ideal, cơ sở theo nghĩa hệ sinh, quan trọng hơn cả là cơ sở Gröbner c ủa ideal, và cơ sở theo nghĩa không gian véctơ Khái niệm quan trọng giúp chún g ta đạt được điều này, đó là ideal đơn thức

2.1 I deal đơn thức – ideal khởi đầu

Trong vành đa thức nhiều biến, có một lớp ideal rất đặc biệt là ideal đơn thức, vì

trong lí thuy ết cơ sở Gröbner cho phép xấp xỉ một ideal tùy ý bằng ideal đơn thức, mà trong nhi ều trường hợp từ cấu trúc của nó có thể nhận thông tin ngược trở lại về ideal ban đầu

Định nghĩa 2.1.1: Ideal I được gọi là ideal đơn thức nếu nó sinh bởi các đơn thức

Như vậy một ideal đơn thức có dạng I = x a a; ∈A , trong đó n

x chia hết cho đơn thức a

x khi và chỉ khi tồn tại đơn thức c

x

(ii) Gọi x c =UCLN x x( a, b) Khi đó x c|x a và x c |x b, suy ra a1≥c1, ,a n≥ c n

và b1≥c1, ,b n ≥c n Mặt khác nếu x d |x a và x d |x b thì x d | x c nghĩa là nếu

a ≥d a ≥ và d b1≥d1, ,b n ≥d n thì c1≥d1, ,c n ≥d n Vậy

1 min{ , }, ,1 1 n min{ , }.n n

M ệnh đề 2.1.3: Cho I = x a a; ∈A là ideal đơn thức Đơn thức b

x ∈ thì tI ồn tại h i∈K x[ ] và ( )a i ∈A i, 1, ,= s sao cho:

=

mỗi từ của nó phải chia hết cho a i( )

(ii) Mọi từ của f thuộc I

(iii) f là t ổ hợp tuyến tính trên K của các đơn thức thuộc I

Ch ứng minh: Hiển nhiên có ( )iii ⇒( )ii ⇒( )i Đối với ( )i ⇒( )iii nhận xét rằng

x với

a∈ nào đó Mà mọi đơn thức chia hết cho A a

x l ại thuộc I Do đó mỗi từ của f là

tích của một đơn thức thuộc I và một phần tử từ K, tức là có (iii) □

Như vậy mỗi ideal đơn thức được xác định duy nhất bằng tập các đơn thức của nó

H ệ quả 2.1.5: Hai ideal đơn thức trong một vành đa thức bằng nhau nếu chúng chứa

cùng một tập đơn thức

Mệnh đề 2.1.6: Ideal I là ideal đơn thức khi và chỉ khi với mọi f I∈ , các từ của f đều thuộc I

Ch ứng minh: Điều kiện cần suy ra từ mệnh đề 2.1.4 Từ giả thiết suy ra tập tất cả các

đơn thức của các đa thức trong I sẽ sinh ra I Do đó điều kiện đủ được chứng minh □

Định lí Hilbert về cơ sở đã chỉ ra một kết quả rất đẹp về ideal trong vành đa thức, đó

là m ọi ideal trong vành đa thức K x[ , ,1 x , v n] ới K là trường, đều hữu hạn sinh Như

v ậy ideal đơn thức cũng là ideal hữu hạn sinh, theo định nghĩa nó được sinh bởi hữu

h ạn đơn thức Kết quả này còn được phát biểu dưới dạng bổ đề sau

M ệnh đề 2.1.7: (Bổ đề Dickson) Mọi ideal đơn thức I = x a a; ∈A bao giờ cũng viết

Giả sử bổ đề đã được chứng minh đối với 1≤ − biến Kí hiệu n x′ ={ , ,x1 x n−1}