Đa thức và ứng dụng trong các bài toán đại số sơ cấp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN PHẠM QUỲNH THƠ ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ SƠ CẤP KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Người hướng dẫn k

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

PHẠM QUỲNH THƠ

ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ SƠ CẤP

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Đại số

Người hướng dẫn khoa học:

TS Nguyễn Thị Kiều Nga

HÀ NỘI, 2015

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình làm khóa luận, em đã nhận được sự giúp đỡ và chỉ bảo rất tận tình của TS Nguyễn Thị Kiều Nga Em xin chân thành cảm ơn và bày

tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô

Em cũng xin cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô giáo trong Khoa Toán, các thầy cô trong tổ Đại số và Thư viện Trường ĐHSP Hà Nội 2 đã tạo điều kiện tốt nhất giúp em hoàn thành khóa luận này

Hà Nội, tháng 5 năm 2015

Sinh viên

Phạm Quỳnh Thơ

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Thị Kiều Nga cùng với sự cố gắng của bản thân Trong suốt quá trình nghiên cứu và thực hiện khóa luận em có tham khảo một số tài liệu của một số tác giả (đã nêu trong mục tài liệu tham khảo)

Em xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này là kết quả nghiên cứu của bản thân em, không trùng với kết quả của tác giả nào khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

2.3.3 Dạng 3: Tìm mối quan hệ giữa các hệ số của một số phương trình bậc 3, bậc 4 khi biết mối quan hệ giữa các nghiệm và ngược lại 21 2.4 Phân tích đa thức thành nhân tử 24

3.2 Chứng minh bất đẳng thức 32 3.3 Phân tích đa thức nhiều ẩn thành nhân tử 36

MỞ ĐẦU

Trong nhà trường phổ thông, môn toán giữ một vị trí hết sức quan trọng Nó giúp học sinh học tốt các môn học khác, là công cụ của nhiều ngành khoa học và cũng là công cụ để hoạt động trong đời sống thực tế Môn toán

có tiềm năng to lớn trong việc khai thác và phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện các thao tác và phẩm chất tư duy

Đại số là một bộ phận lớn của toán học, trong đó đa thức là một khái niệm cơ bản và quan trọng được sử dụng nhiều không những trong đại số mà còn trong giải tích, toán cao cấp và toán ứng dụng

Tuy nhiên cho đến nay, vấn đề đa thức và ứng dụng của nó trong việc giải các bài toán sơ cấp mới chỉ được trình bày sơ lược, chưa được phân loại

và hệ thống một cách chi tiết Tài liệu về đa thức còn ít, chưa được hệ thống theo dạng toán cũng như phương pháp giải, cho nên việc nghiên cứu về đa thức còn gặp nhiều khó khăn

Với lý do trên, cùng với lòng say mê nghiên cứu và được sự giúp đỡ, chỉ bảo tận tình của TS Nguyễn Thị Kiều Nga em đã mạnh dạn chọn đề tài:

“Đa thức và ứng dụng trong giải các bài toán đại số sơ cấp” để làm khóa luận tốt nghiệp, nhằm phân loại, hệ thống một số bài toán về đa thức và các ứng dụng của nó trong môn toán ở nhà trường phổ thông

Nội dung khóa luận được chia làm 3 chương

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương 2 Ứng dụng của đa thức một ấn

Chương 3 ứng dụng của đa thức nhiều ẩn

Do thời gian có hạn và năng lực bản thân còn hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi sai sót Em rất mong được sự góp ý của các thầy cô và các bạn

Em xin chân thành cảm ơn!

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

lập thành một vành giao hoán có đơn vị 11,0,0, ,0, 

Ta gọi P là vành đa thức, mỗi phần tử thuộc P gọi là một đa thức

Thay cho P viết A x và gọi là vành đa thức của ẩn x, lấy hệ tử trong  

A Mỗi phần tử thuộc A x gọi là đa thức của ẩn x được ký hiệu là:  

f x ,g x là hai đa thức của vành A x ,g x   0

Khi đó, tồn tại duy nhất q x ; r x   A x  sao cho:

f x       g x q x r x Nếu r x 0 thì deg r x deg g x  Đa thức q x được gọi là  thương và r x được gọi là dư của phép chia   f x cho   g x  

1.3.1 Nghiệm bội

Giả sử k là một số tự nhiên khác 0 Một phần tử  A gọi là nghiệm bội bậc k của đa thức f x A x  nếu và chỉ nếu    k

f x x  và f x không chia hết cho  k 1

x  

1.3.2 Định lý Bezout

a) Định lý Bezout

Cho vành đa thức A x ; A là một trường;   f x A x ;  A Khi đó,

dư trong phép chia f x cho   x  là f 

  0 1 2  n

f x a x  x  x  trong vành K x  

với  1, 2, ,n là những nghiệm của đa thức f x trong K  

1.3.4 Nghiệm của đa thức với hệ số nguyên

a) Nhận xét

Với mọi f x Q x  luôn tìm được aQ* để f x  a f x ;1  f x1   x

Do đó f x 0 khi và chỉ khi f x1 0 Để tìm nghiệm hữu tỉ của f x ta  chuyển về tìm nghiệm hữu tỉ của đa thức với hệ số nguyên f x 1 

b) Định lý 1

f x a x a x   a xa  x

Nếu phân số tối giản p

q là nghiệm của đa thức f x thì:  

p a và q a 0

c) Định lý 2

Nếu phân số tối giản p

q là nghiệm của đa thức với:

f x a x a x   a x a x

thì với mọi số nguyên m ta có f m chia hết cho   pmq

Trường hợp đặc biệt p + q là ước của f 1 ,p q là ước của f 1  

1

0

aa

Kí hiệu: p x( )q(x) (mod u(x))

b) Các tính chất:

Cho p x ,q x ,      x A x 

1 Nếu p x   q x mod x thìq x   p x mod x 

2 Nếu p x   q x mod x và p x   r x mod x  thì:

       

p x r x mod x

Nếu p x( )q(x)r x( ) (mod (x)) thì p x( )r x( )q x( ) (mod (x))

6 Với hai đa thức p x ,q x   A x ; f x   A x  và t là số tự nhiên Nếu p x( )q x( ) (mod (x)) thì p x t( )q x t( ) (mod (x))

7 Với hai đa thức p x ,q x   A x ; f x   A x , nếu:

p x( )q x( ) (mod (x)) thì F p x( ( ))F q x( ( )) (mod (x))

1.6 Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn

Ta xây dựng vành đa thức nhiều ẩn bằng phương pháp quy nạp

Giả sử A là vành giao hoán có đơn vị 1

Đặt A1 = A[x1] Khi đó A1 là vành giao hoán có đơn vị 1

Đặt A2 = A[x2] = A x , x thì A 1 2 2 là vành giao hoán có đơn vị 1

Cứ tiếp tục như vậy

Khi đó ta có vành An= A[x1, x2, , xn] là vành đa thức n ẩn x1, x2, ,xn Mỗi phần tử của vành A[x1,x2, xn] kí hiệu là f(x1,x2, ,xn); g(x1,x2, ,xn); gọi là các đa thức n ẩn x1,x2, ,xn lấy hệ tử trên A

Cho đa thức f x , x , 1 2 , xnA x , 1 , xn Khi đó f x , x , 1 2 , xnbiểu diễn dưới dạng:

1.7.1 Định nghĩa đa thức đối xứng

Đa thức f x x( ,1 2, )x n Ax x1, 2, x n được gọi là đa thức đối xứng nếu

x x x  f x x x với i i1, , ,2 i n là hoán vị bất kì của

1,2, ,n Nói cách khác, một đa thức là đa thức đối xứng nếu nó không thay đổi khi thay đổi vai trò của biến cho nhau trong dạng khai triển của nó

1.7.2 Ví dụ các đa thức đối xứng sau gọi là đa thức đối xứng cơ bản

b) Phương pháp đưa đa thức đối xứng về đa thức của các đa thức đối xứng cơ bản

- Phương pháp dựa theo hạng tử cao nhất của đa thức

- Phương pháp hệ tử bất định

Chương 2 ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC MỘT ẨN

2.1 Chứng minh đẳng thức

2.1.1 Cơ sở lý luận

Sử dụng nguyên lý so sánh hệ số của hai đa thức

Để chứng minh A = B, trong đó A, B là các biểu thức Ta làm như sau: Bước 1: Coi A, B là biểu thức của một biến x nào đó

Bước 2: Biến đổi tương đương đưa đẳng thức A = B về dạng:

A = B

2.1.2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Chứng minh đẳng thức

a b c bc ca  ababcb c c a a    b với a, b, c là những số thực bất kỳ

C C , C C  , Vậy đẳng thức Ckn Cn kn , n   , k ; 0 k n luôn đúng

2.1.3 Bài tập áp dụng

Bài 1: Nếu a, b, c là những số bất kỳ, chứng minh rằng:

a)  2  2  2    

a bc b ca c ab 4abc bc ca ab

Để chứng minh hai đa thức chia hết cho nhau ta sử dụng:

- Định nghĩa và tính chất của phép chia hết

- Đa thức đồng dư

- Dựa vào tính chất nghiệm

- Một số tính chất số học: sự phân bố nghiệm, bậc của đa thức,

Ví dụ 3: Với mọi p lẻ, chứng minh rằng đa thức

Khi đó: x pa0 (x p)a0 1 (mod ( )) x

( ) (mod ( ))

- Biểu thức K sẽ đưa được về biểu thức của các đa thức đối xứng cơ bản

- Theo công thức Viete ta tính được các giá trị của đa thức đối xứng cơ bản, thay vào ta tìm được K

3 2

x px qx r 0Xác định:

Gọi y , y , y1 2 3 là độ dài các cạnh của tam giác

x , x , x1 2 3 là độ dài các đường cao tương ứng

S là diện tích tam giác

2.3.2 Dạng 2: Tìm miền giá trị của tham số để các nghiệm của phương

trình f x,m 0 thỏa mãn điều kiện K nào đó

Bước 2: Biểu diễn điều kiện của tham số thông qua điều kiện K

Bước 3: Tìm miền giá trị của tham số và kết luận

Giả sử phương trình có bốn nghiệm x x x x 1, 2, ,3 4

Theo công thức Viete ta có:

khi và chỉ khi x x1 2 x x3 4 m lại có: (2) tương đương x x1 2 x x3 4x x1( 3 x4)x x2( 3 x4)6

khi và chỉ khi x x1 2 x x3 4 (x3x4)(x1x2)6khi và chỉ khi m 1 6

khi và chỉ khi m5

Vậy m = 5 thỏa mãn điều kiện của bài toán

Ví dụ 2: Hãy tìm những giá trị của tham số m sao cho các nghiệm

x m



 (với m≠12) Lại có x1 thỏa mãn phương trình:

Có 3 nghiệm x x x1, 2, 3 thỏa mãn điều kiện x12 x22 x32

Bài tập 2: Cho x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 2x 2 0

2.3.3 Dạng 3 Tìm mối quan hệ giữa các hệ số của một số phương trình bậc 3, bậc 4 khi biết mối quan hệ giữa các nghiệm và ngược lại

và chỉ khi c2 = da2 Áp dụng giải phương trình sau: x4x310x2 2x 4 0

Phương trình đã cho có một nghiệm x=0

Chuyển việc giải phương trình (1) về việc giải phương trình 2

0

- Trường hợp 2: Nếu d≠0 thì x = 0 không phải là nghiệm của (1) Do

- vậy ta có thể chia hai vế của (1) cho x2 và do c2 = da2 nên ta được:

(1) x2 ax b c d2 0

2 2

2 2 2

2

20

Giải (2) rồi suy ra nghiệm của phương trình (1)

Áp dụng: Giải phương trình sau: x4 x3 10x2 2x 4 0 (*)

x ax bx c ,Biết rằng phương trình này có ba nghiệm mà bình

phương một nghiệm bằng tổng bình phương hai nghiệm còn lại

2.4 Phân tích đa thức thành nhân tử

* Cơ sở lý luận:

Nếu biết α là nghiệm của f(x) thì f x( )(x) ( )f x1 hoặc giả sử

f(x) = g(x) h(x) Ta đi tìm g(x), h(x)

* Thuật toán

Bước 1: Giả sử f(x) = g(x) h(x); deg(g(x) < deg f(x);

deg h(x) < deg f(x); g(x); h(x) biểu diễn như tích của những đa thức không

phân tích trên K (K là một trong những tập , , )

Bước 2: Dựa vào nguyên lí so sánh hệ số đa thức tìm được g(x) và h(x)

Ta có f(1)   6  1 không phải là nghiệm

f( 1)     6  1 không phải là nghiệm



Chương 3 ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC NHIỀU ẨN

3.1 Chứng minh đẳng thức

* Cơ sở lý luận:

Các vế là đa thức đối xứng nên ta đưa các vế về đa thức của các đa thức đối xứng cơ bản Điều đó dẫn đến việc chứng minh các đẳng thức được đơn giản hơn

* Thuật toán:

+ Bước 1: Biểu diễn các vế là các đa thức đối xứng về đa thức của các

đa thức đối xứng cơ bản

+ Bước 2: Chứng minh các biểu thức mới

Giải

Đặt 1  x y z;  2 xyyzxz

Khi đó vế phải 2

22

25a 5a 19

Ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 4: Chứng minh rằng nếu x   y z 0 thì những đẳng thức sau đúng:

2 32

3.2 Chứng minh bất đẳng thức

3.2.1 Cơ sở lý luận

- Dùng đa thức đối xứng để chứng minh bất đẳng thức Đặc biệt là những bất đẳng thức có dạng: f x, y 0 với f x, y là một đa thức đối  xứng

- Nhận xét

1 Cho 2 số thực  1; 2 Khi đó các số thực x, y xác định bởi hệ phương trình:

1 12

với mọi x Khi đó:  4 2  2  3 2  

     1 1 a b c a2 b2 c2 a a 1   b b 1  c c 1 

Khi và chỉ khi (x y z xy)( yz zx)9xyz

Như vậy, f chia hết cho 1   x y z

Do f chỉ chứa lũy thừa chẵn của x, y, z và f(x,y,z) là đa thức đối xứng đẳng cấp bậc 4 nên nó không thay đổi khi thay x bởi -x, y bởi -y v à z bởi -z Khi đó, f cũng chia hết cho:

Bài tập 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

3.4 Giải hệ phương trình

3.4.1 Cơ sở lý luận

Ta hay gặp hệ phương trình mà các vế của các phương trình trong hệ là các đa thức đối xứng của các ẩn Trong trường hợp này ta chuyển hệ phương trình thành hệ phương trình mà các ẩn là các đa thức đối xứng cơ bản, hệ phương trình mới này thường là những hệ phương trình đơn giản hơn so với

hệ phương trình ban đầu

3.4.2 Thuật toán

Bước 1: Biểu diễn từng vế trái của các phương trình qua các đa thức đối xứng cơ bản i(i1, n)

Bước 2: Ta thu được hệ mới chứa σi Giải hệ tìm ra σi

Bước 3: Vận dụng công thức Viet tìm ra các nghiệm của hệ ban đầu

tương đương

3 1

Do đó x, y là nghiệm của phương trình:

2

5 4 0

14

1 2

2

2 3

3

4 (1)3

123

3

2 32

4 (2)12

Khi đó x, y, z là hoán vị của (- 3, - 2i; 2i)

b) Với 1 3;2  4,3 12 thì x, y, z là nghiệm của phương trình:

322

t t t

Vậy hệ phương trình đã cho có 12 nghiệm trong đó có 6 nghiệm là hoán vị của (- 3; - 2i; 2i) và 6 nghiệm là hoán vị của (- 3; -2; 2)

3.4.4 Bài tập áp dụng

Bài tập 1: Giải hệ phương trình:

Để khử căn thức ở mẫu số, người ta có thể dùng hằng đẳng thức hoặc

có thể nhận các biểu thức hoặc có thể nhận các biểu thức liên hợp ở mẫu số Nhưng đó là trường hợp mẫu số chứa hai biến dạng: a n b hay n a n b Còn trường hợp mẫu số của ba (hay nhiều hơn) căn thức thì vận dụng các đa thức đối xứng

Bước 3: Biểu diễn biểu thức đó qua  1, 2, rồi thay vào căn thức ban đầu

xy yz zx xyz

u v





 

+ Nếu u = 1; v = 0 thì phương trình có nghiệm x = 3

+ Nếu u = 0; v = 1 thì phương trình có nghiệm x = 2

u

x u

Bài tập 3: Giải các phương trình sau

x y

x y





 

+ Với 1 4 ta tìm được 2 4

KẾT LUẬN

Đa thức có vị trí quan trọng trong Toán học, không những là đối tượng nghiên cứu chủ yếu của Đại số mà còn là công cụ đắc lực của Giải tích Nó là phần kiến thức quan trọng được giới thiệu ngay từ những năm đầu của bậc phổ thông ở các dạng đơn giản mà ta thường gọi là các biểu thức chứa chữ đại diện cho các số Ngoài ra, lý thuyết đa thức còn được sử dụng nhiều trong toán cao cấp, toán ứng dụng Và chúng ta cũng thường xuyên gặp những bài toán về đa thức trong các kỳ thi học sinh giỏi, thi Olympic toán học trong trường phổ thông

Tuy khóa luận này đã trình bày kiến thức về đa thức và những bài toán trong đại số sơ cấp có liên quan đến đa thức nhưng còn rất nhỏ so với lượng kiến thức về đa thức Khóa luận này được thực hiện với mong muốn đóng góp kinh nghiệm trong việc nghiên cứu, giúp việc dạy học và học tập môn toán ở trường phổ thông Từ khóa luận này có thể giúp bạn đọc nghiên cứu sâu hơn, rộng hơn nữa về đa thức

Do lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu, thời gian và năng lực còn hạn chế nên không thể tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn sinh viên

Em xin chân thành cảm ơn!

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyễn Hữu Điển (2003), Đa thức và ứng dụng, Nxb Giáo dục

[2] Nguyễn Văn Mậu (2004), Đa thức đại số và phân thức hữu tỷ, Nxb Giáo dục [3] Ngô Thúc Lanh (1987), Đại số và số học, tập 3, Nxb Giáo dục

[4] Hoàng Xuân Sính (1998), Đại số đại cương, Nxb Giáo dục

[5] Bùi Huy Hiền, Nguyễn Hữu Hoan (2005), Bài tập đại số và số học, Nxb

Đại học Sư phạm Hà Nội

[6] Tạp chí Toán học và tuổi trẻ