luận văn mở rộng kết quả của bài báo cáo trước cho trường hợp vành cơ sở D để chỉ miền nguyên dedekind. Trong toàn bộ luận văn đã sử dụng D để chỉ miền nguyên Dedekind, và nó có nhiều tính chất khá đặc biệt
Trang 1CHVdNG 2
CA'U TRUC cAC IDEAL NGUYEN TO vA TOI Di).I TRONG VANH DA THUC TREN MIEN
NGUYEN DEDEKIND
Trong chu'o'ngnay, ta se m6 t~ld~mgclla dic ideal nguyen to va toi d<;li clla vanh da tht'tcD[x], trong d6 D la mi~n nguyen Dedekind LullY dlng neu D c6 hCtuh<;lnideal nguyen to thl D la PID, do d6 ta chI xet tntang hQ'pD c6 v6 h~m ideal nguyen to Khi d~ c~p toi P, I, 1, ta hi~u P la ideal nguyen to kh6ng dm thu'ang clla D va I, 1 la cac ideal kh6ng dm thu'ang cua D[x].
2.1 Bo?dl rho 1 fa ideal aia D[x]chua P Khi d6, 1 nguyen t6~trang D[x] niu va chi niu 1 c6 m9t trong hat dc;mgsau
1) 1 = P[x]:
2) 1 =< y(x) P > vai <p(x)E D[x] thoa <p(x)+ P[.r] bcit khd quy !rang D[x]/ P[x].
Chung minh Tu'o'ngtV bli di 1.1 trong [7].
chi niu 1 = D[x]n < f(x) >F[x],trang d6 F fa truo'ng phan thuc aia D, f(x) fa
da thue dCfnkhat, bat khd qui !rang F[x].
Chung minh Ta c6 th~ su d\mg [5] ho?c chung minh tIljc tiep nhu' sau
({=) VI < f(x) >F[x]nguyen to trong F[x] nen 1 = D[x]n < f(x) >F[x]
nguyen to trong D[x].
(==}) D~ tha'y < 1 >F[x]={au(x): a E F,u(x) E 1}(= F 1) D~u tien tachung minh F.1 nguyen to trong F[x] Voi ffiQi r(x), s(x) E F.1 thoa r(x)s(x) E F 1,
ta c6 r(x)s(x) = au(x) trong d6 a E F va u(x) E 1 Ho'n mla VI r(x) = ~rl(x),
Trang 2S(J') = ~S1(J:) \'3 Q =~, Trang d6 m,n,k.l,a,bE D, V~lI"d.[')'.';1(:1:) E D[x], nen
(;-T1(X))( T5dx)) = j;V,(X),
suy fa
(mkb)'f'1(:r)S1(x)=(anl)u(:r) E 1.
VI JnD = {a} nen T1(X)51(X)E J v?y T1(X)E J ho~c 51(X) E J do d6 r(x) E F J
ho~c 5(X) E F J V?y F J =< J >F[x] nguyen to TrangF[l'].
TLt day do F[x~ la 111<)t PID, ta c6 FJ =< f(x) >F[x],Trang d6 f(.r) don khdi, belt kh~l qui trang F[oC].Ta se chung minh
J = D[x]n < f(x) >F[xJ.
VI J c F J =< f(x) >F[x]va J c D[x] nen J c D[x]n < f(x) >F[r]- NgltQ'CI~i, neu g(x) E D[x:l < f(x) >F[x]thl g(x) E< f(x) >F[x]=FJ Suy fa g(x) = ~u(:r), Trang d6m n E D va U(J')E J, do d6 ng(x) = nm(x) E J Suy fa 9(X) E J V?y
J = D[x]n < f(x) >F[x]'\?
Tli Bd di 2.1 va Blf di 2.2 ta c6 dint Ii sau
2.3 Dinh If (\16 ta cae ideal nguyen t6) < Ideal J eua D[x]la nguyen to nlu
va chi nlu J e6 m(Jt trang cae dr;zngsau
1) J = D[x]n < f(x) >F[x],trong d6 F ld twang phdn thue eua D va f(x) la
da thue dCinkhdi, bat khd qui trong F[x];
2) J = P[x]v6i P la ideal nguyen t6/khae kh6ng eua D;
3) J =< <pCr),P > v6i P la ideal nguyen to khae kh6ng eua D, <p(x)E D[x]
thoa <p(x)+ P[x] bat kha quy trong D[x]/P[x].
Nhijn xi! 1 Da thuc <p(x)Trangideal nguyen to J =< ;(x), P > thoa degt.p(x);::
1 va ta c6 th~ chQn t.p(x)don khCii,b:1tkha quy TrangD[x].
Trang 3Tnt6'clien, ta chCtngminh degtp(x)2 1 Th~ltV~IY, gi~lsetdcgtp(.c)= 0, ngh:~l
la y(x) = m E D Neu m E P thl m + P[x]= 0 + P[.t], mall thu~n v6'i tfnh b~[
Do do J = D[x], mau thu:1n VI J kh6ng dm thlt6'ng.
HcJn nCta, t~lco th~ chQn tp(x) ddn khai, b{lt kh~l quy trang D[.c] Th~t V?::
tnt6'clien, ta se chI ra1jJ(x) ddn khai trang D[x] thoa ~'(l')+ P[x] bat kha qL:Y trang D[x]/P[x] va J =< 1jJ(x),P > .
B~ng cach nhom tat ca cac h~ so thuQc P clla 'P(x) l~li,ta co bi~u di~n
<p(x)= x(x) + ~(x),
trang do ~(x) co cac h~ so kh6ng thuQc P, x(x) co cac h~ so thuQc P Khi <::5
~(x) + P[x]= «p(x) - x(x)) + P[x]='P(.r)+ P[x],
va
< ~(x), P >=< <p(x)- x(x), P >=< ~(x), P >= 1.
V~y ~(x) va <p(X)co vai tra nhu nhau, do do ta co th~ xem <p(.r)co mQi ~-~
ti't (khac kh6ng) kh6ng thuQc P Tiep thea, gia si't h~ tu cao nhat cua ;: ~.)
la a Theo phin ly lu~n tren, ta co a rf-P Do do a + P[x] kha nghich tro:-.g D[x]/ P[xJ, sur ra co b rf-P trang D saG cho ab+ P[x] =1 + P[x] Do do copEP
D;;1t
1jJ(x) = (ab)<p(x) + pxdeg<p(x).
D~ thay 1jJ(x)la da thuc ddn khai.
Ta co
1jJ(x) + P[x] = (ab)<p(x)+ pxdeg<p(x) + P[x]
= (ab)<p(x) + P[x]
= (ab + P[x])«p(x) + P[x]).
= <p(x)+ P[x].
Trang 4M~Ukhac, do <.p(:r)+P[:I']>=< cp(x),P > / PIx]va < 1.'(1+P[x]>=<IL{r),r > / PIx] nen < <p(x),P >=<IjJ(x),P > .
V6'i 4'(x) nhu' tren, 'ljJ(x) ba't khii quy trong D[x] Th~t v~y, gia set '1jJ(:l")
cho 'ljJ(x)= 1/'1(:z:)'1/J2(X). VI mQi h~ so cLla'ljJ(x)d~u kh6ng thu<)c P nen I11Qi
h~ so o"ia '1/J1(X) va '1/J2(X) cling kh6ng thu<)c P, do d6 degC~)l(X)+ PIx]) va
deg(4'2(X)+ P[.r]) 2 1 V~yljJ(x) + PIx] dltQ'Cphan tkh thanh hai da th((c kh6ng
khii nghich trong D[x]/ PIx]' mau thu~n,
Nh4n xet 2 Trong Djnh Ii 2.3, cae ideal c6 ct,mg (1) kh6ng nh{lt thiet la
ideal chlnh, N6 chlla ideal chlnh khi thoa m<)tso aiel! ki~n, ch~ng h~m khi n6 chua m<)tda thuc don kh(ji ho~c khi da thuc c6 b:1c nho nha't trong n6
c6 dung tkh b~ng D VI tfnh cha't nay chva c~n 511d\lng trong lu?n van nen chung t6i kh6ng trlnh bay ph~n chung minh (j day.
Ttt nh4n xi! 1, khi d~ C?P den ideal J =< <p(x).P >, ta xem cp(x)la da thuc don kh(ji ba'tkhii quy trongD[:r] c6 degcp(x)2 1
2.4 Bd di rho p fa ideal nguyen to/khac khong trang D va cp(x)E D[x]thoa
cp(x)+ PIx] bat khd quy ~rongD[x]/P[x] Khi d6 J =< cp',.r),P > fa ideal tal'd(li
ala D[x].
Chung minh TVong tV Blf di 1.2 trong [7].
Neu D c6 hftu h?n ideal nguyen to thl rhea Djnh If 1.3.5 D la PID, do d6 ca'u truc cac ideal toi d?i da du'Q'cm6 tii trong [7], (j day ta xet tfltong hQ'PD
c6 v6 h?n ideal nguyen to Ta c6 b6 de sau (xem [6])
2.5 Bfl di rho D fa mi~n nguyen Dedekind c6 vo h(l'r1ideal nguyen trf Khi
Trang 546, nlu J IiI ideal tal deli Clla D[x] thi J n D =/:O.
Tt't c1ay, ta m6 ta GltQ'Cci<~ngcua ideal toi G'.liclb D[:r:]nhlt S<lll
2.6 Dtnh if (M6 ta cac ideal toi G'.li) Cho D la mien nguyen Dedekind c6 vo
h;zn ideal nguyen to/ va J la ideal czla D[x] Khi d6 J tal d9i !rang D[x] neu va chi neu J =< ;(.r), P >, v6i P IiIidealnguyen to/khdc khong ala D,<p(x)E D[x] thoa <p(x)+ P[.r]b('ltkhd quy trang D[xJ/P[x].
Chzlng minh. (===?)Gia S11J toi G'.li, khi G6 J ngllyen to Theo Blf di
Bf/ di 2.1, J =< y(x) P >.
({=) Blf di 2A.v