cấu trúc các ideal trong vành đa thức trên miền nguyên Dedekind 6_2

luận văn mở rộng kết quả của bài báo cáo trước cho trường hợp vành cơ sở D để chỉ miền nguyên dedekind. Trong toàn bộ luận văn đã sử dụng D để chỉ miền nguyên Dedekind, và nó có nhiều tính chất khá đặc biệt

CHVdNG 3

CA"U TRUC cAC IDEAL TRONG VANH fJA THUC

TREN MIEN NGUYEN DEDEKIND

Trang ehu'dng nay, ta se m6 ta diu tfl.k cLlaideal ba't ky trang vanh c1athue

tren mi~n nguyen Dedekind D Vi D[x] la vanh Noether nen moi ideal trang

D[x]a~u e6 s\j phan tfch nguyen sd ehu5n hoa, do d6 d~ m6 ta ea'u true et'1a

ideal ba't ky trang D[x] ta n~6ta ea'u true cae ideal nguyen sd Khi a~ e~p den

P, I, J, <p(x),ta hi~u, P la ideal nguyen to khac kh6ng trang D va I, J la cae

ideal kh;k kh6ng eth D[x];<p(x)E D[x] la aa thue ddn khCiithoa <p(x)+ P[x] ha't kha quy trang D[.r]!P[x].

3.1 Call true cua cae ideal nguyen sd trong D[x]

Truoe khi 1116ta ea'u tnk eua cae ideal nguyen Sd, nh~e b;d dlng, neu I la ideal nguyen sd elh D[x] thi theo Mfnh di 1.4.5, Rad(I) nguyen to trangD[~r],

va do a6 theo ehu'dng 1, Rad(I) toi a:;tiho~e kh6ng toi a;;li Sau day ta se 11n IltQ11116ta d:;tngeua ideal nguyen sd I ung voi m6i Rad(l) nhu' tren.

3.1.1 Dinh Ij (M6 ta cae ideal nguyen sd voi can kh6ng toi a:;ti) Ideal I Clla

D[x] fa nguyen sO'v6i din khong tal dfli neu va chi nlu I = In v6i n nguyen du:O'ngva J fa ideal nguyen to/khong tal dfli ala D[T].

Chllng mink Theo Dinh Ij 1.6.10, D[x] la Q-vanh, nen theo Dinh /j 1.6.6

111Qiideal nguyen tokh6ng toi a:;ti eua D[x] la ideal nhan Hdn nlfa mQi ideal

ngllyen to kh6ng toi a:;tikhae kh6ng euaD[x] d~ll e6 so ehi~u Ian hdn kh6ng,

tLta6, dung Bo?di 1.1 trang [1]ta e6 ai~ll phai eh(tng minh.\?

3.1.2 Hf qua Trang D[I]) m9i lug thua ala ideal nguyen to' d~u nguyen sO',

De m6 t~td~lng cLb ide:ll nguyen so \'6'j can t6i c.1~tita dn Ixi c.12sau

3.1.3 Blf dl Ideal I ala D[x]ta nguyen sd Val din tal'd9i neu va chi neu ton

t9i ideal ngllyen to'P -#0 ala D, da thuc don khdi ip(x) E D[:c]thod ip(x)+ P[:r] be/tkhd quy !rong D[xJ/P[x]va k, l nguyen duong sao cho k(x)]1.:E I, pi C I Hdn mia, khz d6 Rad(I) =< ip(x),P >.

Chung minh (==?)Gia su I nguyenso voi can toi d~tithl Rad(I)=< rp(x), P >,

trang d6 ip(x) P nhu da quy uoc Do ip(x) E Rad(I), P c Rad(I) Den c6 k, l nguyen dltong sao cho [;:(x)]1.: E I, pi C I.

(~) Gia Slt c6 k, I nguyen dltong sao cho [<p(.r]1.: E I, pi C I, thl ip(x) E Rad(I) P c Rad(I) Do d6, < ip(x), P >c RadJ) Theo Bo? di 2.4,

<ip(x), P > toj d?i trang D[x]Den Rad(I) =< ip(x),P > ho?c Rad(I) = D[x].VI

I -:JD[x] Den rhea M~nh di 1.4.1 ii), Rad(I) -:JD[x], do d6 Rad(I) =< ip(x), P > toi d?i trang D[.r] Theo Al~nh di 1.4.6, Q nguyen so rrang D[x] \?

3.1.4 Binh If (M6 ra c:k ideal nguyen so voi can toi d~li).Ideal I ala D[x]ta

nguyen sd v6l din tal d9i neu va chi neu I c6 dflng

< [;p(x)]m,pn, ip(x)h1(x)+ Pl(X), , ip(x)ht(x) -l-Pt(x) >,

!rong d6 m, n nguyen duong, t kh6ng am, hi (x) ("1::; i ::; t) thwjc D[x], Pi(x) (1 ::;

i ::; t) thu(Jc P[x] Hon mJa, khz d6 Rad(I) =< ip(x), P > z:dta c6 thi ch9n hi(x), Pi(x) thoa deg[hi(x)] ::; (Tn- l)deg[ip(x)], deg[Pi(x)] ::; Tndeg~;(x)].

Chung minh (==?)Gia su I nguyenso voi can toi d?i thi Rad(I)=< ip(x), P >,

trang d6 ip(x), P nhuda quy uoc Khi d6 t<snt?i Tn,n ngllyen duong sao cho [ip(x)]mE I, pn c I Do D[x] la vanh Noether nen I hUll h?n sinh

1=< [ip(x)]m, pn, fr(x), f2(x), , it(x) >,

trang d6 ii(X) (1 ::; i ::; t) thuQc D[x].

Do I chCla trong Rud(I) =< :p(J'),P > nen Ill') E< ;(,r), P >, Suy fa

Ji(x) = :p(x)hi(:r) + p;(l'),

trang do h;(x) E D[x], Pi(X) E P[x], V~y

1=< [p(x)]m, pn, ;;(x)h1(:r) + P1(X),, , cp(x)ht(r) +Pt(x) > ,

({=) Truoc tien ta chung minh Ii- D[x] Gia sl'i I = D[x]thl 1 E I va do do

1 = [,,(:r)!mu(x)+ llV(X)+t[\O(X)hi(X) + P,(X)]g:.r) (p E Po)

Hqn lilia, do ;(.r) Gon khdi lien ['P(x)]m-I, [<p(£)]'"Gonkhdi Bang each chia

hi(x) cho [:;(£)]"'-1 vaPi(X) cho [ip(x)]m,ta nh~n dliQ'Ccae phan du tliong ling

Ia1li(X) Vat';(x). V~y

1 =< [;-(£)]111.pT!, ;P(£)UI(X) + VI (J:), , ;:(£)lLt(.r) + L't(.c) >,

trang do u;(x), L'i(x)(l ::; i ::; t) thuQc D[x] thaa degui(x) ::; deg[<p(x)]m-l,

degv;(x) ::; deg[.;(x)]m D(it hi(x) +- Ui(X) va Pi(X) +- Ci(X), ta co di~u phaichang minh.\?

3.1.5 Bif di Cho D ld mien nguyen Dedekind, P ld ideal nguyen t6'khdc kh6ng

cua D Khi do,

1) pn[x] = (P[x]t, Valm9i n nguyen du:ang.

2) C6 Po E P saD cho p[x] + pn[x] =< Po+ pn[x] > .

Chlcng minh Kha don gi~ln lien dliQ'Cba qua.

Tv fJtnh Ii 3.1.4, ta c6 hai m~nh d~ sau

3.1.6M~nh dl ChoI ld idealcua D[x]chua;p(x) va gid szl Rad(I) =< 'f?(x), P >.

Khi d6 I nguyen sa va 1=< <p(x), pn > Valn nguyen dl1ang.

Chung minh Do Rad(I) =< 'f?(x),P > la ideal toi d~i (fJtnh /f 2.6) lien Inguyen so Do P C Rad(I) lien co n nguyen duong thoa pn C I va gia Slr

n la s6 nha nh?lt thoa di~u ki~n nay D~ th?ly< <p(x), pn >c I NgvQ'c l;,li,

ta se chang minh I C <;p(x), pn >, di~u nay tliong QUang voi chang minh

Do f(x) EI nen Tr0E RllIl(I) =< <p(x),po >, suy fa c6 91(X), III(x) E D[x] sao

cho f(x) = ';(1')gl(:r) + pl,hI(J;), V~y ph at bieu dung vaii = 1 Gia su phat bieu

aCing vai i =k (1 ::; k ::; 11- 1), nghia la cog.,(x), hd:r) E D[x]saG cho

M =f(X)gk(X) + p~hdx),

Suy fa p~hk(x) = f(x) - f(X)gk(X) E7 Neup~ E 7 thl pk[:r]C 7, d{lnden pk c I,

mall thu{'in \'6i k < n \)y p~ ~ 7 Do I nguyen so nen hk(x) E Rad(l) =< ;(x), Po >, suy fa c6 u(x). dx) E D[x] saG cho hdx) =.;{x)u(x) +pov(x) V~y

f(x) = rp(x)gdx) + p~hk(:r)

= <p(X)gk(X)+ p~(cp(X)u(X) + podX))

= f(X)(~ +p~U[;)) +p~+IV(X) V~y f(x) = ';(X)gk+l (x) + p~+lhk+l (x) vai gk+l (x) =gdx) + p~u(x) va hk+l(x) =

v(x). V~y phat bieu dung vaii = k + 1 Theo nguyen ly quy nq.p, vai mQi

i (1 ::; i ::; n), Hi) =CP(~)gi(X) + pbhi(x), trong d6 gi(X), hi(x) E D[x] Vai i = n,

ta co f(x) = ;(x)gn(x)+Pohn(x) = cp(x)gn(x) E< <p(x)> Do d6 7chua trong

< <p(x)> hay I C < <p(x),pn > V~y I =< cp(x),pn > c::;

Hoan roan tl1ang tv m~nh d~ tren, ta co

3.1.7 M~nh di Cho I za ideal cua D[x]chua p va giGszl Rad(I) =< <p(x),P >.

Khi do I nguyen s6 va 1=< [<p(x)]m, P > v{ji m nguyen duong.

Nhl1v~y ta da m6 ta xong Calltruc cua ideal nguyen so trong D[x] Tuy

nhien dq.ng cua ideal nguyen so trong Binh ii 3.1.4 chl1agQn, han nua rhea Binh ii 1.5.6 mQi ideal nguyen so trong D[x] la giao clh hUll hq.n cac ideal

kh6ng the rut gQn c6 Cling can, nen tier rhea ta se 016 ra dq.ng clla idealkh6ng the rut gQn

3.2 Cliu true eua cae ideal khong thi rzlt gQIltrollg D[l:]

Trang nwc nay, ta se m6 ta c1c ideal kh6ng th~ rut gQn cua D[:!;].Do trang

r ,

vanh Noether I11Qiideal kh6ng th~ rut gQndell nguyen sa Hen l11Qiideal kh6ng

nguyen so dell co th~ rut gQn VI the, trang nwc nay ta chI c:ln xet trang t?P

dc ideal nguyen so thay VIt~p tat ca cac ideal cua D[x].

Call truc cua cac ideal kh6ng th~ rut gQn vai can toi ti~u duQ'cm6 ta quadinh ly sau

3.2.1 Dinh Ii Cho I ta ideal czla D[x] Khi do, neu I nguyen sa vai din kh6ng

t6l dC;Zi thi I kh6ng the' nit g9n.

Chung mink Gia Sll I nguyen sa vai can kh6ng toi d?i co Rad(I) = J va I

co th~ rut gQn Do I nguyen so nS'ican kh6ng toi d?i Hen rhea Dinh Ii 3.1.1

1= Y Do I co th~ rut gQn Hen rhea M4nh di 1.4.8, ta co Ii, 12 nguyen sa,

I] =I I =I 12 thoa I = I] n h va Rad(I1)= Rad(I2)= J Theo Dinh Ii 3.1.1, co

1.:],k2 nguyen dliang sao cho Ii =Jkl va 12=Jk2 Kh6ng mat tinh t6ng quat,

ta co th~ gia su k1 ~ 1.:2,khi do I] ~ 12, Sur ra I = h, mall thuan Do do I

kh6ng th~ rut gQn.Q

Nhu v~y, rhea Dinh Ii 3.2.1, mQi ideal nguyen sa vai can kh6ng toi d?i d~u kh6ng th~ flIt gQn Tuy nhien, mQt ideal nguyen so vo1can toi d?i kh6ng nhat thiet la ideal kh6ng th~ flit gQn; ch~ng h?n, xet D = Z va trang Z[x], ideal < X2,pX,p2>=< X,p2 > n < x2,p > nguyen so vai can toi d?i va co th~

rut gQn f)~ m6 ta Call truc db cac ideal kh6ng th~ rut gQn vai can toi d?i, tac:1n mQt so be) d~ sau

3.2.2 Bfl d€ Cho I ta ideal czla D[x], I =< [cp(xW,pS > vai T,s nguyen dl1o'ng Khi do T,s ta eae s6~nguyen dl1ang nho nh{[{ thoG [<p(xWE I, ps c I.

Chung minh Giii Sl( T kh6ng la so nguyen dl(cfngnho nhat thoa ['P(:r)j" E I, nghla la co k nguyen dl(ang, k < T sao cho ['P(xW E J Do do t6n t~t'i f(x),

co I =< [<p(x)]r > Theo Eo?dl 3.1.5, co PoE P thoa pi[x]=< Pb > Vi

pi C I nen Pb= [<p(x)]rh(x).M~t kh,k do pI[x] nguyen sa va [<p(x)]r"tf-PrxJ =

Rad(pI[x])) nen h(x) E pI[x], sur fa h(x) = Pbk(x) Do do Pb= P&[<p(x)]r"k(x)hay

Pb(1- [<p(X)]rk(X))= O Ma I < s nen Pb i=0, sur fa I - [<p(x)]rk(x) E P (do

0 nguyen sa ,oa Rad(O)= F) Do do 1 + P[x] = (['P(xW + P[xJ) (k(X) + P[x]) hay [<p(xW+ P[:r]kha nghich trong D[xJlP[x], mall thu~n V?y s la so nguyen

dt(ang nho nhat sao cho ps c I.Q

3.2.3 Eo?dl Cho I ld ideal nguyen SrJc6 din tOldr;1icua D[x] vai Rad(I) =<

<p(x),P > Gr;;im,' n ld ale 56 nguyen dZ1rJng nhd nh6.t saG cho [<p(x)]m E I,

P" c I Khz'd6c6 k, I nguyen duong, k ::; II vaI ::;rn,(hoa

1:< [ip(x)]m-l > = < ip(x), pk > I:pn-l[x] = < [ip(x)]l,p>.

Chung minh Ta chung minh d~ng thCrcthu nhat Neu Tn= 1 thl

1:< [ip(x)]rn-l> = I: R

= I.

Mi;itkhac do [y(xW E I nen rhea M~nh di 3.1.6, ta co I =< ip(x),pr > v6'i r

ngllyen dLio'ng Ho'n mia, rhea Bo?di 3.2.2, T 1a 56 nguyen dlro'ng nho nhat

thoa p, c I nen r = n \)y b6 de dlfQ'cchung minh v6'i Tn= 1.

Neu Tn > 1, ta co [ip(x)]rn= [<p(x)]rn-lip(x)E I nen <p(r) E I :< [ip(x)]m-l >.

Do [<p(x)]m-l~ I nen rhea M~nh di 1.4.9, I :< [ip(x);,n-l> nguyen So' co Rad(I :< [<p(x)]rn-l» =< f(X), P > Theo H~ qua 3.1.6, ta co

1:< [<p(X)]rn-l>=< <p(X),pk >,

trang do k nguyen duo'ng.

Theo Bo?di 3.2.2, k 1a so nguyen dLio'ngnho nhat thoa pk c< <p(x),pk > Mi;it khac pn C I nen pn C I :< [<p(x)]rn-l>=< ip(x), pk > V~y k ::;n va d~ng thuc

thC£nhat dlfQ'Cchung minh xong

Hoan roan tLio'ngt\j, ta co d~ng thC£cthC£hai, nghia 1a co I nguyen duo'ng,

I < Tnsac cho

I: pn-l[x] =< [ip(X)]I, P > v

3.2.4 Btf di Cho I lil ideal czla D[x]{hoa [<p(x)Y E I, ps c I, (rang d6 T, s lil ale 56/nguyen duang; han naG, 1:< [<p(X)Y-l>=< ip(x), ps > ho?fc I: ps-l[X] =< [ip(x)]",P > Khi do

1=< [<p(x)Y,ps >

Chzlng minh Do [ip(xW E I, ps c I nen < [ip(x)Y, p5 >~ I Ta se chC£ng minh I ~< [<p(x)]", ps >.

Xet tniang hQ'p [ :< [-;(xW-1 >=< <.p(X) ps > Trang D[x] = D[x]! PS[x], ta

se chCtng minh [ =< <p(.r)> Voi mQi f(x) E [, ta c6 T(X) E [ : cp(X)"-1=<

~ > Suy fa t6n t~i ~ E ~ thoa f(x) = CP(X)Ul(X) Gia Slt f(x) =

cpk(X)Uk(X), k < f, khi d6 pk(x)udx) E [, do d6 udx) E [ : cp(x)k Do k < l'

nen [: <.p(X)kC [: p(X)r-l Suy ra c6 Uk+l(X) E D[x] thoa ~ = <.p(X)Uk+1(X),

V?y f(x) =<.pk+l(X)Uk+l(X), Theo nguyen Iy qui n<;lp,f(x) = <.pi(X)Ui(X),voi mQi

-1 ::; i ::; T Voi i =T ta c6 f(x) =cpr(x)ur(x) E< <.pr(x)> V?y ta da chung minh

du'Q'cI c< <.pr(x)> hay [ c< <.pr(x),ps >

Xet tru'ang hQ'p [ : ps-l [x] =< [<p(xW,P > Trang D[x] = D[x]1PS[x], ta

se chung minh [ =< <.p(x)> Voi mQi f(x) E I, ta c6 f(x) E [ : PS-l[X] =<

T6m I<;li,[ =< [:;(xW,ps > va b6 d~ du'Q'Cch{jng minh xong.\7

3.2.5 Bo?dl V6'im9i n nguyen duCJng,ideal [=< <p(x),pn > kh6ng thl rut g9n trang D[x].

Chung minh Gia Slt [ =< <.p(x), pn > co th~ rut gQn trang D[x], nghia la c6

Jr, [2 Ia c:k ideal cua D[x] sao cho

v6'i It 1= I 1= 12.

Ta c6 ';7(.£)E I, pn c I nen f(x) Ell, 12, pn ell, h Thea Btf di 3.1.3, ta c6 11.12ngllyen Sd va Rad(Id =< r;(x),P >= Rad(I2)' Thea M4nh di 3.1.5, t6n t~li nl, n2 ngllyen dltdng saa cha

3.2.6 B6?di Val m91 m, n nguyen dl1(jng,ideal I =< [;(x)]m,pn > kh6ng thl

rUtg9n trang D[x].

Chling minh Ne'u m = 1, rhea B6 di 3.2.5, ta c6 di~ll phai chung minh.

Xet trLtang hQ'p m > 1 Thea B6?di 3.2.2, m, n la cac so ngllyen dvdng

nho nhat thoa [.p(x)]mE I, pn C I Thea B6?di 3.2.3, ta c6

1:< [cp(x)]m-I>=< <p(x), pk > (3)

VCJih: :::;n Tier theo, U se cht'tng minh h: = n, nghia I~ chang rninh 7:<

[-;(X)]IIL-I>=< ;(x) > trang D[x]= D[x]/P"[x] Dt? thay < \f(x) >c 7 :<

I [~(x)]m-l > :'\gu'Q'cl~ti, v6'i mQi f(x) E 7 :< [<p(x)]m-l>, ta c6 f(x)[<p(x)]m-l E

7 =< [;p(x)]m > Suy fa c6 g(x) E D[x] sao cho M[c;(x)]m-l = [<p(x)]mg(x)

hay ['P(.r)]m-l (f(X) - 'P(X19(X)) = O M;;U khac [<p(x)]m-l f/.~ = Rad(O) nen f(x) - <p(:r)g(x)= O. Do d6 f(x) E< <p(x) > V~y 7 :< [;(x)]m-l >=< <p(x) >.

[<p(x)]m pn > tlTc la 11 = I ho?c 12 = I, mau thu:1n V~y I =< [<p(x)]m, pn > kh6ng th~ rut gQn trang D[x].Q

Tu B6?di 3.2.6, li~u c6 phai mQi ideal kh6ng th~ rut gQn c6 can la <

<p(x),P > a~u c6 d<;1ng< [<p(x)]m, pn > hay kh6ng ? Cau tra l6'i la kh£ng ainh

va ta can mQtso b6 a~ sau

3.2.7 Rti dl Xel vanh diGphllorzg RAIlvai R = D[x] va /vl =< cp(x),P > Khi

Chung minh (~) Hi~n nhien

(==::;,)Gia si't « [cp(x)]k.pl »M =« [cp(xW',p/ >h/'

Do \'ai tfO clb k va k' nhu nhau nen ta co th~ gia si't k ~ k' Ta chung minh,

k = k' Th?t \'?y, gia si't k > k' Ta co [cp(~)]k E « [cp(X)]k',pt' >hl = «

Gian lu'Q'cn(x) + P[x] [;(x)]k' + P[x] ( do n(x) + P[x], [;(x)]k' + P[x] =I-0 + P[x])

hai v~ clla dang thuc \-ua thu du'Q'c,ta co

,

m(x) + P[x] = [cp(x)]k-kf(x) + P[x],

suy fa m(x) E< y(x), P >= AI, mall thu1n V?y k = k',

Do vai tfO clh l va [' nhlt nhau nen ta co th~ gia si't l ~ z' Ta chung mini)

D[x]\ A{ Dodo co s(x) E D[.r]\ 1\1sao cho

M~it khac P~ i=0 nen m(:r)s(x) - [;(x)]kh(x) E Rad(O)=P SHYfa m(x)s(x) E<

[cp(X)]k. P >c -'I Mau thuc1ndo m(x)s(x) rt !vI V~Yl = I'.r;)

3.2.8 Blf die Cho 1 la ideal ala D[x],1 =< [cp(x)t,ps > v6i t, s nguyen durJng.

Chung minh Trang vanh D[x] = D[x]jPS[x],ta co 1=< [cp(x)jr> Bau tien

[a ch:"tng minh 1: P[x] =< [cp(xW, ps-1 > hay I :< Po >= < [cp(:;:)]r, p~-l >, tfOng

d6 P[x] =< Po> v6'i PoE P (do Rlf di 3.1.5) Do PflJ50= Po = 0 nenp~-l E

I :< Po > Hdn mla [cp(xWE I c I :< Po> nen < [cp(XW,pg-l>c I :< Po >.

NguQ'cl~i neu f(x) E I :< Po>, b~ng qui n~p theo i (1 :::;i :::;s- 1),ta se chung

minh

f(x) = [<p(x)]rh(x)+ phki(x), (*)

trang doh(x), J.;i(:r) E D[x].

-VI f(1:) E I :< Po > nen pof(x) EI, do do pof(:r) = [:p(x)]rg(x). M~Hkhk

[cp(xW tt< Po> nen ~ E< Po> (do < Po> nguyen to ), do do g(x)= Puh(x) Suy fa pof(.c) = [.p(xWpoh(x) hay

Po(7(X)- [~(:~Wh(X)) = 0(**)

Ma Po =1= 0 nen f(x) - [-;(x)]rh(x) E Rad(O)=< Po > Suy fa f(x) = [cp(x)]rh(x)+

P6g1(X), v~y (*) dung yO'i i = 1 Gia su (*) dung v6'i i = k < s - 1, nghia la

V~y ta da chung minh dltQ'c I: PIT] =< [cp(xW,ps-l >.

Tiep theo ta se chang minh I :< y(x) >=< [y?(X)r-l, ps >, hay chung minh 1:< y(x) >=< [:p(x)]r-l >.

D~ tha'y < [:p(x)]r-l,Fg>c I :< ~ > NguQ'c l<,liv6'i mQi 7[X) E I :<

cp(x) >, ta co f(x)y?(x) E I =< [y?(xW >, sur fa f(x)cp(x) = [y?(x)]rh(x),

h(1') E D]Xj, hay :p(X) (1(1) -1<P(X)]'-lh(X)) = 0 Ma ",(x) rt Rad(O)= Plx[ nen

f(x) - [Y?(x)]r-lh(x)= 0 va do do f(x) E< [y?(x)]r-l> Sur fa I :< cp(x)>c<

[Y?(x)]r-l> V~y ta eta chltng minh dltQ'c1:< y?(x)>=< [cp(xW-l,ps >.