Tính lồi đa thức địa phương của hợp các không gian con hoàn toàn thực cực đại trong Cn

T½nh ch§t lçi a thùc àa ph÷ìng cõa hñp hai khæng gian con ho n to n thüc cüc ¤i trong Cn... Tuy nhi¶n, c¡c k¸t qu£ cõa Weinstock ch÷a thº cho bi¸t thængtin v· t½nh lçi a thùc àa ph÷ìng t

MÖC LÖC

Mð ¦u 2

1 T½nh lçi a thùc v  bê · Kallin 4 1.1 T½nh lçi a thùc 4

1.2 Bê · Kallin v· hñp th nh hai tªp lçi a thùc 18

2 T½nh ch§t lçi a thùc àa ph÷ìng cõa hñp hai khæng gian con ho n to n thüc trong Cn 23 2.1 T½nh ch§t lçi a thùc àa ph÷ìng cõa hñp hai khæng gian con ho n to n thüc cüc ¤i trong Cn 23

2.2 Mët sè v½ dö 30

K¸t luªn 37

T i li»u tham kh£o 39

a thùc tr¶n K Bao lçi húu t cõa tªp compact K çng nh§t vîi khænggian c¡c ideal cüc ¤i cõa ¤i sè ·u c¡c h m húu t cüc iºm ngo i K.Nghi¶n cùu t½nh ch§t lçi a thùc, t½nh ch§t lçi a thùc àa ph÷ìng cõac¡c tªp compact trong Cn l  b i to¡n câ nhi·u þ ngh¾a trong l¾nh vücGi£i t½ch phùc v  ¤i sè ·u °c bi»t b i to¡n nghi¶n cùu t½nh ch§t lçi

a thùc àa ph÷ìng cõa hñp c¡c ç thà ho n to n thüc, ho n to n thüc

câ ký dà câ li¶n h» mªt thi¸t vîi b i to¡n cì b£n l  x§p x¿ àa ph÷ìng

h m phùc li¶n töc bði c¡c a thùc (xem [10]) T½nh ch§t lçi a thùc v bao lçi a thùc cõa hñp hai khæng gian con ho n to n thüc cüc ¤i (chi·uthüc b¬ng n) trong Cn t¤i gèc ÷ñc nghi¶n cùu th§u ¡o bði Weinstock([15]) Tuy nhi¶n, c¡c k¸t qu£ cõa Weinstock ch÷a thº cho bi¸t thængtin v· t½nh lçi a thùc àa ph÷ìng trong tr÷íng hñp c¡c khæng gian con

ho n to n thüc (chi·u thüc b² hìn n) ho°c hñp cõa nhi·u hìn hai khænggian con V§n · tr¶n g¦n ¥y ÷ñc quan t¥m nghi¶n cùu bði mët sè nh to¡n håc nh÷ Gorai, Bharali, Nguy¹n Quang Di»u,

Trong khuæn khê mët luªn v«n th¤c s¾, vîi möc ½ch nghi¶n cùu t½nhlçi a thùc àa ph÷ìng cõa hñp c¡c khæng gian con ho n to n thüc trong

Cn v  düa tr¶n cæng bè cõa Weinstock, chóng tæi lüa chån · t i nghi¶n

cùu: T½nh lçi a thùc àa ph÷ìng cõa hñp c¡c khæng gian con ho n to nthüc cüc ¤i trong Cn.

Nëi dung cõa luªn v«n tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ v· cì sð cõa bao lçi

a thùc, t½nh lçi a thùc àa ph÷ìng cõa hñp c¡c khæng gian con ho n

to n thüc cüc ¤i trong Cn C¡c nëi dung â ÷ñc tr¼nh b y trong 2ch÷ìng cõa luªn v«n:

Ch÷ìng 1 T½nh lçi a thùc v  Bê · Kallin

Nëi dung cõa ch÷ìng n y l  tr¼nh b y kh¡i ni»m v  c¡c k¸t qu£ c«nb£n v· bao lçi a thùc, t½nh lçi a thùc cõa tªp compact trong Cn v  Bê

· Kallin v· t½nh lçi a thùc cõa hñp th nh hai tªp lçi a thùc ¥y l 

Bê · kÿ thuªt ÷ñc dòng xuy¶n suèt trong ch÷ìng sau

Ch÷ìng 2 T½nh ch§t lçi a thùc àa ph÷ìng cõa hñp hai khæng giancon ho n to n thüc trong Cn

Nëi dung cõa ch÷ìng n y tr¼nh b y chi ti¸t v  câ h» thèng v· t½nh lçi

a thùc àa ph÷ìng cõa hñp c¡c khæng gian con ho n to n thüc cüc ¤itrong Cn v  ÷a ra mët v i v½ dö ¡p döng

Luªn v«n ÷ñc ho n th nh t¤i Tr÷íng ¤i håc Vinh Nh¥n dàp n y,t¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c ¸n TS Ki·u Ph÷ìng Chi ¢h÷îng d¨n tªn t¼nh, nghi¶m tóc t¡c gi£ trong suèt qu¡ tr¼nh ho n th nhluªn v«n T¡c gi£ xin ÷ñc gûi líi c£m ìn c¡c th¦y, cæ gi¡o trong bëmæn Gi£i t½ch, Khoa To¡n håc ¢ nhi»t t¼nh gi£ng d¤y v  gióp ï t¡cgi£ trong qu¢ng thíi gian håc tªp M°c dò ¢ câ nhi·u cè g­ng, nh÷ngluªn v«n khæng tr¡nh khäi nhúng h¤n ch¸, thi¸u sât Chóng tæi r§t mongnhªn ÷ñc nhúng þ ki¸n âng gâp cõa c¡c th¦y, cæ gi¡o v  b¤n b± ºluªn v«n ÷ñc ho n thi»n hìn

Vinh, th¡ng 10 n«m 2013

T¡c gi£

CH×ÌNG 1TNH LÇI A THÙC V€ BÊ — KALLIN

Ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ cì b£n cõa bao lçi a thùc, t½nhlçi a thùc v  Bê · Kallin v· t½nh lçi a thùc cõa hñp th nh hai tªplçi a thùc Chóng ta s³ th§y lîp tªp lçi a thùc thüc sü rëng hìn lîptªp lçi thæng th÷íng trong Cn Hìn núa, lîp tªp n y °c bi»t câ þ ngh¾atrong gi£i t½ch phùc v  ¤i sè ·u

1.1 T½nh lçi a thùc

Trong möc n y, chóng tæi giîi thi»u mët sè ki¸n thùc chu©n bà chõy¸u li¶n quan tîi ¤i sè Banach v  ¤i sè ·u c¦n dòng v· sau v  mð ¦uv· lþ thuy¸t lçi a thùc

1.1.1 ành ngh¾a a) Mët ¤i sè phùc A l  mët khæng gian vectì tr¶ntr÷íng C còng vîi mët ph²p nh¥n thäa m¢n c¡c i·u ki»n:

1)x(yz) = (xy)z, ∀x, y, z ∈ A;

2)x(y + z) = xy + xz, (x + y)z = xz + yz, ∀x, y, z ∈ A;

3)(αx)y = x(αy) = α(xy), ∀x, y ∈ A, ∀α ∈ C

b) Mët ¤i sè phùc A ÷ñc gåi l  mët ¤i sè Banach n¸u A thäa m¢nc¡c i·u ki»n:

1)A l  khæng gian Banach vîi chu©n k.kn o â cho tr÷îc;

2)kxyk ≤ kxk.kyk, ∀x, y ∈ A

¤i sè A ÷ñc gåi l  câ ìn và n¸u ∃e ∈ A sao cho ex = xe = e, ∀x ∈ A

v  kek = 1

¤i sè A ÷ñc gåi l  ¤i sè giao ho¡n n¸u xy = yx, ∀x, y ∈ A.

Ph¦n tû ìn và n¸u câ l  duy nh§t Ph²p nh¥n trong A l  li¶n töc,li¶n töc tr¡i, li¶n töc ph£i

1.1.2 ành ngh¾a Khæng gian con B cõa A, chùa ìn và cõa A v  ângk½n vîi ba ph²p to¡n trong A l  mët ¤i sè con cõa A

1.1.3 V½ dö 1) ¤i sè C vîi ph²p nh¥n hai sè phùc v  chu©n Euclidethæng th÷íng l  ¤i sè Banach giao ho¡n câ ìn và l  ph¦n tû 1

2) Cho E l  khæng gian Banach v  B(E) ={To¡n tû tuy¸n t½nh bàch°n tø E v o E}, Tr¶n B(E) x¡c ành ph²p nh¥n trong

(f g)(x) = f (x)g(x), ∀x ∈ X

4) Cho K l  tªp compact trong Cn Kþ hi»u P (K), R(K) v  A(K)theo thù tü l  tªp hñp c¡c h m f ∈ C(K) ÷ñc x§p x¿ ·u tr¶n K bðic¡c a thùc, c¡c h m húu t cüc iºm ngo i K v  c¡c h m ch¿nh h¼nhtr¶n ph¦n trong cõa K v  li¶n töc tr¶n K Khi â, vîi c¡c ph²p to¡nc£m sinh tø C(K) th¼ P (K), R(K) v  A(K) l  c¡c ¤i sè Banach concõa C(K) Hìn núa, ta luæn câ bao h m thùc

P (K) ⊂ R(K) ⊂ A(K) ⊂ C(K)

1.1.4 ành ngh¾a Cho A l  mët ¤i sè Banach Phi¸m h m tuy¸n t½nh

ϕ : A → C ÷ñc gåi l  mët çng c§u phùc n¸u ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) vîimåi x, y ∈ A

Ng÷íi ta chùng minh ÷ñc, méi çng c§u phùc ϕ l  li¶n töc, ϕ(e) = 1

v  kϕk = 1 Hìn núa ϕ(x) 6= 0 vîi måi ph¦n tû kh£ nghàch x

K½ hi»u khæng gian c¡c çng c§u phùc l  ∆A Nh÷ vªy, ∆A l  mëttªp con cõa h¼nh c¦u ìn và trong khæng gian èi ng¨u A∗

Kþ hi»u G(A) l  nhâm c¡c ph¦n tû kh£ nghàch cõa A Khi â, ¡nhx¤ a ∈ G(A) 7→ G(A) l  çng phæi

1.1.5 ành ngh¾a Gi£ sû f ∈ A vîi A l  mët ¤i sè Banach °t:σ(f ) = {λ ∈C : (λe − f ) khæng kh£ nghàch} v  S(f) = {λ ∈C : (λe − f )kh£ nghàch} = C\σ(f ) Khi â σ(f) ÷ñc gåi l  phê cõa f, S(f) ÷ñc gåi

l  d£i thùc cõa f

Ta luæn câ, vîi måi x ∈ A th¼ σ(x) compact v  kh¡c réng Công tøt½nh ch§t n y, Gelfand-Mazur chùng minh ÷ñc n¸u måi ph¦n tû kh¡c 0trong ¤i sè Banach A l  kh£ nghàch th¼ A ¯ng c§u, ¯ng cü vîi A.1.1.6 ành ngh¾a Cho A l  ¤i sè Banach giao ho¡n

1) Khæng gian tuy¸n t½nh con J cõa A l  mët ideal n¸u

J A = {xa : x ∈ J, a ∈ A} ⊂ J

2) Ideal J cõa A ÷ñc gåi l  ideal cüc ¤i n¸u méi ideal I cõa A v 

J ⊂ I ⊂ Ath¼ J = I ho°c I = A

Vîi méi ϕ ∈ ∆A ta ·u câ ker ϕ l  ideal cüc ¤i cõa A Kþ hi»u, MA

l  tªp hñp c¡c ideal cüc ¤i cõa A Sau ¥y l  k¸t qu£ °c bi»t quantrång trong lþ thuy¸t ¤i sè Banach

1.1.7 ành lþ ([4], [5]) Tçn t¤i song ¡nh giúa ∆A v  MA.

1.1.8 Nhªn x²t Tø ành lþ tr¶n ta câ thº çng nh§t ∆A vîi MA V¼

∆A chùa trong h¼nh c¦u ìn và âng cõa khæng gian èi ng¨u A∗ Tr¶n

A chóng ta x²t tæpæ y¸u hay cán gåi l  tæpæ y¸u sao th¼ MA l  khænggian compact bði ành lþ Banach-Alaoglu, hìn núa khæng gian MA l khæng gian Hausdorff

1.1.9 ành ngh¾a Cho A l  mët ¤i sè Banach, f ∈ A Ta x¡c ành

¡nh x¤ ˆf : MA → C cho bði cæng thùc ˆf (Φ) = Φ(f ), ∀Φ ∈ MA Ta gåiˆ

f l  ph²p bi¸n êi Gelfand cõa f v  °t ˆA = { ˆf : f ∈ A}

1.1.10 ành lþ ([5]) Cho X l  khæng gian tæpæ Hausdorff compact Khi

â MC(X) çng phæi vîi X

Chùng minh Vîi méi x ∈ X, ta x¡c ành h m ϕx tø C(X) v o C ÷ñccho bði cæng thùc:

Ta g°p m¥u thu¨n Vªy ϕ = ϕx.

º k¸t thóc chùng minh ta thi¸t lªp mët ¡nh x¤ ψ tø X v o MC(X)

÷ñc cho bði cæng thùc ψ(x) = ϕx vîi måi x ∈ X D¹ d ng chùng minh

ψ l  song ¡nh Hìn núa, ψ li¶n töc

Thªt vªy, gi£ sû {xα}α∈I ⊂ X sao cho xα → x ∈ X Khi â, vîi måi

f ∈ C(X) ta câ f(xα) → f (x) hay ϕx α(f ) → ϕx(f ) vîi måi f ∈ C(X).Suy ra ϕx α → ϕx trong MC(X) hay ψ(xα) → ψ(x)

M°t kh¡c, v¼ X v  MC(X) l  c¡c khæng gian compact n¶n ψ−1 công li¶ntöc Vªy, ψ l  ¡nh x¤ çng phæi tø X v o MC(X)

1.1.11 ành ngh¾a ([5]) Cho X l  mët khæng gian Haudorff compact.Mët ¤i sè con âng cõa C(X), chùa c¡c h¬ng, t¡ch c¡c iºm cõa X th¼

÷ñc gåi l  mët ¤i sè ·u tr¶n X

1.1.12 V½ dö 1) Cho X ⊂ Cn Khi â P (X), R(X), A(X) l  c¡c ¤i

sè ·u tr¶n X Hìn núa, P (X) ⊂ R(X) ⊂ A(X)

2) Cho A l  mët ¤i sè Banach th¼ khæng gian c¡c ph²p bi¸n êiGelfand Abl  mët ¤i sè ·u tr¶n MA

1.1.13 ành ngh¾a ([5])Cho A l  mët ¤i sè ·u tr¶n khæng gian m¶triccompact X v  MA l  khæng gian c¡c ideal cüc ¤i cõa A ë o biºudi¹n cõa φ ∈ MA l  mët ë o d÷ìng µ tr¶n X sao cho

N¸u A l  ¤i sè ·u P (K), trong â K l  tªp compact cõa Cn th¼

MP (K) = ˆK Do â, vîi méi x ∈ ˆK tçn t¤i ë o d÷ìng, Borel, ch½nhquy tr¶n K sao cho

Chóng ta ¸n vîi mët kh¡i ni»m quan trång sau

1.1.15 ành ngh¾a ([4]) a t¤p thüc M trong Cn ÷ñc gåi l  ho n

to n thüc t¤i iºm a ∈ M n¸u khæng gian vectì ti¸p xóc TM(a) cõa Mt¤i a khæng chùa c¡c ÷íng th¯ng phùc, tùc l  TM(a) ∩ iTM(a) = {0}

a t¤p M ÷ñc gåi l  ho n to n thüc n¸u nâ ho n to n thüc t¤i måi

iºm thuëc nâ

1.1.16 V½ dö 1) Rn l  ho n to n thüc t¤i måi iºm cõa nâ.

∂fi

∂z(a)

6= 0

vîi a ∈ U th¼ M = { z, f1(z), , fk(z)
: z ∈ U } ho n to n thüc t¤i

a, f1(a), , fk(a)

1.1.17 ành ngh¾a Cho X l  mët tªp con compact cõa Cn

1) Bao lçi a thùc cõa X kþ hi»u l  Xb v  ÷ñc x¡c ành nh÷ sau:

b

X = {z ∈ Cn : |p(z)| ≤ kpkX, vîi måi a thùc p tr¶n Cn},

trong â

kpkX = max{|p(x)| : x ∈ X}

N¸u X = Xb th¼ ta nâi X l  lçi a thùc

2) Bao lçi húu t cõa X kþ hi»u l  ˆXR v  ÷ñc x¡c ành nh÷ sau

ˆ

XR = {z ∈ Cn : |g(z)| ≤ kgkX, vîi måi h m húu t g câ cüc iºm ngo i X}.N¸u X = ˆXR th¼ ta nâi X l  lçi húu t

1.1.18 ành ngh¾a Cho X l  mët tªp con cõa Cn v  z ∈ X Tªp X

÷ñc gåi l  lçi a thùc àa ph÷ìng (t÷ìng ùng lçi húu t àa ph÷ìng) t¤i

z n¸u tçn t¤i h¼nh c¦u âng B(z, r) sao cho X ∩ B(z, r) l  lçi a thùc(t÷ìng ùng l  lçi húu t)

Chùng minh 1) V¼ lîp c¡c h m húu t chùa c¡c a thùc v  tø ành ngh¾atr¶n ta câ ngay bao h m thùc

D(0, r) = {(z1, , zn) : |zk| 6 rk, k = 1, 2 , n}

Do â, ˆX bà ch°n º chùng minh t½nh compact cõa Xb, ta ch¿ ra t½nh

âng cõa nâ Gi£ sû {xn}n∈I ⊂ Xb v  xn → x ∈ Cn, n → ∞ Vîi méi

n = 1, 2, 3, ta câ xn ∈ Xb n¶n

|f (xn)| ≤ kf kXvîi måi a thùc f M°t kh¡c, v¼ f li¶n töc n¶n f(xn) → f (x) ∈ C, n →

∞ Suy ra

|f (x)| ≤ kf kX,vîi måi a thùc f V¼ th¸ x ∈ Xb, tùc l  Xb âng Vªy, Xb compact trong

Cn

Chùng minh t÷ìng tü XbR compact trong Cn

2) Gi£ sû {Xα}α∈I l  c¡c hå c¡c tªp lçi a thùc trong Cn Khi âˆ

|q(z)| > kqkX.L§y C tho£ m¢n

1.1.20 Chó þ 1) Hñp cõa hai tªp lçi a thùc l  khæng lçi a thùc V½

dö minh ho¤ chóng ta s³ ÷a ra ð ph¦n sau cõa luªn v«n Nghi¶n cùut½nh lçi a thùc cõa hñp hai tªp lçi a thùc l  b i to¡n kh¡ phùc t¤ptrong gi£i t½ch phùc, nâ g­n li·n vîi nhi·u b i to¡n quan trång cõa gi£it½ch phùc v  ¤i sè ·u

2) Vi»c x¡c ành bao lçi a thùc cõa mët tªp hñp compact nâi chungr§t khâ kh«n trong tr÷íng hñp nhi·u chi·u Mët lîp tªp lçi a thùc d¹

nhªn bi¸t â l  c¡c tªp lçi Tuy nhi¶n, bao lçi a thùc cõa mët tªpcompact khæng ph£i l  tªp lçi Ta câ bao lçi convK (theo ngh¾a thængth÷íng) cõa mët tªp compact K ÷ñc x¡c ành bði

convK = {z ∈ Cn : |f (z)|6 kf kK : ∀f ∈ F },trong â F l  tªp t§t c£ c¡c d¤ng tuy¸n t½nh phùc tr¶n Cn Thªt vªy,gi£ sû z ∈ convK Khi â tçn t¤i z1, z2 ∈ K v  λ ∈ [0, 1] sao cho

z = λz1 + (1 − λ)z2 V¼ vªy, vîi måi f ∈ F ta câ

|f (z)| = |f λz1 + (1 − λ)z2
| = |λf (z1) + (1 − λ)f (z2)|

6 λ|f (z1)| + (1 − λ)|f (z2)| 6 λkf kK + (1 − λ)kf kK = kf kK.Ng÷ñc l¤i, gi£ sû z /∈ convK Khi â, theo ành lþ Hahn-Banach, tçn t¤imët d¤ng tuy¸n t½nh phùc f sao cho f(z) = 1 v  f|K = 0 i·u n y m¥uthu¨n vîi

|f (z)| 6 kf kK, ∀f ∈ F

Ta ֖c

convK = {z ∈ Cn : |f (z)|6 kf kK : ∀f ∈ F },trong â F l  tªp t§t c£ c¡c d¤ng tuy¸n t½nh phùc tr¶n Cn Tø â suy

ra convK luæn chùa bao lçi a thùc cõa K Do â måi tªp lçi compacttrong Cn l  lçi a thùc

1.1.21 ành lþ ([5]) Cho X l  tªp compact cõa Cn Khæng gian c¡cideal cüc ¤i cõa P (X) l  ˆX, khæng gian c¡c ideal cüc ¤i cõa R(X) l ˆ

XR

Chùng minh ¦u ti¶n ta chùng minh MP (X) = X Gi£ sû f ∈ P (X).Suy ra tçn t¤i d¢y c¡c a thùc {fn}n∈

N sao cho hëi tö ·u v· f tr¶n X

Do {fn}n∈I hëi tö ·u v· f tr¶n X n¶n f li¶n töc v  {fn}n∈

N l  d¢yCauchy, ngh¾a l 

kfn− fmkX → 0,

khi m, n → ∞ Vîi méi m, n v¼ fn− fm l  a thùc n¶n

kfn − fmkXˆ = kfn− fmkX

Do â,

kfn − fmkXˆ → 0khi m, n → ∞.Vªy {fn} l  d¢y Cauchy trong ¤i sè Banach P ( ˆX) Do

â {fn} hëi tö ·u tr¶n ˆX tîi h m ˜f l  mët mð rëng cõa f

Ti¸p theo, vîi méi z ∈ ˆX x²t ¡nh x¤ φz : P (X) → C x¡c ành bði

φz(f ) = f (z)e D¹ d ng kiºm tra φz l  mët çng c§u phùc tr¶n P (X).B¬ng ph²p çng nh§t z vîi φz ta câ thº xem ˆX nh÷ l  mët tªp con cõakhæng gian c¡c idean cüc ¤i MP (X) V¼ vªy ˆX ⊂ MP (X)

Ng÷ñc l¤i, vîi méi Φ ∈ MP (X), ta câ

Φ(azk1

1 zk2

2 zkn

n ) = a[Φ(z1)]k1[Φ(z2)]k2 [Φ(zn)]kn.Suy ra

Φ(p(z1, z2, , zn)) = p(Φ(z1), Φ(z2), , Φ(zn)),vîi måi a thùc p v  vîi måi (z1, z2, , zn) ∈ Cn Tø â suy ra Φ = Φz vîi

z = (Φ(z1), Φ(z2), , Φ(zn)) ∈ Cn V¼ |Φ(f)| ≤ kfkX, vîi måi f ∈ P (X)suy ra

|Φ(p)| = |p(Φ(z1), Φ(z2), , Φ(zn))| ≤ kpkXvîi måi a thùc p Ta ÷ñc z = (Φ(z1), Φ(z2), , Φ(zn)) ∈ ˆX v  Φ = Φz

Do â, MP (X) câ thº xem nh÷ l  tªp con cõa ˆX n¸u ta çng nh§t z vîi

Φz V¼ vªy, MP (X) ⊂ ˆX Ta thu ÷ñc ˆX = MP (X) Chùng minh t÷ìng

1.1.23 H» qu£ N¸u P (X) = C(X) (t÷ìng ùng R(X) = C(X)) th¼ Xlçi a thùc (t÷ìng ùng lçi húu t).

X b¬ng X hñp vîi c¡c th nh ph¦n li¶n thæng bà ch°n cõa C \ X Nâic¡ch kh¡c, X l  lçi a thùc trong C n¸u v  ch¿ n¸u C\X l  li¶n thæng.1.1.26 Nhªn x²t 1) ành lþ tr¶n cho ta mët i·u ki»n tæpæ º mët tªptrong m°t ph¯ng phùc C l  lçi a thùc Trong tr÷íng hñp nhi·u chi·u,cho ¸n nay ng÷íi ta ch÷a thº t¼m ÷ñc °c tr÷ng tæpæ cho t½nh lçi athùc nh÷ tr¶n

2) Cho X1 = {z ∈ C : |z| = 1, =z > 0} v 

X2 = {z ∈ C : |z| = 1, =z 6 0},trong â = l  to¡n tû l§y ph¦n £o trong C Ta câ X1, X2 l  lçi a thùc.Tuy nhi¶n X1 ∪ X2 = {z ∈ C : |z| = 1} khæng lçi a thùc, bði v¼

C\ (X1 ∪ X2) khæng li¶n thæng

Sau ¥y l  ành lþ x§p x¿ cõa Mergelyan

1.1.27 ành lþ (Mergelyan-[5]) N¸u K l  mët tªp lçi a thùc cõa m°tph¯ng phùc C th¼ A(K) = P (K).

ành lþ sau l  mët k¸t qu£ °c s­c v· t½nh lçi a thùc àa ph÷ìng cõa

1.1.29 ành lþ ([4]) Cho K l  mët tªp compact lçi ch¿nh h¼nh v  K0

l  tªp compact cõa K sao cho K \ K0 l  ho n to n thüc trong Cn, lîp

C1 (÷ñc chùa trong mët a t¤p ho n ho n thüc, lîp C1) Khi â, h m fli¶n töc tr¶n K thuëc v o H(K) n¸u v  ch¿ n¸u tçn t¤i h m g ∈ H(K)sao cho f = g tr¶n K0

Ta nhªn ÷ñc h» qu£ câ nhi·u ùng döng sau

1.1.30 H» qu£ Cho K l  tªp lçi a thùc cõa Cn v  K0 l  mët tªp concompact cõa K sao cho K \ K0 l  ho n to n thüc cõa Cn, lîp C1 N¸u

P (K0) = C(K0) th¼ P (K) = C(K)

Chùng minh Tø ành lþ 1.1.29 suy ra, n¸u µ l  mët ë o tr¶n K saocho

Ta c¦n chùng minh µ = 0 Thªt vªy, tø gi£ thi¸t K lçi a thùc, ¡p döng

ành lþ Oka-Weil ta ÷ñc P (K) = H(K) Do â, tø (1.1) , (1.2) suy ra µ

câ gi¡ tr¶n K0 B¥y gií, gi£ sû φ l  mët h m tuý þ li¶n töc tr¶n K Khi

â φ ∈ C(K0) = P (K0), tùc l  tçn t¤i d¢y c¡c a thùc Pn hëi tö ¸n φtr¶n K0 Khi â, v¼ µ câ gi¡ tr¶n K0 n¶n

Z

Kφdµ =

Bê · sau cho ta mët k¸t qu£ v· iºm peak cõa ¤i sè P (K) vîi K l tªp compact cõa m°t ph¯ng phùc

1.1.33 Bê · ([14]) N¸u K l  tªp compact, lçi a thùc cõa m°t ph¯ngphùc th¼ måi iºm bi¶n cõa K ·u l  iºm peak cõa ¤i sè P (K)

Chùng minh Khæng m§t t½nh têng qu¡t ta câ thº gi£ thi¸t 0 l  iºmbi¶n cõa K v  K l  tªp con compact cõa h¼nh c¦u ìn và mð

B = {z ∈ C : |z| < 1}

L§y d¢y {zn}∞n=1 ⊂ C\ K hëi tö v· 0 Kþ hi»u γn l  cung trong m°t c¦uRiemann nèi zn vîi ∞ v  γn khæng câ giao vîi K (v¼ K l  lçi a thùcn¶n C\ K l  li¶n thæng) Vîi méi z0 ∈ K \ {0} v  vîi méi n x²t nh¡nh

θn cõa log(z − zn) x¡c ành tr¶n C\ γn sao cho θn(z0) hëi tö Khi â, d¢y

h m θn hëi tö iºm tr¶n K \ {0} tîi mët nh¡nh li¶n töc cõa log z Ta kþhi»u giîi h¤n cõa d¢y h m {θn} l  log z X¡c ành h m ϕ nh÷ sau:

log zlog z − 1

, ∀z ∈ K \ {0}

M°t kh¡c, v¼ K l  lçi a thùc n¶n theo ành lþ Mergelyan ta câ: ϕ ∈

P (K) Do â, 0 l  iºm peak cõa P (K)

1.2 Bê · Kallin v· hñp th nh hai tªp lçi a thùc

ành lþ sau l  Bê · Kallin v· t½nh lçi a thùc cõa hñp th nh hai tªplçi a thùc Nâ l  Bê · kÿ thuªt ÷ñc sû döng xuy¶n suèt trong ch÷ìngsau

1.2.1 ành lþ (Bê · Kallin [10], [14]) Gi£ sû r¬ng

1) X1 v  X2 l  c¡c tªp con lçi a thùc cõa Cn;

2) Y1 v  Y2 l  c¡c tªp con lçi a thùc cõa C sao cho 0 l  iºm bi¶ncõa c£ Y1 v  Y2, v  Y1 ∩ Y2 = {0};

3) p l  mët a thùc sao cho p(X1) ⊂ Y1 v  p(X2) ⊂ Y2;

4) p−1(0) ∩ (X1 ∪ X2) l  lçi a thùc.

Khi â, X1∪ X2 l  lçi a thùc

Chùng minh °t X = X1 ∪ X2 v  Y = Y1 ∪ Y2 Tø i·u ki»n Y1∩ Y2 =

∂Y1 ∩ ∂Y2 = {0} v  C\ Y1, C\ Y2 li¶n thæng suy ra C \ Y li¶n thæng,tùc l  Y lçi a thùc B¥y gií, gi£ sû x ∈ ˆX v  µ l  ë o biºu di¹n cõa

x èi vîi P (X) tr¶n X, tùc l  µ l  ë o d÷ìng tr¶n X sao cho

v  g(p(x)) = 1 Theo ành lþ Mergelyan, g ÷ñc x§p x¿ ·u bði c¡c athùc tr¶n Y , tùc l  g ∈ P (Y ) °t G = g ◦ p Khi â, vîi måi a thùc P

ta câ

|Pn(x)| = |Pn(x)G(x)| =

Z

PnGdµ

... cừa hai têp lỗi a thực l khổng lỗi a thực Vẵ

dử minh hoÔ s ữa phƯn sau cừa luên vôn Nghiản cựutẵnh lỗi a thực cừa hủp hai têp lỗi a thực l bi toĂn khĂ phực tÔptrong giÊi tẵch phực,...

convK = {z ∈ Cn : |f (z)|6 kf kK : ∀f ∈ F } ,trong õ F l têp tĐt cÊ cĂc dÔng tuyán tẵnh phùc tr¶n Cn Tø â suy

ra convK ln chùa bao lỗi a thực cừa... õ mồi têp lỗi compacttrong Cn l lỗi a thực

1.1.21 nh lỵ ([5]) Cho X l  tªp compact cõa Cn Khỉng gian cĂcideal cỹc Ôi cừa P (X) l X, khổng gian cĂc ideal cỹc Ôi