cấu trúc các ideal trong vành đa thức trên miền nguyên Dedekind 3_2

luận văn mở rộng kết quả của bài báo cáo trước cho trường hợp vành cơ sở D để chỉ miền nguyên dedekind. Trong toàn bộ luận văn đã sử dụng D để chỉ miền nguyên Dedekind, và nó có nhiều tính chất khá đặc biệt

? A

M(J DAU

Doi voi \"~Ulhgiao hoan ccSdon vi, mQt trong nhung dch nghien cltu vanh nay l~lkh~lOsat dc ideal cua no Ta bier ding, neu \'J.nh co 56 giao hoan co cion vj thl \'anh cia thuc tu'ong ltng giao hmln co cion \"j;ket qua la tu'ong tV' cho tflfong hQ'p\"anh co S6 la Noether ho?c UFD Trong tru'ong hQ'pt6ng quat,

voi R El v~Ulhgiao hoan co cion vi bf{t ky, ta co rflt it thong tin v~ cae ideal

trong R[x]

VaG nam 1995, Miguel Ferrero cia mo ta call tflk dc ideal nguyen to va

toi ci?i trong vanh cia thae mQt bien R[x] voi R la vanh co cion vi qua bai baa

I

[4] Sau cia, vaG nam 1997, ong m6 rQng ket qua \'~ ideal nguyen to trong

bai tnide ten \"anh c1athltc nhi2u bien tren vanh co cio'nvi R qua bai baa [5].

Trong bai nay, ong cia tlm ciu'Q'cmoi lien ht;:giua ideal nguyen to bat ky I cib vanh cia tht'ICn bien tren v~mhco cion vi R voi ph~n gi:loclla Ivai R va n cia tht'ICtrong I cae cia tht'ICnay bat kha qui hoan roan rhea mQt nghia naG cia, VaG nam 2004, cht'lI1gtoi c1aSlt d\,mg ket qua cva Ferrero trong cac b~libaa

[4], [5] ci~ tlm hi~u cau tnk cac ideal trang vanh cia tht'!c me)t bien tren mi~n

nguyen PID D Cau tnlC cib cac ideal tu nguyen to, toi c1?icien nguyen so,

khong th~ nIt gQn va bat ky cia ciu'Q'cmo ta ho~m to~m, Ket qua ciu'Q'ctrlnh bay trong bai baa [7]

Trong lu~n van nay, chung toi m6 re)ng ket qua cCIabai baa truoc cho

tflfong hQ'p\"anh co 56 D la mi~n nguyen Dedekind Trang roan be)lu~n van, chung toi Sll d~lI1gD ci~chI mi~n nguyen Dedekind, ?\Ii~nnguyen Dedekind

co nhi~u tfnh chat kha ci?c bit;:t Neu D co hUll h?n ideal nguyen to thl D la

PID, va do cia ket qua cia ciu'Q'cmo ta trang [7] Tl:fcia, neu D khong la PID thl D co vo h?n ideal nguyen to, bon nlta khi cia, D khong la UFD (do [9]).

Nhu' v~y trang lu~n van nay chung Wi chI xet mi~n nguyen Dedekind D vo'i

\"0 h~lI1ideal nguyen to

1

Tnt6'c bet, d~,mg db cac ideal nguyen t6 va t6i c1~liclla D[]'] dlt<lc kh~lO

ideal nguyen to trang bai baa [7] VI xuat hi~n them hQ cac ideal ccSd~lng

I =< f(x) > r::: '1D[x] trang d6 F la tntO'ng phfm thl(c clb D, f(.r) la da thac

do'n khO'i,bat kha qui clb F[x], D~ng nay kh6ng nhat thief la ideal chinh va n6 chi la ideal chinh khi thoa m(>tso di~u ki~n naG d6, chang h~mnhu khi I chlta m(>tda th{(cdo'n khdi ho?c khi da thac c6 b~k nho nhat trang I c6 dung tlch b~ng D (dung tlch clla m(>tda thuc la ideal sinh bo'i tat ca cac h~ s6 clla

da thlic d6), Doi voi ideal toi d:;1i,Dinh If 2.6 cho thay chi c6 duy nhflt m(>t lO~,liideal toi d:~i la < ,p(x), P >, trang d6 <p(x)E D[x] thoa ,;(x) + P[x] bat kha quy trang D[x: P[:r],

Vi D[x] la \'anh Noether nen mQi ideal d~u c6 SLjphan tlch nguyen so chuan boa, do d6 d~ m6 ta call truc clla ideal bat k5' trang D[x], chling t6i

khao sat cflUtnk clb cac ideal nguyen so' Vi can cua ideal nguyen so' la ideal nguyen t6 nen call tnk cac ideal nguyen so' hln lu'Q1du'Q'cm6 ta rhea can cua chlIng Su dl)ng bai baa [1], chung t6i m6 ta du'Q'cdIU truc cua ideal nguyen

. so v6'i can kh6ng toi d~i qua Dinh If 3.1.1 Call truc clb ideal nguyen so'v6'i can toi d~i du'Q'cm6 ta qua Dinh If 3.104,Tuy nhien cau truc clla ideal nguyen

so v6'i can toi d~i chl(a gQn va hon mia, mQi ideal nguyen so trang D[x]d~u

du'Q'cphan tfch thanh giao cua hau h~n cac ideal kh6ng thl rut gQn c6 Cling can nen chung t6i khao sat call truc db ideal kh6ng th~ rut gQn, Call truc

cLlacae ideal k!long th~ rut gQn trang D[x] duQ'c m6 ta [rang cac Dtnh 1f 3.2.1

Dtnh 1f 3.2.12 rat gQn,

M(>tideal I cib D[x] du'Q'cm6 ta rhea hai cach : la giao hall h~n cua cac

ideal kh6ng th~ rut gQn (Dinh If 3.3.1) ho?c la tlch hoo h~n clla cac ideal ngllyen so (Djl1h1f 3.3.2); bi~u di~n theo cach thu nhat la khong duy nhat

trang khi bi~u di~n theo cach thu hai la duy nhat

2

LU(11l\'jn ngo~li l<Jidun on, 1110'(tiu va ket lu(tn, p:-:1n ~Qi dung baa g6m

ba ChL(Ong:

. ChL(Ong111<')t:M<')tso kien th((c cd b~tn trong o~li50 giao hoan.

. Chuang hai: Cau truc cac ideal nguyen to va toi d~~itrong vanh c1ath((c

tren 111i~nnguyen Dedekind

Chuang nay mo ta cau truc cac ideal nguyen to ,.} toi O;;1i trong D[x]

. Chu'dng ba : Cau truc cac ideal trong vanh oa l~((Ctren mien nguyen Dedekind

Chuo'ng nay 1110ra cau trlic cac ideal nguyen so', khong th~ fl.'itgQn va

bat k5'trong D[x].