Bất đẳng thức và bài toán cực trị trong lớp đa thức lượng giác

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG LÊ THỊ THANH LAM BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG LỚP ĐA THỨC LƯỢNG GIÁC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2013... BỘ GIÁO DỤC VÀ Đ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

LÊ THỊ THANH LAM

BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG LỚP ĐA THỨC LƯỢNG GIÁC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

LÊ THỊ THANH LAM

BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG LỚP ĐA THỨC LƯỢNG GIÁC

Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

Đà Nẵng - Năm 2013

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kì công trình nào khác

Tác giả luận văn

Lê Thị Thanh Lam

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ……… 1

1 Lý do chọn đề tài ……… 1

2 Mục đích nghiên cứu ……… 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ……… 2

4 Phương pháp nghiên cứu ……… 2

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài ……… 2

6 Cấu trúc của luận văn ……… 2

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ ĐA THỨC LƯỢNG GIÁC ……… 3

1.1 TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC ……… 3

1.1.1 Tính chẵn lẻ của hàm số ……… 3

1.1.2 Tính tuần hoàn và phản tuần hoàn của hàm số … ……… 3

1.2 TÍNH CHẤT CỦA ĐA THỨC LƯỢNG GIÁC ……… 6

1.2.1 Định nghĩa đa thức lượng giác ……… 6

1.2.2 Một số tính chất ……… … 6

1.2.3 Đa thức Chebyshev ……… 13

CHƯƠNG 2 BẤT ĐẲNG THỨC TRONG LỚP ĐA THỨC LƯỢNG GIÁC ……… 17

2.1 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ CƠ BẢN ……… 17

2.2 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN ……… 18

2.3 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN ĐA THỨC LƯỢNG GIÁC ……… 23

CHƯƠNG 3 MỘT SỐ ÁP DỤNG TRONG ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 29

3.1 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC ……… 29

3.2 CỰC TRỊ TRONG LỚP ĐA THỨC LƢỢNG GIÁC ……… 35 3.3 MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ XẤP XỈ VÀ ƢỚC LƢỢNG ĐA THỨC… 42

KẾT LUẬN ……… 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO ……… 52 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (BẢN SAO)

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Bất đẳng thức là một trong những vấn đề cổ điển nhất của toán học,cũng là phần toán sơ cấp đẹp và thú vị nhất Các bài toán về bất đẳngthức rất đa dạng về đề tài, phong phú về chủng loại và phù hợp với nhiềuđối tượng thuộc các cấp học khác nhau

Các bài toán về bất đẳng thức lượng giác trong toán sơ cấp là khó vàrất khó, nhưng có thể giải chúng bằng phương pháp sơ cấp, không vượtquá giới hạn của chương trình toán học phổ thông Trong các kì thi chọnhọc sinh giỏi thì các bài toán liên quan đến phép tính lượng giác thường

ẩn dưới dạng công cụ giải toán Nhiều bài toán liên quan đến ước lượng

và tính toán các tổng, tích cũng như các bài toán cực trị thường có mốiquan hệ ít nhiều đến các đặc trưng lượng giác Do đó, các bài toán về bấtđẳng thức lượng giác luôn đem lại sự hấp dẫn đối với nhiều đối tượng họcsinh và giáo viên khi nghiên cứu vấn đề này

Luận văn "Bất đẳng thức và bài toán cực trị trong lớp đa thức lượnggiác" đề cập đến một số dạng bất đẳng thức lượng giác mà biểu thứcthường là một đa thức lượng giác Trên cơ sở đó, nội dung chính của luậnvăn trình bày phần lí thuyết cũng như các bài tập liên quan đến bất đẳngthức lượng giác, bài toán cực trị trong lớp đa thức lượng giác, từ đó khaithác thêm các ứng dụng trong đại số và giải tích như lượng giác hóa một

số bài toán đại số, ước lượng đa thức, xấp xỉ đa thức,

2 Mục đích nghiên cứu

Nhằm hệ thống tổng quan các bài toán về bất đẳng thức lượng giác cơbản, bất đẳng thức liên quan đến đa thức lượng giác

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng khảo sát của đề tài luận văn là các bài toán về bất đẳng thứctrong lớp các đa thức lượng giác và hệ thống các kiến thức liên quan.Nghiên cứu từ các tài liệu, giáo trình của GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu

và các sách chuyên đề về bất đẳng thức, đa thức, lượng giác

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu trực tiếp từ các tài liệu của thầy hướng dẫn, tham khảo ýkiến của các đồng nghiệp nơi công tác cũng như các bạn học viên tronglớp

Tổng hợp các tài liệu liên quan, nắm vững cốt lõi của nội dung kiếnthức, từ đó sắp xếp, trình bày hệ thống và khai thác các ứng dụng theo

đề tài đã chọn

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Tạo được một đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinhtrung học phổ thông

Đề tài đóng góp thiết thực cho việc nâng cao chất lượng dạy học từcác chuyên đề toán trong trường THPT, đem lại niềm say mê sáng tạo từnhững bài toán cơ bản nhất

6 Cấu trúc của luận văn

Luận văn gồm phần mở đầu, 3 chương, phần kết luận và danh mục tàiliệu tham khảo

Mở đầu

Chương 1 Một số tính chất của hàm số và đa thức lượng giác

Chương 2 Các bất đẳng thức liên quan đến đa thức lượng giác

Chương 3 Một số áp dụng trong đại số và giải tích

Kết luận

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ ĐA THỨC LƯỢNG

Nhận xét 1.2.

G(x) := f (x).g(x) cũng là những hàm tuần hoàn trên M

Bài toán 1.3 Chứng minh rằng mọi hàm số phản tuần hoàn nhân tính

1.2 TÍNH CHẤT CỦA ĐA THỨC LƯỢNG GIÁC

trong đó

a0, ak, bk ∈ R(k ∈ {1, 2, , n}; |an| + |bn| 6= 0(n ∈ N∗)

Định nghĩa 1.7

Cn(x) = a0 + a1cos x + a2cos 2x + + ancos nx, (an 6= 0) (1.2)

Sn(x) = a0 + b1sin x + b2sin 2x + + bnsin nx, (bn 6= 0) (1.3)

Sau đây ta liệt kê một số tính chất đơn giản của đa thức lượng giác

a) Lm(x) + Ln(x) là đa thức lượng giác bậc k, với k ≤ max{m, n}

b) Lm(x).Ln(x) là đa thức lượng giác bậc m + n

Chứng minh

Nếu m < n thì Lm(x) + Ln(x) là đa thức lượng giác bậc n

Nếu m > n thì Lm(x) + Ln(x) là đa thức lượng giác bậc m

Nếu m = n thì Lm(x) + Ln(x) là đa thức lượng giác bậc k, k ≤ m = n

Vậy Lm(x) + Ln(x) là đa thức lượng giác bậc k,với k ≤ max{m, n}

Lm(x) = a∗0 +

m

X

j=1(a∗j cos jx + b∗jsin jx)

Ln(x) = a0 +

n

X

k=1(akcos kx + bksin kx)

+a∗0

n

X

k=1(akcos kx + bksin kx)

nghiệm

và n − 1 đối với t sao cho

Ln(x) = Pn(cos x) + sin xQn−1(cos x)

Chứng minh Ta có công thức Moivre

(cos x + i sin x)n = cos nx + i sin nx, n ∈ N

Khai triển công thức trên rồi đồng nhất phần thực và phần ảo của hai vế

ta được các công thức:

Cn0cosnx − Cn2cosn−2x sin2x + Cn4cosn−4sin4x − = cos nx

Cn1cosn−1x sin x − Cn3cosn−3x sin3x + Cn5cosn−5sin5x − = sin nx

Như vậy, từ các công thức trên ta nhận được các kết quả sau:

Vậy tính chất (1.3) đã được chứng minh

Từ chứng minh này, ta cũng suy ra được các kết quả sau:

Sn(x) = b0 + sin xQn−1(cos x)

Tính chất 1.5 Với mọi đa thức lượng giác Cn(x) dạng (1.2) luôn luôn

Cn(x) = Pn(cos x)

Theo công thức khai triển nhị thức Newton ta có

(cos x + i sin x)n =

n

X

k=0

Cnkcosn−kx(i sin x)k

= cosnx + iCn1cosn−1x sin x − Cn2cosn−2x sin2x + + A + iB

z−1 = (cos t + i sin t)−1 = cos t − i sin t

Do đó cos t = z + z

−1

2 và sin t =

z + z−12i

(zn + z−n) + Cn1(zn−2 + z−(n−2)+ + C

n−1 2

n (z + z−1) nếu n lẻvà

(zn− z−n) + Cn1(zn−2 − z−(n−2) + + (−1)n−12 C

n−1 2

n (z − z−1) nếu n lẻVậy

n

inếu n chẵn

n

inếu n lẻ

n

inếu n chẵn

n+1sin(n − 1)x − rnsin nx − r sin x + 1

r2 − 2r cos x + 1

Lời giải Cách giải tương tự như Bài toán 1.6

f (x) = a0 +

k

X

j=1(ajcos jx + bjsin jx) (1.4)

= c1

n

X

i=1f1(x + iα) + c2

n

X

i=1f2(x + iα)

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

n

X

k=1cos(a + kβ) = 0;

n

X

k=1sin(a + kβ) = 0

Trở lại ví dụ đang xét: Do bổ đề 1.1 nên ta chỉ cần chứng minh (1.5)

(1.5) đúng với các hàm số nói trên Từ đó ta được điều phải chứng minh

Bài toán 1.9 Cho

Cn(x) = a0 + a1cos x + a2cos 2x + + ancos nx(a 6= 0)

n + k

2πn

= (n − 1)a0− (n − 1)a0+ an[1 − (−1) + 1 − (−1) + + 1 − (−1)] = 2nan.

Suy ra điều phải chứng minh

Từ kết quả của ví dụ này ta được:

Hệ quả 1.1

|Cn(0)| +

n)

n )

+ +

+

+

• Lượng giác hóa bài toán đại số

Khi giải các bài toán với hàm nhiều ẩn ở dạng " Tìm giá trị lớn nhất

chuyển về bài toán lượng giác thì cách giải sẽ đơn giản và dễ dàng hơn.Quá trình đó được gọi là "lượng giác hóa" bài toán Lúc đó ta lựa chọn

≤ (cos2t + sin2t)(1 + sin t + 1 + cos t)

⇔ A2 ≤ 2 + cos t + sin t = 2 +√2 sin



t + π4

2 hay x = y =

√22

Vậy maxA =p2 +√

2 ⇔ x = y =

√22

Hãy tìm các nghiệm sao cho (x + y) đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải Ta xét hai trường hợp

(3.2)

Mặt khác



x − 12

2,

12

, bán kính



ϕ + π4

Vậy max(x + y) = 2 khi x = 1, y = 1.

1 − cos 2t + 6 sin 2tcos 2t + sin 2t + 2 = y0

Vậy maxP = 3 và minP = −6

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Khi đó

R2(cos4t + sin4t) +

34R2sin2t cos2t + 2

Ta có

... (x2)

Trong phần đề cập đến số bất đẳng thức liên quan đến hàm

số lượng giác Các phương pháp giải thường đạo hàm hàm số, sử dụngcác bất đẳng thức bản, biến đổi lượng giác Ta xét... class="text_page_counter">Trang 22

CHƯƠNG 2 BẤT ĐẲNG THỨC TRONG LỚP ĐA< /h3>

I(a, b) ngầm hiểu số tập [a, b], [a, b), (a, b], (a, b)

limn→+∞un... ∀x ∈ R, điều đúng

Nếu a < chọn x cho

Vậy tồn đa thức thỏa mãn yêu cầu đề bài, đa thức cho côngthức Pn(x) = cos(n arccosx

2).