Ánh xạ tuyến tính compact và phổ của nó

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các Thầy trong khoa Toán - Tin Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ tôi nâng cao trình độ chuyên môn trong suốt quá

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP CHÍ MINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Luâ ̣n văn tha ̣c sĩ Toán ho ̣c với đề tài “ Ánh xa ̣ tyuến

tính compact và phổ của nó ” do tôi thực hiê ̣n với sự hướng dẫn của PGS TS Nguyễn Bích Huy, không sao chép của bất cứ ai Nô ̣i dung của luâ ̣n văn có tham khảo và sử du ̣ng mô ̣t số thông tin, tài liê ̣u từ các nguồn sách, ta ̣p chí được liê ̣t kê trong danh mục tài liê ̣u tham khảo Tôi xin hoàn toàn chi ̣u mo ̣i trách nhiê ̣m về luận văn của mình

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2016

Học viên thực hiê ̣n

INTHAKOUMMAN Kounnavong

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS TS Nguyễn Bích Huy, Thầy đã tận tình hướng dẫn, tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi hoàn thành bài luận này Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới Thầy Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các Thầy trong khoa Toán - Tin Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ tôi nâng cao trình độ chuyên môn trong suốt quá trình học cao học

Xin được gửi lời cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Sau đại học, Phòng Tổ chức

hành chính, Phòng Kế hoạch - Tài chính Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn

Và cũng cảm ơn các bạn Học viên K25 đã cùng chia sẻ với tôi rất nhiều về kinh nghiệm học tập, rèn luyện và viết luận văn

Xin gửi lời chúc sức khỏe, hạnh phúc và thành công tới Quý thầy cô, anh chị

và các bạn!

INTHAKOUMMAN Kounnavong

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

Các kí hiệu

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Ánh xạ liên hơ ̣p 3

1.2 Phổ của ánh xạ tuyến tính, liên tục 6

Chương 2 ÁNH XẠ COMPACT 12

2.1 Định nghĩa, các tính chất cơ bản 12

2.2 Các đi ̣nh lí Fredholm 14

2.3 Phổ củ a ánh xa ̣ compact 17

Chương 3 TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH COMPACT TỰ LIÊN HỢP TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 20

3.1 Toán tử tự liên hơ ̣p trong không gian Hilbert 20

3.2 Phổ củ a toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert 22

3.3 Phổ củ a toán tử tự liên hợp compact trong không gian Hilbert 28

KẾT LUẬN 37

TÀI LIỆU THAM KHẢO 38

CÁC KÍ HIỆU

K trường số thực hoặc số phức

( , )

L X Y tập các ánh xạ A X: Y tuyến tính liên tục ( )

Lớp các ánh xạ tuyến tính compact là lớp các ánh xạ tuyến tính quan trọng nhất Chúng được các nhà Toán học quan tâm nghiên cứu bởi hai lí do Về mặt lí thuyết, chúng có những tính chất đặc biệt và trong quá trình nghiên cứu chúng các nhà Toán học đã phát minh ra những phương pháp và khái niệm Toán học mới Về mặt ứng dụng, chúng được sử dụng nhiều trong các phương trình của khoa học - công nghệ

Đến nay, Lí thuyết về các ánh xạ tuyến tính compact và Ứng dụng được xây dựng khá hoàn chỉnh và tìm được các ứng dụng sâu sắc và cơ bản trong Lí thuyết phương trình vi phân, Giải tích phi tuyến, Lí thuyết điều khiển,… Việc tìm hiểu Lí thuyết này giúp học viên bổ sung cho mình những kiến thức mới, hiện đại, chúng có thể sử dụng để học tập và nghiên cứu các lĩnh vực mới

Mục tiêu của luâ ̣n văn là trình bày chi tiết và hệ thống các kết quả về ánh

xạ tuyến tính compact và các ứng dụng như: tính compact của ánh xạ liên hợp,

củ a ánh xạ giới hạn, của dãy ánh xa ̣ compact, các định lí Fredholm, tính chất phổ của ánh xạ compact tự liên hợp trong không gian Hilbert, tính compact của một số ánh xạ tích phân,…

Luận văn đươ ̣c hoàn thành trên cơ sở tìm hiểu các sách chuyên khảo và các bài báo khoa học có liên quan đến đề tài Phân tích, tổng hợp các kiến thức thu được và trình bày chúng theo thể thống nhất, khoa học và chi tiết

Luận văn này gồm có 3 chương như sau:

Chương 1: Trình bày các kiến thức chuẩn bị về ánh xa ̣ liên hợp, phổ của

ánh xa ̣ tuyến tính liên tu ̣c

Chương 2: Giới thiê ̣u ánh xa ̣ compact tổng quát và trình bày các tính chất

cơ bản, các đi ̣nh lí Fredholm và tính chất phổ của anh xa ̣ compact

Chương 3: Trình bày về toán tử tuyến tính tự liên hợp compact trong không gian Hilbert như tính chất phổ của toán tử tự liên hợp, đi ̣nh lí phân tích phổ

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

A f  f A gọi là ánh xa ̣ liên hợp của ánh xa ̣ A

Nếu ký hiê ̣u f y , với f Y, yY bở i f y, thì ta có

1) Ta dễ dàng kiểm tra các tính chất này từ định nghĩa

2) Vớ i mo ̣i h Z , ta có: 

Dễ thấy M, L là các không gian vectơ con đóng

Bổ đề 1.1.1 Nếu M là không gian vectơ con thì X  M  M

Đi ̣nh lý 1.1.2 Cho AL X Y ,  có R A  là tâ ̣p đóng Khi đó :

1) A toàn ánh  A đơn ánh

Như vâ ̣y, phương trình A x  y có nghiê ̣m với mo ̣i y khi và chỉ khi

phương trình A f 0 chỉ có nghiê ̣m tầm thường

2) Giả sử phương trình A f 0 có nghiê ̣m không tầm thường

Khi đó phương trình A x  y giải đươ ̣c khi và chỉ khi y Y thỏa mãn điều kiê ̣n g y , 0 vớ i mo ̣i g là nghiê ̣m của A f 0

1.2 Phổ của ánh xạ tuyến tính, liên tục

Định nghĩa 1.2.1 (Tâ ̣p Isom X )

Cho X là không gian Banach, ta ký hiê ̣u L X  L X X ,  và đi ̣nh nghĩa

Isom( X ) = { AL X : A là song ánh}

Do đi ̣nh lý ánh xa ̣ mở, ta có nếu AIsom X  thì A1 liên tục

Đi ̣nh nghĩa 1.2.2 Cho X là khơng gian Banach trên trường C AL X 

1) Sớ  go ̣i là giá tri ̣ chính quy của A nếu AI thuợc Isom X 

Tập các giá tri ̣ chính quy của A ký hiê ̣u  A , gọi là tâ ̣p giải của A

2) Tập  A  \ A gọi là phở của A Như vâ ̣y:

    không đơn ánh không toàn ánh

Nếu AI khơng đơn ánh thì sớ  gọi là giá tri ̣ riêng của A Khi đó,

N AI gọi là khơng gian riêng của A

Mỡi xN A I  \ 0 (hay Axx x,  ) go ̣i là vectơ riêng ứng với 0giá tri ̣ riêng 

Đi ̣nh lý 1.2.1 Giả sử X  0 là không gian Banach trên và AL X  Khi đó  A là tâ ̣p compact, không rỗng, chứa trong hình tròn đóng tâm 0, bán kính

A củ a

Chứng minh:

+ Đầu tiên ta chứng minh  A là tâ ̣p mở

Đă ̣t B  A I Giả sử ta có B0Isom X 

+ Giả sử   A , ta sẽ chứng minh    A

Thật vâ ̣y, A 1

+ Giả sử trái lại  A  hay  A 

Khi đó ánh xa ̣   1

Xét hàm :  ,    f R  Ta chứng minh  giải tích trên Cố định 0 nếu

Vậy  giải tích trên mô ̣t lân câ ̣n của 0

Tiếp theo ta cần chứng minh hàm  bị chă ̣n trên Khi   A ta có

n n n

  nên  có môđun bi ̣ chă ̣n trên

Áp du ̣ng đi ̣nh lý Liouville ta có   0, vô lý vì    1

   

Định nghĩa 1.2.3 (Bán kính phổ)

Số r A sup  :   A  gọi là bán kính phổ cuả AL X 

Đi ̣nh lí 1.2.2 Bán kính phổ của A được tính bởi   limn n

Cho   cho ̣n 0, m thoả m 1/m

A  r  theo tính chất của inf

Phân tích mỗi n ở da ̣ng n p m n q n vớ i

 

n n n

lim A n n r + Ta chứ ng minh rằng nếu  r thì    A ; từ đây sẽ có r r A  Trong L X  xét chuỗi

1 0

Vậy chuỗi (*) hô ̣i tu ̣ trong L X 

Gọi S là tổng của (*), ta có

   

S AI  AI S I

Do đó AI là song ánh

+ Tiếp theo ta chứng minh r r A 

A f

A f

Chương 2 ÁNH XẠ COMPACT

2.1 Định nghĩa, ca ́ c tính chất cơ bản

Đi ̣nh nghĩa 2.1.1 Cho các không gian Banach ,X Y Ánh xa ̣ tuyến tính :

A X  gọi là compact (hoàn toàn liên tu ̣c) nếu tâ ̣p Y A B , (BB(0,1)) là

compact tương đố i trong Y

Tập tất cả các ánh xa ̣ tuyến tính compact từ X vào Y ký hiê ̣u K X Y , 

Mê ̣nh đề 2.1.1

1) Nếu AL X Y ,  và dim A X    thì A compact

2) Nếu AL X Y , , CL Y Z ,  và ít nhất mô ̣t trong chúng là compact thì C A compact

3) Nếu A limA n trong L X Y ,  và A nK X Y , , n thì AK X Y , 

Đă ̣t K  A B , n là thu he ̣p của f n trên K

A f là dãy Cauchy trong X nên hội tu ̣

Bổ đề 2.1.1 (Bổ đề Riesz) Cho không gian định chuẩn X và M  là không X

gian con đóng , M  X

BB là tâ ̣p compact thì dim X  

Chứng minh: Nếu dim X   thì ta có dãy  x n các không gian con thoả

2.2 Các đi ̣nh lí Fredholm

Đi ̣nh lý 2.2.1 Cho X là không gian Banach, AK X X ,  Khi đó

1) N I – A hữu ha ̣n chiều

2) R I – A là tâ ̣p đóng

Chứng minh:

1) Đặt

   

X N I A B  X B

Ta có B1 A B X 0,1  vì x  B1 x B X 0,1 , x  Ax

Vậy B l compact và do đó X l hữu ha ̣n chiều

2) Giả sử y n x n Ax n và lim y n  y0

Ta cần chứ ng minh

 

0

y R I  A

+ Bướ c 1: Giả sử  x n bị chă ̣n

Khi đó có dãy con  x n k sao cho  Ax n k hội tu ̣

Vì x n k  y n k Ax n knên  x n k hội tu ̣

Đi ̣nh lý 2.2.2

R I A N I A 

2) N I A   0 R I AX

Nói cách khác I  đơn ánh khi và chỉ khi I A A  toàn ánh

Như vâ ̣y, hoă ̣c   phương trình x Ax y y X   có duy nhất nghiê ̣m hoă ̣c phương trình *

0

f A f  có nghiê ̣m f1 , , f n độc lâ ̣p tuyến tính và phương trình x Ax  có nghiê ̣m khi và chỉ khi y f i y 0,  i 1, n

Chứng minh:

1) Suy từ Bổ đề 1.1.2 và Đi ̣nh lý 2.2.1

2)   Giả sử trái la ̣i Y1I  A X  X Đặt Y n I  A  n X

I  A x  x Y (do I  đơn ánh) A

+ Sử du ̣ng Bổ đề 2.1.1 (Bổ đề Riesz) ta có dãy  x n thoả

Vậy dãy  Ax n không có dãy con hô ̣i tu ̣ (vô lý)

  Giả sử trái la ̣i X1N I A   0 , đặt

 

n

X  N I  A

+ Ta có X n đó ng, X n  X n1 Ta chứng minh X n  X n1

Vậy dãy A x n  không có dãy con hội tụ, ta gặp mâu thuẫn

Hê ̣ quả 2.2.1 Nếu AK X  thì các mê ̣nh đề sau tương đương:

Định lí 2.3.1 Giả sử X là không gian Banach với dim X   và A là ánh xa ̣

tuyến tính compact Khi đó ta có:

1) 0 A

2) Mỗi      A \ 0 là mô ̣t giá tri ̣ riêng

3) Chỉ xảy ra mô ̣t trong các khả năng sau:

+ hoặc    A  0

+ hoặc    A \ 0 hữu ha ̣n

+ hoặc    A \ 0 là mô ̣t dãy tiến về 0

  là song ánh hay    A (vô lý)

3) Giả sử    A \ 0 là vô ha ̣n, ta chứng minh nó là dãy tiến về 0

+ Cố đi ̣nh a  , ta chư0 ́ ng minh tâ ̣p a    A : a hữu ha ̣n Nếu a vô hạn thì tồn ta ̣i dãy   thoả n mnm và dãy  e n thoả

, 0

n n e Ae n e n

Họ  e n n đô ̣c lâ ̣p tuyến tính Thâ ̣t vâ ̣y, coi e1, ,e n đã đô ̣c lâ ̣p tuyến

tính, ta chứng minh e1, ,e e n, n1 độc lâ ̣p tuyến tính

Nếu trái la ̣i, ta có 1

 1  1 1

x a

  ) và tính compact của ánh xa ̣ A

+ Từ bước trên suy ra    A \ 0 là tâ ̣p đếm đươ ̣c, do     1

1

n n A

Chương 3 TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH COMPACT TỰ LIÊN HỢP

TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

3.1 Toán tử tư ̣ liên hơ ̣p trong không gian Hilbert

Đi ̣nh nghĩa 3.1.1 Cho không gian Hilbert X Toán tử tuyến tính bi ̣ chă ̣n

:

A X  X gọi là tự liên hợp nếu *

A  hay A Ax y,  x Ay, , x y, X Toán tử tự liên hơ ̣p còn đươ ̣c go ̣i là toán tử đối xứng

Đi ̣nh lí 3.1.1 Nếu A là toán tử tự liên hơ ̣p ánh xa ̣ không gian Hilbert X vào chính nó thì

, 0,

Ax x   x X thì A là toán tử không

Đi ̣nh lí 3.1.2 Giả sử X là không gian Hilbert phức và AL X  Điều kiê ̣n cần và đủ để A tự liên hơ ̣p là Ax x, là số thực với mo ̣i xX

Chư ́ ng minh:

• Điều kiê ̣n cần: Giả sử A là toán tử tự liên hơ ̣p Ta có

Ax x  x Ax  Ax x  x X

Do đó tích vô hướng Ax x, là số thực với mo ̣i xX

• Điều kiê ̣n đủ: Giả sử toán tử A thoả mãn điều kiê ̣n tích vô hướng

,

Ax x là số thực, với mo ̣i xX

Khi đó với mo ̣i ,x y ta có X

A x y xy  Ax x  Ax y  Ay x  Ay y

A xiy xiy  Ax x i Ax y i Ay x  Ay y Suy ra

* *

Ay x  y A x  A x y hay

*

A x y  Ay x   a bi Ax y x yX

Vì vâ ̣y A*  A, tứ c là A là toán tử liên hơ ̣p

3.2 Phổ cu ̉ a toán tử tự liên hơ ̣p trong không gian Hilbert

Cho A là toán tử tự liên hơ ̣p trong  X Ta có các đi ̣nh lí sau đây:

Đi ̣nh lý 3.2.1 Các giá tri ̣ riêng của toán tử tự liên hợp A đều là số thực

Chư ́ ng minh: Giả sử xX x,  là vectơ riêng của toán tử 0 A ứ ng với giá tri ̣ riêng  Ta có

Ax x  x x

trong đó x x , 0 và Ax x, là số thực

Do đó  là số thực

Đi ̣nh lý 3.2.2 Hai vectơ riêng của toán tử tự liên hợp A tương ứ ng với hai giá trị riêng khác nhau thì trực giao với nhau

Chư ́ ng minh: Giả sử x x1 , 2 là hai vectơ riêng của A ứ ng với hai giá tri ̣ riêng khác nhau  1 , 2

  xác đi ̣nh và bi ̣ chă ̣n trên X

Đă ̣t R d Vớ i mo ̣i xX, ta có

Ta thấy tập tất cả các phần tử y biểu diễn dưới da ̣ng (3.2.1) lâ ̣p thành mô ̣t

không gian con tuyến tính X0 củ a X

Do đó, nếu x1  x2 thì y1 y2.

Mặt khác, ta thấy X0 trù mâ ̣t khắp nơi trong X. Thật vâ ̣y, giả sử

, 0

zX z  sao cho z y, 0,  y X0

Khi đó

 

0 z A, I x  z Ax, x  Azz x, ,  x X.Suy ra

X là không gian con đóng của X Thật vâ ̣y, giả sử  y n  X0 và y n  y

trong X Đặt y n  A x n, vớ i mo ̣i số nguyên dương n m, ta có

X là không gian con đóng của X

Theo trên suy ra X0  X. Do đó toán tử AI là song ánh ánh xa ̣ X lên chính nó nên tồ n ta ̣i toán tử giải   1

R  AI  xác đi ̣nh trên X Mo ̣i y có Xthể viết dạng y  A x x , X.

Từ đó ta có

Hê ̣ quả 3.2.1 Số  thuô ̣c phổ của toán tử tự liên hợp A khi và chỉ khi tồn ta ̣i

dãy  x n  X, x n 1 n1, 2,  sao cho

n A x

 

Chư ́ ng minh: Suy ra trực tiếp từ đi ̣nh lí 3.2.3

Đi ̣nh lí 3.2.4 Mo ̣i số phức   với a bi b  đều la0 ̀ giá tri ̣ chính qui của toán

tử tự liên hơ ̣p A

Chư ́ ng minh: Với mo ̣i xX, ta có

củ a toán tử A

Định lí 3.2.5 Phổ của toán tử tự liên hợp A thuộc  X là khác rỗng

Chư ́ ng minh: Theo Đi ̣nh lí 3.2.4 thì phổ của toán tử tự liên hợp chỉ có thể nằm

trên trục thực

Ta nhận thấy với số thực t tù y ý phổ của toán tử A t  A tI nhận đươ ̣c từ phổ củ a toán tử A bằ ng cách ti ̣nh tiến theo tru ̣c thực mô ̣t đoa ̣n bằng t; các số ,

m M đươ ̣c thay bằ ng m t M ,  t

Thật vâ ̣y , giả sử 0 là mô ̣t giá tri ̣ phổ của toán tử A Theo Hệ quả 3.2.1, tồ n tại dãy  x n  X, x 1 sao cho

Suy ra số 0 t là giá tri ̣ phổ của toán tử A

Theo đi ̣nh nghĩa câ ̣n trên đúng và câ ̣n dưới đúng ta được

1

x x

Ax x t M t Ax x t m t



Không mất tính tổng quát, ta có thể xem 0 m M

Khi đó A M Theo định nghĩa câ ̣n trên đúng, tồn ta ̣i dãy  x n  X, x n 1