Ma trận dương và ánh xạ tuyến tính dương_2

LỜI MỞ ĐẦUTrong toán học, đặc biệt trong lĩnh vực đại số tuyến tính và ứng dụng,giải tích ma trận nghiên cứu về ma trận và những tính chất đại số củachúng.. Việc nghiên cứu tìmhiểu ma tr

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS HOÀNG NGỌC TUẤN

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, dưới

sự hướng dẫn của TS Hoàng Ngọc Tuấn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâusắc tới Thầy, người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em trong suốt quátrình nghiên cứu để em có thể hoàn thành luận văn này

Em cũng bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới quý thầy, cô giáo trườngĐại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy và giúp đỡ em hoàn thành khóahọc Nhân dịp này em cũng xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đãluôn động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện cho em về mọi mặt trong suốtquá trình học tập và thực hiện luận văn này

Mặc dù đã rất cố gắng, song luận văn cũng không tránh khỏi nhữngthiếu sót Em mong được những ý kiến đóng góp từ các Thầy, Cô giáo vàcác bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn

Hà Nội, ngày 30 tháng 06 năm 2018

Trần Thị Thu Hiền

LỜI CAM ĐOAN

Tác giả cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tác giảdưới sự hướng dẫn trực tiếp của TS Hoàng Ngọc Tuấn Luận văn khôngtrùng lặp với các đề tài khác

Trong quá trình nghiên cứu tác giả đã kế thừa thành quả khoa học củacác nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 6 năm 2018

Tác giảTrần Thị Thu Hiền

Mục lục

1.1 Các đặc trưng 6

1.2 Một số định lý cơ bản 9

1.3 Ma trận khối 14

1.4 Chuẩn của tích Schur 19

1.5 Tính lồi và tính đơn điệu 21

2 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG 26 2.1 Sự biểu diễn 26

2.2 Ánh xạ tuyến tính dương 28

2.3 Một số tính chất cơ bản của ánh xạ tuyến tính dương 30

2.4 Một số ứng dụng 35

2.5 Ánh xạ dương trên hệ toán tử 38

LỜI MỞ ĐẦU

Trong toán học, đặc biệt trong lĩnh vực đại số tuyến tính và ứng dụng,giải tích ma trận nghiên cứu về ma trận và những tính chất đại số củachúng Một số chủ đề nổi bật có thể được kể đến, như các phép toán trên

ma trận, hàm ma trận và các giá trị riêng của ma trận

Giải tích ma trận được sử dụng trong hầu hết các lĩnh vực khoa học,

từ phương trình vi phân, xác suất thống kê, tối ưu, kinh tế lượng tới cáclĩnh vực ứng dụng hiện đại như khai thác dữ liệu và nhận dạng mẫu.Trong giải tích ma trận, lý thuyết về ma trận dương và ánh xạ tuyếntính dương có nội dung phong phú Các định lý trong lý thuyết này khôngquá phức tạp trong chứng minh song có ứng dụng mạnh trong lý thuyết

đa thức, lý thuyết ổn định, toán kinh tế và tối ưu, Việc nghiên cứu tìmhiểu ma trận dương và ánh xạ tuyến tính dương có thể giúp ta giải quyếtđược khá nhiều bài toán trong thực tế Hiện nay, lĩnh vực này thu hút sựquan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về ma trận dương và ánh xạ tuyếntính dương, dưới sự hướng dẫn của TS Hoàng Ngọc Tuấn, tôi đã chọn đềtài “Ma trận dương và ánh xạ tuyến tính dương ” để thực hiện luậnvăn của mình

Mục đích của luận văn là hệ thống hóa các tính chất, các kết quả đãđược nghiên cứu về ma trận dương và ánh xạ tuyến tính dương Với nộidung nghiên cứu này, ngoài phần lời mở đầu, kết luận và tài liệu thamkhảo, luận văn được chia thành hai chương:

Chương 1 Ma trận dương Trong chương này, ta sẽ nghiên cứu về các

của các ma trận dương Tiếp đó, ta sẽ nghiên cứu một số định lý cơ bản và

ma trận khối Từ đây, với mọi ma trận A, ma trận

về các biểu diễn của Mn trong Mk và khái niệm về ánh xạ tuyến tính dương

và unita Tiếp đó, ta sẽ nghiên cứu một số tính chất của các ánh xạ dương

và unita thông qua Định lý Choi, Định lý Russo-Dye Từ đây, ta thu được

kΦk = kΦ(I)k, đây được xem là kết quả chính của chương này Sau cùng,một số ứng dụng và một vài định lý về ánh xạ dương trên hệ toán tử cũngđược quan tâm

1.1 Các đặc trưng

Cho H là không gian Hilbert n chiều Cn Tích trong giữa hai véc-tơ x

vày được viết làhx, yi (hay x∗y) Ta quy ước rằng tích trong là tuyến tínhliên hợp theo biến thứ nhất và tuyến tính theo biến thứ hai Đồng thời ta

ký hiệu:

L(H) là không gian tất cả các toán tử tuyến tính trên H

Mn(C) (hay viết gọn hơn Mn) là không gian của các ma trận cỡ n × n vớicác phần tử phức

Mỗi phần tử A của L(H) có thể được đồng nhất với các ma trận của

nó đối với cơ sở chuẩn tắc {ej} của Cn Ta sử dụng ký hiệu A cũng là cho

ma trận này

Trước khi đi đến đặc trưng các ma trận dương, ta bắt đầu với địnhnghĩa sau đây:

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử A là một ma trận Khi đó,

(1) A được gọi là nửa xác định dương (positive semi-definite) nếu

hx, Axi ≥ 0, ∀x ∈ H; (1.1)(2) A được gọi là xác định dương (positive definite) nếu

Ta ký hiệu A ≥ O để chỉ A là ma trận dương và A > O để chỉ nó là

ma trận dương chặt

Cho Alà một toán tử trong không gian Hilbert H, toán tử liên hợp của

A là toán tử A∗ : H −→ H sao cho

hx, Ayi = hA∗x, yi với mọi x, y ∈ H

Mệnh đề sau đây nói đến các đặc trưng của các ma trận dương và matrận dương chặt

Mệnh đề 1.1.3 Cho A là một ma trận Khi đó,

(a) A là dương nếu và chỉ nếu nó là Hermitian (A = A∗) và tất cả cácgiá trị riêng của nó không âm; A là dương chặt nếu và chỉ nếu tất cảcác giá trị riêng của nó là dương

(b) A là dương nếu và chỉ nếu nó là Hermitian và tất cả các định thứccon chính của nó không âm; A là dương chặt nếu và chỉ nếu tất cảcác định thức con chính của nó là dương

(c) A là dương nếu và chỉ nếu A = B∗B với ma trận B nào đó; A làdương chặt nếu và chỉ nếu B là không suy biến (non-singular)

(d) A là dương nếu và chỉ nếu A = T∗T với ma trận tam giác trên T

nào đó Hơn nữa, T có thể được chọn để có các phần tử đường chéokhông âm Nếu A là ma trận dương chặt, thì T là duy nhất (Khaitriển Cholesky của A); A là dương chặt nếu và chỉ nếu B là khôngsuy biến

(e) A là dương nếu và chỉ nếu A = B2 với ma trận dương B nào đó.Như thế, B là duy nhất Ta viết B = A1/2 và được gọi là căn bậc hai(dương) của A; A là dương chặt nếu và chỉ nếu B cũng vậy

(f) A là dương nếu và chỉ nếu tồn tại x1, , xn trong H sao cho

x∗1, , x∗m Ta ký hiệu [[aij]] để chỉ ma trận với các chỉ số i, j có phần tử

là aij Tiếp theo, giả sử x1, , xn là các phần tử trong Cn Khi đó, ta có

Ngược lại, nếu A là ma trận dương, thì ta có

Nhận xét 1.2.1 Giả sử Alà một toán tử dương trên H Cho X : K −→

H là một toán tử tuyến tính, trong đó K là một không gian Hilbert Khi

đó, toán tử X∗AX trên K cũng dương Nếu X là một toán tử khả nghịch

và X∗AX là dương, thì A là dương

Định nghĩa 1.2.2 Cho A, B là các toán tử trên H

(i) Ta nói rằng A là đồng dạng (congruent ) với B (được viết là A ∼ B),nếu tồn tại một toán tử khả nghịch X trên H sao cho B = X∗AX Sựđồng dạng là một quan hệ tương đương trên L(H);

(ii) NếuX là unita, thì ta nói A tương đương unita (unitarily equivalent )với B (ký hiệu A ' B);

(iii) Nếu A là Hermitian, quán tính (inertia) của A là bội ba các sốnguyên không âm

In(A) = (π(A), ζ(A), ν(A)), (1.6)trong đó π(A), ζ(A) và ν(A) lần lượt là số các giá trị riêng dương, không

và âm của A (được tính theo số bội)

Chú ý 1.2.3 Luật quán tính Sylvester chỉ ra rằng In(A) là một bất biếnđầy đủ (complete invariant ) đối với sự đồng dạng trên tập các ma trậnHermitian Nói khác đi, hai ma trận Hermitian là đồng dạng nếu và chỉnếu chúng có cùng quán tính

Mệnh đề 1.2.4 Nếu cả A và B là Hermitian (dương), thì A + B cũng

là Hermitian (dương)

Mệnh đề dưới đây là một đặc trưng về tích của A và B.Mệnh đề 1.2.5 Tích AB là Hermitian nếu và chỉ nếu A và B giao hoánnhau

Tích đối xứng hóa (symmetrized product ) của A và B là ma trận

Nếu A và B là Hermitian, thì S cũng là Hermitian Tuy nhiên, nếu A, B

là dương, thì S không nhất thiết là dương Ví dụ sau sẽ chỉ ra điều này

Ma trận A là dương nếu α > 0 và B là dương khi 0 < β < 1 Trong khi

S không là dương khi α tiến đến 0 và β tiến đến 1

Định lý sau sẽ cho biết điều kiện nào của S để B là dương khi mà A làdương chặt

Định lý 1.2.7 ChoA, B là Hermitian và giả sử rằng A là ma trận dươngchặt Khi đó, nếu tích đối xứng hóa

S = AB + BA

là dương (dương chặt), thì B là ma trận dương (dương chặt)

Chứng minh Chọn một cơ sở trực chuẩn sao cho B là ma trận đườngchéo

Cho A, B là Hermitian, ta nói rằng A ≥ B nếu A − B ≥ O và A > B

Nhận xét 1.2.9 (1) Nếu A ≥ B, thì không phải lúc nào cũng suy rađược A2 ≥ B2 Chẳng hạn, ta có thể xét hai ma trận

Giả sử rằng, phổ của A được chứa trong nửa mặt phẳng phải mở Khi đó,

ma trận Ađược gọi là ổn định dương (positively stable) Trong trường hợpnày, ta biết rằng phương trình (1.9) có một nghiệm duy nhất Hơn nữa,nếu W là dương, thì nghiệm X cũng dương

(3) Cho A là ma trận chéo với các phần tử đường chéo là α1, , αn.Khi đó, nghiệm của (1.9) là

dương, thì vẫn kéo theo nghiệm X dương Do các ma trận chéo hóa được

là trù mật trong không gian tất cả các ma trận, nên có thể thu được cùngkết quả với ma trận dương ổn định tổng quát

(4) NghiệmX của phương trình (1.9) có thể được biểu diễn dưới dạngtích phân

X =

Z ∞ 0

Tiếp theo, cho A là một ma trận nào đó Giả sử rằng tồn tại các matrận dương X và W sao cho phương trình (1.9) thỏa mãn Khi đó, nếu

Au = αu, ta có

hu, W ui = hu, (A∗X + XA)ui

= hXAu, ui + hu, XAui

= 2Re αhXu, ui

Đến đây, sử dụng Nhận xét 1.2.9 (3), ta có X là dương nếu W dương.Nếu F là ma trận bất kỳ sao cho phương trình (1.11) được thỏa mãnbởi các ma trận dương X và W nào đó, thì phổ của F được chứa tronghình tròn đơn vị.

Ta sẽ kết thúc mục này với chú ý rằng, nếu A ≥ B thì

I ≥ A−1/2BA−1/2

và do đó mệnh đề sau được thỏa mãn:

Mệnh đề 1.2.10 Nếu A, B là các ma trận dương chặt thỏa mãn A ≥ B,thì A−1 ≤ B−1

Các phần tử A, B, C, D trong khối ma trận này là các ma trận cỡn × n

Vì thế, ma trận lớn là một phần tử của M2n (hoặc của L(H ⊕ H)) Hơnnữa, ta sẽ thấy rằng, một số tính chất của A có thể thu được từ các tínhchất của một khối ma trận mà trong đó A là một trong các phần tử Đặcbiệt hơn, đó là sự liên hệ giữa tính dương (một tính chất của đại số) vớitính co (một tính chất của metric)

Định nghĩa 1.3.1 (i) Ta viết A = U P để chỉ phân tích cực (polardecomposition) của A Nhân tử U là unita và P là dương Ta có P =(A∗A)1/2 và được gọi là phần dương (positive part ) hay giá trị tuyệt đốicủa A (được viết là |A|) Ta có

A∗ = P U∗,

s1(A) ≥ · · · ≥ sn(A).

Đó là các giá trị suy biến của A (các giá trị riêng của |A|)

Ký hiệu kAk là chuẩn của A, nó xem như là một toán tử tuyến tínhtrên không gian Hilbert H, nghĩa là

kAk = kU AV k với mọi unita U, V (Tính bất biến unita)

Có nhiều chuẩn khác trên Mn cũng có các tính chất như trên Điều kiện

kA∗Ak = kAk2

giúp cho chuẩn toán tử k · k càng trở nên đặc biệt

Tiếp theo, ta chú ý rằng, nếu kAk ≤ 1, thì ta nói A là co (contractive)hay A là một phép co (contraction)

Mệnh đề sau nói đến điều kiện cần và đủ để một toán tử là co

Mệnh đề 1.3.3 Toán tử A là co nếu và chỉ nếu toán tử

Chứng minh Ta biết rằng nếu a là một số phức, thì |a| ≤ 1 nếu và chỉnếu ma trận

trong đó s1, , sn là các giá trị suy biến của A Tất cả các ma trận cỡ

2 × 2 này đều là dương nếu và chỉ nếu s1 ≤ 1 (tức là kAk ≤ 1) Từ đó,chứng tỏ toán tử A là co nếu và chỉ nếu toán tử

Tiếp theo, ta chọn

K = A−1/2XB−1/2

Từ đó, theo Mệnh đề 1.3.3 ma trận khối này là dương nếu và chỉ nếu K

là một phép co Điều này chỉ ra kết luận của mệnh đề khi A, B là dươngchặt Trường hợp tổng quát được suy ra nhờ tính liên tục Mệnh đề đượcchứng minh

là dương, thì miền (range) của X là một không gian con của miền của A,

và miền của X∗ là một không gian con của miền của B Hạng (rank ) của

X không thể lớn hơn, hạng của A hoặc hạng của B

Mệnh đề 1.3.6 Cho A, B là các ma trận dương chặt Khi đó, ma trận

Điều này tương đương với

là dương, với mọi ma trận A

Chứng minh Sử dụng phân tích cực A = U P để thu được

1.4 Chuẩn của tích Schur

Cho Mn(C) (hay viết gọn hơn Mn) là không gian của các ma trận cỡ

n × n với các phần tử phức Tích Schur (Schur product ) A ◦ B của hai matrận A = (aij) và B = (bij) trong Mn(C) được định nghĩa bởi

A ◦ B := (aijbij)

Định nghĩa 1.4.1 Giả sử A ∈ Mn và SA là ánh xạ tuyến tính trên Mn

được định nghĩa như sau:

SA(X) = A ◦ X, X ∈ Mn, (1.13)trong đó A ◦ X là tích Schur của A và X Theo định nghĩa, chuẩn củatoán tử tuyến tính này là

Định nghĩa 1.4.4 Với mỗi ma trận X, ta gọi

kXkc = giá trị lớn nhất của các chuẩn Euclidean của các cột của X

(1.18)Đây là một chuẩn trên Mn và ta có

Định lý 1.4.5 Cho A là ma trận bất kỳ Khi đó, ta có

kSAk ≤ inf {kXkc kY kc : A = X∗Y∗} (1.20)Chứng minh Giả sử rằng A = X∗Y Khi đó

Vì thế, tích Schur của nó với ma trận dương trong (1.21) là dương,

tức là

"

(X∗X) ◦ I A ◦ Z(A ◦ Z)∗ (Y ∗Y ) ◦ I

1.5 Tính lồi và tính đơn điệu

Cho Ls.a.(H) là không gian các toán tử tự liên hợp (Hermitian) trên H

Đó là một không gian véc-tơ thực Trong không gian này, tập L+(H) củacác toán tử dương là một nón lồi Tập của các toán tử dương chặt được

ký hiệu bởi L++(H) và nó là một tập mở trong Ls.a.(H), đồng thời cũng

(ii) f là đơn điệu (monotone) nếu f (A) ≥ f (B) miễn là A ≥ B.Nhận xét 1.5.2 Giả sử rằng f là liên tục Khi đó, f là lồi nếu và chỉnếu với mọi A, B, ta có

f



A + B2



≤ f (A) + f (B)

Các kết quả về ma trận khối trong Mục 1.3 cho phép ta chứng minhtính đơn điệu cũng như tính lồi của một vài hàm số một cách đơn giảnhơn Cụ thể, ta có định lý sau:

!−1

≤ A

−1 + B−1

Từ đó, suy ra ánh xạ A 7−→ A−1 là lồi trên tập các ma trận dương

(b) Lấy tích Schur của hai ma trận khối trong (1.25), ta thu được

Tiếp theo, nếu chọn B = A−1, thì ta có ngay



X1 + X22

 

B1 + B22

−1

X1 + X22

Chứng minh Điều này được suy ra trực tiếp từ Định lý 1.3.6

Hệ quả 1.5.6 Nếu A, B là các ma trận dương và X là một ma trận tùy

Các biểu diễn cực trị như trong (1.29) và (1.30) thường được dùng đểsuy ra các bất đẳng thức Nhưng thường thấy hơn cả là trong các phátbiểu về tính lồi của một vài ánh xạ Chẳng hạn, Hệ quả 1.5.6 đưa ra thôngtin hữu ích về phần bù Schur (Schur complement ), một khái niệm được sửdụng nhiều lý thuyết ma trận và trong thống kê.

Cho trước một ma trận khối

1 và 2 trong định nghĩa này

Để kết thúc chương này, ta sẽ đến với hai định lý thú vị sau về tính lồi

và tính đơn điệu của hàm f (A) = Ar Nhưng trước hết, ta có nhận xétsau:

Nhận xét 1.5.7 f (A) = A2 là hàm lồi trên không gian các ma trậndương, trong khi hàm f (A) = A3 thì không; Hàm f (A) = A1/2 là đơnđiệu trên tập các ma trận dương, trong khi hàm f (A) = A2 không có tínhđơn điệu trên tập này

Định lý 1.5.8 Với 1 ≤ r ≤ 2, hàm f (A) = Ar là lồi trên L+(H)

Chứng minh Trước hết, với mọi t > 0 và 0 < r < 1, ta có

tr = sin rπ

π

Z ∞ 0

t

λ + tdµ(λ), 0 < r < 1, (1.32)

trong đó µ là một độ đo dương trên (0, ∞)

Tiếp theo, ta nhân vào hai vế với t, ta được

tr =

Z ∞ t2

dµ(λ), 1 < r < 2

Thành thử, với toán tử dương A, thì

Ar =

Z ∞ 0

A2(λ + A)−1dµ(λ)

=

Z ∞ 0

A(λ + A)−1A dµ(λ),

với mọi r thỏa mãn 1 < r < 2 Cuối cùng, nhờ vào Nhận xét 1.5.4 (1), vớimọi λ > 0, hàm dưới dấu tích phân là một hàm lồi của A Và do đó, tíchphân cũng là lồi, đúng như khẳng định trong định lý

Định lý 1.5.9 Với 0 ≤ r ≤ 1, hàm f (A) = Ar là đơn điệu trên L+(H).Chứng minh Ta có

Chương 2

ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG

Trong chương này ta sẽ nghiên cứu các ánh xạ tuyến tính trên các khônggian ma trận Ký hiệu Φ là một ánh xạ tuyến tính từ Mn vào Mk Trongtrường hợp khi k = 1 thì ánh xạ như thế được gọi là một hàm tuyến tính

và được ký hiệu là ϕ Chuẩn của Φ là

Từ đây, ta thu được kΦk = kΦ(I)k, đây được xem là kết quả chính củachương này Sau cùng, một số ứng dụng và một vài định lý về ánh xạdương trên hệ toán tử cũng được quan tâm Tài liệu tham khảo chính chochương này là [1] và [2]

2.1 Sự biểu diễn

Có thể nói rằng, mối quan hệ mật thiết giữa các tính chất đại số củacác ánh xạ tuyến tính và các tính chất metric của chúng được minh họa tốtnhất nhờ vào việc xem xét các biểu diễn (representations) của Mn trong

Mk Đó là các ánh xạ tuyến tính thỏa mãn các tính chất sau:

Mệnh đề 2.1.1 Ánh xạ tuyến tính Φ có các tính chất: