05 bài giảng số 1 khái niệm ánh xạ tuyến tính và các tính chất cơ bản

KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH I.. Khi F  , ánh xạ tuyến tính f được gọi là một dạng tuyến tính trên không gian véc tơ E.. Định nghĩa 1.2: Một ánh xạ tuyến tính f từ không gian véc tơ E v

Bài giảng số 01 KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

I TÓM LƯỢC LÝ THUYẾT

Cho E, F và G là các không gian véc tơ trên trường  (  hoặc )

Định nghĩa 1.1: Một ánh xạ f E: F là một ánh xạ tuyến tính (hay đồng cấu) nếu nó thoả mãn hai điều kiện sau:

i) f u v(  ) f u( ) f v( ) với mọi u v, E;

ii) f( u) f u( ) với mọi uE,  

Khi F  , ánh xạ tuyến tính f được gọi là một dạng tuyến tính trên không gian véc tơ E

Định nghĩa 1.2: Một ánh xạ tuyến tính f từ không gian véc tơ E vào chính nó được gọi là một

tự đồng cấu hay phép biến đổi tuyến tính trên E

Định nghĩa 1.3: Ánh xạ tuyến tính f E: F được gọi là một đơn cấu nếu f là tuyến tính và

đơn ánh, f được gọi là toàn cấu nếu f là tuyến tính và toàn ánh và f được gọi là đẳng cấu nếu

f là tuyến tính và song ánh

Tính chất 1.4: Một ánh xạ f E: F là ánh xạ tuyến tính khi và chỉ khi

f  u v  f u  f v với mọi u v, E, và  ,  

Tính chất 1.5: Cho ánh xạ tuyến tính f từ không gian véc tơ E vào không gian véc tơ F, ta có:

i) f(0)0

ii) f(u) f u( ) với  u E

iii) f u v(  ) f u( ) f v( ) với mọi u v, E

Tính chất 1.6: Nếu hai ánh xạ f E: F và g F: G là những ánh xạ tuyến tính thì hợp g f

của và cũng là một ánh xạ tuyến tính

Định lý 1.7: Cho E và F là hai  - không gian véc tơ hữu hạn chiều { ,e e1 2,, }e n là một cơ sở của E, { ,f1 f2,, f n}là hệ véc tơ của F Khi đó tồn tại duy nhất ánh xạ tuyến tính  từ E vào F

sao cho ( )e i  f i với i1, 2,, n

Hệ quả 1.8: Cho E và F là hai không gian véc tơ có cùng số chiều, khi đó tồn tại duy nhất một đẳng cấu f từ không gian véc tơ E lên không gian véc tơ F Từ đó suy ra mọi không gian véc tơ

n chiều luôn đẳng cấu với n

Định nghĩa 1.9:

i) Ảnh của không gian véc tơ E qua ánh xạ tuyến tính , kí hiệu Im f là tập hợp xác định bởi:

Im f  f x( ) F x| E

ii) Hạt nhân của ánh xạ tuyến tính , kí hiệu Kerf là tập hợp xác định bởi:

Kerf  xE f x 

Tính chất 1.10: Cho ánh xạ tuyến tính f E: F Nếu A là một không gian véc tơ con của E thì ( )

f A là một không gian véc tơ con của F và dim f A( )dim A

Tính chất 1.11: Các tập hợp Kerf Im f, lần lượt là các không gian véc tơ con của các không gian véc tơ Evà F

Tính chất 1.12:

i) Ánh xạ tuyến tính f là đơn ánh khi và chỉ khi Kerf  0

ii) Ánh xạ tuyến tính f là toàn ánh khi và chỉ khi Im f F

Tính chất 1.13: Cho ánh xạ tuyến tính f E: F, nếu E là không gian véc tơ hữu hạn chiều và

có cơ sở là hệ véc tơ { ,e e1 2,, }e n thì Im f span f e{ ( ), ( ),1 f e2 , f e( )}n

Tính chất 1.14: Nếu ánh xạ f E: F là đẳng cấu tuyến tính thì ánh xạ ngược 1

:

f F E cũng

là một đẳng cấu tuyến tính

Tính chất 1.15: Nếu hai ánh xạ f E: F và g F: G là những đẳng cấu tuyến tính thì hợp

g f của f và gcũng là một đẳng cấu tuyến tính và 1 1 1

(g f)  f g

Định lý 1.16: Cho ánh xạ tuyến tính f E: F, nếu E là không gian véc tơ hữu hạn chiều thì ta có: dim Imf dim ker f dim E

II MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1:

định bởi:

















































z

z x

z y x

z y

x f

2 2

3 2 3

2 )Chứng minh rằng E1 uM3,1(R)/ f(u)u và E2 uM3,1(R)/ f(u)2u là những

Giải:

1) Gọi























1 1 1

z y

x























2 2 2

z y

x

v là hai véc tơ bất kì thuộcM3,1( ), với mọi  ,  , ta có:

f  u v 



































































) (

2

) (

2

) (

3 ) (

2 ) (

3

2 1

2 1 2

1

2 1 2

1 2

1

2 1

2 1

2 1

z z

z z x

x

z z y

y x

x

z z

y y

x x f





































2

z z

 f u( ) f v( )

2) Với mọi véc tơ u v, E1, mọi  ,  , ta có:

f( u v)  f u( ) f v( ) u   v  u vE1

Vậy E1 là không gian véc tơ con của không gian véc tơ M3,1( )

Tương tự, ta có E2 cũng là không gian véc tơ con của không gian véc tơ M3,1( )

3) Giả sử 1,

x

u y E

z

 

 

 

 

 

ta có f u( )u , tức là

2 2

,

suy ra véc tơ u có dạng





















0 1

1

c , với c   Vậy cơ sở của E1 là véc tơ 1

1 1 0

e

 

 



 

 

 

Tương tự nếu E2,

z y

x





















2

, suy ra véc tơ v có dạng





















0

1

2

m , với m   Vậy cơ sở của E2 là véc tơ 2

2 1 0

e

 

 

 

 

Gọi 3

x

e y

z

 

 

 

 

, đẳng thức f e( )3 2e3e2tương đương với hệ sau:

3 2 3 2 2 3 2

1

x y

z









 3

1

c



Chọn c 0, ta có 3

1 0 1

e



Dễ thấy hệ véc tơ e e e1 , 2 , 3 là độc lập tuyến tính

Ví dụ 2:

:

( , ) ( 2 , 2 , , )

f x y  x y xy xy y

Giải:

( , ) , ( , )

f u v f x x y y

x y x y x y y x y x y x y y

f u f

Vậy f là một ánh xạ tuyến tính

2) Gọi ( , )x y Kerf, ta có f x y ( , ) 0 (x2 , 2y xy x, y y, )(0, 0, 0, 0

( , )x y (0, 0)

  Vậy Kerf  0 và dimKerf 0

Vì dimKerf 0 nên dim Im f 2 Gọi { (1, 0),e1 e2(0, 1)} là cơ sở chính tắc của 2

,

 ta có

Im f [ ( ),f e f e( )] [(1, 2, 1, 0), ( 2, 1, 1, 1)].  

Ví dụ 3:

f x y z  yz zx xy

1) Chứng minh rằng f là một đẳng cấu

F  x y z xy z và G( , , ) |x y z x yz.

Giải:

a) Ánh xạ f là tuyến tính, thật vậy với mọi véc tơ u(x, y, z) 3

( , , ) ,

u x y z 

' ' ' 3

( , , ) ,

v x y z  và mọi  ,  , ta có:

' ' ' ' ' ' ' ' '

( , , ) ( , , ) ( ) ( )

y z z x x y y z z x x y

f x y z f x y z f u f v

f là một đẳng cấu vì:

+) f là toàn ánh, thật vậy nếu 3

( , , )m n p  sao cho f x y z( , , )( , , ),m n p ta có:































































2 2 2

p n m z

p n m y

p n m x

p y x

n x z

m z y

+) f là đơn ánh vì từ f x y z ( , , ) 0 ta có:

(yz z, x x, y)(0, 0, 0) ( , , )x y z (0, 0, 0)

Tìm ảnh của F và G qua ánh xạ tuyến tính f

+) Nếu ( , , )x y z F, và ' ' '

( , , ) ( , , )

f x y z  x y z thì ' ' '

x y z  xyz 

Suy ra f(F) = F

+) Nếu ( , , )x y z G,và ' ' '

( , , ) ( , , )

f x y z  x y z thì ta có:





























x y x z

x z x y

x z y x

2 '

2 '

2 '

từ đó suy ra ' ' '

( ,x y z, )G, vậy f(G) = G

Ví dụ 4:

,

1) Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính

2) Tìm cơ sở và số chiều của không gian véc tơ con f(E), với

( , , ) |

Giải:

1) Ta đồng nhất mỗi véc tơ u(x, y, z) trong 3 với một điểm M x y z( , , ). Thật vậy, giả sử f

là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P), Vì f(0)0, f u( ) f OM() f M( ),

nên f(u) là hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (P)

Gọi M’(x’, y’, z’) là hình chiếu của M lên (P), ta có MM ' t n, trong đó n là véc tơ pháp

tuyến của (P), suy ra:























t z

z

t y

y

t x

x

'

'

'

Vì M’(P) nên

3

x y z

t   

Vậy ánh xạ f: R 3  (P), xác định bởi:

3

2

; 3

2

; 3

2 ( xyz x yz x y z

Dễ dàng kiểm tra được ánh xạ f như trên là một ánh xạ tuyến tính

2) Tập E là đường thẳng trong 3

,

 E là không gian véc tơ con của 3

,

 nên f(E) cũng là một không gian con của (P) và là hình chiếu của đường thẳng đó lên mặt phẳng (P) Vậy f(E) là

một đường thẳng trong 3

 Dễ thấy u(1, 2, 3) là véc tơ của E, ta có f(u) = (-1, 0, 1)

Cơ sở của f(E) là véc tơ (-1, 0, 1) và dim f(E) = 1

Ví dụ 5:

f X AX XB

1) Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính

AB  



b)

A B

Giải:

1) Với mọi ma trận X Y, M n( ), mọi  ,   ta có:

=  f(X) +  f(Y)

Vậy f là ánh xạ tuyến tính

2) f X( )0  AX  XB (1)

a) Nếu 1 0

AB  



, thì đặt X a b

c d

(a b c d  , , , ), ta có:

, điều này đúng với mọi ma trận XM2( ), suy raKerf M2( ).

Vậy chọn cơ sở Kerf là hệ các ma trận:

{ 1 0 , 0 1 , 0 0 , 0 0 }

b) Nếu

A B

đặt

a b c

X d e f

g h k

, khi đó:

d e f c a b

g h k f d e

a b c k g h



Vậy ma trận X có dạng:

a b c

X c a b

b c a



a b c Kerf c a b a b c

b c a



a b c

X c a b Kerf

b c a

ta viết:

suy ra hệ:

là một hệ sinh của Kerf và dễ thấy hệ này độc lập tuyến tính

nên nó lập thành một cơ sở của Kerf

Ví dụ 6:

{ a b | , , }

b c

Xét ánh xạ f M: M2( ) , xác định bởi:

f





 

a) Chứng minh rằng f là một ánh xạ tuyến tính

b) Tìm ảnh và hạt nhân của ánh xạ tuyến tính f

c) Tìm cơ sở và số chiều của ảnh và hạt nhân của ánh xạ tuyến tính f

Giải:

a) Với mọi ma trận A =

' '

  , và mọi  ,  , ta có:

f A B f

f

f A f B

Vậy f là một ánh xạ tuyến tính

b) Không gian véc tơ con M có một cơ sở gồm các ma trận

E   E   E  

Ta có: ( 1) 1 0 , ( 2) 0 1 , ( 3) 1 0 ,

f E   f E   f E  

Im f [ (f E ), f E( ), f E( )], vì hệ véc tơ { (f E1), f E( 2), f E( 3)} phụ thuộc tuyến tính còn hệ véc tơ

{ (f E), f E( )} là độc lập tuyến tính nên

n m n





0 0

a b

f

b c



0 0





 

suy ra b 0 và a c 0

Vậy { 0 | }.

0

a

a





c) Theo câu (b), ta có { (f E1), f E( 2)} là độc lập tuyến tính và là hệ sinh của Im f nên nó là cơ sở của Im f Vậy dim Im f 2

1 0

Kerf   



từ đó suy ra 1 0



là một cơ sở của Kerf và dimKerf 1

Ví dụ 7:

Q = P + P’ + P’’ (P’, P’’ là các đạo hàm cấp 1 và 2 cuả đa thức P)

Giải:

Với mọi đa thức P, ta có ' "

degPdeg(PP P ), nên nếu ' "

QPP P thì P3( ).x

Vậy xét ánh xạ f :3( )x 3( )x , xác định bởi: ' "

f P PP P

Ta có f là một tự đẳng cấu của C 3 (x), thật vậy:

Với mọi P P1, 23( ),x mọi  ,   thì

( ) ( )

Vậy f là một tự đồng cấu của 3( )x

f P  PP P  P

Vì dim3( )x 4, nên f là song ánh Vậy f là một đẳng cấu nên mỗi đa thức Q3( ),x tồn tại duy nhất đa thức P3( )x sao cho ' "

QPP P

Q  x x x đặt 3 2

Px ax bx c Từ ' "

QPP P suy ra

















































6 1 2

1 2

1 6 2

1 3

c b a

c b a

b a

a

Vậy đa thức cần tìm 3 2

Px  x  x

Ví dụ 8:

( ) ( 1) ( 1) 2 ( ),

1) Chứng minh f là một ánh xạ tuyến tính

2) Xác định các không gian con Im f và Ker f

và P(0) = P’(0) = 0

Giải:

1) Với mọi 2

( ,P Q)E và   2

,

    , ta có:

f(  P Q) ( P Q)(x1)( P Q)(x1)2( P Q)(x)

= (P(x1)P(x1)2P(x))(Q(x1)Q(x1)2Q(x))

=  f(P) f(Q)

Vậy f là ánh xạ tuyến tính

2) Ta có f(1) f x( )0 Với p2, ta có f x( p)(x1)p(x1)p2x p

C   C   C     vớideg ( )R x  p2 Suy ra deg (f x p) p2 Vậy Im f span f x{ ( p)} với pN và p2

Đặt f x( p) Q p2( )x (Đa thức có bậc bằng p – 2) Ta chứng minh hệ Q Q0 , 1 ,  ,Q n2 là độc lập tuyến tính Thật vậy xét:

2

0

0

n

k k k

Q









 , với mọi   k ,k0, 1,,n2

Giả sử q[0,n2] là bậc lớn nhất của các đa thức Q x q( ) sao cho  q 0, khi đó ta có:









1

0

q

k

k k q

Vì  q 0 nên deg q Q q degQ q Mặt khác

1

0

q

k





Điều này mâu thuẫn với (1) Vậy  q 0

Từ đó suy ra dim Im f = n – 2

Vì dimE n1 nên theo định lý 1 suy ra dimKerf 2. Dễ thấy f(1) = f(x) = 0, và {1, x} là hệ

độc lập tuyến tính nên Kerf [1, ].x

3) Cho QIm ,f tồn tại AE sao cho f A( )Q Theo công thức khai triển Taylor, tồn tại đa thức B ( ),x degB n 2 sao cho ' 2

A A xA x B Đặt 2

Px B thì deg Pnvà

'

(0) (0) 0

( ) (0) (1) (0) ( ) ( ) ( )

Q f A A f A f x  f P  f P

Ví dụ 9:

Cho u, v là các tự đồng cấu của các K – không gian véc tơ E Chứng minh rằng:

2) Im(vu) = Im v Im u + Ker(v) = E

Giải:

1) Giả sử Ker vu( )Ker u( ) và xImuKer v( ),thì tồn tại yE sao cho

( )

xu y và v x ( ) 0 Ta có vu y( )  0 y Ker vu( )Ker u

Vậy u(x) = 0  x = 0, tức là: Im u Ker v = {0}

Ngược lại nếu Im uKer v = {0} và x Ker(vu) Ta có vu(x) =0, vậy u(x)Ker v và u(x)

Im u nên u(x) =0 hay x Ker u Suy ra Ker(vu) Ker u

Dễ thấy Ker u Ker(vu), từ đó suy ra Ker(vu) =Ker u

2) Giả sử Im(vu) = Im v và x E Ta có v(x) Im v = Im(vu), nên tồn tại yE sao cho vu(y) = v(x) v(x – u(y)) =0  x –u(y) Ker v, từ đó suy ra x = u(y) + x – u(y) Im u + Ker v Vậy E

= Im u + Ker v

Ngược lại nếu E = Im u + Ker v và xIm v thì tồn tại yE sao cho v(y) =x Vì yE, nên tồn tại z Im u, tKer v sao cho y = z + t, vậy v(z + t) = x

hay x =v(z)Im vu, suy ra Im vIm(vu)

Dễ thấy Im(vu)Im v, từ đó suy ra Im v = Im(vu) (■)

Ví dụ 10:

sau là tương đương:

Giải:

1)  2)

Ta luôn có: Im u2 Im u (1)

Theo định lý 1.16, ta có: dim Ker u2 + dim Im u2 = dim E và

dim Ker u + dim Im u = dimE Mặt khác theo (1) ta có dim Ker u2 = dim Ker u, vậy: dim Im u2 = dim Im u (2)

Từ (1) và (2) suy ra Im u2 = Im u

2)  3)

Với xE  u(x)Im u = Im u2yE sao cho u(x) = u2(y) u(x –u(y)) =0

x –u(y) Ker u Vậy x =x- u(y) +u(y) Ker u + Im u Từ đó suy ra:

E = Ker u + Im u

Mặt khác vì dim E = dim Im u + dim Ker u, nên dim (Ker u Im u) = 0, suy ra

Ker u Im u ={0}

Vậy E = Ker u  Im u

3)  1)

Ta luôn có Ker u Ker u2

Với mọi x Ker u2  u2(x) =0 u(x) Ker u Vì u(x) Imu, nên

u(x)Ker u Im u, lại vì 3)  Ker u Im u ={0}, vậy u(x) = 0 hay x Ker u, tức là Ker u2  Ker u Suy ra Ker u2 = Ker u

III BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài tập 1: Trong các ánh xạ sau đây ánh xạ nào là ánh xạ tuyến tính?

1) Phép vị tự tâm O, tỉ số k trong 3

2) Phép đối xứng mặt trong 3

3) Phép chiếu vuông góc lên một mặt phẳng trong 3

4) Phép quay với tâm quay là gốc toạ độ O góc quay trong 2

 5) Phép chiếu vuông góc lên đường thẳng đi qua gốc toạ độ trong 3

f   xác định bởi f x y z( , , )(x y x, z)

7) f :, xác định bởi f z( )Re z

8) f :, xác định bởi f(z) = |z|

f   xác định bởi f x y( , )( , ,x x xy)

Bài tập 2: Cho E và F là những  – không gian véc tơ, f là ánh xạ từ E vào F Chứng tỏ

rằng f là ánh xạ tuyến tính và tìm cơ sở của Ker f trong các trường hợp sau:

1) EF  2 và 2 2

:

f   , xác đinh bởi: f x y( , )( , ).y x

,

E F  và 3 2

:

f   , xác đinh bởi:

f x y z( , , )(2x y z x,  y z)

EF   và 3 2

:

f   , xác đinh bởi:

( , , ) (5 6 , 3 3 , 3 4 )

f x y z  x z x y z x z

,

E F  và 3 4

:

f   xác định bởi:

f x x x  x x x x x x x

Bài tập 3: Cho ma trận A =

































11 6 14

11 6 15

2 1 2

, xét ánh xạ f M: 3 1( ) M3 1( ), xác định bởi f(X)

=AX

1) Chứng minh rằng f là một tự đồng cấu

2) Chứng minh rằng V {XM3 1( ) | ( ) f X X} là một không gian véc tơ con

của không gian véc tơ M3 1( ).

3) Gọi e 1 là cơ sở của V, hãy tìm véc tơ e 2 và e 3 sao cho f(e 2 ) = e 2 +e 1 và f(e 3 ) = e 3 + e 2

4) Chứng minh rằng {e 1 , e 2 , e 3} là cơ sở của M3 1( ).

Bài tập 4: Cho ánh xạ f :2( )x 2( )x , xác định bởi:

P P x( )P x( ) Trong đó , là các hằng số phức khác nhau

1) Chứng minh rằng f là một tự đồng cấu của 2( ).x

2) Chứng minh rằng f là toàn ánh

3) Tìm hạt nhân của tự đồng cấu f

Bài tập 5: Với mỗi đa thức P x( ) có hệ số thực với bậc nhỏ hơn 3, ta cho tương ứng một đa thức

( ) (2 1) ( 1) ( )

Q x  x P x  P x

1) Chứng minh rằng ánh xạ f biến P x( ) thành Q x( ) là một ánh xạ tuyến tính

từ 3( )x vào 4( ).x

2) Chứng minh f là đơn cấu

Bài tập 6: Tìm cơ sở và số chiều hạt nhân của một tự đồng cấu xác định bởi các công thức toạ độ

sau:

1)





























3 2 1 3

3 2 1 2

3 2 1 1

2 2

2

x x x y

x x x y

x x x y

2)





























3 2 1 3

3 2 1 2

3 2 1 1

4 3

3 2

2 3

x x x y

x x x y

x x x y

Bài tập 7: Cho ma trận

2 2 2

a ab ac

ca cb c

với a b c  , , , xét ánh xạ

f M  M  xác định bởi f X( ) AX. Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính và xác

định Im f và Kerf

Bài tập 8: Cho ánh xạ :n( )x , xác định bởi ( )P  

1

0

)

( dt t

P 1) Chứng minh rằng  là một dạng tuyến tính trên 

2) Tìm số chiều của ImIm và Ker 

3) Tìm một cơ sở của Ker 

Bài tập 9: Cho u v, là những ánh xạ từ ( )x vào ( )x xác định bởi:

( ),

  









 ' ) (

) (

P P v

XP P u

1) Chứng minh rằng u và v là những tự đồng cấu của ( )x

2) Xác định v u u v