vectơ riêng dương của một số ánh xạ tuyến tính dương

42 Chương 4 VECTƠ RIÊNG DƯƠNG CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG KHÔNG COMPACT ..... Sự tồn tại vectơ riêng dương với giá trị riêng dương thỏa mãn một số tính chất đặc biệt của ma trận dương đ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS TR ẦN ĐÌNH THANH

ố Hồ Chí Minh - 2012

M ỤC LỤC

L ời cảm ơn

Ph ần mở đầu 1

Ph ần nội dung chính 2

Chương 1 VECTƠ RIÊNG DƯƠNG CỦA ÁNH XẠ COMPACT DƯƠNG 3

1.1 Không gian Banach có thứ tự 3

1.2 Vecto riêng dương của ánh xạ compact dương 4

Chương 2 VECTƠ RIÊNG DƯƠNG CỦA ÁNH XẠ LIÊN HỢP 17

2.1 Ánh xạ bị chặn, liên tục theo nón 17

2.2 Các định lí về sự tồn tại vectơ riêng dương của ánh xạ liên hợp 18

Chương 3 SỰ DUY NHẤT CỦA VECTƠ RIÊNG DƯƠNG 42

Chương 4 VECTƠ RIÊNG DƯƠNG CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG KHÔNG COMPACT 57

Ph ần kết luận 68

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 69

Lời đầu tiên trong bản luận văn này, tôi trân trọng gởi đến Thầy TS Trần

Đình Thanh đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn, lòng biết ơn

sâu sắc

Xin chân thành tỏ bày lòng biết ơn chân thành đến Thầy PGS.TS Nguyễn

Bích Huy đã dành thời gian quý báo của mình để giúp đỡ, đóng góp nhiều ý kiến cho luận văn của tôi

Xin chân thành cảm tạ quý Thầy, Cô khoa Toán – Tin học Trường Đại Học

Sư Phạm, Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, Thành Phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy, truyền đạt kiến thức và hỗ trợ tư liệu cho tôi trong suốt thời gian học

tập

Tiếp đến xin chân thành cảm tạ quý Thầy, Cô thuộc Phòng Quản Lý Khoa

Học Công Nghệ - Sau Đại học, Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh

đã giúp đỡ, động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi về thủ tục hành chính cho tôi trong suốt quá trình học tập

Sau cùng, xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Trung Học Phổ Thông Bình Phú đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi được tham dự lớp Cao học tại Trường Đại Học Sư Phạm, Thành Phố Hồ Chí Minh Xin gửi lời tri ân tất cả các

bạn bè đồng nghiệp, các bạn cùng lớp Cao học Giải tích khóa 21, cùng gia đình đã động viên quan tâm đến tôi trong quãng thời gian học tập và làm luận văn

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2012

H ọc viên, Trần Huy Vũ

Sự tồn tại vectơ riêng dương với giá trị riêng dương thỏa mãn một số tính

chất đặc biệt của ma trận dương được Perron chứng minh vào năm 1907 Kết quả tương tự được Entz mở rộng cho toán tử tuyến tính với hạch dương vào năm 1912 Các kết quả riêng biệt cho ma trận dương và toán tử tích phân dương đã được Krein

và Rutman tổng quát hóa cho ánh xạ tuyến tính compact dương mạnh trong không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón trong những năm 1940 Từ đó đến nay sự tồn

tại vectơ riêng dương tiếp tục được nghiên cứu cho nhiều lớp toán tử rộng hơn lớp toán tử compact dương mạnh để có thể ứng dụng vào các bài toán thực tiễn của khoa học và kỹ thuật

Các kết quả về tồn tại vectơ riêng dương của các ánh xạ được nghiên cứu bởi nhiều tác giả bằng các phương pháp khác nhau trên nhiều bài báo và sách chuyên

khảo Luận văn này được trình bày sau khi thu thập các tài liệu có liên quan đến đề tài, nghiên cứu chúng Các kết quả được trình bày một hệ thống khoa học thống

nhất với các chứng minh chi tiết

Ph ần nội dung chính

Nội dung bản luận văn bao gồm bốn chương:

Chương 1 Nhắc lại các kiến thức về nón trong không gian Banach có thứ tự

và sự tồn tại vecto riêng dương của ánh xạ compact dương

Chương 2 Trình bày sự tồn tại vecto riêng dương của ánh xạ liên hợp

Chương 3 Giới thiệu về điểm tựa trong, nón Minihedral và sự duy nhất của vecto riêng dương

Chương 4 Trình bày về vecto riêng dương của ánh xạ tuyến tính dương không compact

Chương 1

VECTƠ RIÊNG DƯƠNG CỦA ÁNH XẠ

COMPACT DƯƠNG

1.1 Không gian Banach có th ứ tự

Các kiến thức chuẩn bị được nêu dưới đây với các chứng minh chi tiết, được trích

từ [1] của PGS.TS Nguyễn Bích Huy

Định nghĩa 1.1 Cho X là không gian Banach trên trường số thực, tập K trong

không gian X được gọi là nón nếu như:

Mỗi x∈K\ { }θ được gọi là phần tử dương

Mệnh đề 1.1 Giả sử " " ≤ là th ứ tự sinh bởi nón Khi đó:

a) N ếu x y ≤ thì x+ ≤ + ∀ ∈z y z, z X

, 0

x y

λ ≤λ ∀ ≥λ

b) N ếu x n≤ y n,∀ ∈n *, limx n =x, limy n = y thì x ≤ y

c) N ếu { }x n là dãy tăng, hội tụ về x thì x n ≤ ∀ ∈  x, n *

Định nghĩa 1.2 Nón K được gọi là nón chuẩn nếu ∃ >N 0 :θ ≤ ≤ ⇒x y x ≤N y

Mệnh đề 1.2 Giả sử " " ≤ là th ứ tự sinh bởi nón chuẩn K Khi đó:

1) N ếu u v ≤ thì đoạn u v, : {= ∈x X u: ≤ ≤x v} b ị chặn theo chuẩn

2) N ếu x n ≤ y n ≤ z n,∀ ∈n *, limx n =a, limz n =a thì limy n =a

3) N ếu { }x n là dãy đơn điệu, có dãy con hội tụ về a thì limx n =a

Định nghĩa 1.3 Nón K được gọi là nón chính qui trong ( , ) X ≤ nếu mọi dãy tăng và

bị chặn trên (hay mọi dãy giảm và bị chặn dưới) thì hội tụ

1 Ánh xạ tuyến tính :X → X được gọi là ánh xạ compact (hoàn toàn liên tục) nếu

B là quả cầu đơn vị đóng trong X thì ( )B là tập compact tương đối trong X

2 Nếu dim( )X < +∞thì là ánh xạ compact

3 λ∈  thỏa (− Iλ ) là song ánh tuyến tính tư X vào X thì λ được gọi là giá trị chính quy của ánh xạ .Tập gồm các giá trị chính qui của  được gọi là tập giải

của , ký hiệu làρ( ).

4 Tập σ( ) = \ ( )ρ  được gọi là phổ của 

5 Số r( ) =sup{λ λ σ: ∈ ( )} được gọi là bán kính phổ của 

6 λ∈ Klà giá trị riêng của của nếu có vecto x≠θX sao cho:

( )x =λx,



và ta cũng nói x là vecto riêng của ứng với giá trị riêngλ

8 Không gian Banach thực X có thứ tự sinh bởi nón K Một ánh xạ tuyến tính

:X → X

 được gọi là ánh xạ dương nếu∀ ≥x θ thì( )x ≥θ,

và ta cũng nói x là vecto riêng của ứng với giá trị riêng λ

Định lí 1.1 Cho không gian Banach X có thứ tự sinh bởi nón K Ánh xạ : X → X

là ánh x ạ tuyến tính, compact, dương và:

v x n

v x n v x

t t

Vậy  có vectơ riêng dương x0 ứng với giá trị riêng λ≥ pα

Định lí 1.2 Cho không gian Banach X, K là nón compact địa phương Ánh xạ

u x n

⇒ ≠ Nên n( )x ≥0

Ta có n là ánh xạ compact Thật vậy, lấy dãy { }x k k bị chặn

Dãy {n(x k)}ktrong V, V compact ,nên ∃{n(x ki)}i hội tụ trong V

Tức là tồn tại dãy { }x k i ⊂{ }x k ksao cho { ( k )}i

{ }x nk ktrong V, V compact nên ∃{ }

Cho i→ +∞ , ta có (x0)=λx x0, 0 ≠θ.Vậy ánh xạ  có vectơ riêng x0 trong K

Hệ quả Nếu X là không gian hữu hạn chiều thì mọi ánh xạ tuyến tính dương từ X

và X đều có vectơ riêng dương

Ký hiệu λ λ1, 2, ,λk là các giá trị riêng của  thỏa λi =λ0,∀ =i 1,k Gọi X0 là

• Ký hiệu X1 là không gian con bù với X0 theo nghĩa E=E0⊕E1,1=| 1E

u u

q q

z u u

0

( )( )

n n

x x

u x n







Chứng minh tương tự Định lí 1.2, ta có ánh xạ  có vectơ riêng z0∈K0

tương ứng với giá trị riêng λ ≥ Và số 0 λnày là một trong các số

Định lí 1.4 Cho không gian Banach X, K-nón Giả sử rằng:

1) :X → X là ánh x ạ tuyến tính, dương, compact

2) ∃ ∈u X :− ∈u K,∃ >c 0,p∈*:p( )u ≥c p u

3) ∀ ∈x X,∃dãy(αn) :αn →0, ( n( ), ( ))≤αn n( )

d  L  x , ( ) L K =K − K Khi đó  có trong K vectơ riêng tương ứng giá trị riêng λ0 ≥c và λ0 = r( )

np p

n n

n n n

n

n

n n

x x

x



Cho n→ ∞ , ta có d x L K( , ( )) =0 ⇔ ∈x L K( ) =K − K

Nên x∈H Vậy bán kính phổ của |H bằng λ0

Áp dụng Định lí 1.3, ta có λ0 là giá trị riêng tương ứng với vectơ riêng trong K của ánh xạ 

Định lí 1.5 Cho không gian Banach X, nón K Giả sử rằng:

1) :X → X là ánh x ạ tuyến tính, dương, hoàn toàn liên tục

2) λ0 =sup{c>0 :∃ ∈u K \ { },θ ( )u ≥cu} th ỏa λ0 >0

Khi đó λ0 là giá tr ị riêng tương ứng vectơ riêng dương của 

Ch ứng minh

Định lí 1.6 Cho không gian Banach X, nón K : → X X là ánh x ạ tuyến tính dương, compact Khi đó  có vectơ riêng dương ⇔ ∃ > và s u 0 ố

x≥  ≤λ thì λ λ≥ 0.Và do đó µ λ≥ 0 nên µ >0

Giả sử ∃ thλ ỏa (*) mà λ λ< 0.Ta có 0<λ0 0x =(x0)=( )u ≤(x)≤λx cho nên λ> 0

Ta ký hiệu t là số lớn nhất thỏa mãn điều kiện x tu≥ thì t ≥ Từ 1

Điều kiện đủ ( )⇐

u x n

Vậy {λn} bị chặn nên có dãy con hội tụ, ta có thể coi λn →λ0≥µ

Do  compact nên {(x n)} có dãy con hội tụ và n 1 ( n)

n

u x n

(x )=λ x , x ≠θ

Định lí 1.7 Cho không gian Banach X, nón K Giả sử rằng:

1) :X → X là ánh x ạ tuyến tính dương, compact

Vậy {λn}bị chặn nên có dãy con hội tụ.Có thể coi λn →λ λ'≥ 0

Mặt khác  compact nên{(x n)} có dãy con hội tụ và 1 ( )

λ

=

n n n

Do đó  có vectơ riêng dương ứng với giá trị riêng λ0

Định lí 1.8 Cho không gian Banach X, nón K và : → X X là ánh x ạ tuyến tính dương, compact Khi đó  có vectơ riêng dương ⇔ ∃ > sao cho u 0

m

u u

Điều kiện đủ ( )⇐ Nếu µ >0 thì bán kính phổ r của ánh xạ |H lớn hơn hay

bằng ,µ (H = −K K )

Theo Định lí 1.3, tồn tại phần tử x0 sao cho (x0)=rx x0, 0 ≠θ

Định lí 1.9 Cho không gian Banach X, nón K Giả sử rằng:

1) :X → X là ánh x ạ tuyến tính, dương, compact

Theo Định lí 1.8, ta có ∃ >x0 θ,số λ'≥λ0 sao cho (x0)=λ'x0

Ta chứng minh λ λ'≤ 0.Đặt u=x0, xét các số λ sao cho

Chương 2

VECTƠ RIÊNG DƯƠNG CỦA ÁNH XẠ LIÊN

H ỢP

Trong chương này ta quan tâm đến sự tồn tại vecto riêng của ánh xạ liên hợp.Với

giả thiết X là không gian Banach, K nón trên E và ánh xạ : X →X

2.1 Ánh x ạ bị chặn, liên tục theo nón

Định nghĩa 2.1 Cho E là không gian Banach, nón K Ánh xạ : X →X là ánh xạ tuyến tính và u0∈K \ { }.θ Khi đó  được gọi là;

1) u0_bị chặn nếu ∀ ∈x X,∃ ∈n ,∃ >β 0 sao cho n( )x ≤β .u 0

2) u0_bị chặn trên (u0_bị chặn dưới) nếu  dương và

0 0 0

2)  là ánh xạ tuyến tính và u0_b ị chặn thì ∃ ∈ ∃n0 , β0 >0 sao cho:

0

0 0 ( ) 0 0,

− x u ≤n x ≤ x u ∀ ∈x X

Ch ứng minh Xem chứng minh chi tiết trong [3]

Bổ đề 2.1 Nếu u0∈intK thì ∃ > sao cho r 0 ∀ ∈f K*có f u( 0)≥r f

Ch ứng minh

Gọi r là số dương thỏa mãn ( , )B u r ⊂K.Với u X u∈ , =1, ta có u ru K+ ∈ nên

f u ru− ≥ dẫn đến ( )f u ≥ ±rf u( ), cho nên f u( )≥rsup ( )f u =r f

Bổ đề 2.2 Cho u∈intK , Π ={f ∈K*: ( )u f = f u( )= và : Π → Π1}  liên t ục đối với tôpô yếu σ(X*,X) Khi đó  có điểm bất động trong Π

⇒ Π bị chặn theo chuẩn

Vậy Π compact đối với tôpô yếu σ(X*,X )

:Π → Π

 liên tục đối với tôpô yếu σ(X*,X).Theo định lí điểm bất động

Tykhonoff trong không gian lồi địa phương thì  có điểm bất động trong Π

2.2 Các định lí về sự tồn tại vectơ riêng dương của ánh xạ liên hợp

Định lí 2.2 Giả sử K-thể nón,  là ánh xạ tuyến tính liên tục, dương Khi đó, *

có trong K* vectơ riêng

Ch ứng minh

Lấy u0∈intK(do K là thể nón), đặt *

∃ ∈

u u

  (do ϕ∈ Π ) Vậy ϕ là vectơ riêng dương của *

Định lí 2.3 Giả sử rằng K-thể nón,  là ánh xạ tuyến tính dương, liên tục

0 inf{ : int , ( ) λ }

λ = λ ∃ ∈v K  v ≤ v th ỏa λ0 >0.Khi đó, λ0 là giá tr ị riêng của *

tương ứng với vectơ riêng dương trong *

⇒ +y x∈B y r nếu ε x <r

Vậy,∃ > sao cho ε 0 (λ ε0+ )x− ( )x = +y εx≥θ Do đó:

1)

(

.)

Ta có K0 là không gian con của X (do K0 =(λ0I −)( )X ) Vậy với mọi ∀ ∈x K0

r  = λ > ∃ ∈v K  v ≤λv và ( ) r  là giá trị riêng tương ứng

vectơ riêng dương của *

1

1 1 1

Cho nên λlà giá trị chính quy của  ,và từ đó r( ) ≤λ0.Do đó λ0 = r( )

Chứng minh ( )r  là giá trị riêng của *

Nếu ( ) 0r  = , theo định lí 2.2 thì * có vectơ riêng ϕ trong K* ; tức là

*( )ϕ =λ ϕ' ,



mà ( )*

r  =r  = nên λ'= Do đó giá trị riêng của 0 * bằng ( ) 0r  =

Nếu ( ) 0,r  > theo định lí 2.3 thì * có vectơ riêng f trong K* ; tức là

Do đóλlà giá trị chính quy của  ,suy ra r( ) ≤λ0,nên λ0 = r( )

Theo định lí 2.4, λ0 = r( )là giá trị riêng tương ứng vectơ riêng dương của *

Định lí 2.6 Giả sử rằng:

1) K-th ể nón,  là ánh xạ tuyến tính, dương, liên tục

Lấy u tùy ý thuộc int K

Theo định nghĩa λ0 >0 nên ∃ ∈g K*\ { }θ sao cho

( )

n

g f n f

thì n liên tục đối với tôpô yếu σ(X*,X )

Theo b ổ đề 2.2 , thì n có điểm bất động trong Π

g r

λ > (do 0< <λ λ' và 0

t > )

Từ đây thấy ngay được sự mâu thuẫn tính lớn nhất của tCho nênλ λ≥ ',vì thế cho nên:

Lấy u tùy ý thuộc int K

Theo định nghĩa λ0 >0 nên ∃ ∈g K*\ { }θ sao cho

( )

n

g f n f

thì n liên tục đối với tôpô yếu σ(X*,X )

Theo b ổ đề 2.2 , thì n có điểm bất động trong Π Do đó:

( )

( )

( )

và Π compact yếu, nên có thể coi λn → ≥λ µ và f nyeáu→f f, ∈Π

Qua giới hạn yếu ở *

( n)

n n

g f f

(do *( )g =*(f0)=λ'f0 =λ'g)trong đó tλ' 1 tλ' t

từ đây suy ra λ λ'≤ 0.Vậy ta đã chứng minh được λ λ'= 0

Do đó λ0 là giá trị riêng của *tương ứng vectơ riêng f0 trong K*

Dẫn đến sự mâu thuẫn với tính lớn nhất của t

Như vậy λ0 ≥ >α 0, từ đó theo định lí 2.3, thì λ0 là giá trị riêng của *tương ứng vectơ riêng dương trong K*

Định lí 2.9 Giả sử rằng:

1)  là ánh xạ tuyến tính, dương, liên tục và u _b0 ị chặn trên X

2) ∃ ∈ ∃ >m , α 0 sao cho m(u0)≥αu 0

Khi đó *có vectơ riêng trong K*

Ánh xạ  là v_liên tục và n0 ϕ∈K V*,cho nên g K∈ *

Ta chứng minh g≠ Thθ ật vậy, ( ) 0ϕ v > (do v > ).Ta khẳng định rằng 0 ϕ( ) 0u0 >

Muốn vậy, giả sử trái lại rằng ϕ( ) 0u0 = Khi đó:

1)  là ánh xạ tuyến tính, dương, liên tục và u _b0 ị chặn trên X

2) M ột trong các điều kiện sau được thỏa:

a λ0 =inf{λ> ∃ ≥0, x u0,( )x ≤λx} là s ố dương

b K-nón chu ẩn, 0

1

1 0

Khi đó, λ0 là giá tr ị riêng của *tương ứng vectơ riêng dương trong K*

Như vậy theo định lí 2.3, ∃ ∈ϕ K V* \ { }θ sao cho *(ϕ)=λ ϕ'

Xét phiếm hàm g:E→, ( )g x =ϕ(n0( )x ) Khi đó, theo bổ đề 2.3, ta có

*( )g =λ' ,g g K∈ *\ { }.θ

Ta chứng minh λ'=λ0.Ta đã có λ'≥λ0,cần chứng minh λ'≤λ0

Thật vậy, giả sử trái lại rằng λ'>λ0 Chọn λ∈λ0, ' ,λ ) x≥v: ( x)≤λx

Ta cóλ' ( )g x =( )*g x( )=g(( )x ) ( )≤g xλ =λg x( ),cho nênλ'≤λ (do ( ) 0).g x >Mâu thuẫn với λ∈ λ λ0, ' ) Dẫn đến phải có λ'≤λ0

Khi đó ta có λ'=λ0, *( )g =λ0g g K, ∈ *\ { }.θ Do đó λ0 là giá trị riêng của *

tương ứng vectơ riêng dương trong K*

1

m m

1 0 0 1

0 1

Theo định lí 2.5 , ta có ∃ ∈ϕ K V* \ { }θ sao cho *(ϕ)=λ ϕ0

Xét phiếm hàm g:X →, ( )g x =ϕ(n0( )x ), theo b ổ đề 2.3, cho ta

0 1

( )

m m

m

u x

m m

1

( )

λλ

Theo trường hợp a) , ta có λ0 là giá trị riêng của *tương ứng vectơ riêng dương

Từ đây suy ra:

2

1 0

0

0

0 2

* 0( ).

1λ

Do Π compact yếu nên { }f n có dãy con hội tụ.Ta có thể coi f nyeáu→ ∈Π f

Do đó λ0 là giá trị riêng của *tương ứng vectơ riêng dương trong K*

thì n liên tục đối với tôpô yếu Theo bổ đề 2.2 , thì n

có điểm bất động trong Π , ∃ ∈ Πf n : f n =n(f n), từ đây suy ra

Vậy thì dãy{λn}bị chặn nên có dãy con hội tụ, ta có thể coi λn → ≥λ µ,

và Π compact yếu, nên { }f n có dãy con hội tụ, nên ta có thể coi f nyeáu→ ∈Π f

Qua giới hạn ở λn f n = *(f n), cho ta λf =*( ).f

Theo định nghĩa λ0 và chứng minh trên thì ∃µn →λ µ0, n ≤λn n,f ∈ Π sao cho

t Điều này mâu thuẫn với tính lớn nhất của ,t nên λ λ≥ '

Từ đây suy ra λ λ'≤ 0.Vậy ta đã chứng minh đượcλ λ'= 0

Dẫn đến kết luận rằngλ0 là giá trị riêng *tương ứng vectơ riêng trong K*

Chương 3

S Ự DUY NHẤT CỦA VECTƠ RIÊNG DƯƠNG

Bổ đề 3.1 Cho  là ánh xạ u _b0 ị chặn trên, phần tử ∈ − x K K , x ∉ − th K ỏa mãn: ∃ >α 0 :( )x ≥αx. G ọi t0 là s ố cực đại thỏa u0 ≥t x0 thì t0 >0

1) λ0 là giá tr ị riêng đơn (bội 1) của 

2) x0 là vectơ riêng dương duy nhất của 

Ch ứng minh

Nhắc lại: λ0 là giá trị riêng của 

n n

X =Ker −λ I thì ta có X1⊂ X2 ⊂ X3⊂

0

1

n n

Do đó bội của λ0 là hữu hạn

1)  là u0_dương và có vectơ riêng dương x0.Theo b ổ đề 3.2 ,thì  là x0

_dương

Chứng minh dimX1=1.Thật vậy, giả sử trái lại, dimX1>1, khi đó ∃ ≠y0 tx0 sao cho (y0)=λ0 0y Có thể coi y0∉ −K và gọi t0 là số cực đại thỏa x0 ≥t y0 0,theo giả thiết phản chứng x0−t y0 0∈K \ { },θ ngoài ra  là x0_dương, nên:

Mâu thuẫn tính cực đại của t0. Do đó phải có dimX1=1

Chứng minh X1= X2.Ta có X1⊂ X2,ta cần chứng minh X1⊃ X2 Giả sử trái lại